8. Mehrdimensionale Funktionen

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1 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Mehrdmesoale Fuktoe Wer Greze überschretet, versucht, ee eue Dmeso vorzustoße. [Dael Mühlema, (*959), Übersetzer ud Aphorstker] Ege Leute sollte cht dü werde, de dadurch rskere se de Verlust hrer ezge Dmeso. [Pavel Kosor, (*964), tschechscher Schrftsteller] 8.. Eletug 8... Worum geht es? Bsher hatte wr be der Dfferetato ur Fuktoe eer Veräderlche betrachtet. Be de meste Probleme der reale Welt trete aber mehrere Veräderlche auf: Ee Fläche der Computergrafk ka durch z = f(,y) beschrebe werde Zustadsvektor eer W als Fukto der Zet: Gesteerkeug, MCI o Masterprojekt Krste He Zustadsglechug Gas: Der Druck p st Fukto vo Temperatur T ud Volume V: p r T p(t,v) V. Der Gew ees Uterehmes st ee Fukto der Umsätze aller seer Produkte ud m Kostestelle: G = G(u,u,...,u, k,,k m ) 8... Warum IformatkerIe mehrdmesoale Fuktoe brauche Wr werde us desem Kaptel mt der Defto ud der Dfferetato solcher Fuktoe beschäftge. Damt köe wr da folgede Probleme ud Aweduge löse: Fläche ud Trajektore Computergraphk ud Game Physcs darstelle. We dfferezert ma mehrdmesoale Fuktoe? partelle Dfferetato Modelloptmerug: We fdet ma Etremwerte? Awedugsfall: Welches st de beste Regressosgerade y = a+b für ee Mege vo Pukte? Optmerug mt ebebedguge: De Methode der Lagrage-Multplkatore. Da ma be de meste Realwelt-Optmerugsaufgabe a mehrere (vele) "Stellschraube" drehe ka, sd solche Probleme vo großer praktscher Bedeutug. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 5

2 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Welche Kompeteze Se erwerbe ach Abschluss deses Kaptels werde Se wsse, we ma mehrdmesoale Fuktoe defert, we ma se vsualsert (m Kopf, auf dem Paper ud am Recher), we ma durch (partelles) Ablete Optmalwerte fdet, we ma e Modell mt mehrere Parameter a Date apasst, wozu e Gradet gut st, we ma optmert ud dabe glechzetg ebebedguge ehält (Lagrage) 8.. Defto eer Fukto mehrerer Veräderlcher Ee Fukto mehrerer Veräderlcher köe wr us gut als Java-Methode mt mehrere Parameter klarmache. ehme wr de Zustadsglechug für e Gas: p : R R R, p(t,v) r T V de als Java-Methode laute würde publc double pressure(double temp, double volume) { W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 6

3 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS } statc double r = 8.3; retur r*temp/volume; Allgemeer köe wr de Parameter eer Fukto mehrerer Veräderlcher eem Vektor zusammefasse, her z.b.: T = V Es macht also mathematsch durchaus S, sch mt Vektore mt belebg vele Kompoete zu beschäftge, auch we usere Aschauug auf 3-dmesoale Räume beschräkt st. Wr defere de -dmesoale Raum R R R R mal we Mathe (Kap. 7.4 Vektore ): Def D 8- -dmesoaler Raum Jedes Elemet der Mege R wrd als Pukt ees dmesoale Vektorraumes R bezechet. I der Regel wrd e solcher Pukt durch de Vektor bezechet. Def D 8- reellwertge Fukto mehrerer Veräderlcher Ee reellwertge Fukto f ordet jedem Pukt,.., (bzw. Vektor R ) aus eer zusammehägede Telmege D des R edeutg ee reelle Wert y zu, ud ma schrebt: f : D R R mt y f,,..., Bespel: De Temperatur auf der Erde st ee Fukto der Läge- ud Bretekoordate sowe der Höhe über dem Erdbode. AMERKUG: Wr beschäftge us her also mt reellwertge Fuktoe I Kaptel 8.7 werde wr och kurz auf vektorwertge Fuktoe de ee -dm. Vektor auf ee m-dm. Vektor abblde. Bespele: f : R f : R R. R m egehe, W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 7

4 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS ormale Fukto reellwertge Fukto vektorwertge Fukto f : R R f : R R f : R R Kurve (Hyper-) Fläche Pfele (Wdkarte) 8.3. Vsualserug eer Fukto mehrerer Veräderlcher [Papula, Bd., S. 7-86] Zel: Sch e Bld vo eer Fukto mache. Verbesser Se Ihre Fertgkete zum Bld mache. Wr frage us her ur, welche Darstellugsforme grudsätzlch Frage komme ud gehe auf Fläche m Raum kurz e. We ka ma sch ee Überblck verschaffe, we ee Fukto z=f(,y) ausseht? [Methode sammel] Mehr zu desem Gebet, der sog. Vsualserug (vo Fuktoe), köe Se auch m WPF Computergrafk ud Vsualstk vo Horst Stezel erfahre Aalytsche Darstellug Darstellug Form eer Glechug Egeschaft eplzte Form z = f(,y) ach z aufgelöst, ur e z-wert je (,y) Vortel lechter zu aalysere W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 8

5 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS mplzte Form F(,y,z) = 0 cht ach z aufgelöst ka kompleere Fläche (mehrere z-werte, Kugel) Bespele Vorlesug. Ma verwedet de mplzte Form, we ee Auflösug ach eer Varable cht möglch st, oder, we se zwar przpell möglch, aber zu aufwedg oder mt uötge Schwergkete verbude st. De mplzte Form ka komplzerte Fläche m R 3 darstelle, de eplzte Form ka ur solche Fläche, de jedem (,y) höchstes e z zuorde. Amerkug: Jede eplzte Form läßt sch mt F(,y,z) = f(,y)-z de "kaosche" mplzte Form brge. De umgekehrte Rchtug ka dagege schwerg se. Zum Spele ud für schöe Forme(l) st der ZEIT.de-Skulpturewettbewerb wärmstes empfohle!! [Programme Surfer zege, z.b. mt (^+y^+z^-)*(^3+y^3+z^3-) ] Tabellarsche Darstellug Bevorzugte Darstellug für Tabellekalkulatosprogramme z = f(,y) y y... y k... y z z... z k... z m z m z m... z mk... z m Fläche m Raum Bevorzugte Darstellug Maple (plot3d) Bespel "Gaussglocke": f(, y) z 7 ep 4y Schttkurve: Höhele, Kelefeld Ee wchtge alteratve Darstellug ket ma aus Waderkarte: De 3. Dmeso (Höhe) wrd durch Höhele abgebldet. Dort, wo de Höhele dcht Bespel zu mplctplot3d mt Maple-Befehl: mplctplot3d((/)^+y^+z^-0,=-5..5,y=-5..5,z=-5..5); W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 9

6 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS zusammelege, herrscht ee hohe Stegug. Höheledagramm (egl: cotour plot): o Horzotalschtte ( Baum fälle ): schede das Fuktosgebrge fester Höhe z=kostat auf ud zeche de Schttkate gege y Kelefeld: o Vertkalschtte ( Brotlab ): für festes y=kostat zeche gege z o (oder auch vertauscht: für festes =kostat zeche y gege z ) Darstellug mt Maple: f (, y) 7 ep 4y 0 Abbldug 8-: (a) Höheledagramm, (b) Kelefeld We fdet ma de Höhele für ee eplzte Form? Idem ma de lke Sete als kostat festsetzt ud ach y auflöst. Im Bespel: 3 f (, y) z 7 ep 4y 0 z l 7 4y 0 y z 0 l 7 We sch de Glechug cht aalytsch ach y auflöse läßt, geht es ur mühsamer: umersch e Raster veler Fuktoswerte bestmme ud Pukte mt gleche Werte verbde. Oder durch umersche ullstellebestmmug. E Kelefeld läßt sch dagege für de eplzte Form mmer lecht zeche: efach verschedee feste Werte für y esetze. Erzeugt durch folgede Maple-Befehle: (a) g:=(,y)->7*ep(-(^+4*y^)/0); cotourplot(g(,y),=-6..6,y=-5..5,flled=true,aes=boed, colorg=[color(rgb,0.5,0.5,),red],fot=[helvetica,bold,]); (b) plot([seq(g(,y),y=0..3)],=-6..6, leged=["y=0","y=","y=", "y=3"],fot=[helvetica,],thckess=); 3 Uter der Wurzel steht tatsächlch chts egatves: l(z/7)<0-0l(z/7)>0. Weter <-0l(z/7). W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 0

7 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü Übug: Leder st gerade Ihr Laptop kaputt ud Se habe ke Maple zur Had. Mache Se sch trotzdem e Bld vo der Fukto f (, y) e y, dem Se hadschrftlch e Höheledagramm m Berech,,4,8 ud e Kelefeld für y=0.5,, erstelle. Wetere Bespele Übuge! Mehr als zwe Veräderlche De Aschauug versagt, de Fukto läßt sch cht mehr als Gazes zu erfasse. Zahlreche Techke sd etwckelt worde, um sch deoch e Bld vo der Lage zu mache; Stchwort "Vsualserug vo Date". Bass-Methode: Festhalte vo - Parameter ud Betrachtug ees Schtts, z.b. Höheledagramm de restlche bede Parameter Aordug veler solcher Schtte rechteckgem Plot-Feld Amato, d.h. eer oder mehrere Varable wrd e zetlcher Verlauf zugeordet, ud ma beobachtet de Äderug, de sch m Bld der adere Varable als Fukto der Zet ergbt. u.v.a.m. Bespel : Aordug rechteckgem Plot-Feld: Se f: R 4 R ee Fukto vo 4 Veräderlche,y,v,w: f (, y, v, w) ep ( v) (w )(y 0.8v) Wr stelle f durch e Array vo -y-höheledagramme dar, de Rehe läuft v vo - bs, de Spalte läuft w vo - bs : w = - w = - w = 0 w = w = W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete

8 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Welche Wrkug hat also der Parameter w, welche der Parameter v? Bespel : Wr stelle de gleche Fukto f(,y,v,w) als Amato dar, wobe der Amatospfad lägs der Dagoale m v-w-raum läuft, also vo v=w=- bs v=w=0.5. Überlege Se: We wrd de Amato etwa aussehe? [Fraged etwckel] Lösug: s. plot3d.mws, Amato Abschtt "Mehr als zwe Veräderlche" Partelle Abletuge We scho be Fuktoe eer Veräderlche lefert der Begrff der Abletug auch be Fuktoe mehrerer Veräderlche de Schlüssel zur Aalyse vo Zusammehäge. De Abletug eer Fukto mehrerer Veräderlcher wrd mttels parteller Abletuge auf de Fall edmesoaler Fuktoe zurückgeführt. Betrachte wr de Stuato zuächst be Fuktoe zweer Veräderlcher (Skzze). W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete

9 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS z y = cost = cost y ( 0,y 0 ) Im Pukt ( 0,y 0 ) sd de Schttebee = cost ud y = cost egezechet. Ierhalb der jewelge Schttebee legt da ur och ee Fukto z = f() (für y = cost) bzw. z = g(y) (für = cost) vor. Isbesodere beretet de Bldug der Abletug dese Fälle kee Schwergkete. Des führt us zum Begrff der partelle Abletug. Def D 8-3 Partelle Abletug De partelle Abletug. Ordug der Fukto y f,,..., ach der Varable st durch de folgede Grezwert defert: y f lm h0,...,, h,,..., f,...,,,,..., h Umgagssprachlch bedeutet deser Grezwert: Betrachte alle Varable mt Ausahme vo als Kostate ud blde de üblche Abletug ach der Varable. Aschaulch: Setze - Varable fest, da passt de verblebede Varable ee Schautafel (rotes oder blaues Rechteck obger Zechug), d.h. ee Graphe für ee ormale Fukto, de wr we üblch ablete köe). Wetere, allgeme üblche Symbole für partelle Abletuge sd y f y f Wr werde m Folgede mest de Schrebwese f beutze, we kee Verwechslug mt dem Ide (eer Vektorfukto) zu befürchte st. Bespel: De Zustadsglechug ees deale Gases lautet: W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 3

10 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü RT pv,t V p RT pv V V p R pt T V Aschaulch: We ch das Volume um ee klee Wert V ädere, da ädert sch RT p V V. D.h. be Volumevergrößerug skt der Druck, wel RT 0 V (we ma be eer geschlossee Luftpumpe de Kolbe ach ausse zeht, der Druck um gbt es ee rückzehede Kraft ach e, wel der Druck e edrger st als ausse), be Temperaturerhöhug stegt der Druck. Übug: Für z(,y) 5y y 3 bestmme ma z ud zy Für y(,, 3 ) e 3 l 3 s bestmme ma y,y ud y 3 We dese Bespele zege, sd de partelle Abletuge m Allgemee selbst weder Fuktoe sämtlcher, der Ausgagsfukto auftreteder, Veräderlcher. Sd alle partelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto stetg dfferezerbar. Def D 8-4 Stetg dfferezerbar Ist ee Fukto a alle Stelle ees Gebetes G (emal) dfferezerbar ud sd de partelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto m Gebet (emal) stetg dfferezerbar. Aalog: -mal stetg dfferezerbare Fuktoe. De besodere Bedeutug deser Defto legt dar, dass stetg dfferezerbare Fuktoe eer (klee) Umgebug ees Puktes durch de Fuktoswert desem Pukt ud sämtlche partelle Abletuge ageähert (appromert) werde köe (s. Kap. Fehler! Verwesquelle kote cht gefude werde. "Learserug eer Fukto"). Def D 8-5 Partelle Abletuge. Ordug Ist ee Fukto mal stetg dfferezerbar, so ka jede partelle Abletug. Ordug selbst weder ach alle Varable dfferezert werde. Herdurch etstehe partelle Abletuge. Ordug. Bespel: Zu y(,, ) st ee Abletug. Ordug y y Aalog: Partelle Abletuge. Ordug. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 4

11 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü e 3 Übug: Blde Se y(,, 3 ) l 3 s (uter Verwedug der Ergebss y,y ud y aus vorger Übug) de. Abletuge 3 y ud y Satz S 8- Satz vo Schwarz Ist ee Fukto vo mehrere Veräderlche k-mal stetg dfferezerbar, so sd de gemschte Abletuge k-ter Ordug uabhägg vo der Rehefolge des Dfferezeres. We wr gerade gesehe habe, glt für k = für de Fukto u (,y,...) : u y u u y uy y Ü Übug: Überprüfe Se a der Fukto achreche, dass glt: a durch eplztes e cosby f(,y,z) z f f. Ist ee der Rehefolge ökoomscher? z z 8.5. Etremwerte Lokale ud globale Etremwerte [Stgl, S. 36] Aalog zur Stuato be Fuktoe mt eer Veräderlche, lasse sch auch be Fuktoe mehrerer Veräderlcher de Begrffe lokales Mmum oder Mamum defere. otwedge Bedguge ergebe sch aus de partelle Abletuge. Def D 8-6 Relatves Mmum, relatves Mamum W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 5

12 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ee Fukto y f,,.., bestzt m Pukt,,..., Mmum, we eer Umgebug vo 0 stets: f(,..., für alle ) 0 f( 0,..., 0 ) glt. E relatves Mamum legt vor, falls eer Umgebug stets: e relatves f(,..., für alle ) 0 f( 0,..., 0 E Krterum für das Vorlege vo Etremwerte lefert der ächste Satz: ) glt. Sattelpukt Satz S 8- Statoärer Pukt E Pukt 0 dem sämtlche partelle Abletuge. Ordug zu ull werde, f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 0 heßt statoärer Pukt. Ee otwedge, aber m Allgemee cht hrechede Bedgug für ee Etremstelle st, dass se e statoärer Pukt st. Bemerkuge:. Be zwe Veräderlche folgt der Satz aus der Forderug, dass e Etremwert ee waagerechte Tagetalebee habe muß.. We be Fuktoe eer Veräderlche st de Bedgug aus Satz S 8- cht hreched, auch Sattelpukte köe waagerechte Tagetalebee habe. (We jeder weß, der scho mal Bergstege war, muss es zwsche zwe Gpfel ees stetge Gebrges sogar Sattelpukte gebe.) Bespel (s. ebestehedes Bld): z e f (, ( ) y) y / e ( ) y / 3. De Agabe hrecheder Krtere st be mehr als zwe Varable schwerg. Für zwe Varable erhält ma als hrechedes Krterum: Satz S 8-3 Hrechedes Krterum für lokale Etrema ( Veräderlche) Es se (,y) f (, y)f (,y) f (,y de Determate der sog. Hesse-Matr. yy y ) f(,y) : D R bestzt a der Stelle ( 0,y 0 ) mt Scherhet e lokales Ee Fukto Etremum, we de folgede Bedguge zuglech erfüllt sd: W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 6

13 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS (,y ) 0 ud f (,y ) 0 statoärer Pukt, otwedge Bedgug f 0 0 y 0 0 ud., y ) 0 ( 0 0 Im Fall f(0,y0 ) 0 legt e lokales Mamum, m Fall f(0, y0 ) 0 e lokales Mmum vor. Ist, y ) 0, so legt ke Etremwert, soder e Sattelpukt vor. ( 0 0 Satz S 8-4 Hrechedes Krterum für globale Etrema ( Veräderlche) f(,y) : D R bestzt a eem statoäre Pukt ( 0,y 0 ) mt Scherhet Ee Fukto e globales Etremum, we glt. (,y) 0 ud f (,y) 0 für alle (,y)d (globales Mamum) oder. (,y) 0 ud f (, y) 0 für alle (,y)d (globales Mmum) Bespele ud Übuge Vorlesug! Ü Ü Übug : Bestmme Se de lokale Etrema vo W(, y) 6 3y 0. Übug : Gegebe sd Pukte m zwedmesoale Raum mt de Koordate P,y,,,. Für welche Pukt P (,y) st de Summe der Abstadsquadrate zu de gegebee Pukte P mmal? 4 y 4 W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 7

14 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS LS-Methode (Methode der kleste Quadrate) Awedugsfall: Modelle der Iformatk Fast alle Computerprogramme sd Modelle der reale Welt. De Modelle solle ( bestmmte Aspekte) der reale Welt etspreche. Bespele: Crash-Test-Smulato Automobldustre Zetrehevorhersage, Data Mg euroale etze, Etschedugsbäume (Lere vo Bespele) Modell = PC (o-perso Character) Computerspele IBM Watso:!Jeopardy (lokale Kope her) ): Her modellert der Computer Sprachwsse ud Weltwsse, um auf möglchst vele Quzfrage de rchtge Atwort zu gebe. Zel st, de beste Score m Vgl. zu de Mtspeler zu erzele. Oft müsse de Modelle vor (oder währed) der Ibetrebahme optmert (agepasst) werde, damt se möglchst gut mt der reale Welt überestmme. Dese Modellapassug ka oft schwerg se, wel e Modell für verschedee Fälle passe soll. Ma sprcht auch vo Parameter-Tug, Gegestad userer Forschugsprojekte FIWA/SOMA Zel (s. Graphk): Mmere = (Modell-Output realer Output) = f() y We mehrere Iput-Output-Paare {(, y),,} gegebe sd: W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 8

15 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Mmere = () y f Da der quadratsche Fehler mmert werde soll (weso egetlch quadratsch?), sprcht ma vo der Methode der kleste Quadrate, egl. least square. Gebräuchlche Abkürzuge sd daher KQ-Methode oder LS-Methode. De LS-Methode st ee der wchtgste ud gebräuchlchste Methode der mathematsche Optmerug De LS-Methode für Gerade ud de GLS-Methode Wr werde deser Vorlesug cht das IBM-Watso-Modell optmere köe (wer mehr über dese faszerede KI-Challege lese wll, s. ) Wr ehme us als vel beschedeeres Modell zuächst ur ee Gerade vor. Aber was Se her lere, köe Se geausogut auf kompleere Modelle übertrage. Im Praktkum werde Se sch mt eem verefachte euroale etz beschäftge. u geht es also los mt der Gerade: Gegebe see Meßpukte (,y ), de cht ubedgt auf eer Gerade lege (Meßfehler, systematsche Abwechuge). We fdet ma de Gerade, de am beste zu de Meßpukte passt? Awedug: Praktkum Physk be Prof. Koch, z.b. Messuge zu Hall-Effekt oder Kodesator. y a b Modell = Ausglechsgerade (Regressosgerade): Welche Parameter sd zu optmere? a b Abwechug der Ausglechsgerade bem -te Datepukt: Wr setze voraus, dass cht alle detsch sd, de da hätte wr ee sekrechte Gerade, de wr cht als Fukto beschrebe köe. Zu mmerede Fukto: Z (a,b) a b y y W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 9

16 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Apassug eer Meßwertrehe durch ee Ausglechsgrade Meßwerte Ausglechsgrade y = -, , Wr setze de partelle Abletuge glech ull: Z Z a b a b y a b y 0 0 Es ergbt sch e leares Glechugsystem vo zwe Glechuge für de bede Ubekate a ud b: a b y a bs S y as bs Sy a b y wobe S, S y,... efach geegete Abkürzuge für de Summe sd. Ma multplzert u de. Glechug mt S ud de. Glechug mt durch, zeht voeader ab ud erhält: W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 0

17 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS b S S y S S S y a S S S y S S S y Ü Ü Übug: (a) Theoretsch köte ja der eer de obge Formel für "pathologsche" Kombatoe der auch mal ull werde. Köe Se zege, dass der eer mmer uglech ull st? Hwes: Es glt de ützlche Idettät mt Mttelwert (b) Wese Se ach, dass es sch be der Lösug {a,b} tatsächlch um e Mmum hadelt (s. Satz S 8-3) Übug: Es muss cht mmer ee Gerade se! Kombatoe vo adere "Bassfuktoe" gehe geauso gut. 4 Bespel: I eem Behälter sd radoaktve Stoffe vom Typ A, der proportaal e - zerfällt ud vom Typ B, der proportoal e - zerfällt. Durch Messuge soll ermttelt werde, wevel vom Typ A, wevel vom Typ B. Gegebe see de Messpukte: 0 3 y Welches Modell y f(a,b) ae be passt am beste zu dese Date? D.h. welche Parameter a, b mmere de Summe der Abwechugsquadrate? Zeche Se Ihr Modell ud de Messpukte e Dagramm! 4 De allgemee Fall belebger Bassfuktoe et ma GLS = "geeralzed least square". W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete

18 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Der Gradet Vektorfuktoe De Kögsetappe: Sythese vo Learer Algebra ud Aalyss: We ka ch ee Vektor ablete? Def D 8-7 Vektorfukto Sd de Koordate ees Vektors als Fuktoe eer skalare Größe t (z.b. Zet) 3 gegebe, so legt ee Vektorfukto : R R (t) (t) (t) 3(t) vor. I de Kompoete erhält ma: Bezechet t de Zet ud,, 3 de Raumkoordate, so heßt der Ortsvektor des Puktes P(,, 3 ). Ist zusätzlch für de Parameter t e Itervall t t t vorgegebe, so beschrebt de Mege aller Pukte { (t) t t t } ee räumlche Kurve. (t) (t+t) Bah ees Puktes (Telche) I Vorlesug: Raumkurve, mttlere Geschwdgket, Mometageschwdgket. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete

19 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Def D 8-8 Abletug eer Vektorfukto De. Abletug der Vektorfukto (t) st der Grezwert: v(t) lm t 0 (t t) (t) t lm t 0 t d dt (t) Der Vektor (t) st der Tagetevektor der Bahkurve a der Stelle (t). Satz S 8-5 De Koordate der Abletug ees Vektors erhält ma durch Dfferezere der Koordate des Vektors. AMERKUGE:. De Deftoe gelte sgemäß auch für m statt für 3 Koordate.. De Koordatefuktoe ees Vektors köe geausogut Fuktoe vo Veräderlche se (statt ur Fuktoe vo t). Da habe wr de allgemee m vektorwertge Fukto :R R Fukto vo Veräderlche. We ma Fuktoe vo Veräderlche abzulete hat, st Gegestad des ächste Kaptels. f vor us. Jede ezele Koordate st ee Der Gradet: Wo btte geht's ach obe? Stelle Se sch vor, Se stehe a eer Stelle P 0 =( 0,y 0 ) m Fuktoegebrge f(,y) ud wolle wsse, wo geht es ach obe? Geauer: Wo geht's möglchst stel ach obe? Mathematscher: We ch ee (klee) Schrtt der Läge ds mache, welche Rchtug wähle ch? Das Problem: Es gbt uedlch vele Rchtuge! Alle ausprobere?? Zum Glück gbt es e wesetlch efacheres Rezept, das mt ur zwe (!) Messuge auskommt: Rezept: o Blde de partelle Abletuge a der Stelle ( 0,y 0 ). ehme wr a, es se f 0, y0 ud fy 0, y0. (De Abletuge sd de Steguge, d.h. der ähe vo ( 0,y 0 ) st der Zuwachs f je waagerechter Kästchekate, der Zuwachs je sekrechter Kästchekate st.) o Stecke de Zahle ee Vektor ud marschere de Rchtug, de der Vektor agbt. Also her: mm -Rchtug ud mm y-rchtug. o o Vektor, Strecke: 5 mm. Zuwachs: + + = 5, also P 0 W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 3

20 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS o Zuwachs/mm = o Das st e höherer Zuwachs/mm als -Rchtug allee () oder y- Rchtug allee () o Kee adere Rchtug brgt ee höhere Zuwachs/mm. Probere Se's aus! o Der Vektor heßt Gradet a der Stelle ( 0,y 0 ). Ausführlch kommetertes Bespel: plotgrad.mws. Her Abblduge daraus: Wer's geauer verstehe wll: Totales Dfferetal, Gradet Totales Dfferetal [evtl. ur Def. brge, Rest m Selbststudum] Betrachte wr ee Fukto f(,y) zwe Veräderlche a der Stelle P 0 =( 0,y 0 ): W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 4

21 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS z = f(,y) z dz z P 0 y Totales Dfferetal 0 d dy We ch vo P 0 e Stück (d,dy) wetergehe, da st: Totales Dfferetal dz = Fuktosäderug z = Als Formel: dz f z f 0, y0 d fy 0, y0 dy d, y dy f, y 0 0 Zuwachs der Tagetalebee P 0, we alle Koordate um (d,dy) wetergegage wrd Zuwachs der Fukto, we ma um deselbe Vektor (d,dy, ) wetergeht 0 0 Def D 8-9 Totales Dfferetal ( Veräderlche) Das totale Dfferetal dz eer Fukto z = f(,y) m Pukt ( 0,y 0 ) st defert durch: Es glt: dz,y d f,y dy dz f 0 0 y 0 0 z we d, dy hreched kle sd (s. Zechug). De Tagetalebee m Pukt ( 0,y 0 ) st gegebe durch:, y f, y ( - ) + f, y Z(, y) f y 0 0 (y - y0 ) Zum Bewes der Tagetalebeeglechug setzt ma allgemeer Form Z a b( 0 ) c(y y0 ) a ud führt ee Koeffzeteverglech durch. Be Fuktoe vo Varable erwetert ma des gaz aalog: Def D 8-0 Totales Dfferetal ( Veräderlche) Das totale Dfferetal dz eer Fukto z f,,..., f( ) wrd defert durch: W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 5

22 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS dz f d + f d f dabe sd alle partelle Abletuge m betreffede Pukt zu ehme. Es glt auch her: dz z f( ) f( ) hreched kle st. d d, we d d,d,...,d ) ( Bespel: )z y z z f,y z.64 3,y 5,d 0.3,dy 0. f(3,5) 3 f( d,y dy) f(3.3,5.) dz d ydy also glt tatsächlch: z dz Der Gradet: Woher weht der Wd? [Stgl, S. 343 ud 353] lat. Verb: grador, gressus sum = schrete lat. Substatv gradus = Schrtt, Stadpukt, Stufe (vgl. graduell) (hägt also eg mt userem Bld vom Ausschrete m Fuktoegebrge zusamme) Def D 8- Gradet Der Gradet grad f eer Fukto z= f(,,..., ) st ee Vektorfukto (s. Def D 8-7), de aus de partelle Abletuge besteht. Wertet ma de Gradet a eer bestmmte Stelle P 0 = ( 0, 0,..., 0 ) aus, so etsteht (grad f)(p 0 ), e efacher Vektor: f grad f f (grad f)(p 0 f ) f (P 0 (P 0 ) ) I de bede folgede Blder stelle de Grauschatteruge de Fukto f dar, wobe schwarz de höchste Fuktoswert darstellt, ud de Pfele symbolsere de zugehörge Gradete: [ ] Ma beachte: Der Gradet "lebt" m Raum (,y), dem de Fukto f defert st, ICHT m Raum (,y,z), de ma braucht, um sch de Fukto vorzustelle. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 6

23 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS [ Vorlesug: weso der Gradet de Wdrchtug agbt] Awedugsbespel Gradet: Bldverarbetug, s. Blder Burger_005\Blder\ch07 ud Lehrmateral\ch07. Bespel: Der Gradet der Fukto f(,y) = 3y + y 3y lautet grad f, a 3 y 3 3 der Stelle (,y)=(,) wrd er zum Vektor ( grad f)(,), a der Stelle (,y)=(,0) wrd er zum Vektor ( grad f)(,0). 6 De Abletug eer Fukto mehrerer Veräderlcher f() = f(,,..., ) ach der Zet läßt sch mt dem Gradete sehr kompakt schrebe: df( ) dt df(,, dt ) d grad f dt Satz S 8-6 Egeschafte des Gradete. Der Gradet ( grad f)(p0 ) steht sekrecht auf der durch P 0 verlaufede Äqupotetalle- oder fläche, also der Puktmege { PR f(p) = f(p 0 ) }.. Der Gradet west de Rchtug des stelste Astegs. D. h. de Äderug vo f a der Stelle P 0 hat Rchtug vo ( grad f)(p0 ) hre Mamalwert, ämlch de Betrag ( gradf)(p0 ). Der Gradet hat also ee sehr aschaulche Bedeutug m "Fuktoegebrge".. f(p)=f(p 0 ). f(p)=f(p ). f(p 0 ) > f(p )> f(p ) f(p)=f(p ) Bespele ud Bewes vo Satz S 8-6 Vorlesug Ü Übug: Wr befde us m Pukt P=(,y,z)=(,,-). I welcher Rchtug hat de Fukto f f(,y,z) ep( y z ) W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 7

24 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS hre stelste Asteg? Ü Übug: Gegebe se Pukt P=(,y)=(,) ud de Fukto g g(, y) e y a) Welche (Tagetal-)Rchtug hat de Höhele g(,y) e m Pukt P ud adere Pukte, de se durchläuft? [Hwes: Ortsvektor r r(y) als Fukto vo y parametrere ud Abletug blde] b) We lautet der Gradet m Pukt P ud adere Pukte deser Höhele? c) Zege Se, dass Gradet ud Tagetalvektor der Höhele m Pukt P ud jedem adere Pukt der Höhele aufeader sekrecht stehe. Der Gradet spelt ee große Rolle der Optmerug, be der ma oft e bestmmtes Fehlersgal zu mmere hat. Statt uzählge (uedlch vele) Fuktosdffereze auszuprobere, recht es für glatte Fuktoe, a der Stelle P 0 de Gradete auszureche (ee Vektor aus lauter Zahle!) ud e Stückche de Gegerchtug zu marschere. Ma sprcht vom Gradete-Abstegsverfahre (egl. gradet descet), eer wchtge Methode der Optmerug. Große Bedeutug für de praktsche Optmerug: We ch e Modell mt 5 oder 0 oder 50 Dmesoe habe (Parameter-Tug für Smulatosmodell), da b ch desem hochdmesoale Raum bld we e Maulwurf! ur der Gradet gbt mr de Iformato, we ch a de Steuerköpfe drehe muss, um mee Output zu verbesser. Glt atürlch ur, we es m Fuktoegebrge cht auf ud ab geht (was leder der Pras häufger zutrfft, als eem leb st). Herfür habe de Wsseschaftler aber auch pfffge Rezepte etwckelt: E Applet zu PSO (Partcle Swarm Optmzato) vo zegt e Bespel für ee kompleere Optmerugsstratege. E Schwarm st tellgeter als see Idvdue ( WPF Spele, Smulato u. Dyamsche Systeme, Kaptel Partkel- ud Schwarmsysteme) Optmerug mt Lagrage-Multplkatore W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 8

25 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS [Papula, Bd., S ], De meste reale Optmerugsprobleme habe ebebedguge: Mamere de Gew, wobe de Summe der Masche-Stude kostat st Mmere de Frestude eem Studepla, wobe jeder Raum jeder Stude ur durch ee Klasse belegt se darf usw. Bespel: Wo lege de Etrema vo Z(,y) = +y, we de ebebedgug +y =5 ezuhalte st? [Lösug de Übuge] Der smple Asatz: ebebedgug ach eer Varable auflöse, z.b. y=y(), Z(,y) esetze, da Etrema vo F() = Z(,y()) suche. Des geht jedoch cht mmer: Se Z(,y) ee zu optmerede Zelfukto ud (,y)=0 de ebebedgug. De obge Methode fuktoert cht (gut), we de Auflösug vo (,y)=0 ach oder y cht möglch oder aber zu aufwedg st; we de Auflösug y=y() zwar gelgt, aber Z(,y()) = F() zu uötg komplzerte Abletuge F'() oder F''() führt. De Methode der Lagrage-Multplkatore betet her e elegates aderes Verfahre: Satz S 8-7 Lagrage-Multplkator Gegebe ee zu optmerede Zelfukto Z(,y) ud ee ebebedgug (,y)=0, de glechzetg ezuhalte st. Deses Problem wrd folgede Schrtte gelöst:. Blde de Hlfsfukto F(, y, ) Z(, y) (, y) Der (och ubekate) Parameter heßt Lagrage-Multplkator. Setze de partelle Abletuge glech ull: F F F y Z Z y (, y) (, y) (, y) 0 y (, y) 0 (, y) 0 Aus dese 3 Glechuge lasse sch de 3 Ubekate, y ud bestmme. 3. Gbt es mehrere Lösuge, so ka ma durch Esetze Z(,y) herausfde, welche der Lösuge e Mamum (bzw. Mmum) se ka. (Ee hrechede achwes hat ma damt allerdgs cht) De Sache mutet we e Taschespelertrck a: Erst ergäze wr e 0, erhalte so ee eue Fukto F(,y,), elmere da weder ud habe ageblch ee Lösug vo Z(,y), de de ebebedgug ehält? Weso? W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 9

26 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS I Vorlesug erkläre wr, weso deser Trck fuktoert ( Mlchmädcheproblem ). (,y)=0 Z(,y)= Z(,y)= Kolleartät: Zwe Vektore mt a b Bespel: a, b sd geau da kollear, we es ee Kostate gbt Der blaue ud der orage Vektor sd kollear zueader, der schwarze cht. Amerkug: Das Verfahre der Lagrage-Multplkatore läßt sch ohe Schwergkete auch auf Fuktoe vo Varable mt m ebededguge (m<) verallgemeer. De Hlfsfukto lautet da: m F(,,,,, m ) Z(,, ) (,, ) ud de (+m) partelle Abletuge ud damt Glechuge ergebe sch aalog. De ebebedguge müsse Glechugsform vorlege. Be ebebedguge Uglechugsform helfe de Lagrage Multplkatore cht weter, her braucht ma adere Optmerugsmethode (Smple oder Iteror Pots). Das wolle wr aber her cht weterverfolge. Awedugsbespel Iformatk: Shao s Iformatosmaß ud Koderugstheore Aus der Theoretsche Iformatk st ach Shao bekat: We über ee Kommukatoskaal Zeche aus dem Alphabet {a =,, } mt relatver Häufgket p geschckt werde, da st der mttlere Iformatosgew, we das ächste Zeche bekat wrd W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 30

27 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS I sh pld(p ) Ma rechet häufg auch mt I p l(p) das uterschedet sch ur durch ee kostate Faktor ud st lechter zu dfferezere. Problemstellug: We ma de relatve Häufgkete p fre wähle ka (uter Ehaltug der ebebedgug p, de mmer erfüllt se muss), welche p mamere da de mttlere Iformatosgew? Lösug: (p,,p F(p,,p F F p p p p ) p, ) p p p l(p ) l(p ) 0, l(p ) l(p p l(p ) p p ) 0 Setzt ma. ud. Glechuge glech, so folgt l(p )=l(p ) p = p, setzt ma. ud 3. Glechug glech, so folgt l(p )=l(p 3 ) p = p 3, usw. Isgesamt folgt also p = p = = p ud mt der ebebedgug p wrd daraus p. Atwort: Der Kommukatoskaal überträgt geau da de mamale Iformatosmege pro Zeche, we alle Zeche aus dem Alphabet glechwahrschelch sd. Be =4 st der mamale mttlere Iformatosgew I sh 4 p ld(p ) [bt] 4 4 ld ( ) 4 4 Kleer Ekurs: Shao-Fao-Koderug Tele de Buchstabe Gruppe, dass de Summe der Häufgkete jeder Gruppe möglchst glech st: Buchstabe e g a rel. Häufgket 50% 5% 5% Code 0 0 W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 3

28 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Da komme alle zwestellge Zechefolge glechhäufg vor: Zechefolge Buchstabekette Wahrschelchket 00 ee 50%*50% = 5% 0 eg oder ea *50%*5% = 5% 0 g 5% a 5% Der Kommukatoskaal überträgt also de mamale Iformatosmege. (evtl. Übug vor Übug mache) Ü Übug : Wr erweter das obge Bespel: Gegebe se e Alphabet mt 4 Zeche mt Wahrschelchkete p, p, p 3, p 4 sowe de zwe ebebedguge () p + p + p 3 + p 4 = () p = p Welche Wahrschelchkete p mamere uter dese bede ebebedguge de mttlere Iformatosgew I p l(p)? Ü Übug : E Zufallsepermet habe 4 möglche Ergebsse, de mt de Wahrschelchkete p,...,p 4 auftrete. Wel ees deser Ergebsse mmer herauskomme muss, glt offeschtlch p + p + p 3 + p 4 =. Be welche Wahrschelchkete wrd das Produkt Z(p,...,p 4 )=p p p 3 p 4 mamal? Zege Se mt Lagrage-Multplkatore, dass de Lösug p =...=p 4 =0.5 st! Amerkug: Wel de p Wahrschelchkete sd, glt p [0,] =,,4. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 3

29 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Fazt Wchtge Begrffe ud Ergebsse aus desem Kaptel ware: reelle Fukto mehrerer Veräderlcher Vektorfukto Tagetalebee f : R R : R R : Veräderlche, abhägge Größe m : Veräderlche, m abhägge Größe Ebee m Raum R durch de Pukt, f( ), de alle Rchtuge de Stegug der (stetge) Fukto f hat. f ( ) cost m -Raum. Für R Äqupotetalfläche Fläche mt. Fläche zu Le, de Höhele. partelle Abletug ach werde de alle Veräderlche außer als kostat festsetze, da "ormal" ach ablete totales Dfferetal Zuwachs der Tagetalebee be Verrückug um d Gradet vo f Vektorfukto m Raum R, de. Kompoete st f. Wchtge Ergebsse: Fuktoe mehrerer Veräderlcher lasse sch über Fläche m Raum, über Höheledagramme oder über Kelefelder vsualsere (Kap. 8.3). o Höhele: z = f(,y) ach y auflöse o Kele: alle Veräderlche bs auf ee kostat festsetze. De Dfferetalrechug eer Veräderlche läßt sch auf Fuktoe mehrerer Veräderlcher übertrage (Kap.8.4) o partelle Abletug: alle Veräderlche bs auf ee kostat, da ablete. Etremwerte (Kap. 8.5): Hrechede Krtere sd für mehr als Varable schwerg, für Varable aber gut agebbar (Satz S 8-3). Modelle der Iformatk: Mt der Methode der kleste Quadrate (LS-Methode) (Kap. 8.6) lasse sch Parameter vo Modelle optmere. User Bespel: Ausglechsgerade (Regresso). Der Gradet (Kap. 8.7) st der Vektor aller. partelle Abletuge. Er steht a jeder Stelle sekrecht auf de Äqupotetalfläche ud west Rchtug des stelste Astegs. Vele reale Optmerugsprobleme mt mehrere Veräderlche habe ebe eem Mamerugszel auch wetere ebebedguge zwsche de Veräderlche Glechugsform. Her hlft de Methode der Lagrage-Multplkatore (Kap. 8.8) etscheded weter. W. Koe ZDgesamt-et.doc Sete 33