Formeln zur Numerik Numerik - Neff

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1 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.) Lere Glechugssstee (.) Deterte (.) GAUß-JORDAN-Verfhre (.4) GAUß-Verfhre (.5) LR-Zerlegug (.6) Spur eer Mtr (.7) Iverse Mtr (.8) Iverse Mtr (FADDEJEW) (.9) LEONTIEF-Modell (.) GAUß-SEIDEL-Verfhre (.) Egewert-Problee (.) Norerug vo Vetore v (.3) FADDEJEW-Verfhre (.4) MARKOW-Kette, (Sttoäres Glechgewcht) (.5) Dgoltrze (.6) NEWTON-Iterto (.7) LR-RL-Verfhre ch RUTISHAUSER (3.) Sple-Verfhre (3.) Zwe-Phse-Methode (3.3) Zuorduge (3.4) Trsportverfhre (4.) Polo-Iterpolto (4.) Iterpolto ch NEWTON (4.3) Sple-Iterpolto (4.4) BERNSTEIN-Poloe (4.5) Bézer-Iterpolto (4.6) A' Regresso (4.7) V T Regresso (5.) Potezrehe (5.) Bosche Rehe (5.3) Rehe trszedeter Futoe (5.4) Nuersche Itegrto (5.5) Dfferetlglechuge

2 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.) Lere Glechugssstee A = b ( ) = b = b =,,..., =,,..., = A - b. = (.) Deterte det A CRAMER-Regel = det A A erhält us der Koeffzetetr A, we de -te Splte durch b ersetzt. Berechug der Deterte det A = A + ) det A = ( ) det( A ). det A st de Uterdeterte zu Eleet. b) det A = r (r ) = R st de Dreecstr zu A. c) für = : det A = 3 d) für = 3: det A = (SARRUS-Regel) = e) det A T = det A. det A = det A Pvot-Eleete = (.) GAUß-JORDAN-Verfhre A b E = eleetreuforug 3 (.3) GAUß-JORDAN-Verfhre t Whl der le Pvot-Eleete. De Splte der Mtr E sd d etspreched vertuscht. (.4) GAUß-Verfhre, sd de veräderte Vrble, b, r r r β = ( β r r ) / r eleetreuforug A b R β = r r3 β = ( β r3 3 ) / r r 33 β 3 3 = β3 / r33 Eltosftore l = specher, Elto: α = l usw = β / r. = β r / r =,,..., = +

3 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.5) LR-Zerlegug: A = b, A = L R, L = b, R =. r = für =,,. für edes =, 3,,. für = : l =. für =,3,..., : l = ( l r ) / r =.3 für =, +,..., : r = l r 3. t Vorwärtsesetze us L = b 4. t Rücwärtsesetze us R = Sche zu verettete Algorthus: = R L A b LR-Zerlegug, veretteter Algorthus für = 3 Rehefolge: r r r LR-Zerlegug, veretteter Algorthus für = 4 Rehefolge: r r r3 r r r r3 r l 3 r3 l r l r l / r 3 3 r l / r r

4 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.6) Spur eer Mtr: spur A = tr A = = = (.7) Iverse Mtr A st verterbr, we det A. A, st verterbr, we rg A =. (A - ) - = A. (A B) - = B - A -. (A - ) T = (A T ) -. ( A) - = s - A -. det A = det A A, B sd ählch, we ee reguläre Mtr U estert, für de glt: A = U - B U. (.8) Iverse Mtr ud Deterte t FADDEJEW-Verfhre + A = H det A = ( ) c c t H = A c E H = A c E H = O (, ) A = A A = A H A = A H 3 spur A spur A spur A c = c = c3 = 3 3 (.9) LEONTIEF-Modell, Iput-Output-Alse 3 Goztotr 3,3 M = Verflechtugstr A t = Verflechtugsglechug = A + Bedrfsvetor = (E - A) - (.) GAUß-SEIDEL-Verfhre Zelesuerteru uf schere Kovergez prüfe. < Ugewdeltes leres Glechugssste = b + C. Rechesche: Iterto: C R () () b CL b c c (+) = (b + C R () + C L (+) ) : - () (+) = + + / = + = = c für = für =

5 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.) Egewert-Problee Egeglechug A = λ (A - λ E) = o Chrterstsches Polo (λ) = det(a - λ E) = ( ) λ + q - λ - + q - λ q λ + q q = ( ). q - = spur A ( ) -. q = det A Egevetore us (A - λ E) = o t rg(a b) < Stz vo CAYLEY-HAMILTON (A)=O (.) Norerug vo Vetore v ). Kopoete ht de Wert es. v / v b) Läge ht de Betrg es. v v + v v c) Prozettele, zuse % =. v v wobe lle v oder lle v. d) Gzzhlg. Mt etsprechede Ftor ultplzere. (.3) FADDEJEW-Verfhre chrterstsches Polo (λ) = ( ) + [ λ + c λ - + c λ c - λ + c ] spur A t c = t A = A H- ud H = A c E sehe (.8) für Egewerte λ, Mtr A,, Grd des Polos. Mtr U t de Egevetore u ls Splte 3 U = λ E + λ H + λ H H Zu Bespel Berechug der Egevetore t de. Splte: 3 u = λ e + λ h + λ h λ h + h,,,,, t h, ls.splte der Hlfstr H Oder t HORNER-For ((( ) )... ) u = e λ + h λ + h λ + + h λ + h,,,,, (.4) MARKOW-Kette, Sttoäres Glechgewcht Stochstsche Mtr S t s ud s = Verteluge v = S v - v = S v. Sttoäres Glechgewcht l v = l S v = v = S v = u λ = Egeglechuge S =. (S λe) = o. (S E) = o

6 Forel zur Nuer Nuer - Neff (.5) Dgoltrze d / d d = / d d 33 / d 33 d d d d d33 d33 = λ D λ = λ heßt Spetrltr λ 3 (.6) NEWTON-Iterto GERSCHGORIN-Krese K = z z =,,..., = f ( ) Itertosforel = + f '( ) HORNER-For f ( ) = (( + ) + ) (.7) LR-RL-Verfhre ch RUTISHAUSER L R Zerleguge A = L R R L Multpltoe A + = R K L K Grezwerte λ r l A =, l L = E λ Rechesche L L R R L = A A R R L = A A L L 3

7 (3.) Sple-Verfhre Zelfuto Bedguge Tbleu = Forel zur Nuer Nuer - Neff G = g =... b = = BV ( ) ( ) b q ( ) ( ) E ( b ) G ( g ) o b s Pvot-Splte: (g ) Pvot-Zele: (q ) = (b / s ) t q > Optu lle g (3.) Zwe-Phse-Methode Glechuge Gesperrte Schlupfvrble w eführe Merug G = g b ( ) = = Mdestbedguge b ( ) =. Phse zulässg, we w = ud e b <. Phse we (.) (3.3) Zuorduge Bedguge Zelfuto C gest = Bssvrble Verfhre =. = = = = = = c Mu. Mtrreduto. ubhägge Nulle besetze 3. Decle für lle Nulle => ubedecte Zelle u, doppelt bedecte d, efch bedecte e 4. (u) erttel 5. be u: (u) be d: + (u) be e: ee Äderug 6. optl, we ubhägge Null-Eleete 7. Ergebstr st ee Peruttostr Vrte Mere G gest = = = g Kopleetärtr t c = g. Vrte Ftve Bestugsorte, we > b

8 (3.4) Trsportverfhre Bedguge = b Forel zur Nuer Nuer - Neff = ( =,..., ). = b ( =,..., ). > = = Zelfuto Mere C gest = = = c Mtruverfhre: ( ) (c ) Hlfsvrble u = c v ud v = c u Kostedffereze d = c u v Optl, we lle d (4.) Polo-Iterpolto Poloe = f ( ) = = = HORNER-For f ( ) = (( + ) + ) VANDERMONDE-Mtr leres Glechugssste V = (4.) Iterpolto ch NEWTON NEWTON-For für Poloe f() = c + c ( ) + c ( )( ) + + c ( )( )( ) ( - ) HORNER-For für NEWTON-Poloe ((( ( ) ) ) ) f ( ) = c + c ( ) +... c ( ) + c ( ) + c [ ] [ h ] Dvderte Dffereze [ ]. [ h ] = = h Iterpoltossche 3 = c [ ] = c [ ] = [ ] [ ] [ ] [ ] c = c 3

9 (4.3) Sple-Iterpolto Forel zur Nuer Nuer - Neff Kubsche Splefuto 3 ( ) + b ( ) + c ( ) + d für [, ] 3 ( ) + b ( ) + c ( ) + d für [, ] s ( ) =... 3 ( ) + b ( ) + c ( ) + d für [, ] Sple-Etwclug d = b = b = ( ) b + ( ) b +( ) b = 3 = r b b b b b r 3 4 = ( ) r = ( ) r 3 3 = 3 ( ) r = 4 ( ) r = ( ) r b b = 3( ) + (b+ b ) (+ ) c = b (+ ) 3 + (4.4) BERNSTEIN-Poloe Boletwclug ( ) Reursve Berechug BERNSTEIN-Poloe ( ) + b = b = B B - - = B + b B = = - ( ) - B ( ) = + = ( ) = für = (4.5) Bézer-Iterpolto Pute des BÉZIER-Polgos BÉZIER-Poloe - f ( ) = ( ) = B ( ) für = = f ( ) = B + B + B + B f ( ) = ( ) + 3 ( ) + 3 ( ) (( ) ) f ( ) = ( ) + 3 ( ) + 3 ( ) + 3 3

10 och (4.5) Bézer-Iterpolto Forel zur Nuer Nuer - Neff Reursve Berechuge B ( ) = ( ) B + B Sche ch DE CASTELJAU ( ) ( -) ( -) = ( ) Stegug be 3 3 ( 3 ) Stegugswel () = rct f '() Z.B. = ( ) + (4.6) A' Regresso Astzfutoe ³() Sue der Abwechugsqudrte A = ( ϕ( ) b) = ( ) ( ) ϕ ( ) b Norlglechugs-Sste ϕ ϕ = ϕ Norlglechuge ( ϕ ( )) + bϕ ( ) = ϕ( ) ϕ ( ) + b = ϕ( ) ϕ( ) Regressosoeffzete = b = ( ) ϕ( ) ϕ ϕ( ) ( ) ( ) ( ) Spezell für = + b = ( ) b = (4.7) V T Regresso Lere Regressosodelle () = + ³ () + ³ () + + ³ () t de Astzfutoe ³ () VANDERMONDE-Mtr V ϕ( ) ϕ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ( ) ϕ( ) ϕ ( ) = VANDERMONDE-Glechug V = V T V = V T Iterpoltoswert für =z (z) = + ³ (z) + ³ (z) + + ³ (z)

11 Forel zur Nuer Nuer - Neff (5.) Potezrehe Potezrehe Etwclugsput f ( ) = ( ) = Spezell TAYLOR-Rehe Spezell MACLAURIN-Rehe ( = ): f ( ) f ( ) ( ) = ( ) =! ( ) f () f ( ) = ( )! = (5.) Bosche Rehe Boloeffzete Bolrehe Spezell = : ( )( )...( + )! = =!! ( )! ( + ) = ( + ) = ± = ( ± ) = ± ± 3 4 ±... für < ± = ( ± ) = ± ± 3 4 ±... für < ( ) = ± = für < ± ± = ± = < 3 4 ( )... für ( ± ) = ± = < 3 4 ( ) für (5.3) Rehe trszedeter Futoe 3 4 e = !!! 3! 4!! s = ! 3! 5! 7! 4 6 cos = !! 4! 6! rct = + + für < 3 5 7

12 Forel zur Nuer Nuer - Neff (5.4) Nuersche Itegrto b Zerlegug h = b Sehe-Trpez-Regel f ( ) d ( ) h SIMPSON-Regel gerdzhlg b h A = f ( ) d ( ) ( ) ( ) 5 (4) Verfhresfehler ν = f ( z) t 4 < z < 8 Abbruchbedgug A A < ε (5.5) Dfferetlglechuge Dfferetlglechug.Ordug ' + () = b() RUNGE-KUTTA-Verfhre, verstufg + = + h W W = w + w + w + w / 6 Gewchtug ( ) Zwschewerte w = g(, ) h h w = g +, + w h h w3 = g +, + w w = g + h + h w (, ) Rechesche h h h ' = w W Fehlerschätzug: ε h 5.