Die Top 10 der Algorithmen: Integer Relation Detection

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1 De Top 0 der Algorte: Iteger Relato Detecto elae Sce TU Cetz WS 04/05

2 Ialtverzec: Eletug 3 Geccte 3 3 ateatce erletug 4 4 Der PSLQ-Algortu 9 5 Kopletät 6 Obere Scrae für Iteger Relato 6 7 Beeruge 7 8 Aweduge 7

3 .Eletug - Se K der Körper der reelle oder oplee Zale - Se Z da dazugeörge Syte der gaze Zale - Se,,..., ) K ( - Der Vetor at ee Iteger Relato, fall e Vetor,,..., ) Z ( etert, o da... 0, 0 (ct alle 0 für,..., ).Geccte v. Cr. becäftgte c al erter Euld t dee Proble Euldcer Algortu löte da Proble für de Fall - Euldcer Algortu: geuct: ggt(a,b) vo a ud b; a,b N Verfare:. we ab, da glt: ggt(a,b)a; topp. we a>b, da: a:a-b; weter t Scrtt 3. b:b-a; weter t Scrtt Bepel: ggt(7,6)? ggt(7,6)3 Waru t der ggt e IR-Proble? ggt a ggt a ggt b ggt b a ( ) b 0 - Leoard Euler, Karl Jaob, Jule Pocaré ud adere bedeutede ateater de 8./9. ud 0. Jd ucte Löuge für größere erter Iteger Relato Detecto-Algortu für allgeee vo elaa Ferguo ud Rodey Forcade - beateter Algortu (voralle wege guter Stabltät) PSLQ - Algortu 3

4 3. ateatce erletug de PSLQ 3.. Utere Scrae für Iteger Relato - K ee de oplee Zale - z K - z zz z e de ougert oplee Zal A A ( ) - atr oder Vetor; a - Vetore K d ortogoal: (, y) - ( tr( A A ) A Frobeu Nor adugerte atr y 0 - A t utär, fall A A AA I - U(, K) e de ege aller utäre atrze A auf K - atr A t uodular, fall det( A ) oder det( A ) - Gl(, Z) t de Gruppe aller uodulare atrze t gazzalge Eträge 3.. Defto: - Se K t - Se : {y K : (, y) 0} - E t Z : { y Z : (, y) 0} de ege aller gazzalge Vetore, de ortogoal zu d - >0 t 0< < y ; (Z y )\{0} 3.. Defto: - Se K t - Außerde ee alle 0,,..., (ot ätte ofort ee Iteger Relato ) - Defere:,,..., - Defere: ( ) ( ) t 0 < < 4

5 3..3 Lea: Se we 3.. defert. Da glt: (), d.. de Spalte vo d ortogoal I () (3) 0 Bewe: zu (): Berece ( ) ) ( ) (,, ],..., [ ) ( ) ( : < < 443 <: < < zu (): Au () folgt:, at Spur tr Beauptug I ) ( zu (3): 0 < 3..4 Lea: Für K t defere wr. t ee ortogoale Proeto auf. P P Für glt: P () P P () I P (3) P P (4) P (5), z z P z (6), Z P 5

6 Bewe: zu (): folgt au ( ) zu (): Lea 3..3 (3) t ( ) atr t rag( ) ; 0 ; Defere U ( ) (ee ( ) utäre atr) UU I zu (3): ( P ) ( I ) I I ( ) I P zu (4): P tr( P P ) tr( P ) tr( ) zu (5): folgt au (): P z I z { z z zu (6): folgt au (5) 3..5 Teore: 0 { Se 0 K. We für ede Relato vo ud für ede atr A Gl(, Z ) ee utäre atr Q U ( ) etert, o da A Q (utere trapezförge atr t 0 ) glt, da glt: a Beerug: ee LQ-Zerlegug vo Bewe: 0 A Q glt de Allgeee ct er. etert er, aber uter der Bedgug Se ee Relato vo. Au der Aae e würde o ee utäre atr Q U ( ) etere t A Q (äquvalet zur QR-Zerlegug) atr T t Ee auf der auptdagoale ud ee Dagoalatr D t TD ud 0, Adereret: AP Q ( A Q Q A Q AP ) AP TDQ, d.. e gbt ee Zerlegug vo AP : - utere trapezförge atr T t Ee auf auptdagoale - verterbare Dagoalatr D t auf Dagoale - atr Q t ortoorale Zele, wel Q Q Q I Q I 6

7 Nor der -te Zele vo DQ t t Lea 3..4 (6): Q P A AP A TD ( Q ) Se de -te Zele vo Q ud e de -te Zele vo A A Q < t Q Da A verterbar A 0 Se der letzte Ide für de glt: A 0, o da A 0 für < Zele vo TDQ d 0 ud wel T utere trapezförge atr Zele vo Q d 0 A Q Wege A Gl(, Z) A Q, wel Q e Vetor t der Nor t. Beerug: Teore 3..5 verrät u ee Stratege ee Relato Fdg Algortu zu otruere: - de Uglecug au de Teore zegt u ee utere Scrae für uere Relato - Veruce de Nor vo zu reduzere, de a vo l ege uodulare atrze eraultplzert Dee uodulare atr wrd u durc de erte Reduto gelefert Defto (erte Reduto) Se ee atr t Wr defere ee atr D ( d ) Gl(, 0, <, aber 0 für,..,- Z) reurv we folgt: für fete, verrgere vo b : 0 < etze: d d < roud( ) > Wr age: D t de erte Reduto vo ud roud ( t) t 3..7 Lea: D t de reduzerede atr vo. E etert ee Kotate ϕ, o da alle Eträge der erte reduzerte atr í de Uglecug ( ) D, > ϕ ϕ 7

8 erfülle. Dabe t: ϕ reelle Fall ϕ oplee Fall 8

9 4. Der PSLQ- Algortu 4. Defto: Wäle: γ > reelle Fall 3 γ > oplee Fall Defere:, ϕ au Lea 3..7, τ R τ ϕ γ 4. Algortu: Afag: Iput: K etze:, we Defto 3.. A : I B : I Füre erte Reduto a durc, d.. produzere D Gl(, Z) (we Def. 3..6) etze: Iterato: : D : D A : DA B : BD Scrtt (): ( ) r Suce gaze Zal r, o da γ γ,,... rr Se α rr, β r, r, λ r, r ud δ β β λλ Defere R al Eetatr, der de r-te ud de (r)-te Zele vertauct d : R : R A : RA B : BR Scrtt (): Fall r < : Q t Q ( q ) utär ( Q U (, K) ), (Q t o gewält, we e Teore 3..5 gefordert wrd.) 9

10 q β λ δ δ λ β δ δ 0 r, r r, r r, r r, r r r ot Fall r blebt uverädert Scrtt (3): Füre erte Reduto a durc, d.. produzere D Gl(, Z) (we Def.3..6) etze: : D : D A : DA B : BD Scrtt (4): Beede Algortu fall 0 für e oder fall 0 für e 0

11 5. Kopletät - See ( ) A B A de Reultate ac Iteratocrtte. - Se α rr ( ), β r ( ) (glece Defto we Scrtt ()) r, - Wel Scrtt (3) erte reduzert wurde, glt: r ( ) - Für < etze λ ud defere t r, r α β < (Lea 3..7) ϕ β β λλ - Au deer Defto folgt: λ α t, wel r, r r, r r, r r, r r, r α r r - Au Scrtt () folgt: 0 λ, wel γ γ r, r γ rr α t β β λλ α ϕ γ τ - Für de äcte Bewe wolle wr verlage, da t < < τ, de wrd offectlc reelle ud oplee Fall erfüllt. 5. Lea: ( ) 0 Fall für e (ud für e leere ), da t ud eer Spalte vo B ercet ee Relato für. Bewe: ) Zege: 0 Wr betracte de atr ( ) (da Edreultat au der ( ) te Iterato) Nac Vorauetzug we wr, da e Dagoaleleet ( ) Null t. Ibeodere glt für da r, welce Scrtt () gewält wrd: rr ud ( ) 0 ( ) 0 r, r Nu ee wr a, da r. α 0 Se Subatr vo ( ) ( r, r -te Zele ud r, r -te Spalte) β λ β λ Nacde Scrtt () augefürt wurde, wrd darau α 0 β λ I Scrtt () ultplzere wr de t der Subatr vo Q, d.. t δ δ λ β δ δ wobe δ β β λλ

12 δ 0 α β αλ δ δ Da λ, α uglec Null (ware Dagoaleleete vo ( ) ), we wr da δ, αλ δ uglec Null d. Da der Ret vo Q Eetatr t, wurde der Ret auc ct beeflußt. a Ede vo Scrtt () d alle auptdagoaleeleete uglec Null. Da erte Reduto ee eue Nulle erzeugt, at ac der -te Iterato ee Nulle auf der auptdagoale. Wderpruc zu uerer Vor. a r u zu beoe u ud ( ) 0 e, ( ) 0, ( ) 0 ) ee Relato für u eer Spalte vo B auftauce Au Lea 3..3, 0 ud BA I folgt: 0 BA BA Q B ( ) ( ) wobe Q de paede utäre ( ) ( ) atr Se z B.,...,0 B z..., z ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 0,., 0 z Da ( ) 0 Relato für tet der ( )-te Spalte vo B., Alo: Wr abe etzt ee Algortu gefude ud we wo wr de Löug uere Proble fde. Wr beötge dezufolge ur oc ee Auage über de Azal der Iteratocrtte. Dafür brauce wr ege vorberetede Lea. 5. Lea: I eder Iterato de Algortu erfülle de auptdagoaleeleete folgede Uglecug:,,.., ( ) Bewe: per Iduto : Dagoaleleete vo () etprece dee vo wege ud Beauptug De Beauptug gelte für. De Dagoaleleete vo ( ) d de glece we vo ( ), außer für Zele r ) r ee Bewe Lea 5. α ac Scrtt () β, aber β, wel ϕ > ud α ac Vorauetzug ϕ rr (er fdet ee ultplato t utäre atr Q tatt.) ) r < ac Scrtt () ud ultplato t Q : δ rr

13 δ α t, da t < ud α r, r αλ δ αλ δ λ α t 5.3 lflea: Betracte de Quotet ( a b, t) { b, t} { a,} { b,} { a, t} q,, wobe a, b, t R ud a, b, t > 0. Wr ee a, da de Uglecuge a b, a t ud t erfüllt ee. q a, b, t ( ) 5.4 Lea: See α, γ ud E glt: γ α we ber defert. Bewe: r I Scrtt () wäle wr r derart, da γ α γ für alle,...,. γ r γ voralle für da γ α γ α γ γ α α 0 für da 5.5 Defto ( Π -Futo) für alle,..., Erer wr u, da τ. ϕ γ Wr defere: ( ) 5.6 Lea: Für ede > glt: () ( γ ) Π( ) () Π( ) τ Π( ) au Teore o Π γ,. ( ) 3

14 Bewe: () abe o, da ( ) 0,,...,. Außerde abe wr ud (Lea 5.) ( ),, ( ) recte Sete der Uglecug Aderet glt er:, ud ( )!! ( ) ( ) () r e gewält we Scrtt () α 0 Subatr vo ( ) β λ β β λλ t (Scrtt ()) α Nee r < a: Nac eer Iterato wrd au obger Subatr Aber e glt: δ α t ( )... δ 0 α β αλ δ δ ud γ Darau folgt, da de Beträge vo α ud λ (Dagoaleleete) eretzt werde durc αλ δ ud. δ alle Fatore blebe deelbe, außer dee bede Π( ) r, γ γ Π( ) α t Π( ) γ, γ α Setze: a : γ α t ud b : γ λ Π Π ( ) ( ) { a,} { a, t} { b, t} { a,} { b,} { a, t} r t, λ, λ Jetzt zege wr, da Vorauetzuge au lflea 5.3 gelte: > t per Defto a > b da α t λ. Au Lea 5.4 a tγ t Π( ) { a,} Au lflea 5.3 τ Π( ) { a, t} t Nu e r 4 r

15 Scrtt (3) Reduto: letzte Dagoaleleet α < α ϕ (Lea 3..7) Darau folgt: Π ( ) ud Π ( ) utercede c ur letzte Fator: t, γ a, Π( ) α ϕ ϕ Π( ) { a, t} γ, α t Π aber: γ α, alo fall a t ϕ Π t Au Lea 5.4: a tγ t, fall t a ϕ ( ) ( ) Π Π a t 5.7 Teore: γ τ ( ) ( ) Se >, τ > ud 0 K at Iteger Relato. Se de lete Nor für ee Relato vo. τ ϕ Da fdet der PSLQ- Algortu ee Iteger Relato weger al log( γ ) Iteratoe. log( τ ) Bewe: abe Iteratoe geact. Au Lea 5. ud lflea 5.3 folgt: ( ) 0 ud ct alle () l <, l Au Lea 5. ( Π ( 0) ) ud lflea 5.3 ( ( ) ( γ ) τ log γ log τ ( ) ( ) < Π τ ) folgt t Lea 5.4: 5

16 6. Obere Scrae für Iteger Relato 6. Lea: Ageoe t de Relato, de wr der ( )-te Iterato gefude abe, o da ud Da glt:, ( ), ( ) 0, ( ) 0 6. Teore:, ( ). Se de letöglce Nor eer Relato vo. Se de Relato, de PSLQ gefude wurde. γ > 4 für reelle Vetore ud γ > für oplee Vetore glt: 3 γ Bewe: Wr etze vorau, da wr der -te Iterato d Scrtt () t beret vorbe ud r wurde gewält γ γ,,...,, ( ) ( ) Darau folgt t Teore 3..5, Lea 6. ud Lea 5.4: γ γ a ( ) ( ), 6

17 7. Beeruge: ) De Wal vo < τ < t etceded: (acal arbetet PLSQ auc für uzuläge τ ) ) für fdet PSLQ de orlete Relato: für 3 glt dee Bezeug co ct er (welce Relato erttelt wrd, ägt vo der Wal vo τ ab 3) Der PSLQ (owe alle Varate vo Iteger Relato Algorte) fordert ee oe Zalegeauget be der Berecug - 64-Bt IEEE Gletoadartellug a ur ee lee Klae olcer Relato löe -.A. brauct ee Relato der Läge t Koeffzete t d Dezaltelle ee floatg pot Artet, de t dete d Dezaltelle arbetet Der Iputvetor u t d Dezaltelle Geauget egegebe werde 8. Aweduge: ) Algebrace Bezeuge fde ttel PSLQ ) Idetfzere vo Kotate au erfacue 3) Quateteore 4) zur Berecug vo π : Aufgabe: Bercug der.-te Stelle voπ oe vorer de erte - Stelle zu berece Löug: 996: t PSLQ Forel gefude, t dere lfe a de eadezaltelle vo π berece a 4 π Beerug: - Forel auc für adere Kotate gefude, u.a. für π 7