4. Interpolation und Approximation
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- Christin Schulz
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1 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato I allgeee geht a davo aus, dass Bezehuge zwshe Varable ees hsalshe Probles aaltsh beshrebe werde a. I der Pras ergbt sh daher häufg de Forderug, gegebee dsrete Werte z. B. For vo Messrehe durh stetge Futoe darzustelle, u de dazwshe legede Stelle zu beste, das Itegral oder de Abletuge zu blde oder ee grafshe Darstellug des futoale Zusaehags zu gebe. Iterolato ud Aroato
2 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Iterolato: Bestug eer Futo, de ee gegebee Mege vo Werte geau darstellt. P, f Be der Iterolato ste de Futoswerte f a de Stützstelle eat t de Werte übere, de Zwshewerte öe aber erheblh vo glatte Verlauf abwehe Aroato: Bestug eer Futo, de ee gegebee Mege vo Werte Mttel beshrebt. P, Be der Aroato ste de Futoswerte f a de Stützstelle. allg. ht t de Werte übere, f de Zwshewerte beshrebe aber erheblh lausbler ee futoale Zusaehag.. Iterolato ud Aroato
3 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Zur Iterolato ud Aroato werde oftals Poloe der For verwedet, wobe der Polograd st ud de Koeffzete fre wählbare Paraeter der Poteze sd. Aroatossatz vo Weerstraß: R Der Grud für de Verwedug vo Poloe legt dar, dass dese leht zu tegrere ud dfferezere sd ud de Mege der Poloe groß geug st, u jede stetge Futo hrehed geau darstelle zu öe. Gegebe se ee Itervall [a, b] deferte stetge Futo f. Da gbt es zu jeder Zahl ε > e Polo, so dass f < ε für alle ε aus [a, b] glt.. Iterolato ud Aroato
4 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Estez- ud Edeutgetssatz: Zu Werteaare, gbt es geau e Polo vo Grade für das glt. Herbe st das Iterolatosolo zu de gegebee Iterolatosstützstelle P,. Der Polograd abhägg st vo der Azahl der Stützstelle. Für <- terolert das Polo ht alle Werteaare, für >- estere belebg vele Iterolatosoloe, de Lösug st ht edeutg. De Aufgabe der Iterolato besteht u dar, aus de gegebee Werteaare P, de Koeffzete des Iterolatosolos zu beste.. Iterolato ud Aroato
5 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Ee Möglhet zur Lösug des Probles wäre, de Werteaare, aheader das Iterolatosolo ezusetze ud daraus de Koeffzete zu beste. Beselswese lässt sh ah de Edeutgetssatz durh dre Pute geau e quadratshes Polo Parabel lege. Es glt: P P P Ma erhält e leares Glehugssste, desse Lösug de Koeffzete, ud lefert. Nahtel des Verfahres st, dass der Berehugsaufwad zur Lösug des Learsstes t wähst, so dass ee Hadrehug für ehr als 5 Werteaare ratsh au oh durhführbar st.. Iterolato ud Aroato 5
6 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler 6. Iterolato ud Aroato Zur Herletug des Przs solle zuähst zwe Pute durh e leares Polo terolert werde. Lagrage-Iterolato De Lagrage-Iterolato veredet be der Berehug des Iterolatosolos de Lösug ees leare Glehugssstes. Ausgehed vo der Zwe-Pute- For der Geradeglehug P P folgt ud
7 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler 7. Iterolato ud Aroato Das Iterolatosolo lautet sot We st, wrd L ud L ud sot. Für st L ud L ud dat. De Zwshewerte werde lear terolert. t de Lagrage-Quotete Dese wähle de Wert aus, der für de Iterolato beötgt wrd. L L ud L P P L L L Für e quadratshes Polo ergbt sh
8 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler 8. Iterolato ud Aroato Allgee uss a für e Polo -te Grades für jedes,,, ee Lagrage-Quotete L ostruere, der de Egeshaft L für ud L für bestzt. Da glt L L L L L L wobe für alle,,, st. Das Besel zegt de Verlauf des. Lagrage-Quotete für e Iterolatosolo vo Grade 8. L 8
9 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Besel: Lagrage-Iterolato durh e Polo. Grades Werteaare: P -, 8; P, ; P, - ud P, - Lagrage-Quotete: L L L 5 8 Iterolatosolo: L 6 L L L L Iterolato ud Aroato 9
10 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Das Bld zegt de Stützstelle P bs P, das Iterolatosolo sowe de Lagrage-Tere L bs L. I Vergleh zur drete Berehug verrgert sh der Aufwad zur Bestug der Polooeffzete vo ~ auf ~. Nahtel der Lagrage-Iterolato st, dass be Hzufüge eer wetere Stützstelle alle Lagrage-Quotete eu berehet werde üsse ud das Verfahre zur Usetzug e Progra weg geeget st. De Bedeutug der Lagrage-Iterolato legt velehr der Theore, da de Lagrage-Poloe etesv zur Herletug vo uershe Dfferetatos- ud Itegratosethode verwedet wrd.. Iterolato ud Aroato
11 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato. Newto-Iterolato De Newto-Iterolato bestzt be ählhe Berehugsaufwad ht de Nahtele der Lagrage-Iterolato ud wrd daher eher der Pras egesetzt. De Newto-Iterolato verwedet für de Iterolatosoloe folgede Asatz: bzw. j j
12 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato Zur Berehug des Iterolatosolos sd de Kostate j zu beste. Da a de Stützstelle st, glt oder ausgeshrebe j j,,, De Glehuge stelle e Learsste zur Bestug der Polooeffzete dar.
13 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler We aus der Matrzedarstellug j j deutlh wrd, hadelt es sh u e leares Glehugssste t eer utere Dreesfor der Koeffzeteatr, welhes sh efah durh Vorwärtsesetze löse lässt. Der Berehugsaufwad beträgt /6 gegeüber be der Lagrage-Iterolato.. Iterolato ud Aroato
14 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato Aufgelöst ah de Koeffzete erhält a bzw. j j j j,,,
15 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Besel: Newto-Iterolato durh e Polo. Grades Werteaare: P -, 8; P, ; P, - ud P, Vorwärtsesetze: Iterolato ud Aroato 5
16 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler E wesetlher Vortel der Newto-Iterolato st, dass sh be Hzufüge eer wetere Stützstelle de berets berehete Ergebsse verwede lasse. Wrd das vorhergehede Besel durh das Werteaar P 5, 5 ergäzt, erhält a ,5 8,5. Iterolato ud Aroato 6
17 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Der Nahtel eer Poloterolato besteht. allg. dar, dass be hohe Polograd das Polo zwshe de Stützstelle star oszllert. Durh ee geegete Wahl der Stützstelle lässt sh de Oszllato verder Tshebsheff-Poloe. Ee wetere Möglhet st de Sle- Iterolato.. Iterolato ud Aroato 7
18 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Polo-Aroato I Gegesatz zur Iterolato wrd der Nahtel oszllereder Zwshewerte be der Polo-Aroato verede, da der Polograd uabhägg vo der Azahl der Werteaare gewählt werde a. De Poloaroato wrd häufg beutzt, u Messwerte durh Ausglehsurve zu beshrebe ud eget sh sowohl zur Iterolato als auh beshräte Maße zu Etraolato der Versuhsergebsse. Ees der whtgste Aroatosverfahre stellt de leare Regresso dar, be der ah der Methode der leste Fehlerquadrate de Kostate des Aroatosolos bestt werde. Gegebe see Werteaare,. Gesuht wrd e Polo vo Grade welhes de Werteaare betrahtete Itervall [, ] öglhst gut aroert.. Iterolato ud Aroato 8
19 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler E öglher Asatz wäre, de Kostate des Polos derart zu beste, dass F al wrd, d.h. de Sue der absolute Abwehuge zwshe de Werte der Stützstelle ud de Futoswerte des Aroatosolos ud e Mu blde. P, Nebe eer uvortelhafte atheatshe Hadhabug hat de Methode vo Mu der absolute Abwehuge de Nahtel, dass star vo Mttelwert abwehede Werte uverhältsäßg das Ergebs beeflusse.. Iterolato ud Aroato 9
20 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler E besserer Asatz lefert de Methode der leste Fehlerquadratsue F. welhe de Ausreßer ageesse gewhtet, ohe dass dese Pute de Aroato vollstädg beherrshe. Dat das Futoal F al wrd, üsse als otwedge Bedgug see artelle Abletuge vershwde. Es glt daher F Für de Methode der leste Fehlerquadratsue führt der Asatz F auf e leares Glehugssste zur Bestug der Kostate des Aroatosolos.. Iterolato ud Aroato
21 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato Für e leares Polo Ausglehsgerade ergbt sh Werde dese Glehuge ausultlzert ud ah de Kostate geordet, erhält a de sog. Noraleglehuge F dere Auflösug de Koeffzete der Ausglehsgerade lefert, de de gegebee Werteaare a beste aroert.! F!
22 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato Das Verfahre a leht auf Poloe höhere Grades übertrage werde. Für belebges ergebe sh de Noraleglehuge aalog Herbe sd, de gegebee Werteaare, der gewählte Grad ud de Koeffzete des Aroatosolos. Das Verfahre wrd als leare Regresso bezehet, da de Ubeate de Bestugsglehuge lear auftrete.
23 Uwelt-Caus Brefeld der Fahhohshule Trer Nuershe Matheat Prof. Dr.-Ig. T. Preußler. Iterolato ud Aroato I Matrzeshrebwese lautest das Learsste Des stellt e leares Glehugssste t Glehuge für de Koeffzete des gesuhte Aroatosolos dar ud st er edeutg lösbar. s De Noraleglehuge sd aufgrud der auftretede Poteze bs shleht odtoert. U Rudugsfehler zu begreze, werde der Pras est ur Poloe bs zu Grade 5 verwedet.
24 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Als aß für de Güte der Aroato ege sh folgede Kezahle: Fehlerquadratsue: F Absoluter Fehler: D F Relatver Fehler: R De Wahl des Pologrades hägt vo der Vertelug der Stützstelle ab. E befredgedes Ergebs erhält a est erst durh robere t utershedlhe Polograd, wobe ht ubedgt das Aroatosolo t der leste Fehlerquadratsue auh de beste Aassug lefert.. Iterolato ud Aroato
25 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Besel: Für de gegebee Werteaare P -;,6, P ;, P ;,6, P ; ud P 5 ;-,, sd Ausglehsoloe vo Grad ud durh leare Regresso zu aroere. Koeffzete: 5,6,6, Rehte Sete:,6,6, 5,6,6,6,6,6,6,6,,, 5,6, 9. Iterolato ud Aroato 5
26 Uwelt-Caus Brefeld Nuershe Matheat der Fahhohshule Trer Prof. Dr.-Ig. T. Preußler Fortsetzug 5 Ausglehsgerade : P 5,6,66, 6,66, 6,66-, Ausglehsarabel : P 5,6 5,6,777, 7,7,777,7,7,78-, -, Iterolato ud Aroato 6
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Ablehugsberech:!Sgfkazveau abhägge Gruppe: Gruppe vo Versuchspersoe, dee jede ezele Versuchsperso aus Gruppe A eer äquvalete Versuchsperso aus Gruppe B etsprcht (oder tatsächlch de gleche Versuchsperso
Praxisgerechte Ermittlung der Messunsicherheit
Prasgerehte Ermttlg der Messsherhet Grdlage d orgeheswese für efahe Modelle ohe Korrelato Letfade DKD-Fahasshss MESSUSICHERHEIT erso. Febrar 0 Ihaltsverzehs orwort... Eletg... Begrffsdeftoe d omeklatr....
Wie gelingt es den Buchmachern (oder FdJ 1 ) IMMER zu gewinnen
We gelgt es de Buchacher (oder FdJ IMMER zu gewe Eletug Schrebwese ud Varable Erwarteter Gew des Buchachers 4 4 De Stratege der Buchacher 5 4 Der ehrlche Buchacher 6 4 "real lfe" Buchacher6 4 La FdJ 9
F Fehlerrechnung 1. Systematische und statistische Fehler
-F.- F Fehlerrechug. Systematsche ud statstsche Fehler Jede Messug eer physkalsche Größe st mt eem Fehler verbude. Es st daher otwedg be der Agabe des Messwertes ee Fehlerabschätzug azugebe. Ma uterschedet
Statistik. Vorlesungsmitschrift - Kurzfassung. Prof. Dr. rer. nat. B. Grabowski
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Entwicklung einer Dispatcherfunktion zur Überprüfung von Nominierungsmengen in der Betriebsführung von Erdgasspeichern
AMMO Berchte aus Forschug ud Techologetrasfer Etwcklug eer Dsatcherfukto zur Überrüfug vo Nomerugsmege der Betrebsführug vo Erdgassecher Prof. Dr. sc. tech. Dr. rer. at. R. Ueckerdt Dr.Ig. H.W. Schmdt
REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien
REGRESSION Ee awedugsoreterte Eführug Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We Eletug De Regresso st e velfältg esetzbares Werkzeug zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
Statistik mit Excel und SPSS
Stattk mt Excel ud SPSS G. Kargl Grudbegrffe Grudgeamthet Erhebugehet Merkmale Werteberech Stchprobe Telbereche der Stattk: Dekrtpve Stattk Iduktve Stattk Exploratve Stattk U- / B- / Multvarate Stattk
Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot
Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Ole- ud a de müdlche Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. A der schrftlche Klausur (Ope-book-Prüfug)
FInAL. Übungen mit Lösungen zur Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann
Jhrgg, Het, Otober, ISSN 99-88 IAL Übuge t Lösuge zur Mthet ür Wrtschtsort Ulrch Ho Techcl Reports d Worg Ppers Leuph Uverstät Lüeburg Hrsg der Schrtrehe INAL: Ulrch Ho Schrhorststrße, D-5 Lüeburg Übuge
Zur Behandlung von Messergebnissen im Physikalischen Grundpraktikum
Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth Zur Behadlug vo Messergebsse m Physkalshe Grudpraktkum. Messabwehuge ud hre Ursahe Be hrehed hoher Geaugket der Messmttel lefer mehrere Messuge am glehe
Lage- und Streuungsmaße
Statstk für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der
Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot
Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. Stad 1. Jul 2010. Äderuge vorbehalte. Formelsammlug Fazplaer
Fernstudium. Technische Thermodynamik Teil: Energielehre
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Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I
Sozalwsseschaftlche Methode ud Statstk I Uverstät Dusburg Esse Stadort Dusburg Itegrerter Dplomstudegag Sozalwsseschafte Skrpt zum SMS I Tutorum Vo Mark Lutter Stad: Aprl 004 Tel I Deskrptve Statstk Mark
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6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe
Einführung in Statistik
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oftware-parter-itehoe-gmbh ehr geehrter Kude, sehr geehrter Iteresset, das achfolged dargestellte Dokumet st ledglch e espel für de Darstellug der erechug ach der Rchtle DI 077. Her hadelt es sch um e
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IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS 09.0.009 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG. Überblck ) I desem Katel wede wr us der Aalyse der Verscherugsuterehmug
E R M I T T L U N G E I N E R A D S O R P T I O N S I S O T H E R M E
I Alexader Shödel LMU Dempartmet Chemie Verastaltug: Chemishes Grudpratium WS 003/004 Protooll Versuh Nr. 60: E R M I T T L U N G E I N E R A D S O R P T I O N S I S O T H E R M E Essigsäure a Ativohle
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IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass
Short Listing für multikriterielle Job-Shop Scheduling-Probleme
Short Lstg für ultkrterelle Job-Shop Schedulg-Problee Dr. Adré Heg, r.z.w.-cdata AG, Zu Hosptalgrabe 2, 99425 Wear, adre.heg@rzw.de 1. Multkrterelle Job-Shop Schedulg-Problee Das Job-Shop Schedulg-Proble,
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Aufgabe 1 (60 Pukte) De Gesellschaft XYZ betet als prvate Reteverscherug ee Idepolce gege Emalbetrag a mt eer Aufschubfrst vo zwe Jahre. Ivestert wrd e so geates IdeZertfkat, das be Retebeg das folgede
Seien p 1 und p 2 die Preise für die Faktoren 1 und 2. Isoquante für Output y. Kosten
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Ihaltsverzechs I Allgemee Messtechk. Grudsätzlches. Grudbegrffe des Messes.. Iteratoales Ehetesystem (SI), Begrffe des Normes, Eche, Justere, Kalbrere.. Das Meßgerät als System, der Begrff der Übertragug.3
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Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1
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Physkalsh-heshes Praktku für Pharazeuten C. Nahberetungstel (NACH der Versuhsdurhführung lesen!) 4. Physkalshe Grundlagen 4.1 Starke und shwahe Elektrolyte Unter Elektrolyten versteht an solhe heshen Stoffe,
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Ralf Kor Elemetare Fazmathematk Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell
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