5. Das Finite-Element und die Formfunktion

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1 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN 5. Bespel des ensetg engespnnten nd f Zg ensprchten Blkenelements Bestmmng der Stefgketsmtr m Blkenelement üer de Vrtonsmethode der Mnmerng des esmtpotentls: Potentl der äßeren Kräfte: ohne Berückschtgng der Rndedngng W F d F d W F F especherte elstsche nerge: Innere Formänderngsenerge U F F d d d nsetg engespnnter nd f Zg ensprchter Blken 74

2 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Dehnngserlf: s glt: d d De Dehnng estmmt sch s den geometrschen Rndedngngen nd ncht s dem Mterlgesetz. Zr Bestmmng der Dehnng mss der Verlf der Verscheng eknnt sen. Beknnt snd jedoch nr de Verschengen n den lementknoten. ösng De Bestmmng des Dehnngserlfes m Fnten-lement erfolgt drch de Interpolton der Verschengen nnerhl des lementes s den n den Knoten erechneten Werten. 75

3 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Betrchten wr herz folgendes Blkenelement: Knoten Knoten eht mn on enem lneren Verschengsnstz s so glt nch : α α 4 Für de Interpolton der Verscheng ergt sch dmt folgende rndglechng: 4 g g De Koeffzenten or den Verschengen der lechng 4 werden ls Formfnktonen. g nd g ezechnet. Se snd dem Knoten zw. zgeordnet. 5 nd 5 In der tertr wrd der Verschengsnstz enes F ch nstzfnkton ezechnet. Im llgemenen knn de nstzfnkton je nch F-p ch en Polnom höheren rdes qdrtsch ksch... sen. 76

4 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Forderngen n de Formfnkton:. n den Knoten des F mss der Wert der zm Knoten gehörenden Formfnkton ens sen. n llen nderen Knoten mss der Wert glech nll sen. m jewelgen Knoten errechnet sch der Wert der Verscheng gemäß des F- Berechnngsergensses. Werte zwschen den Knoten werden entsprechend der gewählten Formfnkton nterpolert.. ne Strrkörperewegng des gesmten F drf ncht z Dehnngen zw. Verzerrngen nnerhl des lementes führen.. Für enchrte F mss de Formfnkton z jedem Berührpnkt der F desele Verscheng für ede F lefern Komptltätsedngng. 77

5 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Für de Dehnng n -Rchtng glt für nser Bespel: d d d d konst. 6 Hnwes: Formfnktonen werden ncht nr f Verschengen sondern je nch F-p ch f ndere Berechnngsgrößen we Verdrehngen Spnnngen empertren etc. ngewendet. 78

6 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Spnnngserlf: Nch dem Hooke schen esetz erhlten wr s den Dehnngen de Spnnngen gemäß: 7 Zr Bestmmng der Stefgketsmtr des etrchteten Fnten lementes lässt sch de nnere Formänderngsenerge U sehe l. üer de lechng 6 nd 7 ermtteln z: 6 7 n : U U d 8 79

7 HOCHSCHU BRMN Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Mschnen 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Für ds esmtpotentl π U-W ergt sch dnn mt 8 nd F F π nd üer de Mnmerng des esmtpotentls folgt schleßlch F zw. F z F π F nd F π F 9 Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert telng Mschnen 8

8 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Drch Umschreen der ln. nd n Mtrschrewese erhlten wr de lementstefgketsmtr für ds etrchtete Blkenelement: F F lementstefgketsmtr Bemerkng: Ht mn de lementstefgketsmtr ermttelt so lässt sch de nnere Formänderngsenerge enfch gemäß den nergemethoden der lstosttk echn. Mech. estmmen. s glt dnn: U K 8

9 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN 5. Bespel des lneren Dreeck-lementes für eene Spnnngsproleme Bld: In fnte Dreeckselemente dskretserte ochschee Qelle: Pestel q 4 q q 4 q Bld: Zerlegng der äßeren st n äqlente Knotenkräfte Qelle: Pestel 8

10 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Bestmmng der Stefgketsmtr für en Fntes-Dreecks-lement:. Bestmme de Verschengen nd m F mttels der nstzfnkton.. Bestmme de gespecherte elstsche nerge nnere Formänderngsenerge U des F nch der lechng:. Vergleche ds rgens mt: U dv V * U F K * Für de Formänderngen glt: γ De Spnnngen SZ ergeen sch üer ds Hooke sche esetz z: τ γ γ 8

11 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN l l l Z.: Bestmmng der Knotenerschengen: k k k für den Knoten j glt espelhft: j j j j lement j j j j j j j Znächst wählen wr ene nstzfnkton für de Verscheng m lement her lnerer Verschengsnstz. De nstzfrewerte j j müssen so gewählt werden dss em nsetzen der Knotenkoordnten de Knotenerscheng herskommen: 84

12 HOCHSCHU BRMN Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Mschnen 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton * l l l l l k k k k k j j j j j * l l l l l k k k k k j j j j j oder n Mtrschrewese: l k j l l k k j j l k j l l k k j j N nstzmtr des lementes Drch Mtrnerson Crmersche Regel erhält mn drs de geschten nstzfrewerte n hänggket on den Knotenerschengen l k j l k j 4 Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert telng Mschnen 85

13 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN mt k l k l l j l j j k j k k l l j j 5 k l k j l k j De nstzfnkton für de Verschengen 4 n lten dmt: [ ] [ ] j k l 6 [ ] [ ] j k l 6 86

14 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Z.: Bestmmng der gespecherten elstschen nerge: U dv V 7 Betrchte znächst de Formänderngen m lement. s glt: γ 8 c Setzt mn dort de nstzfnkton für de Verschengen en so wrd: [ ] [ ] [ ] [ ] j j k k l l 9 c γ [ ] [ ] [ ] [ ] j k l j k l 87

15 HOCHSCHU BRMN Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Mschnen 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Für de Spnnngen SZ glt nch dem Hooke schen esetz: [ ] V h h dv U γ τ γ τ γ τ mt lementfläche h lementdcke. γ γ τ Weterhn glt für de Formänderng m lement gemäß l. 7: c Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert telng Mschnen 88

16 HOCHSCHU BRMN Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Mschnen 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton De lechngen 9 -c lssen sch n Mtrschrewese we folgt drstellen: l k j l k j Ĝ B Ĝ B γ Für de lechngen -c glt dnn: Ĝ B τ Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert telng Mschnen 89

17 HOCHSCHU BRMN Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Mschnen 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Dmt wrd de Formänderngsenerge m lement l. n : Ĝ B B Ĝ h U Drch Verglech mt K U fndet mn de Stefgketsmtr des lementes z: h K 4 5 Z.: Vergleche ds rgens mt l. : Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert telng Mschnen 9

18 5. Ds Fnte-lement nd de Formfnkton Prof. Dr.-Ing. Uwe Renert Fcherech Prof. Dr.-Ing. Mschnen Uwe Renert telng Mschnen HOCHSCHU BRMN Bemerkngen: De Stefgketsmtr mss für jedes lement s dem lementolmen den Werkstoffegenschften nd den Knotenpnktskoordnten s denen geldet wrd erechnet werden. Mt l. 5 st de Verknüpfng der Knotenkräfte F mt den Knotenerschengen gegeen. Der Zsmmenhng der enzelnen lemente z enem Kontnm erfolgt nn n glecher Wese we em Fchwerk. n Untersched esteht nr n der röße der Mtrzen. n Stelement mt zwe Knoten ht je er Krft- nd Verschengskomponenten en Dreeckselement mt dre Knoten ht je sechs Komponenten. De Bestmmng der Stefgketsmtr für ndere F-pen knn f gleche rt nd Wese erfolgen. f hre Drstellng wrd erzchtet nd n deser Stelle ledglch f de enschlägge Fchltertr erwesen. 9