NUMERISCHE METHODEN ZUR LÖSUNG VON GLEICHUNGEN

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1 INHALTSVERZEICHNIS NUMERISCHE MATHEMATIK dom erdm geeurormt h ge I NUMERISCHE METHODEN ZUR LÖSUNG VON GLEICHUNGEN Fehler ud Geuget. Fehlerrte. Fehlergröße. Gletputzhl.4 Numersche Glechhet Ds llgemee Itertosverhre. Fput. Grphsches Verhre zur Bestmmug ees Fputes (Schttstelleverhre. Bemerug.4 Kotrto.5 Fputstz.6 Geometrsche Deutug des Fputstzes.7 Fput der Umehruto.8 Bemerug.9 Allgemees Itertosverhre. Bestmmug der erorderlche Itertosschrtte N e vorgegeeer Fehlergreze ε >. Bemeruge (Aweduge des Fputstzes Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls. Newtosche Itertosolge. Newtosches Itertosverhre. Kovergez des Newto-Verhres.4 Bespele.5 Regul Fls (Seteverhre.6 Kovergez der Regul Fls.7 Regul Fls.8 Deto.9 Bespel 4 Nullstelle vo Polome 4. Polom 4. Polomdvso 4. Hoer-Schem 4.4 Ds erweterte Hoer-Schem 4.5 Berechug echer Nullstelle vo Polome ch dem Newto-Verhre II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Der Algorthmus vo Guß. Leres Glechugssstem (LGS. Lösret LGS e. Rücwärtsesetze.4 Guß sche Algorthmus (Guß sches Elemtosverhre.5 Guß-Algorthmus mt Pvotserug Ds Austuschverhre. Austuschverhre vo Steel. Vrletusch. Voreretug em Austusch mt.4 Austuschverhre r, s.5 Mtrverso durch Austusch Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme. Ds Gesmtschrttverhre vo Jco. Bespel. Ds Ezelverhre vo Guß-Sedel.4 Bespel.5 Kovergezrterum ür Gesmt- ud Ezelschrttverhre.6 Möglche Aruchedgug em Gesmt- zw Ezelschrttverhre.7 Verhre zur Lösug vo LGS e Sete

2 INHALTSVERZEICHNIS III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK dom erdm geeurormt h ge Grudegre. Eührug. Deto. Stz Lgrge Iterpolto. Lgrge Polome. Bespel. Iterpolto vo Lgrge.4 Bespele Newto Iterpolto. Newto Polome. Newto Iterpolto. Bespel.4 Umwdlug der Newto-Form de Normlorm (eemplrsch ür 4 4 Sple Iterpolto 4. Eührug 4. Sple Futo 4. Bestmmug eer türlche usche Sple Futo (ür 4.4 Bespel 4.5 Bestmmug eer türlche Sple-Futo ür eleges IV APPROXIMATION Eührug. Iterpolto ud Appromto. Bespel. Stetge Appromto vo Futoe.4 Appromto durch Tloretwclug.5 Stz vo Weerstrß Polomppromto ch der Methode der leste Qudrte. (Gußsche Methode der leste Qudrte. Normlglechug. Bespel Guß Appromto vo Futoe. Deto. Slrprodut vo stetge Futoe. Guß Appromto.4 Bespel V NUMERISCHE INTEGRATION Eührug Newto Cotes Formel (Formel ür Segmete. Lgrge Iterpoltospolom. Formel vo Newto Cotes Numersche Itegrtosverhre. Deto. Tgetetrpezsumme. Sehetrpezsumme.4 Smpsosumme.5 Bespel.6 Fehlerschätzug.7 Bemerug Sete

3 INHALTSVERZEICHNIS NUMERISCHE MATHEMATIK dom erdm geeurormt h ge VI NUMERISCHE METHODE ZUR LÖSUNG GEWÖHNLICHER DGL Eührug. Agswertprolem (AWP. Rdwertprolem (RWP Ds Polomzug Verhre vo Euler. Rchtugeld. Ds Verhre vo Euler Ds Ruge Kutt Verhre. Ds Verhre vo Ruge Kutt. Ordug. Ds Verhre vo Ruge Kutt 4. Ordug. Schrttwetepssug ür Ruge Kutt 4. Ordug 4 Ds Derezeverhre 4. Aäherug vo Aletuge durch Dereze 4. Derezeverhre 5 Ruge-Kutt-Verhre ür Ssteme vo gew. DGL. Ordug ud DGLe höherer Ordug 5. Sstem vo DGLe 5. Ruge-Kutt-Verhre (ür DGLe 5. Ruge-Kutt-Verhre ür DGLe höherer Ordug Sete

4 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Fehler ud Geuget dom erdm geeurormt h ge I NUMERISCHE METHODEN ZUR LÖSUNG VON GLEICHUNGEN Fehler ud Geuget. Fehlerrte 4,756 ( Rudugsehler: Rude: 4, 756 4,76 Aschede: 4, 756 4, 75 ( Verhresehler: (Rudugsehler e Recheopertoe Bsp:, 49, 66, 5947, 59 (c (d,49,66,79,765,765,59,49,66,79,76668,766,854 Fehler de Egedte Aruchehler Bsp: Fehlergröße Se e Näherugswert ür. D heßt ( soluter Fehler vo ( ρ (soluter reltver Fehler vo ρ Bsp:, ;, ;, ; ( % et Näherugswert. Gletputzhl (Fleßputzhl Ee reelle Zhl vo der olgede Form heßt Gletputzhl: m ±,, m Mtsse ( m omert ( p m. Mtsseläge.A. p 8 6 p gzz. Epoet q.a. q 99.4 Numersche Glechhet p Numerscher Wert Näherugswert mt eer egrezte Azhl vo Stelle π,459 umersch Glech Glechhet s zur 5. Stelle orrete Schrewese: π,459, 75 5, , 7;, cht orret: eumerscher Wert; Sete 4

5 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Ds llgemee Itertosverhre dom erdm geeurormt h ge Ds llgemee Itertosverhre. Fput See M, N mt M N ud : M N ee Aldug. heßt Fput vo, we Bespele: s estzt Fpute: ( s ( estzt Fpute:, ( estzt Fpute:. Grphsches Verhre zur Bestmmug ees Fputes (Schttstelleverhre s, s Fpute Fpute vo Schttpute des Grphe vo ud. Bemerug Fput vo Glechuge g öe stets durch äquvlete Umormuge u de Fputglechug gercht werde. Bespele: Nullstelle vo g g( ( e ( e l e e l g e e Bemerug: g ( g ( + (.4 Kotrto [ ] Se I, ee Aldug. : I I heßt Aldug, we e Kostte L estert, so dss L ür lle, I. L: Lpschtz-Kostte Krterum ür Kotrto: Se : I I stetg derezerr I mt L < ür lle I, 4 d st ee Kotrto mt Lpschtz-Kostte L. Bew: See, I, <. Nchdem Mttelwertstz der Deretlrechug estert e ξ (, mt ( ξ. ( ξ L Sete 5

6 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Ds llgemee Itertosverhre dom erdm geeurormt h ge.5 Fputstz Se : I I ee Kotrto. Es glt: ( eszt geu ee Fput s ( s ( Für jede Strtwert I overgert de Folge ( Itertosolge +,,, gege de Fput s. s s L s L s L s L < Bew: ( Es gelte de olgede Fehlerschätzuge: ( De A-pror-Fehlerschätzug (ws vorher ommt L s L ( De A-posteror-Fehlerschätzug (ws chher ommt s L L.6 Geometrsche Deutug des Fputstzes [, ] es estert e Fput ud I I D s, s, s Fpute,, cht deert Bsp: ( < mooto steged ud Stegug < 45 geu Fput ( < < ( < < Dvergez ( > Sete 6

7 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Ds llgemee Itertosverhre dom erdm geeurormt h ge.7 Fput der Umehruto Se : I I umehrr mt > I s s ( ( < I Aletug ür Umehruto Kovergez ür ( Im Fll > I wede Itertosverhre u..8 Bemerug Uter der Vorussetzug des Fputes glt: L ε s < ε L Bew: L L s L ε ε -posteror L L L.9 Allgemees Itertosverhre gegee: ( Kotrto I mt L <, I ( Strtwert, ε > ( Fehlergreze, N ( m Azhl der Itertosschrtte gesucht: s ( s Fput. Für,, N. estmme ( L L. lls < ε, gehe ch 4. ( s < ε, sehe.8 4. setze s Bsp: M estmme de Fpute vo ( cos grphsch: umersch: ( cos π s <, π 4 Itertosvorschrt:, cos(,, π, 78599, 776, 7645, eter Wert :, 7985 Sete 7

8 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Ds llgemee Itertosverhre dom erdm geeurormt h ge Bsp: M estmme de Nullstelle vo grphsch: g + g + + umersch: g ( + ( + ( [ ] Für lle, 5 glt < ( + 4,5,5 4 + m Wert, der de Al ( L < , 65 + m Itervll mmt overgert ür jede Strtwert,5 gege s. [ ] +,5,8,6,79,65 4 eter Wert: s, > g h h eer Umgeug der Nullstelle h ee Kovergez ( ( ( , 7 ee Kovergez, 5, 875,, 964,4, 999 ee Kovergez. Bestmmug der erorderlche Itertosschrtte N e vorgegeeer Fehlergreze ε > ( ε l L l N l L Kotrto mt Lpschtz L < Strtwert Bew: ε ε ( L ε ( L L ε s < L < L L < l L < l A-pror L ( ε ( L l l > l L. Bemeruge (Aweduge des Fputstzes ( ee Mege M wrd der Mege N üer de Futo zugeordet ( Öoome: X, Y, Z p q p p q q Presepedelugsmechsmus p z q z ( Phs optmle Flugh vo Erde zu Mod Sete 8

9 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls dom erdm geeurormt h ge Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls. Newtosche Itertosolge [ ] [ ] [ ] ( ( tα ( ( ( ( ( ( Se :, zweml stetg derezerr mt s ür e s, ud, Itertosolge: ( ( Newto - Itertosverhre ( ( Strtwert. Newtosches Itertosverhre gegee: (, Strtwert, η > ( Fehler, N ( Azhl der Itertosschrtte gesucht: Nullstelle ( s. Für,, N.. estmme ( ( ( ( lls < η, d gehe ch setze s. Kovergez des Newto-Verhres Wähle [, ] so, dss ( ( ( < d.h. [, ] ethält Nullstelle ( ( [, ] d.h. ( [ ] (c ( [ ] [ ] ht, ee Etremwert ud Sttelput,, d.h. estzt, ee Wedeput { } Wählt m ls Strtwert, mt >, so overgert ds Newto-Verhre Sete 9

10 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls dom erdm geeurormt h ge geometrsche Deutug Dvergez > ( ( > < ov rechtsgerümmt > ove lsgerümmt.4 Bespele M estmme ee Nullstelle grphsch: e e e s Nullstelle vo e umersch: ( e [-,8 ] ( e [-,8 ],8,8 e e, 96 >,8 e de Folge + oergert gege de Nullst. vo e. e 4,8, 76959, 747, 7467, 7467 Proe:, 7467,8.5 Regul Fls (Seteverhre Ersetzt m m Newto-Verhre ( e Itertosverhre, ds Regul Fls get wrd. lm he e 6 durch de Derezequotote, so erhält m + Newto-Verhre: ( Regul Fls: Strtwert, Strtwert + ( ( Sete

11 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls dom erdm geeurormt h ge Geometrsche Deutug Newto-Verhre Regul Fls, Strtwerte; < ( tererter Wert e Regul Fls.6 Kovergez der Regul Fls tα ( ( ( ( < [ ] [ ] Kovergez st geschert, we stets, d.h. we, zw., Nullstelle ethält. c Dvergez Kovergez Itervllschchtelug (mmer overget.7 Regul Fls gegee: [ ] < < η > gesucht: ( s. Für,, N,,, mt, ud, Fehler, N. estmme c ( ( (. lls, d c < c 4. sost c 5. lls c η, gehe ch setze s Sete

12 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE Newtosche Itertosverhre ud Regul Fls dom erdm geeurormt h ge.8 Deto Itertosverhre, de ür de Berechug vo ur ee vorhergehede Näherug eötge, heße Ezelschrttverhre. Sgemäß sd Mehrschrttverhre deert. Bsp: Ezelschrttverhre: Newto- ud llgemee Itertosverhre Zweschrttverhre: Regul Fsl.9 Bespel M estmme ee Lösug vo l th. grphsch: umersch:, ( Strtwerte, ( + 4 5, 479, 97, 69, 787 Sete

13 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE 4 Nullstelle vo Polome dom erdm geeurormt h ge 4 Nullstelle vo Polome 4. Polom Polom vo Grd : P Produtdrstellug: P ( ( ( 4. Polomdvso Bsp: P Lertor Nullstelle Fudmetlstz der Alger P P ( + R ( + ; ( P P R R P P ( reduzertes Polom Allgeme ( ( ( p + R gesucht sd:,,, R + + p p p + R + p + p + R p Koezeteverglech ; p; p; R p ; + p; + p; R + p Stz P ( p + mt + + (, Dvso vo durch ergt reduzertes Polom P p R p Es gt d ( + P P p P p Ist p Nullstelle vo P, so glt P ( P ( ( p 4. Hoer-Schem + p p p p R P p Bsp: ( ( :? Sete

14 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE 4 Nullstelle vo Polome dom erdm geeurormt h ge Bsp: 4 M ereche P4 + der Stelle Bsp: M estmme lle Lösuge vo P Lsg: Bestmme eer Lösug durch Errte: ( lls gze Zhl P ; P ; P Polomdvso: ( ( : 5? Lösuge vo : / ± Lösuge vo : 5; / ± 4.4 Ds erweterte Hoer-Schem P + + gegee: p p p c c c d d d P ( p c P ( p P ( p! d P ( p P ( p P + P c + c P p P p! p ( P ( p P p! ( Begrüdug P ( ( p P ( + P ( p ( p {( p P ( + P ( p } + P p { } P ( p P ( ( p P ( p ( p P ( p P ( p P ( p ( p P ( p ( p P ( p ( P ( p p P + p P p + P p p p P + P p + p P p + P p Stz vo Tlor ( (! (! P p P p P p + p + P p Tlorrehe Sete 4

15 I NUMERISCHE METHODEN ZUR LSG VON GL NUMERISCHE MATHE 4 Nullstelle vo Polome dom erdm geeurormt h ge Bsp: P + p P( P ( ( - P - -9 ( 4! P! P ( - 4 ( Tlorrehe vo P( um p ( P 4 P P( P ( ! 4! Berechug echer Nullstelle vo Polome ch dem Newto-Verhre De. ud s eche Nullstelle vo P P s ud P s P s P P s Bechte: P ( s P ( s Bemerug: Ee eche Nullstelle s vo P ( ( + P P ( : Berechug mt erweterte Hoer-Schem P Newto-Verhre mt erwetertem Hoer-Schem Bsp: M ereche de Näherug,95 ( ete Lösug: lässt sch ch dem Newto-Verhre estmme durch eer Nullstelle vo ,95 -,475 -,845,95 -,5-4,475,55 P (,95,855,95,9 -,9 P (,55 Veresserte Näherug:,95,999,9 P + durch ee Newto-Schrtt 4 4 Sete 5

16 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Der Algorthmus vo Guß dom erdm geeurormt h ge II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Der Algorthmus vo Guß. Leres Glechugssstem (LGS + + c + + c + + c m m m LGS mt m Glechuge de Uete, ( Numer: m Mtrorm c A c m m c m A Koezetemtr Lösugsvetor c Zelvetor Erweterte Koezetemtr ( A c c m m c m Bespel: Kompoeteschrewese: Mtrorm: Lösret LGS e Se A c LGS, woe A qudrtsche Mtr st det A A c edeutg lösr A c ulösr det A es estere vele Lösuge I der Numer stets vorussgesetzt: A qudrtsch mt det A es estert geu e mt A c st umersch zu estmme. Rücwärtsesetze Folgede LGS e öe durch Rücwärtsesetze gelöst werde rechte (oere Dreecsmtr Vorussetzug: R regulär, d.h. det R r r Lösug edeutg estmmt Bsp: GLS: Lsg:,, Sete 6

17 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Der Algorthmus vo Guß dom erdm geeurormt h ge Bemerug: E LGS L c mt eer reguläre le Dreecmtr L st lösr durch Vorwärtsesetze..4 Guß sche Algorthmus (Guß sches Elemtosverhre De. Stz Zulässge Zeleumormuge sd: ( Verteusche zweer Zhle ( Multplto eer Zhl mt eer Zhl ( Addto ees Velche eer Zele zu eer dere Zele. Zulässge Zeleumormuge veräder cht de Lösugsmege Verhre vo Guß: RÜCKWÄRTS GAUß VERFAHREN EINSETZEN A R c Lösug zulässge Zeleumormug R: rechte Dreecsmtr Bsp: Zele (.Zele.Zele (- (.Zele ( A.Zele (.Zele Löse durch Rücwärtsesetze: 5,, 5.5 Guß-Algorthmus mt Pvotserug c c * * c * c (.Zele + (.Zele r * c (.Zele + (.Zele * * * c m * * j j r r *: Pvot mdestes e * d A regulär j Sete 7

18 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Der Algorthmus vo Guß dom erdm geeurormt h ge Guß sche Algorthmus mt Pvotsuche gegee ( A ( + -Mtr, A regulär ( det A A R c mt rechter Dreecsmtr R gesucht:. Für,, ( Spltede. ( suche r j mt m rj rj j j. tusche Zele r mt Zele 4. ür j +, ( Zelede j ddere ds -che der Zele j A zu Zele jj j 5. jj rj jj : Pvot Bsp: 9 6 Pvot:.Zele,.Splte (.Zele + (.Zele (,5 ( A 6 9 vertusche. ud.zele.zele +.Zele Pvot:.Zele,.Splte vertusche. ud.zele 6 6 Sete 8

19 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Ds Austuschverhre dom erdm geeurormt h ge Ds Austuschverhre. Austuschverhre vo Steel Se A regulär A B Es glt d Aulöse ch Austuschlgorthmus B Lsg vo A B A A A E Bew: B A B E ür lle BA E B A. Vrletusch Vertuschug der Vrle ud : Aulösug der. Glechug ch + Esetze de. ud. Glechug Voreretug em Austusch mt Pvotsplte Pvotzele Pvot < - Kellerzele Sete 9

20 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Ds Austuschverhre dom erdm geeurormt h ge. ersetze Pvotelemet p durch p. de ürge Elemete der Pvotsplte werde mt p multplzert. de ürge Elemete der Pvotzele werde us der Kellerzele üeromme 4. zu de ürge Elemete wrd ds Produt us dem glechzelgem Elemet der Pvotsplte ud dem glechspltge Elemet der Kellerzele ddert Bsp: Austusch,5,5.4 Austuschverhre r, s A m Mtr A cht otwedg qudrtsch rs gegee: gesucht: A ch Vrletusch gege r s Allgeme ( Zelede, Spltede. ür, r [ -te Zele Pvotzele r]. ür, s [ -te Splte Pvotsplte s]. estmme : Pvotzele 4. ür, s r s rs s : glechzelges Elemet der Pvotsplte r : glechspltges Elemet der Kellerzele rs r 5. estmme r : Kellerzele Pvotsplte 6. ür, r 7. estmme s : Pvot 8. setze rs : rs s rs rs Sete

21 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Ds Austuschverhre dom erdm geeurormt h ge.5 Mtrverso durch Austusch A B Austusch ller mt A: regulär ( det A B A ( vgl.. Mtrverso mt Pvotsuche gegee: reguläre -Mtr gesucht: Iverse A rs : soll etrgs-größtes Elemet se. ür j,, ( j Spltede suche r, s j mt m., rs rs j. tusche A de Zele j ud r, ud de Splte j ud r 4. ühre Austuschverhre j, j durch 5. orde Zele ud Splte türlche Wese Bsp: M estmme de Iverse zu A ( -mrert: Pvot,5,5,5,5,5,5,75,5,75,5 Austusch vertusche Austusch Splte u. ( vgl..,5,5,5,5 Austusch,5,5 A,75,5,5,5,5,5,75,5 Proe: A A E Bsp: M löse ds Glechugssstem Lsg: A c,5,5,75,75,5,75,5,5,5 Sete

22 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme dom erdm geeurormt h ge Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme. Ds Gesmtschrttverhre vo Jco gegee: A regulär mt,, ( regulär: evtl umorde ulöse ch ( ( (, zw:,, Bem Gesmtschrttverhre wrd ee Folge tererter Vetore geldet ch der Itertosvorschrt ( m+ ( m+ ( m+ ( m mt,, ( m+ Als Strtvetor wählt m der Regel. Bespel ( Itertosvorschrt + 5 ( m+ ( m ( 5 ( m+ ( m ( 5 ( m ( m ( m ( m ( m ( m m,, 4,, 6, 4,6, 76, 4 4,96, 78, 7 5,9, 74, 59 ( ete Lösug,4, 79, 6 Sete

23 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme dom erdm geeurormt h ge. Ds Ezelverhre vo Guß-Sedel ( eu lt lt lt ( eu eu lt lt ( eu eu eu lt eu eu lt + + Bem Ezelschrttverhre wrd ee Folge tererter Vetore geldet ch der Itertosvorschrt ( m+ ( m+ ( m+ ( m+ ( m+ ( m eu mt + ( m ( m+ + lt Als Strtvetor wählt m der Regel.4 Bespel ( Itertosvorschrt ( m+ ( m ( m ( ( m ( m ( m ( m+ ( m+ ( m+ ( ( m ( m ( m m,, 6, 4,6, 76, 7,9, 78, 6 4,4, 79, 6 5,4, 79, 6 ete Lösug 5,9, 74, 59 Gesmtschrttverhre Bemerug: Ezelschrttverhre overgert m Allgemee esser ls ds Gesmtschrttverhre Sete

24 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme dom erdm geeurormt h ge.5 Kovergezrterum ür Gesmt- ud Ezelschrttverhre Stz: Ds Gesmt- ud Ezelschrttverhre overgert, we olgede Zelesummertere erüllt sd. <, :Dgolelemete :Betrgssumme der Nchtdgolelemete dgoldomt! Evetuell Zeleumormug erorderlch! Bsp: 5 5 tusche.zele mt.zele Bewesszze: A ( D L R D ( L R D ( ( L + R + D T + c Iterrtosolge (Gesmtschrttverhre: ( + ( ( T + c Strtvetor Mtrorm T m T T <, we Zelesummerterum erüllt st Es glt: ( T ( T A, d T <.6 Möglche Aruchedgug em Gesmt- zw Ezelschrttverhre Aruchedgug: m ( ( ( ( ( rel. Fehler zwsche ud Bsp: { } < ε,4, 4 m, 4, 5 5 ( e π,, 5,, 5 T c Sete 4

25 II LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME NUMERISCHE MATHE Itertve Methode zur Lösug lerer Glechugsssteme dom erdm geeurormt h ge.7 Verhre zur Lösug vo LGS e Methode Guß-Algorthmus Austuschverhre Crmersche Regel Gesmtschrttverhre Ezelschrttverhre Bemerug Rudugsehler, reltv lecht progrmmerr (Pvotsuche!, cht svoll ür große LGSe Rudugsehler, Mterechug der Iverse, (empehleswert, lls Berechug ür verschedee Zelvetore, cht svoll ür große üermäßger Recheuwd ür >, (Berechug der Determte, sehr empehleswert ür sehr hohe Geuget, uter Umstäde ee Kovergez, (lls cht dgoldomt, sehr lecht progrmmerr, svoll ür große LGSe sehr hohe Geuget, uter Umstäde ee Kovergez, (lls cht dgoldomt, sehr lecht progrmmerr, svoll ür große LGSe Sete 5

26 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Grudegre dom erdm geeurormt h ge III INTERPOLATION Grudegre. Eührug P c c c + + lere Iterpolto qudrtsche Iterpol. usche Iterpolto. Deto Wertetelle P erhl Iterpolto ußerhl Etrpolto De: De Stützstelle heße äqudstt, we h ür lle, + d.h. + h Felstlegug: ür j j. Stz Zu + verschedee Stützstelle, mt de Stützwerte, gt es geu e Polom P höchstes vom Grd mt P ür, Bew: Astz: P c + c + c Bestmmug der c, c durch olgedes LGS P c + c P c + c P c + c >,, c c ( ( ( ( ( ( Vdermodsche Mtr ( (, Mtr regulär c, c edeutg estmmt Sete 6

27 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Lgrge-Iterpolto dom erdm geeurormt h ge Lgrge Iterpolto. Lgrge Polome ( + Se,, Stützstelle. Nch. estere edeutg estmmte Polome L vom Grd mt L ( heßt d Lgrge - Polom L De Lgrge Polome sd gegee durch L ( ( ( ( + ( ( ( ( ( + Hägt ur vo de Stützstelle! Bew: L ( L ( ür,. Bespel M estmme de Lgrge Polome ür de Stützstelle,, 6 6 L ( ( ( 6 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 L ( 6 6 ( 6 L ( (. Iterpolto vo Lgrge gegee se de Wertetelle ( ud see L, de zugehörge Lgrge - Polome De Futo + + P L L L st e Polom höchstes vom Grd mt P Bew:, {, P L,,, Sete 7

28 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Lgrge-Iterpolto dom erdm geeurormt h ge.4 Bespele ( M estmme zu Lsg: 6 ds Lgrge Iterpoltospolom + + P L L L P, P, P Proe: ( M etrpolere de Telle 8 5 4? P( 8 L ( + 5 L ( + 4 L ( P( Sete 8

29 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Newto-Iterpolto dom erdm geeurormt h ge Newto Iterpolto. Newto Polome gegee see de Stützstelle,,. De + Polome ud N ( N, vom Grd heße Newto-Polom. Se verschwde de erste Stützstelle. N (. N ( (. N ( ( ( 4. N ( ( ( (. Newto Iterpolto Zu der Wertetelle st e Iterpoltospolom P( gegee durch ( + ( ( (* P N N N N,,,,,,,, De Koezete,, +,, < Newto-Formel estmme. heße dvderte Dereze ud lsse sch durch de Reursosormel Bsp:, 5, 4, 5 5,,,,,,,,,,, Bestmmug der, mt Hle des Derezeschems (Schem vo Newto,,,,,,,,,,.Stue.Stue.Stue.Stue,,,, oere Huptdgole wrd eötgt Bsp: 4 5.St.St.St 6.Stue:.Stue:.Stue: Sete 9

30 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Newto-Iterpolto dom erdm geeurormt h ge Bewesszze vo (* (sehe. Newto-Iterpolto / Formel P P Astz: P(,,, mt P( +, (, ( lle wetere Terme lle weg Aulöse ch,,,, P + +,,,, Vortel des Newto Verhre: Be Erweterug der Wertetelle ee Neuerechug des Newto Poloms erorderlch. Bespel, 4 4 Lsg: Newto-Schem 4 4.St.St.St 4.St P N N N N N,,,,,,,,,, ,, 4? ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Normlorm Sete

31 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK Newto-Iterpolto dom erdm geeurormt h ge.4 Umwdlug der Newto-Form de Normlorm (eemplrsch ür 4 P c + c + c + c + c Newtoorm Normlorm 4 P { ( } P c + c + c + c + c 4 9 P( ( + ( ( ( + + ( + ( ( + + ( + ( ( modzertes Hoer Schem: 9 c c c c 4 c P Awedug: I der erste Zele eged e c + c. Elemet der. Zele ( ( ( Dese Elemet ( + c 4. Elemet der. Zele ( ortsetzed s Ede der Zele (4 De werde der. Zele um ee Posto ch ls verschoe (5 Gleches Schem s Ede der Zele ud der letzte Zele llee steht Sete

32 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK 4 Sple Iterpolto dom erdm geeurormt h ge 4 Sple Iterpolto 4. Eührug lere Sple-Iterpolto qudrtsche Sple-Iterpol. usche Sple-Iterpolto (de m meste verwedete Form 4. Sple Futo geg: [ ], F :, F ( [ ] ( [ ] Ee Futo, heßt usche Spleuto, we: F st jedem Teltervll, +, e Polom. Grdes, d.h. + ( + ( + ( [, ] F P c d + F erüllt de Iterpoltosedgug F ( ( F ( [ ] st, zweml stetg derezerr Stetget vo F : P P Stetget vo F : P P Stetget vo F : P P Aschlussedguge, (4 F ( heßt türlche Sple-Futo, we ußerdem glt: F P ud F P Krümmug eer Kurve: De: Krümmug dα α κ lm ds s s Stz: κ ( ( ( + ( ( Sete

33 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK 4 Sple Iterpolto dom erdm geeurormt h ge κ ( ( P P Krümmug Krümmug vo P ( vo P + P P + κ ( 4. Bestmmug eer türlche usche Sple Futo (ür gesucht: P ( ; < F ( mt P ( ; < + ( + ( + ( + ( + ( + ( P c d P c d zu estmme:,, c, d,,, c, d Lösug: 6 6 P + c + d P + c + d P c + d P c + d Bedgug 4. ( ergt: P P + h + c h + d h ( P P + c h + d h ( P P c c + 6d h c c + d h ( Bedgug 4. (4 ergt: P c c (4 P c + 6d h (5 Bedgug 4. ( ergt: F P (6 F P (7 F P + h + c h + d h (8 Sete

34 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK 4 Sple Iterpolto dom erdm geeurormt h ge LGS der Sple-Futo ür c d c d h h h h h ( ( ( h (4 (5 6h (6 (7 (8 h h h Es glt: c c d d (6 (7 (4 ( (5,,,, h h c Restsstem: c ( h h ( h (8 Es olgt: h h h h h c h c ( (8, h h h c h c h c c h h h ( + + esetze h h h h + c ( h h h h ( h + h Algorthmus: gegee: gesucht: türlche usche Sple Futo P ( + ( + c ( + d ( ; < F ( P ( + ( + c ( + d ( ; <,, c c + h h h h h h c c c h, c h, d, d h h h h Sete 4

35 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK 4 Sple Iterpolto dom erdm geeurormt h ge 4.4 Bespel M ereche de türlche usche Sple-Futo ür de olgede Telle:,5 5,,9 Lösug:,,9 c, 9 9, c,,5 +,5,5,5, 9. (,,5,476,5,456, d,,5, d,,5 + ( ( [ ] + ( (,5 +,(,5, [,5 5],,476,,,5 F (,9,456,5, 4.5 Bestmmug eer türlche Sple-Futo ür eleges h +, Algorthmus zur Bestmmug der Sple-Futo Bstmmug der Koezete,, c, d, + ( + ( + ( P c d ( setze c c, c Hlsgröße ( c ( löse ür de, ds LGS + h c + ( h + h c + hc +, h h Mtrorm (Trdgol-Mtr - smmetrsch h + h h h h h ( h h h c + h ( h + h h h h c h h ( h h c + h h Bemerug: LGS umersch lösr mt Ezel- oder Gesmtschrttverhre (Zelerterum st erüllt Sete 5

36 III INTERPOLATION NUMERISCHE MATHEMATIK 4 Sple Iterpolto dom erdm geeurormt h ge ( estmme + h c + c d h ( c + c + h, Bsp: M estmme de türlche usche Sple-Futo ür Wertetelle ür 4 [ ] P + + c + d,,,,, + Lsg: h + h, h 7, h 9, h 7 ( c c4,,,, Hlsgröße: ( LGS ür de c (,, ( ( + h h h c h ( h + h h c h h h ( h h c c c c Lsg: c, 695 c,8974 c,945 c + c h + + h : h h h h, 564; 8, 87;, 6969 ;, 9 c + c : h d d 5,684 ; d 8,958 ; d 4,67 ; d, , 564( (, 5684( 8,87,695 8, 958 4,6969( 8 +, 8974( 8 4, 67 ( 8 5 +, 9 ( 64, 945 ( 64 +, 576 ( 64 P + + P + + F ( P P Amerug: De usche Sple-Futo st m Itervll deutlch geuer, we z.b de Newto-Iterpolto Sete 6

37 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Eührug dom erdm geeurormt h ge IV APPROXIMATION Eührug. Iterpolto ud Appromto Iterpolto Appromto. Bespel + ω t ω : Geschwdget cost t Appromto tellrsch gegeeer Werte dsrete Appromto 6 r m r : Resduum s. Stetge Appromto vo Futoe Guß-Appromto Tschesche-Appromto ( ppr ε d m [, ] ε m m ppr Sete 7

38 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Eührug dom erdm geeurormt h ge.4 Appromto durch Tloretwclug ( ( ( + R (! Restgled ppr ( Tlorpolom! 5! 5 Bsp: s + ( Tloretwclug Bemerug: gute Näherug ur um de Etwclugsput.5 Stz vo Weerstrß [ ] ε > P( < ε [ ] Zu jeder stetge Futo, ud jedem estert e Polom mt P ür lle,, d.h. jede stetge Puto mt eleger Geuget durch e Polom ppromert werde. Bewesszze: Berstepolome B ( ( Es glt: lm B ( ( Sete 8

39 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Polomppromto ch der Methode der leste Qudrte dom erdm geeurormt h ge Polomppromto ch der Methode der leste Qudrte. (Gußsche Methode der leste Qudrte gegee: Methode der leste Qudrte Verhre zur Bestmmug eer Näherugsuto Polom (m - te Grdes m P c + c + c m > (* m mt ( F r P m ( m Iterpolto F. Normlglechug De Koezete c, c vo. (* lsse sch estmme durch ds LGS c + c + c woe m m c + c + c m m c + c + c m m mm m m + l l m ud, l, m Bemerug: ( Mtr ( ( Mtr ( st smmetrsch Bew: ( st regulär, d.h. c, cm edeutg estmmt m F c cm c c cm + + m P( Notwedge Bedgug: F m ( c + c + cm c äußere Aletug m ( m c + c + cm m ere Aletug + c c cm c + c + mcm -te Normlglechug Sete 9

40 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Polomppromto ch der Methode der leste Qudrte dom erdm geeurormt h ge. Bespel Nch der Methode der leste Qudrte estmme m zu der olgede Wertetelle (Meßrehe ee Appromtosgerde (Ausglechsgerde / Regressosgerde 4,,,4, 4,95 Lsg: P( c + c ( m Normlglechug c + c c + c l l, l, -, -, -, 4,4,8 4 9, 9, ,95 9,8 5 4,98 9,89 Normleglechuge 5c + c 4, 98 c + c 9,89 Lösuge: 4, 98 9,89 4, 98 9,89 c, ,98 9,89 c,99 5 Ausglechsgerde: P(, 99 +, 99 Sete 4

41 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Guß Appromto vo Futoe dom erdm geeurormt h ge Guß Appromto vo Futoe. Deto ( C [, ] Mege ller stetge Futoe :[, ] ( ϕ ϕ ϕ ϕ [ ] E Futoesstem,,, mt C, heßt ler uhägg, we λ ϕ λ λ λ Nulluto ϕ, ϕ,, ϕ heße d Bssutoe Bespele De Potezutoe ϕ, ϕ, ϕ,, ϕ sd ler uhägg Bssutoe ( Bew: λ ϕ λ + λ + λ + + Fudmetlstz der Alger λ λ λ ler uhägg De Futoe ϕ s, ϕ s,, ϕ s sd ler hägg ( Bew: ϕ ϕ ϕ ( + s + s + + s λ λ λ ( s + s + + s s ( s s ler hägg ( ϕ ( s, ϕ ( s (,, ϕ ( s ( ψ ( s, ψ ( s (,, ψ ( s ( sd Bssutoe. Slrprodut vo stetge Futoe De. (, [ ] Ds Slrprodut vo, g C, st deert durch g g d Bsp: s, cos s cos d. Guß Appromto gegee: Bssutoe ϕ,, ϕ ud [, ] C gesucht: Koezete,,, der Futo P ϕ + + ϕ, so dss ( P d m Sete 4

42 IV APPROXIMATION NUMERISCHE MATHEMATIK Guß Appromto vo Futoe dom erdm geeurormt h ge Algorthmus zur Bestmmug der,,, De gesuchte Koezete,,, sd Lösuge des LGS ( ( ( ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ ϕ, ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ (, ϕ A det A heßt Grmsche Determte der Bssutoe ϕ,, ϕ Bew: Astz: P( ϕ ( + + ϕ ( (,, ( ϕ ϕ F d Normlglechug ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d ( ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ F ( ( ϕ ( ϕ ( d ( ( ϕ ( ϕ ( ( ϕ ( d ϕ ϕ d + + ϕ ϕ d d ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ ( ϕ (, ϕ, + +,, -te Normlglechug Bemerug: ϕ,, ϕ Bssutoe Grmsche Determte det A,, edeutg estmmt.4 Bespel M ppromere ( [, ], durch de Bssutoe ϕ ud ϕ ( 6 P ϕ + ϕ + Lsg: Astz: ( ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ (, ϕ ( ϕ, ϕ ( ϕ, ϕ (, ϕ ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ, d, 975 6,, d, , ϕ d d, , d, 5 6 ( ϕ ϕ ( ϕ, d, 656, 975, 49847, 656, 49847, 5, 9969 Lsg:, 56, 7494 P(, 56 +, 7494 ε ( P( 6 Sete 4

43 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Eührug dom erdm geeurormt h ge V NUMERISCHE INTEGRATION Eührug Ncht ltsch lösre Itegrle: e t d d s d Ipolto üer [, ] d P d Verhre zu uwedg ud ugeu Iterpolto üer Teltervlle + d P d z z Sete 4

44 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Newto Cotes - Formel dom erdm geeurormt h ge Newto Cotes Formel (Formel ür Segmete. Lgrge Iterpoltospolom { },,, äqudstt, d.h. + h + + Se P L L ds Lgrge - Iterpoltospolom Für de Itegrto F P d d gelte de Newto - Cotes - Formel: h : Sehetrpezormel l F + h : Smpsoormel l F ( 4 Bew: Lgrge Iterpoltospolom Für s glt: s h h h + h s h + h s + h + h h s h h s h + + P L L L + s s s+ s s+ s ( s ( s + ( s + ( s + s Sete 44

45 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Newto Cotes - Formel dom erdm geeurormt h ge h : 8 Formel F P ( d s ( s ( s ( s ( s s h ds s h ds dh h d h ds h : s h h h : s h h h d d d s s s h s + s s + h s + s s l h + h + h h F h ( 4 ( 4 ( l h h : Tgetetrpezormel F l. Formel vo Newto Cotes Allgeme glt: F P d l α, α, l Tgetetrpez F l Sehetrpez l F ( + Smpso l F ( Formel F h Sete 45

46 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Numersche Itegrtosverhre dom erdm geeurormt h ge Numersche Itegrtosverhre sesodere Sehetrpez- ud Smpsoverhre. Deto gegee: : [, ] ee Futo Zerlegug vo [, ] : + h mt h m < < < < m z+ Es glt: d d z, z z z+ z+ zw. z z m F P d d P d : Berechug durch Newto-Cotes-Formel. Tgetetrpezsumme ( m Remsche Summe F h. Sehetrpezsumme : h h h F m + h m + m Trpezsumme ( F m.4 Smpsosumme gerde: h h h F ( 4 ( 4 ( 4 4 m m m h m + m Smpsosumme ( F d Sete 46

47 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Numersche Itegrtosverhre dom erdm geeurormt h ge.5 Bespel,8 M ereche l d mttels Sehetrpezsumme Smpsosumme mt der Schrttwete h, F, l + l, + l,4 + l,6 + l,8, 565 F, l + 4 l, + l,4 + 4 l,6 + l,8, 58 Lsg:,8 etes Erges: [ ].6 Fehlerschätzug ( Für de Sehetrpezsumme F glt:,8 l d l, 58 F h d ür e [, ] ud demch ( d M h mt M m ( [, ] ( Für de Smpsosumme glt: Fehler geht mt h gege ( d F h ür e, 8 ud demch ( 4 4 [ ] 4 ( 4 d F M h mt M m ( 8 [, ] 4 Fehler geht mt h gege Bsp: M gee ee Fehlerschätzug Sehetrpezsumme Smpsosumme ür,8 l d. Schrttwete h, ( 4 6 l ; ; ; ; ( 4,8 M m ( m, 4 m, 4 [, ] [,8 ] [,8 ] Lsg:,8 l d F,4 h, 4 (,,6 h, M,6 h,,8 6,8 6,8 6 m m, 6 8 [,8 ] 8 [,8 ] 8 4 4, l d F,6 h,6, 4,6 h,,6 h, 4 Sete 47

48 V NUMERISCHE INTEGRATION NUMERISCHE MATHEMATIK Numersche Itegrtosverhre dom erdm geeurormt h ge.7 Bemerug Sehetrpezsumme et, we Smpsossumme et, we ( ( ler qudrtsch ud usches Polom Sete 48

49 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE Eührug dom erdm geeurormt h ge VI NUMERISCHE METHODE ZUR LÖSUNG GEWÖHNLICHER DGL Eührug. Agswertprolem (AWP Gesucht st ee Lösug (,,,, ( vo (,,, AWP -ter Ordug AWP. Ordug,, Bespele,? ( ( Lsg: Allgemee Lsg: C e Lsg des AWP: C e C e + cht llgeme lösr + AWP: + ( Altsche Lsg: + + cht ch ulösr. Rdwertprolem (RWP Gesucht ee Lösug (,,,, ( der DGL de Werte der Futo oder eger hrer Aletuge mdestes zwe verschedee Stelle mmt. Bespel: ( (,, mt, RWP. Ordug,, mt, RWP. Ordug Bsp: RWP:,, Allg Lsg: + c, + c + c Lsg des RWP: ( c, + c + c,5,5 + Sete 49

50 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE Ds Polomzug - Verhre vo Euler dom erdm geeurormt h ge Ds Polomzug Verhre vo Euler. Rchtugeld Durch de DGL. Ordug, st e Rchtugseld estgelegt. mt Agsedgug Lösugsurve Stegug: ( (, ( (,. Ds Verhre vo Euler gegee st ds AWP:,, h Schrttwete + h (, Stegug: ( (, + h (, ( + h (, ( ( Der Polomzug mt de Ecpute,, woe + h +, gegee leert ee Näherugslösug der ete Lösug Bsp: M estmme mt dem Verhre vo Euler ee Näherugslösug des AWP's [ ] m Itervll,. M wähle ls Schrttwete h / ??? Lsg: (, 7 h (, ( et , 65,98,995, e, 644, 6, 6 e, 788 Bemerug: Verhre vo Euler ugeu Sete 5

51 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE Ds Ruge-Kutt-Verhre dom erdm geeurormt h ge Ds Ruge Kutt Verhre Przp: Berechug eer repräsettve Stegug. Ds Verhre vo Ruge Kutt. Ordug gegee: AWP (,, Gtterpute: + h, h Schrttwete Algorthmus zur Bestmmug der Näherugswerte ( + h l l + + l (, (, l + h + h l Ruge - Kutt. Ordug,, Geometrsche Deutug + l +, + h (, ( l + l Stegug h Eulersche Wert AWP, Bsp: M estmme ee Näherugswert der Lösug (, ud,4.,,4 h, (,?? : +, ( l + l l,, l + h, + h l,,,86 +, +,86,86, : +, ( l + l (, (,,86, l l + h, + hl,4,86 +,,849588,766869, 48, 4 ete Lösug: +,,8,86,4,46,48 Sete 5

52 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE Ds Ruge-Kutt-Verhre dom erdm geeurormt h ge. Ds Verhre vo Ruge Kutt 4. Ordug gegee: AWP (,, h Geometrsche Deutug ( 4 (, h h +, + h h +, + h + h + (, 4 AWP, Bsp: (vgl. M estmme ee Näherugswert der Lösug (, ud,4.,,4 h, (,?? : + ( h,,,, h h +, +, (,,,866 h,866 h h + h, +,, +,877,68648,,,, ( ,89 (, 6 : + ( ,89 + (,694 +,5889 +, ,4887, 4667 (, 4 6 ete Lösug: + et R-K 4. Ord R-K. Ord Euler,,86,89,86667,, 4, 464,4667,48,7 Sete 5

53 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE Ds Ruge-Kutt-Verhre dom erdm geeurormt h ge. Schrttwetepssug ür Ruge Kutt 4. Ordug h optmle Schrttwete, lls,5 < Q <, mt Q Q >,: ugeue Näherugswerte Q <,5 : Rudugsehler zu hoch Algorthmus SW h Q >,,5 < Q <, Q <, 5 setze SW h / wdh letzte Schrtt hre ort mt SW h zeptere Näherugswert, setze SW h Sete 5

54 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE 4 Ds Derezeverhre dom erdm geeurormt h ge 4 Ds Derezeverhre 4. Aäherug vo Aletuge durch Dereze h rücwärts geommee Derez + vorwärts geommee Derez h h + zetrle Derez + + h h h h + + h h 4. Derezeverhre gegee: ( RWP ( Rdedguge :,,,, mt AWP Agsed. Ersetzt m der DGL de Aletuge durch etsprechede Dereze, so etsteht e lgersche Glechugssstem, desse Lösuge Näherugswerte der Lösug leer. Bemerug: ( (,,,, ler lgersches Glechugssstem ler Deto: De DGL der Form heßt ler. ( g Bsp: e + cos s ( ( g ( Sete 54

55 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE 4 Ds Derezeverhre dom erdm geeurormt h ge Bespele: RWP:,, ( M estmme de Futoswerte (,, (, 4, (,6, (,8 der Lösug (,,,,, Lsg: h ( ( h h, +,4,4,94 +,4 + +,, 4,96 +,4,96 +,4,96 +,4 4 4,96 +,4 4 5, 94,96, 94,4, 94,4,94 4,96 Lösuge (GAUSS Algorthmus oder tertv,, 6, 4, 468, 6, 678, 4, et: (,8889 s +, 695, 4678, 678, 855 ( AWP: + cos, (, ( M estmme de Futoswerte (, 5, (,5, (,75 der Lösug (,5,, cos,, Lsg: h ( cos, h cos h cos cos, 5, cos cos,5,978 Agsedgug: (, 5 +, 5 h,5 6 4, , 448 Lösuge (Crmersche Regel,54,84 Sete 55

56 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE 5 Ruge-Kutt-Verhre ür Ssteme vo gew. DGL. Ordug ud DGLe höherer Ordug dom erdm geeurormt h ge 5 R-K-Verhre ür Ssteme vo gew. DGL. Ordug ud DGLe höherer Ordug 5. Sstem vo DGLe (,,,, (,,,, (,,,, Agsedguge,,, Bespel: geoppeltes Pedel α : Federostte m : Msse g α ( t ( t + l m g α t t + t t l m ( 5. Ruge-Kutt-Verhre (ür DGLe gegee: (,,,, (,,,, Schrttwete: h + h Algorthmus zur Bestmmug vo ( ud ( , +, + l + l + l + l4 6 (, +, 4 ( (,, (,, h,, l h,, h l h +,, +,, + h l l h +,, +,, + h l h +,, +,, + h l l h +,, +,, + (,, (,, h + h + + l 4,, l h + h + + l 4,,,,,, Sete 56

57 VI NUM. METHODE ZUR LSG GEWÖHNL. DGL NUMERISCHE MATHE 5 Ruge-Kutt-Verhre ür Ssteme vo gew. DGL. Ordug ud DGLe höherer Ordug dom erdm geeurormt h ge + Bespel: + gesucht: (, (, Lsg: h,, (,, + (,, +, j j j, j, (, (, ( ( l (, + α j + α h + α l + l +,,,,,, 5, 9, 5, 9,4,6,, 5, 99, 99,58,674, 4,849, 86,4,65 5. Ruge-Kutt-Verhre ür DGLe höherer Ordug DGL -ter Ordug Susttuto Ordug ( ( (,,,, (,,,, Sete 57