TRIGONOMETRISCHE 1 FUNKTIONEN

Transkript

1 IGONOMEISCHE FUNKIONEN Bse en w uns n enem Dek mt den Seten, den Höen, den Sätzen des Eukld und Pytgos, dem Bogenmß üe ene Deeksete, und ds nu uf Spezlfälle esänkt, usenndesetzen müssen De snd jedo dekte Zusmmenänge zwsen den Seten und den Wnkeln n enem Deek m Veogenen geleen In enzelnen Fällen en w uns son gewünst, enfee Möglketen en zu können, um snell zu enem Egens zu kommen Dese Lüke sleßen w nun, ndem w uns zunäst uf etwnklge Deeke esänken Ntül geen w den Weg, de uns enen gößtmöglen Üek uf des Wesentle elut Betten w enen Kes Du wst gle ekennen, wum deses wtg st, wenn du no en weng wtest und m vetust N S B C D Du ekennst n desem Kes fünf etwnklge Deeke De Nmen de Seten snd mt goßen Busten ennnt De Längen dese Seten ezenen w mt klenen Busten Insesondee ( ) ezenet B ( ) den Bogen üe den Wnkel = (X) m Bogenmß Dmt en etwnklges Deek CS volegt, se zunäst 0< < π W defneen: Ds Veältns de Länge s de dem Wnkel gegenüelegenden Ktete S zu de Länge de Hypotenuse eßt Snus des Wnkels, n Zeen sn () : = s Entspeend eßt ds Veältns de Längen de Anktete C zu Hypotenuse de Cosnus des Wnkels, n Zeen os () : = W lten fest: s= sn () und = os () In desem etwnklgen Deek wenden w den Stz des Pytgos n und elten s + = ( sn() ) + ( os( ) ) = sn ( ) + os () = sn () + os ( ) = W weden ld seen, dss dese Bezeung fü lle Wnkel 0 π glt Nun st jedes etwnklge Deek änl zum Deek CS und du knnst de Hypotenuse mme ls dus enes Keses nseen Aus ge: t de, gon Eke zw Wnkel und mèten messen ode tgono Deek und mèton Mß PD D e nt l Get Hllendt

2 Im ogen Bld können wetee Längenveältnsse enes etwnklgen Deeks ngeen Ds Längenveältns t de Länge t de Gegenktete zu Länge de Anktete eßt ngens des Wnkels, n Zeen tn () : = t Mt ndeen Woten: De Länge des ngentensnttes eenet s du t= tn () We steen nun de Längen t und Dfü etten w de Änlket de Deeke t de Asntte und n Bezeung? N CD W fnden t t Ds ezpoke Längenveältns zu ngens eßt Cotngens des Wnkels, n Zeen = Insesondee glt ot () : = t tn( ) ot() = W estätgen fü de Längen no enml de Äquvlenz zu dem Höenstz des Eukld = t t Aufgund de Änlket de Deeke CS CD knn ds Längenveältns ngens du Snus und Cosnus usgedükt weden Es glt sn( ) sn( ) tn() = t= s = = os( ) os( ) Entspeend st os( ) sn( ) ot() = De Vollständgket le füen w no zwe Längenveältnsse n De Kewet des Cosnus eßt Sekns und de Kewet des Snus eßt Cosekns Klene Üung se () : = s ( ): = s ( ) Zege de Zusmmenänge () tn sn = + ot( ) = + tn( ) und () ot ( ) os = + tn( ) = + ot( ) W weden späte dese Längenveältnsse zu Funktonen eweten, ndem w den dus m Kes vo- und zuükoteen lssen PD D e nt l Get Hllendt

3 De Snusstz fü elege Deeke W füen de Beenung elege Deeke uf etwnklge Deeke üe e Höen, n ot und Bun gelten, zuük Es glt: Bewesen Se dese Aussge! sn( = ) sn( ) = sn( γ) = Hnwes: sn( ) = sn( ), sn( γ) = sn( π γ), sn( ) = sn( γ) Bete u den Zentwnkel γ γ Klene Üung De Fläennlt enes Deeks mt Umkesdus U, den Setenlängen, und st A= Dese Stz lefet nsesondee den Umkesdus e gegeenen Fläennlt und Setenlängen 4 U De Kosnusstz De Kosnusstz ewetet den Stz des Pytgos uf elege Deeke Dzu weden de entspeenden Höen engetgen, so dss etwnklge Deeke entsteen, us denen de Höen wede elemnet weden In desem Deek mt den Seten,, untetelen w n = + und velängen de Seten um sowe um N Pytgos glt: = + = + γ Du Elemnton von Mt folgt D ( ) os elten w = = ( + )( ) = ( ) = = = + = + = und = os( ), elten w sleßl Fü den letzten Wnkel γ etten w = + os( ) = + os ( ) = + und ( ) + + = und elemneen wede Des lefet + + = = + + und mt = os( π γ) = os( γ) sleßl de dtte Fomel = + os ( γ) PD D e nt l Get Hllendt 3

4 Zusmmenfssung N S B C D ngentendeek gedet und gespegelt In enem etwnklgen Deek gelten folgende Zusmmenänge Höensätze: s = d und = t t Ktetensätze: = ( + d ) und t = d( + d ) sowe ( + d ) = t( t+ t ) und n = t ( t+ t ) Pytgos: Egeen s us den Höen- und Ktetensätzen Defnton de ses Wnkelfunktonen fü 0< < π, m Bogenmß sn () : = s, os () : =, tn () : = t, ot (): = t, se () : =, s () : = s Ausdüken de Wnkelfunktonen du ndee () sn( ) sn + os () =, ot() tn() =, tn() =, ot() = os( ) ( ) () tn sn = + ot ( ) = + tn ( ) und () ot ( ) os = + tn ( ) = + ot ( ) os( ) sn( ) In enem elegen Deek glt de Snusstz und de Kosnusstz sn( = ) sn( ) = sn( γ) = U = + os( ) = + os( ) = + os ( γ) γ I U γ U sowe de Fläennlte des Deeks ( )( )( ) A= = sn( ) sn( ) sn( ) ( sn( ) sn( ) sn( )) 4 I s= s s s s = U γ = I U + + γ, U woe s= + + ttp://wwwd-get-llendtde/pdf/sule/mtemtk%0sule/sek/eenungen_m_deek_mt_lfe_de_setenlengenpdf 4 PD D e nt l Get Hllendt

5 De Addtonsteoeme Fü ene se söne mtemtse Heletung vewese uf den Atkel Komplexe Zlen He wollen w uns wede geomets leten lssen Dzu füen w de Aussge des Addtonsteoem uf änle Deeke zuük Bewesen soll ds folgende eoem des Snus Suen w uns den Svelt n ene Gpk n sn( + ) = sn os+ os sn () A D E Folgende Bezeungen snd m Bld entlten Dus elten w = sn ( + ), = d sn, = e os, e= sn, d= os + d e sn( + ) = = = + = + = sn os+ os sn d e Deses eoem glt u fü gößee Wnkel + > π E knn jedo one wetees gefüt weden, ndem de Peodztät de Wnkelfunktonen usgenutzt wd Z B sn( π ) = sn, sn( π+ ) = sn( ) = sn, os( π+ ) = os( π ) = os( ) = os Heus folgt u sofot sn( ) = sn( + ( ) ) = sn os( ) + os sn( ) = sn os os sn sn( ) = sn os os sn () Benutzen w nun no den Zusmmenng osγ sn( π γ) ( ) ( ) =, so fnden w ( ) ( ) ( ) π π π π os( + ) = sn ( + ) = sn = sn os os sn= os os sn( π ) sn= os os sn sn PD D e nt l Get Hllendt 5

6 Ds dtte Addtonsteoem st nun gefunden und lutet os( + ) = os os snsn (3) Entspeend ekommen w os( ) = os os+ snsn (4) Dmt snd de Addtonsteoeme geomets ewesen 6 PD D e nt l Get Hllendt