Polynomprodukt und Fast Fourier Transformation

Transkript

1 Polomrodut ud Fst Fourer Trsformto

2 Polome Reelles Polom eer Vrble R : oeffzete vo Grd vo : höchste Potez Besel: Mege ller reelle Polome: R[]

3 3 Oertoe uf Polome. Addto b b b q b b b b b q ] [ R q

4 4 Oertoe uf Polome. Produt c : Welche Moomrodute hbe Grd? Polomrg R[] c c c b b q.... j j j b b b c

5 Oertoe uf Polome 3. Auswerte der Stelle : Horer-Schem Zet: O 5

6 Reräsetto ees Poloms 3. PutWertdrstellug Iteroltoslemm Jedes Polom us R[] vom Grd st edeutg bestmmt durch Pre mt... ud j für j Besel: Ds Polom 3 3 wrd durch de Pre 6 3 edeutg festgelegt. 6

7 Oertoe uf Polome Addto: Zet: O Produt: Vorussetzug: Grdq Zet: O z z z q z z z q Auswerte der Stelle :?? Umwdel oeffzetedrstellug Iterolto 7

8 Polomrodut Berechug des Produts zweer Polome q vom Grde < q Grd - oeffzete Auswertug: PutWertre ud PutWertre Putwese Multlto Iterolto q Grd - - oeffzete q q 8

9 9 Astz für Dvde d Coquer Idee: se gerde 3 3 3

10 Reräsetto vo Ahme: Grd < 3. Werte de Poteze der -te omlee Hutehetswurzel eπ e π Potez vo Ehetswurzel:

11 Dsrete Fourer Trsformto Werte vo für de Poteze vo lege edeutg fest flls Grd<. Dsrete Fourer Trsformto DFT Besel: 4 DFT e cos s e e π 4 cos s cos π s π π 4 e cosπ sπ π 4 3 e cos 3π s 3π

12 Polomrodut Berechug des Produts zweer Polome q vom Grde < q Grd - oeffzete Auswertug: PutWertre ud PutWertre Putwese Multlto Iterolto q Grd - - oeffzete q q

13 Egeschfte der Ehetswurzel blde ee multltve Grue ürzugslemm Für lle > ud d > glt: d d Bewes: d d e πd d π e Folge: 3

14 Dsrete Fourer Trsformto DFT Fst Fourer Trsformto: Berechug vo DFT mttels ees Dvde-d-Coquer Astzes 4

15 5 Dsrete Fourer Trsformto Idee: se gerde

16 6 Dsrete Fourer Trsformto Auswertug für... < flls flls

17 7 Dsrete Fourer Trsformto Besel:

18 Berechug vo DFT DFT Efchster Fll: Grd DFT Sost : Dvde: Tele ud uf Coquer: Bereche DFT ud DFT reursv Merge: Bereche für... : DFT DFT DFT DFT DFT 8

19 9 Ee lee Verbesserug Also flls < : < flls flls < flls flls

20 Ee lee Verbesserug Besel:

21 Fst Fourer Trsformto Algorthmus FFT Iut: E Arr mt de oeffzete ees Poloms ud Outut: DFT. f the * st ostt *. retur 3. d [] FFT[... - ] 4. d [] FFT[ ] 5. e π for to do * * [ ] [ ] 8. d d 9. d d..retur d d [ ] [ ] d

22 FFT : Besel [ ] [] [ -5] [] [8 3] FFT[ -5] FFT[] FFT[-5] FFT[] - FFT[-5] -55 FFT[8 3] FFT[8] FFT[3] FFT[8] - FFT[3] 5 ; d -5 * 6 d -5 * -36 ; d 5 *5 d 3 5 *5 FFT

23 Alse T Zet um e Polom vom Grd < de Stelle T O T T O O log uszuwerte. 3

24 Polomrodut Berechug des Produts zweer Polome q vom Grde < q Grd - oeffzete Auswertug durch FFT: PutWertre ud PutWertre Putwese Multlto Iterolto q Grd - - oeffzete q q 4

25 5 Iterolto Umrechug der PutWert-Drstellug de oeffzetedrstellug Gegebe: mt j für lle j Gesucht: Polom mt oeffzete... - so dss M M

26 6 Iterolto Mtrschrebwese M M M

27 7 Iterolto Sezlfll her : Defto: j j für lle st lösbr für Glechugssstem M M M V V V j j

28 Iterolto Stz Für lle j glt: Bewes V V j j j j zu zege: V V I 8

29 9 Iterolto j j j j j V V j V V M M : Slte Zele Betrchte Etrg vo

30 3 Iterolto j j j V V Fll : j j Fll : j : dmt ud d.h. j j j

31 3 Iterolto Summtoslemm Für lle > l mt l Bewes: l l l l l l

32 3 Iterolto V M

33 33 Iterolto r r r r

34 Iterolto ud DFT r r r r r r de DFT DFT r r 34

35 Polomrodut durch FFT Berechug des Produts zweer Polome q vom Grde < q Grd - oeffzete Auswertug durch FFT: PutWertre ud PutWertre Putwese Multlto Iterolto durch FFT q Grd - - oeffzete q q 35