Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1

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1 Nagl, Eführug de Statstk Sete Eletug Damt der Wert des Faches Statstk für wsseschaftlche Utersuchuge besser gesehe werde ka, wrd zuerst e kurzer Abrß über de Ablauf eer wsseschaftlche Utersuchug voragestellt. Am Afag jeder wsseschaftlche Utersuchug steht ee Fragestellug: ee mehr oder weger global gestellte Frage, de durch de Utersuchug beatwortet werde soll. Dese Fragestellug wrd mest weter aufgefächert möglchst präzse ud spezelle Frage. Dese Frage köe zum Tel mt Hlfe vo berets voll abgeschertem Wsse beatwortet werde, zum Tel sd de Atworte eher Vermutuge bzw. Behauptuge; solche Atworte et ma auch Hypothese; de gescherte Aussage ud de Hypothese zusamme see her als de haltlche Aussage bezechet. Nebe dese Aussage sd weter och Deftoe ötg, de festhalte, was mt de verschedee verwedete Begrffe ud Merkmale gemet st. Alle Aussage zusamme werde u wetere Schrtte systematsert ud köe m Se ees Systems vo Aussage als Theore bezechet werde. Be mache wsseschaftlche Utersuchuge recht das Wssesstad cht mal für Hypothese, es blebe ur mehr oder weger präzse Frage. I eem wetere Schrtt st zu überlege, ob zur Überprüfug der Hypothese bzw. Beatwortug der Frage emprsche Wrklchket utersucht werde muß oder durch re logsche Aalyse geklärt werde ka, ob vellecht bestmmte Hypothese aus gescherte Aussage der Theore gefolgert werde köe. Falls zur Überprüfug der Hypothese bzw. Beatwortug der Frage auf Grud der re theoretsche Überleguge cht möglch st, st das Sammel vo Beobachtuge ud prmärer Erfahruge otwedg. D. h. es st ee emprsche Utersuchug ötg st. Dabe werde de Ergebsse m wesetlche durch zwe Arte vo Utersuchuge gewoe werde:. Beobachtug: de Eregsse/Objekte, über de Aussage gemacht werde solle, werde systematsch beobachtet ud protokollert.. Epermet m egere S: Zusätzlch zur Beobachtug werde de Eregsse/Objekte (z. B.: Versuchspersoe, Iteraktosabläufe, Äcker usw.) kotrollerte BEHANDLUNGEN (Treatmets) ausgesetzt. Deser aktve Egrff "s Feld" st das zetrale Elemet des Epermets, be dem systematsch de Behadluge varert ud auf dese Art de uterschedlche Reaktoe beobachtet werde köe. Bede Forme der Utersuchug werde als Epermet (Versuch) m wetere S bezechet ( kurz: Epermet bzw. Versuch). Das zetrale Problem st dabe: Be de meste Versuche köe ur TEILE aller möglche emprsche Eregsse/Objekte betrachtet werde, obwohl de Hypothese geerelle (allgemegültge) Aussage über verglechbare Eregsse/Objekte sd. De bsherge Überleguge lasse sch durch das folgede Schema charaktersere: Frage bzw. Hypothese Versuchsergebs Versuch Gesamthet (Populato): alle möglche Eregsse bzw. Objekte (Ue), auf de sch de Aussage bezeht Das Fach STATISTIK beschäftgt sch -mt der 'svolle' BESCHREIBUNG ud INTERPRETATION vo Ergebsse aus Versuche, de als WIEDERHOLUNGEN vo GLEICHARTIGEN Ezelversuche darstellbar sd (DESKRIPTIVE Statstk),

2 Nagl, Eführug de Statstk Sete mt der Defto vo "Scherhet" als Wahrschelchket ud Regel fürs Reche mt Wahrschelchkete (WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE) ud mt der Frage, ob bzw. mt welcher Scherhet ud uter welche Bedguge vo de Telversuche auf de Gesamthet der möglche Versuche geschlosse werde ka (INDUKTIVE Statstk). Dese Aktvtäte erlechter de Auswertug der Ergebsse der de Versuche gemachte Erfahruge. Statstk uterstützt daher zetral de Prozeß des Leres aus der Erfahrug. Bespel Fragestellug: Studestuato. We ka de Stuato vo Studete charaktersert werde? Spezellere Fragestelluge: Wevel arbetet e bestmmter Studet? Wevel arbete Studete m Durchschtt? Wevel Prozet der Studete habe Agst vor Prüfuge? We st de Wohstuato vo Studete? Was mache Studete Schwergkete bem Studum? Arbete mälche Studete mehr als weblche? Wohe Studete eher alle als Studete? Ist es rchtg, daß glt: je höher de Herkuftsschcht, desto weger Agst vor Prüfuge? Iteressere sch Fraue mehr für de sozale Aspekte des Berufs als de Mäer? usw. Übug Fde Se wetere Fragestelluge. Stelle Se btte Hypothese auf. Versuch Fragebogeerhebug. Um de Frage zu kläre, wurde e Frageboge kozpert, der selbst beatworteter Form das Protokoll des Ezelversuchs be jedem Studete, der h ausfüllt, darstellt. Da vele Studete mehr oder weger glechartger Stuato befragt werde, köe de verschedee Ezelversuche als Wederholuge glechartger Versuche ud somt als e Gesamtversuch betrachtet ud beschrebe werde. Gesamthet Iwefer lasse sch de Ergebsse auf alle Studete verallgemeer? Übugsaufgabe () Aussagekatalog: - Je teurer de Ware, desto weger werde gekauft. - Sozales Hadel st das seem S auf adere bezogee Hadel (M. WEBER) - Sozale Bezehug st de Chace, daß eer (shaft) agebbare Art sozal gehadelt wrd (M. WEBER). - E aufgeklärter Mesch st der, der der Lage st, ohe Aletug ees adere zu deke (ach I. KANT). - Wer sch astregt, kommt ach obe. - Für jede gelte de gleche Regel, see Status deser Gesellschaft zu verbesser. Daher hat jeder de gleche Chace, ach "obe" zu komme. - Druck schafft Gegedruck. - Katholsche Ladmädche habe halb sovel Bldugschace we protestatsche Juge aus der Stadt. - Heutge Studeafäger sd koservatver als Studeafäger früherer Jahre. - Studete arbete m Durchschtt 35 Stude. - Der (Wärme-)Utersched vo heute auf morge wrd doppelt so groß se we der Wärmeutersched vo gester zu heute. - Be eem deale Würfel kommt be jedem Wurf jede Sete mt der gleche Wahrschelchket. - Bem Werfe vo zwe (deale) Müze st de Chace, de bede Würfe "Zahl" zu erzele, sehr kle (we kle?). Frage:. Welche deser Aussage sd Ihrer Meug ach Deftoe ud welche haltlche Aussage? (Begrüde Se jewels Ihre Etschedug).. We würde Se de ezele haltlche Aussage des Aussagekatalogs prüfe? 3. Was st das Charakterstsche a eem Epermet m egere S? 4. Wozu det Statstk?. Ege Grudbegrffe. UE, Merkmal, Stchprobe ud Gesamthet De Hypothese sd Aussage über bestmmte Aspekte ees Merkmals (z.b. Prozet derer, de Agst habe) oder auch über mehrere Merkmale smulta (z.b.: Zusammehag zweer Merkmale: je größer desto schwerer). Be jeder Aussage muß erkebar se, über WEN bzw. WAS etwas festgestellt wrd (z.b. Studete, Arbeter, Iteraktoe usw.). Dese Ob-/Subjekte eer Aussage werde UNTERSUCHUNGSEINHEITEN geat

3 Nagl, Eführug de Statstk Sete 3 (UE). Dabe köe dejege Ob-/Subjekte gemet se, de kokret utersucht werde (STICHPROBE) oder alle dejege, für de de Aussage gelte ka (GESAMTHEIT). De MERKMALE werde m Rahme der haltlche Theore defert (THEORETISCHE DEFINITION) ud durch Meß- bzw. Kategorserugsvorschrfte so eakt festgelegt, daß jede Utersuchugsehet geau eer bestmmte MerkmalsAUSPRÄGUNG zugeordet werde ka (OPERATIONALE DEFINITION). Bespele: Aussage UE Stchprobe Gesamthet Merkmale Merkmalsausprägug Fraue sd klüger als Mesch klee alle Geschlecht weblch, mälch Mäer Auswahl Mesche Klughet sehr klug, klug, mttel, dumm E traerter Sportler klee alle Trag ja, e Sportler ka doppelt so schell laufe we e utraerter Auswahl Sportler Laufgeschwd gket Zet etwa Mute Je häufger de Kotakte zwsche Mesche, desto größer de Sympathe Iteraktoe klee Auswahl alle Iteraktoe Häufgket Sympathe Azahl kee, mttel, groß Im obge Bespel wrd deutlch, daß auch Bezehuge zwsche Persoe selbst de Utersuchugsehete se köe (sozale Iteraktoe). Im Rahme der gleche Fragestellug ka mache Telfrage auch de Perso UE se. Be weder adere Fragestelluge köe Persoe ud Gruppe, dee se agehöre, Gegestad der Frage se ( ZWEIEBENEN-Fragestellug); solche Fragestelluge lasse sch auf MEHREBENEN- Fragestelluge erweter: (z.b.: Perso - Famle -Gemede - Lad - Staat).. Egeschafte der Meß- ud Kategorserugsregel Dese Vorschrfte, auf Grud derer der UE bestmmte Auspräguge ees Merkmals zugeordet werde, heße: Meß- bzw. Kategorserugsregel. Se werde auch als operatoale Deftoe bezechet. Se köe mehr oder weger "gut" se. Folgede dre Forderuge sollte de Vorschrfte geüge:. VALIDITÄT (Gültgket): Valde heße Messuge, falls de Vorschrfte so gefaßt sd, daß de Messuge geau der theoretsche Defto etspreche. (Das, was ma messe wll, wrd auch gemesse. RELIABILITÄT(Zuverlässgket): de Vorschrft st zuverlässg dem Maße, dem be wederholte Messuge uter de gleche Bedguge gleche Ergebsse resultere. 3. OBJEKTIVITÄT: De Vorschrft st geau da objektv, we uabhägg vom Aweder der Vorschrft das gleche Ergebs resultert..3. Arte vo Merkmale Je ach Awedugskotet werde best. Uterschede vo Merkmale relevat; ege wchtge Eteluge sd: Qualtatve-quattatve Merkmale: - QUALITATIV heße jee Merkmale, dere Merkmalsauspräguge uterschedlche Arte darstelle. z.b.: Farbe mt de Auspräguge: rot, blau, grü, gelb usw. Famlestad oder Geschlecht. - QUANTITATIVe Merkmale habe vo vorhere Zahle als Auspräguge: z.b.: Alter, Körpergröße cm, Gewcht kg, Ekomme DM usw. - Mschform: Ordale Merkmale (Ragmerkmale) Dskrete vs. stetge Merkmale - STETIGE Merkmale köe jede Wert ees Kotuums aehme (z.b. Zet, Alter, Läge, Gewcht) - DISKRETE Merkmale köe ur abzählbar vele Werte aehme (z.b. Azahl, Geschlecht).

4 Nagl, Eführug de Statstk Sete 4.4 Das Skaleveau Jeder Merkmalsausprägug ka ee ZAHL als CODE zugeordet werde. Deser Zahlecode köte m Przp völlg belebg gewählt werde; vortelhafter aber st e Zahlecode, aus dem bestmmte, WICHTIGE ASPEKTE der RELATIONEN zwsche de Auspräguge abgelese werde köe (De Auspräguge samt de zwsche he esterede Relatoe werde auch als emprsch relatoales System bezechet, de Zahleodes als das umersch relatoales System). Daher solle be der ZUORDNUNG vo Zahle zu de Merkmalsauspräguge folgede Forderuge beachtet werde: - Nomalforderug: Werde be qualtatve Merkmale de Auspräguge Zahle zugeordet, muß ur beachtet werde, daß verschedee Auspräguge auch verschedee Zahle zugeordet werde ( etspreched: gleche Auspräguge gleche Zahle). De Zahle brge damt ur de Verschedehet m NAMEN zum Ausdruck, cht mehr (z.b. mälch(), weblch()). - Ordal-Forderug: Mache Auspräguge ees Merkmals stehe zueader eer "größer bzw. kleer"-bezehug (z.b. schwach, mttel, stark, stärker, am stärkste); Dese ORDINAL-Forderug der Auspräguge soll wederum bem Zahlecode berückschtgt werde. - Itervall-Forderug: Be adere Merkmalsauspräguge (vor allem be de quattatve) sd etwa de INTERVALLE zwsche je zwe beachbarte Auspräguge GLEICH GROSS; daher soll der Zahlecode so gewählt werde, daß dese INTERVALL-Egeschaft erhalte blebt (z.b.: Temperatur). - Nullpukt-Forderug: Be machem Merkmal st zudem e atürlcher NULLPUNKT festgelegt (z.b. Körpergröße). Da solle de Zahle be desem Nullpukt ebefalls se. - Meßehets-Forderug: Zudem köte och de Meßehet festgelegt se (z.b. bem Merkmal Azahl Geschwster st als Meßehet aheleged: ee Perso). Bespele Zuordugsregel Merkmal ud Merkmalsauspräguge Skaleveau ZAHLENcode-Bespele, be dee de Forderuge berückschtgt werde: rchtg falsch oder oder usw. Geschlecht weblch Nomal 4 mälch 9 Famlestad ledg Nomal 8-9 verlobt 9 verheratet 7 gesch./verw. 3 - Schulbldug Volksschule Ordal 3-8 Hauptschule? Abtur 57 Uabschluß Stude M.? Arbetszet Agabe zur Ver. 9 Dauer Arbetsstude Agabe zur Abs. Dauer 4 Stude 8 Körpergröße Lägemessuge Ver Temperatur Stad der Itervall -5-3 Flüssg- 5 4 ketssäule 8 76 Grad C R F Zulässge Trasformatoe

5 Nagl, Eführug de Statstk Sete 5 Dese dre Kompoete zusammegeomme (de Mege der Merkmalsauspräguge, de Zahlecodemege ud de Zuordugsregel) werde als SKALA bezechet. Je achdem, welche der erwähte Forderuge be eer Skala berückschtgt werde, werde verschedee SKALENNIVEAUS uterschede - Nomalskala: Nomalforderug st erfüllt - Ordalskala: zusätzlch: Ordalforderug wrd berückschtgt. - Itervallskala: zusätzlch: Itervallforderug - Verhältsskala: zusätzlch: Nullpuktforderug - ABSOLUTE Skala: zusätzlch: Meßehet st fest. Charakterserug der Skaleveaus durch zulässge TRANSFORMATIONEN: De Skaleveaus köe aderersets vo de zulässge Trasformatoe her beschrebe werde. Mt Trasformatoe sd de Fuktoe zwsche de verschedee zulässge Codes gemet (sehe m obge Bespel). Dese Charakterserug hat Vortele be der Betrachtug der Frage welche Aussage mt welche Skale svollerwese gemacht werde ka. Außer be der absolute Skala gbt es mmer VIELE Zahlecodes, de de Forderuge ees bestmmte Skaleveaus etspreche. Ageomme de Werte ees Zahlecodes werde mt -Werte bezechet, e aderer zulässger Code werde mt y-werte abgekürzt. De Trasformato st da dejege Fukto y, mt der ma auf Grud der -Werte de y-werte ausreche ka: y y() (damt cht zuvele Symbole egeführt werde müsse, wrd auch de Fukto mt y bezechet; se köte auch mt f abgekürzt werde). Dabe sd je ach Skaleveau uterschedlche Type vo Fuktoe zulässg. Skaleveau Zulässge Trasformato Beschrebug Nomalskala Äquvalezfukto j y( ) y( j ) ud j y( )y( j ) Verschedehet bzw. Glechhet blebt erhalte Ordalskala Mooto stegede Fukto < j y( )< y( j ) Ordug blebt erhalte Itervallskala Leare Fukto ( b>) y() a + b stegede Gerade Verhältsskala Leare Fukto ( a, b>) y() b stegede Gerade durch Absolutskala Idetsche Fukto y() ur gleche Werte Be eer leare Fukto werde a ud b als Koeffzete bezechet. De bede Koeffzete sd glech für de varerede Werte bzw. y. Bespele: allgemee Bezechug her se der Celsuswert ud y der Réaumurwert. De Fukto st dabe: y().8. se der DM-Wert ud y der sfr-wert. De Fukto st dabe: y().8 be Temperatur köe Réaumur- od. Celsusgrade agegebe werde, dafür gbt es ee Umrechugsformel (Trasformato): Grad R.8 Grad C Celsus ud Réaumur habe de gleche Nullpukt (Gefrerpukt des Wassers). Es gbt aber och adere Nullpuktfestleguge. Umrechug vo Währuge z.b. DM sfr Geld sfr.8 Geld DM Der Nullpukt st edeutg festgelegt. Für DM bekommt ma keer Währug was. Übugsaufgabe () ) Was sd be de ezele Aussage des Aussagekatalogs (Übugsaufgabe ()) jewels de Merkmale? Was de Utersuchugsehete? Welche deser Merkmale sd qualtatv, welche quattatv? ) Welches deser Merkmale würde Se mt Hlfe eer Nomal-Skala, eer Ordalskala, eer Itervallskala messe? (Warum?) 3) Be der Fahrehet-Temperaturskala st der Gefrerpukt des Wassers be 3 Grad Fahrehet, der Sedepukt des Wassers be Grad Fahrehet. Erstelle Se ee leare Fukto für de Umrechug vo Celsusgrade Fahrehetgrade 4) Utersuche Se "usere" Frageboge: Welche Merkmale habe welches Skaleveau?

6 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6.5 Kozept der zulässge Aussage Im Eglsche heßt deses Kozept: MEANINGFULNESS (Svollket). Es stellt de Verbdug dar zwsche der Iteto eer Aussage ud dem für dese Aussage mdestotwedge Skaleveau der Merkmale, für de de Aussage gemacht wrd. Das Skaleveau wrd auf Grud der Erfordersse der Aussage festgelegt. Ee Aussage st geau da ZULÄSSIG auf eem bestmmte Skaleveau, we se äquvalet blebt be alle auf dem Skaleveau zulässge Trasformatoe äquvalet blebt. Aders formulert: Ee wahre (bzw. falsche) Aussage st geau da ZULÄSSIG auf eem bestmmte Skaleveau, we se uter alle für das Skaleveau zulässge Trasformatoe der der Aussage ethaltee Merkmale wahr (bzw. falsch) blebt (d.h. de Aussage mt de trasformerte Werte st äquvalet zur Aussage mt de utrasformerte Werte) Statt der Bezechug "zulässg" wrd oft auch de Bezechug "svoll" verwedet. I vele Fälle ka ma umttelbar aus der Formulerug der Aussage errate, welches Skaleveau für de Merkmale erforderlch st. Bespel: Be der Aussage je größer jemad st, desto schwerer st umttelbar eschtg, daß für dese Aussage de Merkmale Körpergröße ud Gewcht ke höheres Skaleveau habe müsse als ee Ordalskala. Be Aussage mt aspruchsvolle Vergleche st es hlfrech, folgedes Verfahre zu verwede, um festzustelle, ob de Aussage be eem bestmmte Skaleveau svoll st: Verfahre Bespel. Idetfzere alle Merkmale eer Aussage. Für Ehepaare soll de Aussage: De Frau st doppelt so klug we der Ma utersucht werde. Für e Merkmal soll utersucht werde, Merkmale: Se (F, M). Klughet:. ob be eem bestmmte Skaleveau de Se st omal. Für soll utersucht werde, ob de Aussage svoll st, Aussage svoll st we Itervallskaleveau hat.. Schrebe de Aussage als Formel dar Klughet der Frau * Klughet des Maes: F M 3a de für bestmmte Skaleveaus zulässge Utersuche leare Trasformatoe für : y() a + b. Trasformatoe für de Merkmale ezusetze Esetze für : y( F ) y( M ), bzw. a+ b F (a+b M ). a+ b F a+ b M b F a+ b M 3b Überprüfe, ob de Aussage formal (mt Welche Werte müsse bzw. köe de Koeffzete a ud b habe, damt de trasformerte Aussage auf de ursprüglch reduzerbar st? Nur we de trasformerte Werte) och das a st, glt gleche aussagt; d.h.: ob se alle Fälle b F b M. Da ka b weggekürzt werde: F M. Dese Aussage st u äquvalet zur ursprüglche Aussage. wahr (bzw. falsch) blebt; d.h. logsch Bedgug st aber a. D.h. Ee Verhältsskala st otwedg, damt dese äquvalet zur utrasformerte Aussage Aussage svoll st, Itervallskala recht cht. st. Bemerkuge zum Nachwes der logsche Äquvalez De logsche Äquvalez der bede Aussage wurde m obge Bespel dadurch achgewese, daß de trasformerte Aussage auf de ursprüglche zurückgeführt wrd (wobe de erforderlche Bedgug festgestellt wurde). Das st de efachste Art ees Äuvalezachweses. Geerell st der Nachwes der logsche Äquvalez der Bewes, daß aus der utrasformerte Aussage (u) de trasformerte Aussage(t) folgt ud umgekehrt: u t t u u st ee hrechede ud aus u folgt t ud otwedge Bedgug für t aus t folgt u bzw. u t Doppelmplkato Es geht her u darum, de Art der zulässge Trasformato festzustelle, uter der dese Äquvalez glt. Es st oft lechter zu bewese, daß für ee Typ vo Trasformato kee Äquvalez vorhade. Dafür recht e Gegebespel aus. Ageomme, de obge Aussage f m se be eer Itervallskala zulässg st. Se f ud m. So st de Aussage jedefalls rchtg m -Zahlecode. Wr wähle als be Itervallskale zulässge Trasformato y() 4 + (mt a4 ud b). Für das kokrete Bespel egesetzt: y f 6 ud y m 5. Für dese Zahlewerte glt aber de ursprüglche Behauptug der doppelte Klughet der Frau cht mehr: 6 st cht doppelt so groß we 4. So wurde durch e ezges Gegebespel gezegt, daß de trasformerte Aussage cht äquvalet zur utrasformerte st (be Itervallskaleegeschaft der Klughet). Geht es darum, das MINDEST-Skaleveau festzustelle, be dem ee Aussage gerade och zulässg st, ka we folgt vorgegage werde: Blebt ee Aussage auf eem bestmmte Nveau ach der etsprechede Trasformato wahr(bzw. falsch), wrd das ächstedrgere Nveau utersucht, solage bs e Nveau

7 Nagl, Eführug de Statstk Sete 7 errecht wrd, be dem e Gegebespel zur Behauptug, daß de Aussage ach eer auf desem Nveau zulässge Trasformato wahr(bzw. falsch) blebt, gefude werde ka. Das vorherge Skaleveau st das gesuchte Mdestskaleveau. (m obge Bespel: Verhältsskala, Gegebespel be Itervallskala) Bespel: Utersuchug Aussage: Der Utersched m Stmmvolume zwsche eem Juge ud eem Mädche st glech groß we zwsche eem Ma ud eer Frau Gesucht : Mdestskaleveau für Stmmvolume; beged mt Learer Trasformato ud da absteged zu edrgere Trasformatoe. Verfahre. Idetfzere de Merkmale eer Aussage. Für e Merkmal soll utersucht werde, ob be eem bestmmte Skaleveau de Aussage svoll st Bespel Merkmale: Geschlecht ud Alter kombert M (Ma), F (Frau), m (Juge), f (Mädche). Stmmvolume werde mt abgekürzt. Gesucht : Mdestskaleveau für Stmmvolume.. Schrebe de Aussage als Formel dar m f M F 3a Leare Trasformatoe für das Merkmal Utersuche leare Trasformatoe für : y() a + b. ezusetze Esetze für : y( m ) y( f ) y( M ) y( F ) b( m f ) b( M F ), de a fällt weg ud b ausklammer; 3b Äquvalezüberprüfug zusätzlch b kürze ergbt: m f M F. Dese Aussage de trasformerte Werte st offeschtlch äquvalet zur utrasformerte. Kee Bedgug Zusatzbedgug war ötg. Itervallskala recht aus. 4a 4b Überprüfe mootoer Trasformatoe, für das Merkmal ezusetze Äquvalezüberprüfug Überprüfug, bs Äquvalez cht mehr gegebe st. Vellecht recht ee Ordalskala. Da müßte de Aussage auch be mootoer Trasformato äquvalet blebe. Es wrd e Gegebespel kostruert, um de Behauptug der Äquvalez be mootoe Trasformatoe zu wderlege: See m 3, f, M 5 ud F 4. Be dese Zahle st de Aussage wahr. Als mootoe Trasformato y() verwede ma:, 3 3, 4 4, 5 9; Esetze der y() Werte ergbt: 3? 9 4. Nach der Trasformato st de Aussage falsch (blebt cht rchtg). Daher cht äquvalet. Daher st Itervallskaleveau für dese Aussage ötg, da be mootoe Trasformatoe kee Äquvalez glt. Mt derselbe Methode ka utersucht werde, auf welchem Skaleveau bestmmte Maßzahle zulässg sd. Dabe wrd utersucht, be welchem Skaleveau de Maßzahle trotz Trasformato glech blebe oder zumdest wchtge Aussage, de de Maßzahl verwede, äquvalet sd. Bespel: arthmetsches Mttel über 3 Meßwerte ees Merkmals. Aussage se: arthm. Mttel ( )/3 st glech groß we. Wert. Gesucht : Mdestskaleveau für dese Aussage; beged mt Learer Trasformato ud da absteged zu edrgere Trasformatoe. Verfahre. Idetfzere de Merkmale der Aussage. De Aussage st her, daß ee Maßzahl ee bestmmte Wert aehme. 3b Bespel Dre Werte ees Merkmals:,, 3 Das arthm. Mttel ( + + 3)/3 st glech dem. Wert: Gesucht : Mdestskaleveau für das Merkmal. Schrebe de Aussage als Formel dar ( + + 3)/3 3a Leare Trasformatoe für das Merkmal ezusetze 4a 4b Äquvalezüberprüfug Überprüfe mootoer Trasformatoe, für das Merkmal ezusetze Äquvalezüberprüfug Überprüfug, bs Äquvalez cht mehr gegebe st. Utersuche leare Trasformatoe für : y() a + b. Esetze für : (y( ) + y( ) + y( 3) )/3 y( ). (a+b + a+b +a+b 3)/3 a + b. a + b ( + + 3)/3 a + b. ( + + 3)/3 De Aussage sd äquvalet. Da a ud b m letzte Schrtt völlg wegfalle, sd de Aussage detsch trotz Trasformato. Itervallskala recht aus. Vellecht recht ee Ordalskala. Da müßte de Aussage auch be mootoer Trasformato äquvalet blebe. Es wrd e Gegebespel kostruert, um de Behauptug der Äquvalez be mootoe Tr. zu wderlege: See,, 3 3. Be dese Zahle st de Aussage wahr. Als mootoe Trasformato y() verwede ma:,, 3 6; Esetze der y() Werte ergbt: 3?. Nach der Trasformato st de Aussage falsch (blebt cht rchtg). Daher cht äquvalet. Daher st Itervallskaleveau für dese Aussage mdestes ötg, da be mootoe Trasformatoe kee Äquvalez glt.

8 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 Übugsbespele:. Zege, daß für de Aussage: Effzezutersched zwsche eer klee u. eer große Orgasato st NULL für das Merkmal 'Effzez' ee Nomalskala ausrecht. Welches Skaleveau wäre ötg, we behauptet würde, der Effzezutersched se glech?. Aussage: De durchschttlche Effzez vo 3 klee Orgasatoe st glech der durchschttlche Effzez vo 3 große Orgasatoe. Welches Skaleveau st für Effzez ötg, damt dese Aussage svoll st. Deskrptve Statstk. Edmesoale Verteluge Edmesoal soll her bedeute, daß desem Abschtt de Vertelug für ur e ezges Merkmal betrachtet wrd, währed spätere Abschtte de Vertelug mehrerer Merkmale smulta berückschtgt werde soll.. Urlste, Sorterte Lste ud Häufgketsvertelug Für geau e Merkmal se für jede Utersuchugsehet(UE) eer Erhebug der Zahlewert der Ausprägug des Merkmals gegebe. De Lste deser Werte et ma URLISTE. De Urlste ka u zur Verbesserug der Überscht über de Werte sortert werde (SORTIERTE Lste). Auf Grud der Sorterte Lste (durch Zusammefasse aller gleche Werte ud Notere, we vele Werte jewels glech sd) oder auf Grud der Urlste drekt (durch drektes Abzähle bzw. Strchlste ka de HÄUFIGKEITSVERTEILUNG (das st de Lste, de agbt, we oft welche Werte vorkomme). Bespel: Merkmal Alter der erste 6 Ue aus der Lste aller Date Urlste Sorterte Lste Ide Wert Sortere Ide Wert () () () 4 () 3 Strchlste Zusammefasse (3) 4 4 (4) (4) 5 4 (5) 6 (6) 7 7 (7) (7) 8 Häufgketsvertelug (8) 9 (9) 4 Ide Wert Häufgket () () 3 () () (3) (4) (5) 4 6 I 5 3 (6) 3 BEACHTE: De Werte alle dre Lste werde mt bezechet. I jeder Lste gbt der Ide a, der wevelte -Wert deser Lste gemet st. Im Bespel st der 4. Wert der Urlste 4, der 4. Wert der Häufgketsvertelug 4 4. De Werte der sorterte Lste bekomme ee Klammer gesetzte Ide. A der Art deses Idees ka sofort erkat werde, daß e Elemet aus der Sorterte Lste gemet st. Im Bespel st der 4. Wert der sorterte (4). Wchtg: falls e dzerter -Wert vorlegt, muß eplzt klar se, welche -Werte-LISTE gemet st.

9 Nagl, Eführug de Statstk Sete 9 Als Überscht über de Vorgag soll folgedes Schema dee, das auch de Symbole ethält, de küftg verwedet werde ( ohe Ide: Azahl der UE sgesamt, I Azahl der verschedee vorkommede Werte). Urlste Sorterte Lste,,... Sortere () ()... () Strchlste Häufgketsvertelug < <... < I,,..., I Zusammefasse wederholt Werte aschrebe ( mal) De Werte der Häufgketsvertelug sd ebefalls sortert ( < j für alle, j mt <j). De Azahl ( auch Häufgket geat) gbt a, we oft der Wert vorkommt. De Summe der Häufgkete selbst st glech der Azahl der UE I Atele (relatve Häufgkete), kumulerte Häufgkete ud kumulerte Atele Da de Azahl der UE sgesamt vo Utersuchug zu Utersuchug varere ka, ka de Häufgket ees bestmmte Wertes (z.b.: Azahl derer, de Jahre alt sd) aus verschedee Utersuchuge cht umttelbar absolut verglche werde. Daher wrd de RELATIVE Häufgket (auch ANTEIL geat, mt multplzert als PROZENTsatz bekat) berechet. Für mdest ordale Merkmale teressert oft de Frage, we groß der Atel derer st, de ee Wert habe, der kleer oder glech eem bestmmte -Wert st. Deser Atel heßt auch der kumulerte Atel. Deselbe Frage ka auch bezüglch der Häufgket selbst gestellt werde (kumulerte Häufgket). Formel Bespel Atel, relatve Häufgket für p( ) (auch p ) /. Der Atel derer, de Jahre alt sd 6/6 p() p Prozet p() p 4/6.5 5 Prozet p(3) p 3 /6.5.5 Prozet Kumulerter Atel Atel der F( ) p + p p Atel der Studete, dere Alter < st F() p()+p() /6 6.5 Prozet UE mt Werte kleer oder glech p( ) + p( ) p( ) Atel der Studete, dere Alter <3 st glech Werte Summe aller Atele bs F(3) p()+p()+ p(3) /6 75 Prozet zum. (klusve) Atel der Studete, dere Alter <3 st ok? Rekursve Berechug: F( ) p( ), Afagswert F( ) F( - ) + p( ).,...,I F() p().375. F() F()+ p() F(3) F()+ p(3) usw. Be der obge Formel wurde der kumulerte Atel auf der Bass der Häufgketsvertelug berechet. De kumulerte Atele köte auch drekt auf Grud der Urdate berechet werde. Mt Hlfe eer sogeate Idkatorfukto I(Aussage), ka der Sachverhalt formulert werde: F( ) : (I( ) + I( ) + + I( )) / De Idkatorfukto: I(Aussage), falls Aussage wahr st;, falls Aussage falsch st. d.h. Summere jewels ee, we der Wert kleer oder glech st. Das st da geau de Azahl der Werte, für de de Werte kleer oder glech sd. Das Ergebs durch dvdere (wege Atelbldug).. Graphsche Darstellug der Häufgketsvertelug Graphsche Darstelluge solle eersets ee gefällge Überscht vermttel aderersets dem Zel dee, Vergleche zwsche de Verteluge des Merkmals uterschedlche Gruppe erlechter. Daher wrd oft cht ur der beschräkte Ausprägugsberech der Werte eer Gruppe betrachtet, soder alle möglche Auspräguge; be Auspräguge mt sehr vele Auspräguge mest de gesamte -Achse.

10 Nagl, Eführug de Statstk Sete.. Darstellug der Atele als dskrete bzw. stetge Verteluge Mt wege Ausahme werde Merkmale als dskrete Werte erhobe (Ausahme sd Itervallfrage, s.u.). Mache Merkmale habe aber sehr vele Auspräguge, de da Itervalle gruppert werde. Mache Werte sd vo vorhere cht eakt erhobe, soder ur gerudeter Form (z.b. Alter), so daß auch her ur e Wert vorlegt, der rgedwo eem bestmmte Itervall legt. I alle Fälle, dee uterstellt werde ka, daß de Werte eplzt oder mplzt Itervallagabe darstelle, wrd ee Darstellug der Atele als stetge Vertelug bevorzugt. Falls cht allzuvele Auspräguge vorlege bzw. das Merkmal selbst dskret st, wrd de Darstellug der Atele als dskrete Vertelug bevorzugt; ebeso be Nomal- ud Ordalskale. Der wesetlche Utersched: Be stetge Verteluge wrd de Atels- bzw. Häufgkets- Masse als Fläche, be dskrete als Höhe dargestellt. I bede Fälle wrd eersets de Darstellug der Atele selbst betrachtet (Dchtefukto), zusätzlch de kumulerte Atele(Vertelugsfukto).... Dskrete Verteluge Dchtefukto Be dskrete Verteluge werde de Atele als Stäbe für abzählbar vele Werte der -Achse dargestellt. Daher köe de Atele als de Fuktoswerte der -Werte terpretert werde. Dese für de gesamte - Achse deferte Fukto heßt DICHTEFUNKTION: Dchtefukto: Atele als Stäbe für de der Häufgketsvertelug vorkommede -Werte, sost. De graphsche Darstellug deser Fukto heßt Stabdagramm Formel p( ) f () sost mt sost st möglche Ausprägugsberech des Merkmals gemet Bespel, Altersvertelug f() Graphsch wrke dcke Strefe besser als de fee Stäbe, de dealerwese be quattatve Merkmale ee Brete vo habe müßte. Daher werde de meste Computerprogramme dcke Strefe gezechet, de als Strefedagamme (auch Balkedagramme geat) bezechet werde. Be Nomaldate sd de Werte zwsche de Codes cht defert, daher köe de Strefe belebg bret gemacht werde; der Lesbarket halber werde statt der Codes mest de Ausprägugsame verwedet..3.. Strefedagramm, vertkal.8 f().6.4. ledg verlobt getret Bespel: Strefedagramme für das omale Merkmal Famlestad (Werte für de erste 6 Ue). Merkmals ausprägug Code Azahl Atel ledg.6875 verlobt 4.5 getret 3.65 Be omale Merkmale wrd mest der Ausprägugstet als Beschrftug verwedet. f() st der Atel. Strefedagramm, horzotal getret verlobt ledg f() De Vertelugsfukto: F() De Fragestellug We groß st der Atel der Werte kleer oder glech eem Wert ka für de gaze Zahleberech erwetert werde, auch für Werte, de gar cht erhobe wurde. Dadurch etsteht ee Fukto, de für alle -Werte defert werde ka:

11 Nagl, Eführug de Statstk Sete Beschrebug Formel Bespel Atel Werte kleer F(): (I( ) + I( ) + oder glech... + I( ))/ De (kumulerte) Vertelugsfukto st für alle möglche Werte der Varable defert Form: Treppefukto, mt Sprugstelle Graph der Vertelugsfukto (theoretsch für zwsche - ud + ) F() rechtssetg stetg mooto chtfalled F() F( ) für < gaz lks, gaz F() für alle rechts F(- ), F(+ ) F(), F(.5), F(.99), F(.999), F().375, Sprugstelle: F().375, F().65, F(3).75, F(4).9375, F(3). F() Stetge Vertelug: Atele als Fläche Falls das Merkmal als stetg betrachtet wrd, ka a jeder Stelle ees Berechs der wahre Wert lege; de protokollerte Größe selbst st ur ee ugeaue Agabe. Damt dese Tatsache be der Darstellug berückschtgt werde ka, werde de ezele Agabe ur och so terpretert, als ob se aus dem etsprechede Itervall stammte. Es muß da aber das Itervall betrachtet werde. De Etelug de verschedee Itervalle wrd auch als Klasseetelug bezechet, etspreched de zusammegefaßte Elemete als Klasse. De Itervalle köe grudsätzlch uterschedlch bret se. De Atelsmasse pro Itervall soll auf das Itervall glechmäßg aufgetelt werde. Das ka am beste errecht werde, we pro Itervall der Atel als Fläche dargestellt wrd. So ka berückschtgt werde, daß Itervalle auch uterschedlch bret se köe. Formel: Für Itervall : p Fläche b * h Da de Brete deser Fläche bekat st (ud h ebefalls de Fläche), muß ur och de p / b Höhe des etsprechede Rechtecks berechet werde. De Dchtefukto f() gbt u a, welche Höhe be de Itervalle vorhade st. h u < o f () sost Da pro Itervall u de Fläche uter der Dchtefukto de Atel darstellt, st de gesamte Fläche uter der Dchtefukto sgesamt glech es. Dese Darstellug ach dem Przp der flächetreue Darstellug der Atele wecht erheblch vo eer Darstellug der Atele als Höhe ab, we de Itervalle uterschedlch bret sd. Bespel: Ekommesagabe mt 5 uterschedlch brete Itervalle see be Persoe erhobe worde. Ergebs sd de Häufgkete bzw. de Atele Auf Grud der utere ud obere Greze (u, o ) wrd de Klassebrete berechet. Ide Klasse Klasse Häufg A- Dchte Greze Brete ket tel Höhe u o b p h f() Hstogramm Ekomme

12 Nagl, Eführug de Statstk Sete Be dese Überleguge wurde uterstellt, daß de Atelsmasse glech vertelt wrd jedem Itervall. De graphsche Darstellug heßt auch Hstogramm. De Aahme der Glechvertelug m Itervall st etwas restrktv. Es gbt adere Möglchkete, de Atelsmasse aufzutele, vor allem be Zusammefassuge der bekate Orgaldate. Mt Hlfe der Methode der Kerschätzer ka be bekate Orgaldate ee dateähere, glatt verlaufede Darstellug der Verteluge zu errecht werde. Aber auch dabe werde de Atele als Fläche dargestellt (sehe HEILER S. & MICHELS P., 994, Sete 55 ff). De Vertelugsfukto F() be stetger Darstellug Auch de Vertelugsfukto muß be stetger Darstellug aders kostruert werde. Währed be dskreter Darstellug de Vertelugsfukto de Summe der Atele (mt etsprechede Sprugstelle) darstellt, müsse u de Fläche summert werde (evetuell über belebg klee Itervalltele). De Vertelugsfukto beschrebt für jede Pukt de Atel bs klusve zu desem Pukt. Daher st be stetger Darstellug de Fläche uter der Dchtefukto vom Afag bs zu desem Pukt zu bereche. Allgeme st das mt dem Itegral möglch. Be Glechvertelug lefert deses Itegral ee Gerade. Bespel: Summe der Fläche der Atels-Glechvertelug. Utere Greze5. Obere Greze Fläche bs 5. Fläche bs 75.5 Fläche bs. De Fukto F() gbt de Fläche bs zu eem bestmmte Pukt a. Wege Fläche Atel st das zuglech de Darstellug der Atelssumme. f(). F() Geerell st de Vertelugsfukto be stetger Darstellug das Itegral der Dchtefukto: F () f (y)dy Erstelle der Vertelugsfukto be glechvertelte Itervalle: Puktpaare etrage: für das. Itervall utere Greze mt F(u ) etrage, obere Greze mt F(o ). Für alle folgede Klasse de Puktpaare obere Greze o mt F(o ). Pukte mt Gerade verbde. Ute de Gerade bs u auf Höhe, obe ab o I auf Höhe ergäze, we ötg (etspreched der -Achse). Bespel: Ekommesagabe. Bereche Se für jede Klasse de kumulerte Atele Ide Klasse Greze kumulerter u o Atel I st her 5. Nach o I 5 wurde auf Höhe ergäzt. De Form der Graphsche Darstellug heßt: Summepolygo F() Summepolygo Ekomme.. Zusammefasse be vele Auspräguge Falls e Merkmal vele Auspräguge hat, sollte de Auspräguge be der Darstellug der Dchtefukto Klasse zusammegefaßt werde. Be Nomalskale ka de Zusammefassug ur auf Grud haltlcher Krtere erfolge. Ab Itervallskaleveau köe Grupperuge über Itervalleteluge gebldet werde. We möglch sollte de Klasse der Efachhet halber glech brete Itervalle zusammegefaßt werde; de Itervallbrete sollte rude Zahle se, damt gut überschaubare Itervalle etstehe. Zudem sollte offee Klasse (größer bzw. kleer als) vermede werde.

13 Nagl, Eführug de Statstk Sete 3 Zusammefasse bedeutet mmer Redukto der Iformato; daher sollte cht zu stark zusammegefaßt werde. Falls aber de Azahl der UE kle st, sd möglcherwese alle Werte (ur wege deser klee Azahl) verschede; dabe werde evetuell de wahre Häufuge vo Werte cht mehr schtbar. Daher wrd de Azahl der Klasse Abhäggket vo der Azahl der UE gewählt. Für dese Wahl gbt es zwar vele Vorschläge, aber kee alle Fälle eakte Formel. Für de Wahl der Klasse wrd folgede Regel empfohle: Azahl der Klasse * ( Azahl der UE) Bespel: Körpergrößewerte 65, 67, 7, 74, 74, 75, 78, 84, 84, 85, 86, 88, 89, 9, 9, 94 (sorterte Lste der 6 erste UE der Studeteutersuchug). Auf Grud der Regel sollte mdestes 4, höchstes jedoch 8 Klasse gebldet werde. Be eer Itervallbrete vo 5 etstehe 6 Klasse mt gut überschaubare Klasse. f().5 Ide Greze ket tel Höhe Klasse Häufg A- Dchte.4 u o p h Körpergröße Be glech brete Itervalle blebt de Form des Hstogramms erhalte, we be der y-achse statt der Dchte etwa der Prozetsatz, der Atel oder de Häufgket aufgetrage würde. Das mache übrges sehr vele Computerprogramme. Für de Darstellug der kumulerte Atele sd Zusammefassuge zwar möglch, aber cht erforderlch...3 Adere Darstelluge der Atele bzw. vo Häufgkete..3. Dagramme für wege Auspräguge Kresdagramm Staf f eldagramm 6% 5% 69% % % 4% 6% 8% % ledg verlobt getret ledg verlobt getret Für Merkmale, de cht allzu vele Auspräguge habe, sd uter adere Kresdagramme (egl. Pes), Staffeldagramme ud Netzdagramme brauchbare Darstelluge für Atele (ebeso für Häufgkete selbst). 7. Netzdagramm ledg Bem Kresdagramme werde de Atele proportoal zum Umfag, be Staffeldagramme proportoal zur Läge aufgetrage. Bem Netzdagamm(auch Ster- oder Speetzdagramm geat) wrd für jede Ausprägug ee Achse gezechet ud auf hr der Atel bzw. de Häufgket egetrage. getret verlobt

14 Nagl, Eführug de Statstk Sete Dagramme für vele Auspräguge ( kle) Stamm & Blatt-Dagramm (Stem & Leaf-Plot): Für weg Utersuchugsehete werde dese Dagramme so aufgebaut, daß eersets e Überblck über de Vertelug vermttelt wrd, aderersets de Werte der sorterte Lste auch be vele Auspräguge auf Grud des Dagramms rekostruert werde köe. Zuerst Date Klasse zusammefasse(s. o.) Pro Klasse gbt es e Blatt. De letzte Zffer der Ausprägug wrd m Blatt egetrage. De Klasse werde durch de vordere Stelle der Ausprägug charaktersert (de verschedee Bezechuge der Klasse blde de Stamm) Bespel: Körpergröße (sehe obe). Stamm & Blatt-Dagramm horzotaler Darstellug: De Ausprägug 9 hat als letzte Zffer Stamm Blatt Azahl (Blattformato). De Stelle davor sd (das st de Stammformato) st der letzte Zele zu fde: m 8 44 Stamm 6, m Blatt (m Stamm 8, m Blatt 6) Übugsaufgabe (3). Erstelle Se für de Merkmale: Körpergewcht, Famlestad ud Ausbldug des Vaters für de UE mt de Persoeummer: 7-3 jewels a) de Urlste b) de Sorterte Lste c) de Häufgketsvertelug d) de kumulerte Vertelugsfukto (falls svoll) ud zeche Se e) de Graphe der bede Fuktoe: f() ud F(). f) e Kresdagramm (falls svoll) g) Netzdagramm h) Stamm&Blatt-Dagramm. Gegebe se de Häufgketsvertelug für das Merkmal : Hausaufgabezet auf Grud eer Utersuchug a 3 Schüler, dee folgede Frage vorgelegt wurde: Wevel Zet verwedest Du für Hausaufgabe? Azahl bs / Stude 5 bs Stude bs Stude bs 5 Stude 4 mehr als füf Stude a) Bereche Se Atele b) Bereche Se kumulerte Atele c) Erstelle Se e Hstogramm (Beachte Flächetreue). d) Zeche F() e) Zeche e Kresdagramm 3. We wrd de Häufgket be dskrete Merkmale be de Dagramme dargestellt, we be stetge? 4. Welches Mdestskaleveau sollte gegebe se für: a) kumulerte Atele bzw. Summepolygo b) Hstogramme c) Stabdagramme d) Netzdagramme e) Stamm & Blatt Dagramme?

15 Nagl, Eführug de Statstk Sete 5.3 Charakterserug der Häufgketsvertelug Be mache Fragestelluge werde ur bestmmte Aspekte der Verteluge betrachtet, cht de Verteluge als Gazes. Vo de vele möglche Aspekte solle her ege zusammegestellt werde. Nach eer afäglche eher qualtatve Beschrebug solcher Charakterstka vo Verteluge solle Maßzahle gefude werde, de solche Charakterstka auch quattatv zu beschrebe erlaube..3. Qualtatve Charakterserug Mehrgpflge versus egpflge Verteluge. Lage der Vertelug: De Werte (ud damt de Vertelug) köte gaz wet lks LIEGEN (Werte sehr kle) oder wet rechts se. Was heßt u aber: de Werte? Ist damt gemet: der Großtel der Werte, de "mttlere" Werte? der kleste ( bzw. der größte)? de % kleste? usw. Kozetrato auf wege Pukte bzw. ege Berech versus auf vele verschedee Pukte bzw. wete Berech. Das etsprcht be Itervallskale der Brete der Vertelug ( auch STREUUNG geat ): De Werte köte alle gaz eg beeader lege oder aber wet gestreut. Schefe der Vertelug: Mache Verteluge sd mehr oder weger symmetrsch, adere köte als schef bezechet werde (lksschef bzw. rechtsschef). sptzer bzw. glatter Gpfel; leptokurtsch bzw. platykurtsch deal glatte bzw. zerklüftete Verteluge De verschedee Aspekte der Verteluge solle mt Hlfe möglchst weger Maßzahle beschrebe werde. De Maßzahle köe für Stchprobe ud Populatoe berechet werde. Für mache Maßzahle werde uterschedlche abkürzede Symbole verwedet, je achdem ob se für de Populato oder de Stchprobe berechet werde. Im folgede werde de Symbole egeführt, de be Berechug der Stchprobe verwedet wrd. I eer egee Überscht solle daach de Uterschede der Bezechug dargestellt werde..3. Charakterserug durch Merkmalswerte bzw. Fuktoe vo Merkmalswerte.3.. Maßzahle für de LAGE (Locato) De Maßzahle für de Lage solle agebe, wo de Werte bzw. de Vertelug auf der Zahlegerade lege. Da de Vertelug aus vele Werte besteht, ka ee Maßzahl mmer ur ee spezelle charakterstsche Aspekt der Vertelug bzw. der Werte darstelle. Ege deser Maßzahle charaktersere de Lage durch ee zetrale Posto (Zetralwerte: Mttelwerte, Meda, Modalwert), adere durch Etremwerte bzw. Quatle. De Dategrudlage für de Berechug der Maßzahle sd de gegebee Werte selbst: etweder de Meßwerte selbst (cht grupperte Date) als dskrete Werte oder be grupperte Date de gegebee Itervalle. I der folgede Darstellug solle zuerst de Berechuge für chtgrupperte Date behadelt werde. De

16 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6 Charakterserug der Maßzahl m lke Kaste soll ach Möglchket so geerell se, daß se auch für de daach behadelte grupperte Date glt be cht grupperte Date Etremwerte Bespel: Mmum bzw. Mamum m(x) (), ma(x) () m(alter) (klester Wert) () aus sorterter Lste ma(alter)3 (größter Wert) Modalwert (egl. Mode): mode(x) Der Modalwert st jeer -Wert mt größter Dchte. Es ka auch mehrere Modalwerte gebe. Für de Modalwert glt: f(mode(x)) ma (f()) mode(alter). De f() st be am größte: 6/6. mode(famlestad) (ledg). De f() st be ledg am größte: /6. Meda ( mttlerer Wert ): med(x) -Wert, der de Vertelug zwe Hälfte telt. Geauer: -Wert, für de de bede Forderuge gelte:. mdestes de Hälfte aller Werte st kleer glech med(x). mdestes de Hälfte aller Werte st größer glech med(x) Mt Hlfe der Vertelugsfukto ka der Meda aschaulch dargestellt werde. Ma starte auf der Ordate be.5. A der Stelle, wo ma auf de Fukto F() stößt, st auf der -Achse (Abszsse) der Meda ablesbar. Auf Grud der Elemete der sorterte Lste Meda bereche: med(x) + für ugerade ( ) ( + )/ sost ( ) ( + ) Für de Vertelugsfukto F() glt: F(med(X)) ud -F(med(X)) + f(med(x)) d.h. der Meda legt dort, wo F() erstmals ½ überschretet Meda des Alters: sorterte Lste st berets bekat. 6 (gerade Zahl). De Formel lks besagt da: Be geradem (sost) st der Meda defert als der Mttelwert des 8. (6/) ud 9.(6/+) Elemets aus der sorterte Lste: ( (8) + (9))/ (+)/. De (8), (9). Für de ugerade Fall e adhoc-bespel: 5 Werte sortert: Der Meda st laut Formel der 3. ((5+)/) Wert. d.h. med(x) 7, de (3) Quatle De Lage der Vertelug wrd machmal durch jee -Werte charaktersert, de alle Meßwerte dre Tele ( ver Tele, füf Tele bzw. Tele usw.) telt. Dese -Werte Terzle (Quartle, Qutle, Perzetle usw.). Für ee Dretelug sd zwe -Werte ötg (. Terzl ud. Terzl). Um de Velzahl all deser Möglchkete eer Defto zu erfasse, wrd der Begrff Quatl egeführt. Quatl zum Quatum q: ~ Mdestskaleveau st Ordalskala Das Quatum st e Atel. ~ q st der -Wert, der de Vertelug zwe Tele telt, so daß de folgede bede Forderuge gelte:. der Atel des erste Tels ethält mdestes q ud. der Atel des zwete Tels st mdestes (-q) aller Werte. q ) Bereche z: *q ) Utersuche, ob z gaze Zahl st a) Falls z kee gaze Zahl st, schede Dezmalstelle weg. De abgeschttee Zahl bezechet ma mt: [z]. Das Quatl ~ q st da das [z]+. Elemet der sorterte Lste. b) Falls z gaz st, wrd das Quatl ~ q als Mttel des z-te ud des folgede Elemets der sorterte Lste festgelegt. Gesucht:. Terzl des Alters: da st das ~ Quatum q/3. Gesucht: / 3, 6. z:6*(/3) z st kee gaze Zahl; daher glt Fall a) De abgeschttee Zahl [z]5. ~ / 3 (6) (sehe sorterte Lste) Für de gazzahlge Fall e adhoc-bespel: 6 Werte sortert: Se wederum das. Terzl gesucht. z: 6*(/3). Z st gaze Zahl. Daher wrd das. Terzl als Mttel des ud des folgede (3.) Wertes festgelegt. ~ / 3 ( () + (3) )/. D.h. /3 (4+7)5.5 Beachte: Der Meda st e Spezalfall ees Quatls, das Quatl zum Quatum: ½.

17 Nagl, Eführug de Statstk Sete 7 Problem: Das Quatl st cht edeutg, we *q ee gaze Zahl st (deswege wurde be der Awesug zur Berechug der mttlere Spalte vo Festlegug gesproche). Nach der Defto der erste Spalte wäre mehrere q s möglch (Im adhoc-bespel etwa mt de 6 Werte etwa würde cht ur 5.5, soder alle Werte zwsche 4 ud 7 de Werte m Verhälts /3 zu /3 auftele). Hges (Falte, Vertel), Eghths (Falte der Falte, Achtel) & Co. I der EDA (Eploratory Data Aalyss vo TUKEY, 977) wurde völlg euartge, tutve Begrffe ud Kozepte egeführt, de dee der klasssche Statstk recht ählch sd aber kokret etwas aders defert sd. So etspreche de Hges fast dem. ud 3. Quartl, jedoch cht be jedem ; de Eghts etspreche fast dem. ud 7. Oktl, jedoch cht be jedem. De Uterschede sd cht soderlch groß; be de meste Computerprogramme (SAS, JMP, SPSS usw.) werde se verachlässgt zuguste der Quatle. Be eer bestmmte Art vo Quatlsdefto (Uterstellug eer stetge Vertelug des Merkmals) köe de Hges sogar drekt als. bzw. 3. Quartl bezechet werde. De zetrale Idee ka durch folgede Vorstellug veraschaulcht werde: Ma stelle sch de Elemete der sorterte Lste als Perle vor, de gleche Abstäde auf ee Schur aufgezoge sd. De Schur werde a de bede Etreme (klester ud größter Wert) gehalte. De Schur fällt so, daß ee Perle gaz ute hägt (bzw. zwe, falls gerade st). Der Wert deser Perle (bzw. das Mttel der bede Werte be geradem ) st der Meda. Nu ka ma de utere Perle (bzw. bede) hochzehe; durch deses Falte sd u lks ud rechts euerdgs Perle ute. De Werte (bzw. Mttelwerte, falls zwe ebeeader ute sd) heße Hges. Der lke wrd h u, der rechte h o bezechet. Bespel: Perleschur für (ach Hochzehe der Medaperle). De bede Hges sd: lks der Mttelwert des 3. ud 4. Werts der sorterte Lste, rechts der Mttelwert des 8. ud 9. Bespel: Perleschur mt 9 Elemete (ach Hochzehe der Medaperle). De Hges sd: lks der 3. ud rechts der 7. Wert der sorterte Lste Das Hochzehe der Medaperle führt zu eer Art Vertelug der Ketteabschtte. Daher auch der Name Fourth. Der Prozess des Faltes köte weter fortgesetzt werde, dem de Hges selbst hochgezoge werde. Das führt da zu eer Art Achtelug der Ketteabschtte. Wederum gbt es de ute hägede Perle (jewels ee bzw. zwe, je daach ob der etsprechede Perleabschtt gerade oder ugerade st). De Werte der (bzw. etsprechede Mttelwerte) der ute hägede heße de Eghths, wobe ur der gaz lke (e u) ud gaz rechte (e o) teressert. De Postoe erhalb der sorterte Lste vo lks wrd Tefe geat. Ebeso symmetrsch de Posto vo rechts her (be Numererug vo rechts her) Berechug der Tefe, der Hges ud Eghths De Tefe wrd rekursv berechet, d. h. zuerst Posto für de Meda (etsprcht m Ergebs der klasssche Defto) Darauf aufbaued de Posto für de Hges. Wederum darauf aufbaued de Posto für de Eghths. Tefe(Meda)(+)/. Tefe(Hges)([Tefe(Meda)]+)/. Tefe(Eghths)([Tefe(Hges)]+)/. De eckge Klammer bedeutet wederum: Kommastelle abschede (ur de gaze Zahl ehme). Falls Tefe(Meda) ee gaze Zahl st, st der Meda (Tefe(Meda)), sost de Mttelwert der bede Werte, zwsche dee de Dezmalzahl legt. Etspreched erfolgt de Berechug der Hges ud Eghths. Zu beachte: be de Hges ud Eghths wrd de Tefe jewels ur vo vore (für utere Wert) ud vo hte her (für obere Wert) agewadt. Ad-Hoc-Bespel mt. Alters-Werte sortert 7,8, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 38 Tefe(Meda)(+)/6. 6 st gaze Zahl, daher st der Meda der 6. Wert der sorterte Lste: 6. Tefe(Hges)(6+)/ legt zwsche 3 ud 4, daher h u( (3)+ (4) )/3.5 Für h o beötgt ma das 3. ud 4. Elemet vo obe her: das 8. ud 9. Daher: h o( (8)+ (9) )/8.5 Tefe(Eghths)([3.5]+)/4/. e u () 8 Das. vo hte her:. Daher e o () 3 Zum Verglech de etsprechede Quatle: Meda st glech. Das. Quartl (3) 3, das 3. Quartl (9) 9. De bede de Eghths etsprechede Oktle, das. ud das 7., sd wederum glech de Eghths.

18 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 Arthmetsches Mttel: Das arthmetsche Mttel wrd auch als Mttel, Durchschtt oder Schwerpukt bezechet. Das Mttel wrd auch mt mea(x) abgekürzt (Mea egl. für arthm. Mttel) De Schwerpuktegeschaft ka mt Hlfe eer Waage dargestellt werde (de Werte werde als Gewchte a de Balke gehägt). Balace st bem Mttelwert als Haltepukt gegebe. st traslatosäquvarat gegeüber leare Trasformatoe: ya+b. Werde alle Ezelwerte mt kostatem a bzw. b lear trasformert, glt des der Folge auch für de arthm. Mttel: y a + b. Auf Grud der Urlste: Auf Grud der Vertelug: I I p Summe aller Dffereze (ds) zum Mttelwert st. ds: ( ) + ( ) + + ( ) De: Wege Assozatvtät glt ds Multplzere der Def. mt ergbt: Daher ds Für jede der -Werte werde y-werte gebldet: y a + b. De y-mttelwert erhält ma aus drekt mt Hlfe der gleche Trasformato. De: y ((a + b ) + + (a b )) / + ( a + b( + + )) / a + b arthmetsches Mttel des Alters (aus Urlste) ( )/6 36/ , es wrd über 6 Werte (ugewchtet) gemttelt. arthmetsches Mttel des Alters (aus Vertelug) mt Atele p (I5): (6/6) + (4/6) + 3(/6) + 4(3/6)+3(/6).65. dabe wrd über 5 Werte (mt Atele als Gewchte) gemttelt _ X.65 Der Waagebalke selbst habe ke Egegewcht Bespel: Gegebe 4() Werte,,, 3. st.5. Jeder Wert wrd ach der Formel y 96 + (96 etsprcht a, dem b). De erzeugte y-werte sd 96, 96, 96, 396. We groß st der Mttelwert y? Statt ochmals eu de Mttelwert zu bereche, Trasformato y (.5) 46 awede. Bespel: Wechselkursumrechuge sd leare Trasformatoe mt a. Ist der Mttelwert eer Währug bekat, ka der Mttelwert auf Grud deser Egeschaft drekt ee adere Währug umgerechet werde (ohe Kets der Ezelwerte) Etschedugshlfe: Arthmetsches Mttel vs. Meda Das arthmetsche Mttel st Bespel: Ekommeslste, uterschede sch ur eem Wert sesbel (cht robust) für Mt Großverdeer:,,,, etreme Meßwerte Ohe Großverdeer:,,,, (Ausreßer), cht aber der Meda arthm. Mttel Meda 3 Der Großverdeer verädert das arthm. Mttel stark, cht de Meda. Das arthm. Mttel eget sch cht als Idkator dafür, we es de meste Leute geht. Das arthmetsche Mttel st Bespel: Zuerst habe alle gleches Vermöge, später arthm. Das arthm. Mttel mmt eer de ader jewels de Hälfte weg Mttel Meda bemerkt de cht sesbel be tere Afagszustad:,,,, Hadstrech cht, Werteverschebuge, wohl Ohe Großverdeer:,,,, 6 der Meda scho. aber der Meda Das arthmetsche Mttel erfordert mdestes Itervallskaleveau, der Meda ur Ordalskaleveau Adere Mttelwerte q-getrmmtes ud q-wsorsertes Mttel. Dese bede Mttelwertblduge ermöglche, de Afällgket des arthmetsche Mttels für Ausreßer abzuschwäche. Bem getrmmte Mttel wrd e Quatum der kleste Werte bzw. größte Werte elmert. Das arthm. Mttel der restlche Werte heßt da das getrmmte Mttel. Bem wsorserte Mttel e Quatum der kleste Werte bzw. größte Werte durch weger etreme ersetzt. Das Bereche z: *q. Schede Dezmalstelle vo z ab: [z]. q-getrmmtes Mttel: Wähle aus der sorterte Lste alle Werte zwsche dem [z]- tem ud dem (-[z]+) te aus: ([z]+),..., (-[z]) ; ud bereche darüber. q-getrmmtes ud q-wsorsertes Mttel des Alters für q. (sorterterlste,,,,,,,,,, 3, 3, 4, 4, 4, 3). De kleste ud größte Werte: (), (), (), (4) 4, (5) 4, (6) 3 Se q. (vorgegebe). z: *q6*..6. [z]; da de Dezmalstelle abgeschtte werde. q-getrmmtes Mttel: her das kleste ud größte weglasse: () ud (6) (-[z]+6-+6) Mttelwert ausreche für de Werte () bs (5) : (5* +4* +*3+3* 4)/4.4

19 Nagl, Eführug de Statstk Sete 9 arthm. Mttel der so modfzerte Werte heßt da wsorsertes Mttel. I bede Fälle muß vorab festgelegt werde, welches Quatum q (als Atel) lks bzw. rechts vo der Modfkato betroffe st. q-wsorsertes Mttel: Ersetze alle Werte () bs ([z]) durch ([z]+) ud ersetze alle (-[z]+) bs ([]) durch (-[z]) ; ud bereche für dese modfzerte Werte. q-wsorsertes Mttel: () () wrd durch () () ersetzt ud rechts (6) (3) wrd durch (5) (4) ersetzt. Mttelwert ausreche: (6* +4* +*3+4* 4)/6.5 Geometrsches Mttel: G Be Wachstumsfaktore sollte statt des arthmetsche Mttels das geometrsche verwedet werde. Das geometrsche Mttel st kleer (oder glech) als das arthmetsche. Verhältsskala st Voraussetzug. De Werte sollte postv se. Das geometrsche Mttel st de -te Wurzel aus dem Produkt aller Werte. A de Stelle des Adderes trtt das Multplzere. Statt durch zu dvdere wrd de -te Wurzel gezoge (erert a Logarthmere) Für Urlste: Ee Frma habe set ver Jahre des Bestehes (Jahresde : 3) folgede Gewe Euro. G: G * * * Wachstumsfaktor (G / G vorher):.75 Wachstumsrate: (G- G vorher)/g vorher G *.75* ( 4.5 % Wachstum). We auf bede Sete der Wedet ma de durchschttlche Wachstumsfaktor pro Jahr set Logarthmus geomme Beg a: *.45*.45*.453. Der tatsächlche Gew am Ede ka damt vom Afag her mt Berückschtgug der wrd, erhält ma: durchschttlche Stegerug berechet werde. log G log Das arthm. Mttel der Wachstumsfaktore.5 (5% Wachstum; etwas größer). Wedet ma des als durchschttlche Stegerug über de Jahre a we vorher, erhält ma: *.5*.5* (Wohl etwas zu optmstsch).3... be grupperte Date (stetge Darstellug) Bem Modalwert muß berückschtgt werde, daß de Dchte be stetger Darstellug de Höhe (ud cht der Atel) st. De Berechug der Quatle wrd stark modfzert. Be de Mttelwerte werde als -Werte de Klassemtte egesetzt. Das Verfahre wrd für das arthmetsche Mttel vorgeführt. Modalwert (egl. Mode): mode(x) Der Modalwert st jeer -Wert mt größter Dchte. Das st be stetge Verteluge de größte Höhe sehe obe. Falls der Modalwert e Itervall st, wrd de Mtte des Itervalls agegebe. Bem Ekommesbespel: mode(ekomme)5 (Mtte des Itervalls mt mamaler Dchte) Arthmetsches Mttel: Als -Werte dee de Klassemtte. Mt dese -Werte wrd (mt de Atele gewchtet) das arthmetsche Mttel berechet De Klassemtte sd auf Grud der utere ud obere Greze zu bereche: :(u +o )/. I p I Zuerst Klassemtte bereche. 5*.+3*.+ +75*.+5* * De egeführte Produkthlfsspalte erlechtert de Ekommesbespel: Berechug des arthmetsche Mttels Ide Klasse greze Klasse Mtte Atel Produkt u o p p Berechug

20 Nagl, Eführug de Statstk Sete Quatle Da der Meda ur e Spezalfall der Quatle st (med(x) / ), wrd der Meda cht eges behadelt. Quatl zum Quatum q: q Da devertelugsfukto m stetge Fall kee Sprugstelle hat, ka das Quatl zum Quatum q: q efacher formulert werde: der Atel kleer (oder glech) q st glech q bzw. F( q ) q. I der Vertelugsfukto (Form: Summepolygo) ka ma der Höhe vo q be der Fukto ach ute gehe ud q ablese Suche zuerst de aktuelle Klasse, der das Quatl legt; das st de Klasse, der F(o ) q ud F(o - )<q. Bezeche de Ide der aktuelle Klasse mt m. Falls F(o m )q, da wrd q defert als: q (o m + u m+ )/ Falls F(o m )>q, da glt: (q F(u m ))b m q u m + F(o ) F(u ) m m Wege u m, o m, b m usw. sehe bem Bespel rechts Ekommesbespel: Berechug vo Quatle zum Quatum q Besp. : Se q.5. De aktuelle Klasse st de 4. m4. u 4. F(u 4)F().4. F(o 4)>q. Daher.5+ (.5-.4)/ Sehe Graphk: F(.5) be Ide Klasse greze Klasse Brete kum. Atel u o b F(o ) Ekomme Besp. Besp. Besp. 3 F() Summepolygo Ekomme Besp. : Se q.75. m5. u 5. F(u 5)F() (.75-.7)3/.35. Besp. 3: Se q.5. m3. u 35. F(u 3)F(5).. F(o 3) (.5-.)5/ Maßzahle für de Streuug, (Merkmalswert-) Dsperso De Maßzahle für de Streuug der Vertelug solle agebe, we bret bzw. schmal de Vertelug st. Bespele für Aussage, de de Brete eer Vertelug aspreche: - De Studete sd fast alle glech ( bezoge auf e Merkmal, z.b. Spare) - Es gbt kaum Uterschede zwsche Studete. - De Uhr läuft präzs : de Vertelug des Merkmals: De Dfferez zwsche wahrer ud agezegter Zet st sehr schmal. - I lestugshomogee Kurse fällt das Uterrchte lechter als lestugsheterogee, da lestugshomogee Kurse alle Telehmer ugefähr de gleche Wssesstad habe usw. Be all dese Bespele wrd m wesetlche darauf Bezug geomme, daß de ezele Werte cht wet auseader lege (daß also de Vertelug schmal st), aber NICHT darauf, wo de Werte lege. Be alle Maße, de Streuug als Brete defere, muß für de Skale mdestes Itervallveau vorausgesetzt werde. Be der Kostrukto der Maßzahle für de Brete der Vertelug köe m wesetlche dre Type uterschede werde. Der erste bldet de Dfferez vo zwe Werte, eem charakterstsche rechte ud eem charakterstsche lke. Der zwete Typ besteht dar de Uterschede aller ezele Werte zu eem Zetralmaß zu berückschtge. Bem drtte Typ werde alle Werte mteader verglche. Spawete (egl. rage): sp Bespel: Mamum- Mmum sp: () - (). Spawete für Alter: sp(alter)3-9 De Spawete st sehr sesbel für ezele Etremwerte. Etwas robuster sd de Quatlabstadsmaße Quatlabstad Dfferez zwsche symmetrsche d q : ~ ~ q Vorgegebe wrd q z.b. be q.5, da st d q q Quartlabstad; be q. Dezlabstad Quatle Quartlabstad (egl. Iterquartlrage): Dfferez zwsche 3. ud. Quartl. Der mttlere Quartlabstad st de Hälfte des Quartlabstads d Q d Q : ~ ~.75.5 Für Alter: d : ~ ~ Q mttlere Quartlsdstaz.5/.75

21 Nagl, Eführug de Statstk Sete H-Spread (d h ) ud E-Spread(d e ) Dfferez der obere ud utere Hges bzw. Eghths d h : h o - h u d e : e o - e u Ad-Hoc-Bespel mt. Alters-Werte sortert 7,8, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 38; sehe obe h u3.5. h o8.5. e u 8. e o 3. Daher: d h 5 ud d e 4 De bsher deferte Streuugsmaße basere jewels auf der Dfferez vo je zwe Lagemaße (Typ ). Ma köte weters versuche, de Dffereze zwsche JEDEM Wert ud EINEM spezelle LAGEmaß für de Kostrukto ees Streuugsmaßes zu berückschtge; De bede folgede Maße (Mttlere Abwechug ud Varaz) etspreche desem Kostruktosprzp. Mttlere Abwechug vom Meda: d ~ Mttelwert der Dstaze aller Werte zum Meda. d ~ : ~.5 Urlste Meda der Dstaze aller Werte zum Meda (Meda Absolute Devato) Varaz: Var(X) ( s d ~ bzw. s bzw. s - durchschttlche quadrerte Abwechug vom Mttelwert. Mt sq wrd de Summe der Quadrate der Abwechuge vom Mttelwert bezechet Be Stchprobe wrd mest de s - Formel verwedet, damt de Varaz e erwartugstreuer Schätzer der Populatosvaraz st. : ~ p Vertelug.5 MAD : Med ( ~. 5, ) ( ),..., ) sq : Urlste I ( ) sq : p Vertelug sq s : mt * * : für s für s - Meda des Alters:. d ~ (6* + * ) / De Dstaze zum Meda sd jewels de absolute Dffereze Meda des Alters:. 6 mal, 4mal, mal 3, 3 mal 4, mal 3 ; sorterte Lste der Abstäde:,,,,,,,,,,,,,,, 8 MADMed(Abstäde). Mttelwert des Alters:.65. sq { 6 * (.65) + 4 * (.65) + * (3.65) + 3 * (4.65) + * (3.65) } s sq / / Varaz für de Learkombato: Ya + b X. Brete blebt glech be Verschebug um a. Dehug (um b) wrkt sch aus: quadratsch m quadratsche Kozept der Varaz Geometrsche Iterpretato der Varaz m Varableraum als Fläche Var(a+bX) b *Var(X) De: Wege y a + b glt für jede Summade: (y y) (a + b (a + )) b ( ). Somt folgt für de Summe I ( y y) p b ( ) Daraus folgt de Behauptug y y y y I p 4-Väter-Bespel: 4 -Werte Alter: 4,44,46,5 Se Y -+.5*X. Mea(X)46. a -. b/. Mea(Y). ) ( y ( y y) X Var(X)56/ Var(Y) Std(Y).6 +4 Var(Y)4/3 (¼) Var(X) 4-Väter-Bespel: y-werte,,, 5 Mea(Y). y ( y y) ( y y) Var(Y)4/3

22 Nagl, Eführug de Statstk Sete Geometrsche Iterpretato m Eheteraum : Ma köte auch ee Darstellug folgeder Art wähle: für jede Dfferez zwsche dem Wert der -te Ehet ud dem Mttelwert wähle ee Dmeso: be Beobachtuge ee -dmesoale(ebee), be 3 ee 3-dmesoale Raum, geerell be Ehete ee -dmesoale Raum. De Dffereze sd da de Koordatewerte desem Raum. De Dstaz deses Puktes zum -Pukt (der de Mttelwert repräsetert) st da de Wurzel aus der Summe der Abwechugsquadrate (wederholte Awedug des "Satzes vo PHYTHAGORAS"). Damt st de Stadardabwechug (abgesehe vo Faktor / ) als dese Dstaz terpreterbar. De Summe der Abwechugsquadrate (sq) st mt dem Quadrat über deser Dstaz detfzerbar. Verschebugssatz zur efachere Berechug der Quadratsumme be krumme Mttelwerte: Zuerst Summe der quadrerte Werte blde. Davo de mt multplzerte quadrerte Mttelwert subtrahere sq : ( ) De: Wege ) ( + sq + ( + ) glt + wzzw. Bespel Alter der Studete. Mttelwert des Alters.65. Bereche zuerst Summe der quadrerte Werte: 6 * + 4 * + * * *quadrerteMw. 6 * Dfferez: sq , we obe! Stadardabwechug: Std(X) ( s bzw.s bzw. s ) Wurzel aus der Varaz s Std (X) : Var(X) bzw. s : bzw. s : s Stadardabwechug des Alters (6) s : s Stadardfehler des arthmetsche Mttels: Std( X ) Std(X) / De Stadardabwechug des arthm. Mttels st kleer als de Stadardabwechug der Werte selbst; ud zwar um de Faktor. Der Stadardfehler st de Stadardabwechug der Vertelug aller dekbare Mttelwerte, de ma erhelte, we ma etwa sehr vele Stchprobe zehe würde (jewels mt glechem ). Stadardfehler des Altersmttelswerts be 6 Std( X) Std(X) /.7668 / Der talesche Statstker GINI(9) hat auch de drtte Maßtyp utersucht, de Abwechug aller Werte voeader. Er hat sch für das Mttel aller möglche ABSOLUTEN Abwechuge, de cht vo vorhere sd, etschede (mttlere absolute Abwechug(maa)). Ee adere Möglchket wäre, das Mttel aller möglche quadrerte Abwechuge, de cht vo vorhere sd, zu ehme ( mqa). Mttlere quadrerte Abwechug der Werte voeader ( *s ) Der Mttelwert über alle möglche (quadrerte ) Dffereze st glech dem doppelte s. Isgesamt gbt es * Paaruge. Dffereze sd vo vorhere (De Dffereze der Werte zu sch selbst). De Berückschtgug aller möglche Paare brgt also cht mehr Iformato über de Streuug der Werte mqa: ( ) j ( j ) Behauptug: mqa* s De: Wege ( j ) + j j glt ( j ) j j j ( ) ( ) wzzw. 4-Väter-Bespel: -Werte 4, 44, 46, 5. De quadrerte Uterschede zwsche alle Werte sd der utere Tabelle zu fde. Dabe seht ma, daß vo vorhere alle Abwechuge der Dagoale ull se müsse, da de gleche Werte voeader abgezoge werde (Das sd Elemete, her 4). Es blebe (4*4 4) echte werteabhägge Abwechuge. ( - j) j Summe aller Quadrate*4 mqa Summe aller Quadrate/(*(-)) *4/(4*3) *56/3 *Varaz s.o.

23 Nagl, Eführug de Statstk Sete 3 Mttlere absolute Abwechug der Werte voeader: maa (d G ) Der Mttelwert über alle möglche absolute maa: j ( ) j Dffereze. De Berückschtgug aller möglche Paare brgt be de absolute Dffereze mehr Iformato über de Streuug der Werte als bloß de Abwechug vo eem feste Wert Mt weger Aufwad berechebar auf Grud der sorterte Lste: maa ( ) ( (+ ) () ) ( ) Dabe müsse ur de Dffereze der aufeaderfolgede geordete Werte bearbetet werde 4-Väter-Bespel: -Werte 4, 44, 46, 5. De Abstäde zwsche alle Werte sd der utere Tabelle zu fde: Summe - j aller 4 4 Abstäde j 44 8 * maa Summe aller Abstäde/(*(-)) *3/(4*3) *8/3 6/ Weger Aufwad: maa ( (4-)*(44-4) + (4-)*(46-44) + 3(4-3)*(5-46)) /(4*3)(3*+ 4*+ 3*6)/63/66/3 Dmesoslose Streuugsmaße Falls Streuugsmaße für verschedee Merkmale verglche werde, sd Uterschede vo vorhere zu erwarte, we de Merkmale uterschedlche Metrke habe (DM, kg usw.). Um Vergleche zu ermöglche, ka durch de Dvso etwa durch e Lagemaß dese spezelle Metrk jewels elmert werde. Varatoskoeffzet: v, Mdestskaleveau st Verhältsskala. Zudem postve Werte. Stadardabwechug durch Std(X) 4 Väter Bespel: Mea(X)46 Jahre. Std(X)8.667 Jahre. arthm. Mttel v : v8.667 Jahre/ 46 Jahre.4 (ohe Dmeso: Jahre/Jahre). Statt Mea(X) dmesoslos wrd egl. der Begrff utless (ohe Ehet) verwedet. Quartlsdspersoskoeffzet: qdk, Mdestskaleveau st Verhältsskala. Zudem postve Werte. Quartlabstad durch Summe ~.75 ~.5 Allgemeer köte Quatlsdspersoskoeffzete des. ud 3. Quartals v : ~ ~.5 + defert werde für belebge Quate q. Sehe obe be.75 Quatlsabstäde.3..3 Maß für de Schefe We scho bem Verglech zwsche Mttelwert ud Meda erläutert wurde, reagert der Mttelwert stärker auf etreme Werte als der Meda, der äher be der große Masse legt. Dese Egeschaft ka für de Defto ees Schefemaßes geutzt werde. Schefemaß: schefe(x) Bespele für uterschedlch Verteluge Be lksschefe schefe(x) lksschef symmetrsch rechtsschef Verteluge st das 6 arthmetsche Mttel lks Mea(X) Med(X) vom Meda. Daher st Std(X) 6 da Mea(X)-Med(X).5, Med, Med.5, Med egatv, be symmetrscher Std (X).7 Std (X).66 Std (X).7 Vertelug ud be. 6 lksschef symmetrsch rechtsschef rechtsschefer Vertelug Atel postv.. 3 De Dvso durch de - schefe(x).. Stadardabwechug ormert de Schefekoeffzet (sehe MOOD Meda * * * arthm. Mttel * * * et al. 974, S. 76) schefe(x)-.7 schefe(x) schefe(x).7 Deser vo PEARSON etwckelte Koeffzet wrd machmal zudem och mt 3 multplzert (da verlert der Schefekoeffzet aber de MOOD sche Normerugsegeschaft).

24 Nagl, Eführug de Statstk Sete Graphsche Darstelluge der Maßzahle Be Darstelluge vo Zetralmaße (z.b. Mttel) sollte auch jewels e Streuugsmaß (z.b. Stadardabwechug oder der Stadardfehler) mt agegebe werde. Als Darstellug mehrerer Maßzahle eer Vertelug hat TUKEY(977) das Bo-Dagramm (Bo plot, auch Bo-ad-whsker plot ) m Rahme seer EDA vorgeschlage, für das es mehrere Varate gbt. Her soll de Grudform dargestellt werde. Das Bo-Dagramm erlechtert auch das Auffde vo Ausreßer. Bo-Plot (bzw. Bo-ad-whsker Plot) De Bo wrd ach obe ud uter durch de Hges gebldet; der Mttelstrch der Bo zegt de Meda. De Whskers (Schurrbart) sd de Le ach ute bzw. obe jewels bs zum etremste Wert, der och erhalb der ere Zäue (egl. feces) legt. De Etremwerte, de außerhalb der ere Zäue (aber erhalb der äußere Zäue lege) werde mt Stere markert. De außerhalb der äußere Zäue legede Werte (wet außerhalb) werde mt fette Pukte markert. De markerte Werte werde oft auch beschrftet. Ad-Hoc-Bespel mt. Alters-Werte, (s. o. uter Hges) sortert: 7,8, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 38. Meda6. h u3.5; h o8.5; H-Spread h o- h u5. Berech: ere Zäue 6 bs 36, äußere Zäue 8.5 bs 43.5 Bo-Plot De Whskers reche obe bs 3 (obe der etremste Wert erhalb der ere Zäue) ute bs 8 (ute der etremste Wert erhalb der ere Zäue) Als Etremwerte blebe och de Werte 7 ud legt ute außerhalb des äußere Zaus, wrd daher durch ee fette Pukt markert. 38 legt außerhalb des ere Zaus, aber och erhalb des äußere Zaus; daher e Ster. Alter 4 3 Oberer äußerer Zau Oberer erer Zau Whsker Oberer Hge h o Meda Uterer Hge h u Whsker Uterer erer Zau Uterer äußerer Zau (h o - h u)*.5 (h o - h u)*.5 h o - h u (h o - h u)*.5 (h o - h u)* Charakterserug durch Atele bzw. Atelsfuktoe Verhältsagabe (egl. Odds), Agabe bem Wette Als Darstellug teressert Bespel: Be Se uter de erste 6 st der mälch-atel 4/6, der weblch-atel/6. Als Verhälts 4 : bzw. 7: mt weblch als das Verhälts der Atele odds j (p ) : p : p j Referezkategore. bzw. (/7) : mt mälch als Referezkategore. (Häufgkete) zueader p /p j, bzw. zu eer Referez - Ausprägug. mt j als Referez - Ide Logt : atürlcher Logarthmus der Odds De Verhältsse werde logarthmert, damt de multplkatve Verhältsagabe adddtv werde logt j (p ) : l(p /p j ) l(odds j (p )) mt j als Referez - Ide Bespel: Nach MENDEL sollte 4 Erbsesorte be eem Kreuzugsepermet m Verhälts 9:3:3: stehe. De Häufgkete bem MENDEL sche Versuch ware: 35, 8,, 3. Mt der 4. Ausprägug als Referezkategore als Odds: 9.8 : : 3.56 : Bespel: logt für de mälche Atel logt( 4/6) l(7).96. logt für de weblche Atel logt( 4/6) l(/7) Dadurch erhält ma be zwe Auspräguge de gleche Wert (emal postv, emal egatv). De Wahl der Referezausprägug st dadurch cht mehr so wchtg. Be de Odds versucht ma oft, de Referezausprägug so zu wähle, daß möglchst als Verhälts Werte größer als resultere (Be Odds für Telgruppe schwer realserbar).

25 Nagl, Eführug de Statstk Sete 5 Maßzahle für de Dsperso De UE köe auf sehr vele Auspräguge aufgetelt se (hohe Dsperso, edrge Kozetrato). Modal-Dsperso: d Der Atel der Werte, de cht der Modal- Ausprägug lege d : ma (p ) Famlestad-Bespel: /6 sd ledg. ( ledg Modalausprägug). d - ma(p ) - /6.35. d legt zwsche ud (I-)/I. d wrd mamal be Glechvertelug der Werte (be I Auspräguge sd de Atele alle glech: /I). Da st d - (/I) Be der Modal-Dsperso wrd ur utersucht, welchem Ausmaß de Werte außerhalb eer ezge Ausprägug lege; de Besetzugsvertelug de vellecht vele ader Auspräguge wrd cht mt ebezoge. Daher wurde wetere Dspersoskoeffzete etwckelt. Qualtatve Varaz: d Her werde alle Atele berückschtgt d : (p + p + + p I ) Famlestad-Bespel: d - ( (/6) +(4/6) +(/6) ) d legt zwsche ud (I-)/I. d wrd ebefalls we d mamal be Glechvertelug der Werte. Da st d - (/I)(I-)/I d ka auch m Se folgeder Wahrschelchket terpretert werde: Es st de Wahrschelchket, daß zwe verschedee Auspräguge aus zwe Ure gezoge werde. (I bede Ure see de Auspräguge etwa als Kugel m Verhälts der Atele ethalte). Bespel: See 3 Auspraeguge gegebe. Alle p sd be Glechvertelug /3. Daher d -((/3) +(/3) +(/3) ) -3*(/3) -/3 /3. Mache Se das allgeme für I! Bespel: Zwe Ure mt 6 Kugel. ledg - 4 lert - ud ee getret -Kugel. Epermet: Aus jeder Ure zufällg ee Kugel zehe. Wt, daß bede ledg sd (/6). Wt, daß bede lert sd (4/6). Wt, daß bede getret sd (/6). Wt, daß ees vo dese dre Eregsse passert st glech der Summe der ezele Wte: ( (/6) +(4/6) +(/6) ). De Wt, daß kees deser dre Eregsse passert st glech - ( (/6) +(4/6) +(/6) ). ok? Mttlere Etrope: h b (Potetell mmale) durchschttlche Läge eer Iformato Bts, wobe jede Iformato (ee der möglche Auspräguge des Merkmals) jewels optmal codert st. Mttlere Etrope : I h b pld(p ) {ld st der Logarthmus duals (Log. zur Bass ). Es glt: ld()log()/log()} I p log(p ) log() log se Logarthmus mt belebger Bass Zur Etwcklug optmaler Codes m Se der Iformatostheore sehe ute. Für Famlestad: h b ( p l(p ) + p l(p ) + p 3 l(p 3 )) l() ( l( ) + l( ) + l( )) Her wurde als Logarthmus der atürlche Logarthmus l (log. aturals; d.. der Logarthmus zur Bass der atürlche Zahl e ) verwedet h b legt zwsche ud ld(i). h b wrd mamal be Glechvertelug der Werte Bespel: See 3 Auspraeguge gegebe. Alle p sd be Glechvertelug /3. Daher h b -(3*(/3)*ld(/3)) -ld(/3) ld(3). wege der Regel: log(a) -log(/a) Überleguge zur Etwcklug optmaler Codes mt bäre Zeche De Etwcklug optmaler Bärcodes etsprcht dem Fde eer optmale Fragestratege be Uscherhet, wobe jede Atwort ur bär (etwa: e/ja; bzw. /) se darf. Bespel: Ae ud Bert spele folgedes Ratespel. Bert dekt sch e bestmmtes Feld auf eem Schachbrett. Ae soll errate, welches Bert sch gedacht hat. Bert atwortet auf Aes Frage jewels mt e bzw. ja oder bzw.. Be der ächste Rude muß Bert rate usw. (Gewer st, wer am wegste Frage beötgt). Welches st de optmale Fragestratege? Z.B. Feld oberhalb der Mtte?. Feld lks der Mtte?. Legt es Zele A oder B?. Legt es Spalte 5 oder 6?. Legt es der Zele C?. Ist es Spalte 7?. Atwortfolge:. Daher muß es Feld C8 se. A B C D E F G H

26 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6 Be m Auspräguge sd be Glechvertelug ld(m) Frage erforderlch. Es glt: ld(m) -ld(/m) Be ugleche Atele wrd de Stratege auf Grud der Atele etwckelt. Nach Auspräguge mt großem Atel wrd zuerst gefragt. Be passede Atele glt: Frageazahl -ld(/p ) Durchschttlch beötgte Azahl optmaler Frage: I h b pld(p ) Übersetze des Frages de Übermttlug vo Mtteluge Läge des Bärcodes für ee Ausprägug etsprcht der Frageazahl Lägemaßehet bts Übertrage mehrerer Auspräguge zusamme eer Nachrcht Wevele Frage deser Art sd ötg? 6. Mt 6 Frage ka jedes der 64 Felder edeutg detfzert werde. De 64 Felder etspreche de Auspräguge. Jede Frage ka möglche Atworte habe. Daher sgesamt 6 64 möglche Atwortsequeze. Der Logarthmus vo 64 zur Bass löst de Aufgabe: hoch 64. D.h. 6ld(64). Umgeformt: 6 - ld(/64). Würde e Speler ee Tedez zur Bevorzugug bestmmter Felder ausmache köe, wäre ee adere Stratege agebracht, z. b. we der adere Speler etwa de Tedez für A hat. 4-Buchstabe-Bespel: Buchstabe A, B, C, D errate. Ae weß aus Erfahrug, daß Bert A ½, B ¼, C /8 ud D /8 der Fälle auswählt. Welche optmale Fragestratege soll se wähle? Vorschlag: Zuerst ach A frage., wel der Atel mt ½ am größte st (De Chace, ach der erste Frage fertg zu se st groß). Falls e ach B frage (wege ¼ Chace). Falls e, ach C frage. Auf Grud der Atele wurde de Strate- ge etwckelt. Für das Errate vo A B C D Azahl beötgter Frage 3 3. Atel ½ ¼ /8 /8 -ld(/atel) 3 3 Stratege der Form ees Flußdagramms: A? B? C? D A B C Das Spel werde u sehr oft wederholt. Mt Hlfe der Atele als Gewchte ka u de durchschttlch beötgte Frageazahl berechet werde : ½ mal, ¼ mal, /8 mal 3 /8 mal 3. Als gewchtetes arthmetsche Mttel: ½ * + ¼ * + /8 *3 + /8 *3 bzw. aders ausgedrückt: - (½ * ld(½ ) + ¼ *ld(¼) + /8 *ld(/8) + /8 *ld(/8)) Das Übertrage vo Nachrchte st ke kompettves, soder e kooperatves Spel. Dabe soll der Bärcode für alle Auspräguge ees Merkmals (e Alphabet, de Bezechug der 64 Schachfelder, de 4 Auspräguge A B C D) optmal aufgebaut werde, damt zu eer Übertragug eer Nachrcht (mt dem betrachtete Alphabet) möglchst weg bäre Zeche otwedg sd. De Atwortsequez für ee ezele Ausprägug etsprcht dem Bärcode der Ausprägug (z.b. für C8 erhalb des Schachalphabets, m 4-Buchstabe-Bespel für A, für B, für C ud für D). bt: Maßehet für de Iformatosgehalts ees bäre Zeches. We auf Grud der Atele der Auspräguge absehbar st, daß eer Nachrcht oft mehrere gleche Auspräguge acheader übertrage werde müsse, ka de Kostrukto des Bärcodes des Alphabets e Wederholugsmodus (ee zahlemäßge Iformato etwa derart, daß z.b. hudert gleche Zeche eer bestmmte Art folge usw.) egebaut werde. So ka de (potetell mmale) durchschttlche Iformatosläge auch kleer als bt werde..4 Prädktosregel ud Fehlermaße Alle behadelte Maßzahle kezeche bestmmte Aspekte Verteluge ud köe be Aussage über dese Verteluge verwedet werde. E zetrales Zel wsseschaftlcher Tätgket st aderersets auch de Progose (z.b. Progose des Wrtschaftswachstums eer Volkswrtschaft, Progose der Etwcklug ees Patete) bzw. de Dagose (z.b. Dagose der Gesudhet usw.). Währed be Progose der Zukuft legede Zustäde errate werde solle, st be der Dagose ke Zukuftsaspekt volvert. Der Begrff der Prädkto soll bede Aktvtäte zusammefasse ud charaktersert das Zuschrebe vo Zustäde bzw. Merkmalsauspräguge zu UE. Eersets erfordert dese Prädkto ee Regel, de agbt, welcher UE uter welcher Bedgug welche Merkmalsausprägug zugeschrebe wrd. Dese Regel wrd Prädktosregel geat. Aderersets soll jewels utersucht werde, we gut de Regel st. Ee Regel st da gut, we be Awedug der Regel weg Fehler bzw. ur klee Fehler gemacht werde. Das Fehlerausmaß soll ach Möglchket kle se. Deses Fehlerausmaß muß ebefalls klar defert werde (Fehlermaß). Zudem st zu frage, auf welche UE de Regel probewese agewadt werde soll, um das Fehlerausmaß zu bereche. Iteressat wrd dese Überlegug vor allem da, we mehrere Bedguge mt de Regel ebezoge werde köe. Durch Hzufüge euer Bedguge werde de Regel mmer komplzerter. Um cht zu komplzerte Regel zu erzeuge, wrd jewels überprüft, wefer ud welchem Ausmaß der Fehler reduzert werde ka durch das Hzufüge euer Bedguge.

27 Nagl, Eführug de Statstk Sete 7 Be Vorlege ees ezge Merkmals sd zwar och kee Bedguge vorhade, es geht darum de Bassüberleguge ezuführe. A Had eger Bespele soll gezegt werde, we berets behadelte Maßzahle be der Defto der Regel als auch be der Defto des Fehlers verwedet werde köe. Zudem erhalte dadurch dese Maßzahle eue Iterpretatoe. Aderersets werde der Folge Fehlermaße spezell für de qualtatve Fall etwckelt werde. De Regel köte a-pror (vor Schtug der Date) oder a-posteror (uter Verwedug der Date) erstellt werde..4. Prädkto be mdest tervallskalerte Merkmale Regel suche, de de Merkmalsausprägug jeder ezele UE der Awedugsstchprobe zuschrebt be möglchst kleem Fehlerausmaß Versuch: Arthmetsches Mttel. De Regel besteht dar, zu behaupte, de Merkmalsausprägug jeder UE der Awedugsstchprobe st glech dem arthmetsche Mttel. Fehlermaß: Summe der quadrerte Abwechuge vom Mttelwert (bzw. Varaz). ˆ Bespel: Prädkto des Alters be de 6 Persoe. Fde ee Regel, de erlaubt, das Alter jeder ezele Perso möglchst präzse zu errate, ohe allzuvele bzw. allzu große Fehler zu mache. De Awedugsstchprobe se de Mege der zur Verfügug stehede Date Regel: Sage jedem: Du bst.65 Jahre alt. Für jede UE wrd dese Regel agewadt. De Regel st e gaz rchtg (keer st eakt.65 Jahre alt). Fehlermaß: Dese Prädkto kommt dem rchtge Wert zumdest ahe, se st besser als ee, de sehr wet weg legt. We große Abwechuge besoders bestraft werde solle, köe de Abwechuge quadrert werde. Als Fehler sgesamt erhelte ma de Summe der Abwechugsquadrate. Oder soll ma doch ur de Summe der Abwechuge ehme (ud cht de quadrerte? Versuch: Meda. Alle wrd der Meda zugesproche. Fehlermaß: Summe der Abwechuge vom Meda ˆ ~ Awedug der Regel we obe, jetzt mt Meda Fehlermaß: Summe der Abwechuge oder Summe der quadrerte Abwechuge? Als Prädktoswert köte auch der Modalwert verwedet werde. I de meste Aweduge wrd das arthmetsche Mttel verwedet. Auf de Frage, ob als Fehlermaß de Summe der quadrerte Abwechuge oder ur de Summe der Abwechuge verwedet werde soll, lautet de Atwort. We de Summe der quadrerte Abwechuge als Fehlermaß gewählt wrd, st der Prädktoswert, der de klestmöglche Fehler erzeugt, das arthmetsche Mttel (Klest-Quadrate-Egeschaft des arthm. Mttel; KQ-Schätzer ). Wrd de Summe der Abwechuge als Fehlermaß gewählt, st der Meda der beste Prädktoswert. Der Meda st der Wert, der de Summe der Abwechuge am kleste macht..4. Prädkto be qualtatve Merkmale De Awedugsstchprobe se auch m folgede de gleche we de Aalysestchprobe. Bespel: Prädkto des Famlestades. Determstsche Regel: jeder UE der Awedugsstchprobe de gleche Merkmalsausprägug zuschrebe, ud zwar de Modalausprägug der Aalysestchprobe. Fehlermaß: Der Atel der falsch klassfzerte Fälle. Probablstsche Regel: De UE werde für jede Prädkto zufällg ausgewählt. De Auspräguge werde m Verhälts des reale Vorkommes Ure gefüllt. Pro Prädkto wrd ee Ausprägug ausgewählt (jewels mt Zurücklege). De zufällg ausgewählte Ausprägug wrd prädzert. ˆ mod(x) Fehlermaß F mod etsprcht d Fehlermaß F prob etsprcht der qualtatve Varaz Klassfzere JEDEN als LEDIG (Modalausprägug). Rchtge: We oft wrd de Klassfkato rchtg se, we als Awedugsstchprobe de vorlegede verwedet wrd? mal. Atel rchtger /6 ma(p ). Alle ader sd falsch klassfzert. Daher st der Atel der der falsch Klassfzerte- ma(p ) - /6.35. Folgedes Szearo: Eersets werde eer UE-Ure de UE aufbewahrt, aderersets eer adere Ure de Auspräguge, m vorlegede Fall mal ledg 4 mal verlobt ud mal getret. Zur Prädkto wrd ee UE aus der ee Ure ud ee Ausprägug aus der ader. Nach jeder Prädkto wrd weder zurückgelegt. De Wahrschelchket, ee Fehler zumache, ka durch

28 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 3. Iformatoale Regel: für de Prädkto wrd Scherhet agestrebt. Zusätzlche Iformato wrd uter optmaler Fragestratege egeholt. Als Atworte see jewels ur dchotome zugelasse (etwa: e/ja). Als Fehlermaß wrd de durchschttlche Fragedauer be optmaler Stratege verwedet. Deses Fehlermaß (Fehler m Se vo Koste) wrd auch als mttlere Etrope bezechet Fehlermaß: Mttlere Etrope de Formel: - ( (/6) +(4/6) +(/6) ) berechet werde. Zur Etwcklug optmaler Regel sehe ute. De optmale Fragestratege selbst wrd selte etwckelt. De Optmaltät wrd m wesetlche durch de Atele der Vertelug determert. Mest wrd ur das dazugehörge Fehlermaß (Kostemaß), de mttlere Etrope, verwedet. Deses gbt da für de auch ubekate optmale Fragestratege de durchschttlche dchotome Frageläge a, we erstmals SHANNON (948) gezegt hat. Für Famlestad: h b ( p l(p ) + p l(p ) + p 3 l(p 3 )) l() ( l( ) + l( ) + l( )) Übugsaufgabe (4). Bereche Se für de Merkmale: Körpergröße, Famle ud Ausbldug des Vaters für de UE mt de Persoeummer: - jewels, falls svoll a) de Modalwert b) das.,. ud drtte Quartl c) de Meda d) Hges ud Eghths e) das arthmetsche Mttel f) de Spawete g) de durchschttlche Abwechug h) de Varaz ) Stadardabwechug j) de mttlere Abwechug aller Wertepaare voeader k) de Schefe l) Modal-Dsperso, Qualtatve Varaz ud Etrope Zeche Se für Körpergröße ee Bo-Dagramm. Für de Häufgketsvertelug für das Merkmal: Hausaufgabe sehe Übugsaufgabe (3) bereche Se: a) de Modalwert b) de Mttelwert ud de Meda c) de Varaz 3. Für welche Maßzahle muß welches Skaleveau mdestes gegebe se? Erstelle Se ee Lste aller behadelte Maßzahle. Trage Se jewels das Mdestskaleveau e. 4. Das Merkmal Se st dchotom (d. h. hat zwe Auspräguge). Es wurde mt bzw. codert. bedeutet: mälch. Daher köte deses Merkmal auch als Mälch bezechet werde mt de Auspräguge ja() ud e(). Zudem hat es Itervallskaleveau; warum? Bereche Se (für de erste UE) a) de Atel (mälch) b) das arthmetsche Mttel c) de Varaz Versuche Se, Formel zu fde, we Se das arthmetsche Mttel ud de Varaz drekt aus dem Atel bereche köe. 5. Zwe Gruppe solle verglche werde hschtlch der Domaz der Mtgleder. I bede Gruppe sd 6 Persoe. Währed eer Stzug wurde für bede Gruppe verzechet, we oft jeder sch zu Wort gemeldet hat: Perso Perso Perso 3 Perso 4 Perso 5 Perso 6 Gruppe : Wortmelduge 6 7 Gruppe : Wortmelduge Beschrebe Se de bede Gruppe durch für dese Fragestellug geegete Maßzahle. Welche Gruppe st stärker herarchsch strukturert?

29 Nagl, Eführug de Statstk Sete 9 3 Stchprobe ud Populato für e Merkmal De Populato ka der gleche Art we de Stchprobe beschrebe werde. Alle der behadelte Maßzahle köe grudsätzlch sowohl für de Stchprobe we für de Populato berechet werde. Dabe trete telwese Probleme auf, da de Populato uedlch groß se ka. Um bem Verglech vo Stchprobe mt der Populato Verwechsluge zu vermede, werde mache der wchtge Maßzahle uterschedlch bezechet. Übrges wrd geerell statt vo Maßzahl auch vo statstschem Kewert gesproche. De zetrale Frage, uter welche Umstäde ud we es möglch st, auf Grud vo Stchprobemaßzahle auf etsprechede Maßzahle der Populato zu schleße, soll aschleßed utersucht werde. Eersets wrd es wchtg se, daß de Auswahl der Stchprobe ach dem Zufallsprzp erfolgt. Aderersets st für de Bewertug ees ezge Stchprobebefuds de Betrachtug des etsprechede Stchprobebefuds alle möglche Stchprobe otwedg. 3. Bezechugsuterschede Um de Sprechwese bezüglch des Verglechs vo Stchprobe mt der Populato zu erlechter, werde für de Maßzahle uterschedlche Bezechuge egeführt. De Maßzahle der Populato werde oft auch als Parameter bezechet, de Maßzahle der Stchprobe wederum als Statstke. Weters gbt es de Koveto, de Maßzahle der Populato (Parameter) mt grechsche Buchstabe, de Maßzahle der Stchprobe (Statstke) mt latesche Buchstabe zu bezeche. Dese Koveto wrd be mache Maßzahle streg egehalte (be Mttelwert ud Varaz), be adere Maßzahle wrd davo ur gelegetlch Gebrauch gemacht, um Verwechsluge vorzubeuge. Überscht für Bezechugs- bzw. Symboluterschede vo Maßzahle (Auswahl): Allgemee Bezechug I der Stchprobe I der Populato Maßzahl Statstk bzw. Parameter Maßzahl Mttelwert µ (grechsches m: my) mmer Meda ~ µ ~ oft Stadardabwechug s σ (grechsches s: sgma) mmer s - wrd für Pop. cht berechet Varaz mmer s s σ wrd für Pop. cht berechet Atele p π (grechsches p: p) machmal (kumulerte) Vertelugsfukto Emprsche (theoretsche) oft Vertelugsfukto Vertelugsfukto Dchtefukto Emprsche Dchtefukto (theoretsche) Dchtefukto oft De Spalte rechts auße gbt a, wefer der gebräuchlche Lteratur de Bezechugsuterschede egehalte werde. Auch de folgede Ausführuge solle dese Kovetoe egehalte werde. 3. Populatostype ud Zehe vo Stchprobe Populatoe köe etweder ur edlch vele oder (potetell) uedlch vele Elemete ethalte. Für das Schleße spelt de Größe der Populato de meste Aweduge ur ee utergeordete Rolle. Wchtger st de Größe der Stchprobe ud de Art, we de Stchprobe aus der Populato gewoe wrd. 3.. Hypothetsche vs. real vorhadee Populato Das Kozept der Gesamthet ud Stchprobe wrd der Pras uterschedlche Stuatoe agewadt, de sch m wesetlche durch de folgede zwe Fälle typsere lasse:

30 Nagl, Eführug de Statstk Sete 3 Fall Real vorhadee Grudgesamthet Elemete der Gesamthet sd real vorhade ud beobachtbar Zufallsauswahl Stchprobe mt Elemete Das Zel be deser Vorgeheswese st mest, Vertelug ud dere Maßzahle für Merkmale der wohldeferte Gesamthet zu beschrebe Bespele Alle Ewoher ees Gebetes, Tagesprodukto eer Masche, Bücher eer Bblothek, Studete ees Staates. Ewoher der Welt zu eem bestmmte Zetpukt Mt Hlfe ees Würfels bzw. Zufallszahle aus der Lste der Populatoselemete auswähle. Für jede der Ehete werde ees oder mehrere Merkmale erhobe. - Meugsforschug (Wevel Prozet würde ee bestmmte Parte wähle, we ächste Sotag Wahle wäre? Usw.) - Wevele Bücher der Bblothek sd geklaut? - Umfrage zur Zufredehet der Studete mt hre Us. Fall Nur fktv vorhadee Grudgesamthet. De Grudgesamthet wrd als de durch e 'kostates Ursachesystem' erzeugte Ehete bzw. Merkmale vo Ehete betrachtet; dabe wrkt be der Erzeugug e Zufallsprozeß mt. Der realserte Tel des 'Produktosprozesses' ka da als Stchprobe der potetell realserbare Ergebsse (Gesamthet) agesehe werde. POTENTIELL realserbare Gesamthet Stchprobe mt realserte Elemete Kostates Erzeugugssystem (Mschug systematscher ud zufällger Prozesse erzeugt beobachtbare Ehete) Das Zel st her vor allem, mttels der potetelle Gesamthet de Prozeß zu beschrebe. E Großtel der wsseschaftlche Fragestelluge etsprcht desem Awedugstyp Bespele : - alle durch ee Würfel (bzw. ee Müze) realserbare Ergebsse potetelle Gesamthet st m Przp uedlch groß (Würfel bzw. Müze dürfte cht abgeutzt werde; sost wäre ke kostates Kausalsystem gegebe). - alle möglche Ergebsse vo Lottozahle - Gesamtprodukto eer fuktoerede Masche (bzw. eer Bauart) - de Augedagose ees 'Itellgezspezalste' (bzw. eer Methode) - de Verhalteswese ees Mesche - de sozale Iteraktoe vo Mutter ud Kd uter Streß. - Nach der MENDEL solle de Egeschafte (rud-gelb, rud-grü, katg-gelb ud katg-grü) m Verhälts 9:3:3: m Boheepermet vererbt werde. De Gesamthet st de Mege aller dekbare Ergebsse des Vererbugsprozesses Bede Fälle lasse sch auf e gemesames Modell reduzere; dabe wrd uterstellt, daß bem Fall de Stchprobe ee ree Zufallsauswahl aus der potetelle Gesamthet darstellt: Populato: Gesamthet vo Ehete (realsert bzw. potetell realserbar). De Merkmale der Ehete werde durch Verteluge ud dere Maßzahle (Parameter) beschrebe Zufallsauswahl Stchprobe vo Ehete. De Merkmale der Ehete werde durch Verteluge ud dere Maßzahle (Statstke) beschrebe E Ergebs eer ezele Stchprobe (Statstk bzw. emprsche Vertelug) ka ur da bewertet werde, we bekat st, welche Ergebsse überhaupt möglch sd. De Vertelug der Statstke aller möglche Stchprobe muß eruert werde. De Verteluge deser Statstke bzw. Maßzahle aller möglche Stchprobe werde auch Stchprobeverteluge geat.

31 Nagl, Eführug de Statstk Sete Type vo Stchprobe Je ach der Art der Zufalls-Auswahl werde verschedee Type vo Stchprobe uterschede. Nur we be der Auswahl e Zufallsmechasmus egeführt wrd, st mt Hlfe vo statstsche Überleguge ee duktve Verallgemeerug auf de Populato möglch. Efache Zufallsstchprobe (smple radom sample) Klumpestchprobe (cluster sample) Mehrstufestchprobe (multstage sample) Geschchtete Stchprobe (stratfed sample) Aus der Lste aller Elemete werde ach Zufallsprzp Elemete ausgewählt (MIT bzw. OHNE Zurücklege) De Populato besteht aus Klumpe (Gruppe vo Elemete). Aus Lste der Klumpe werde zufällg ausgewählt ud de ausgewählte Klumpe vollstädg erhobe De Populato besteht aus Klumpe, dese aus Subklumpe usw. Auf jeder Ebee wrd zufällg ausgewählt (evetuell auf der uterste vollstädg) De Populato ka ach eem oder mehrere Merkmale Telgruppe egetelt werde. De Größe der Telgruppe der Populato se bekat. Aus jeder Telgruppe wrd zufällg ausgewählt. Bespele Aus eer Ure mt Kugel werde (zufällg) gezoge. Das st MIT bzw. OHNE Zurücklege möglch. Jede dekbare -er-stchprobe sollte de gleche Chace habe, gezoge zu werde. Bespele für Klumpe : Haushalte, Famle, Patete eer Klk, Schüler eer Klasse, Studete ees Fachberechs bzw. eer Lehrverastaltug Klumpe: Läder ees Staates, Subklumpe: Schule ees Lades, Subsubkl.: Klasse eer Schule, Subsubsubkl.: Schüler eer Klasse Auf Grud der Volkszählug se etwa de Altersvertelug bekat (ud ee Lste der Persoe jede Alters). Utersucht werde z. B. das Ekomme. Aus jeder Altersgruppe wrd ee efache Zufallsstchprobe gezoge. De Klumpestchprobe(bzw. mehrstufge Stchprobe) st erforderlch, we zwar ee real vorhadee Populato estert, aber kee vollstädge Lste aller Elemete der Gesamthet estert bzw. schwer erhältlch st Efache Zufallsstchprobe Im folgede wrd ur de efache Zufallsstchprobe betrachtet, da se eersets be wsseschaftlche Fragestelluge überweged verwedet wrd. Aderersets sd de Przpe der Auswahl be der efache Zufallsauswahl auch erforderlch für de Betrachtug der Auswahl erhalb der Schchte be geschchtete Stchprobe bzw. der Auswahl der Klumpe be Klumpestchprobe ud mehrstufger Stchprobe. Pro Stchprobe werde mehrere Elemete() aus der Gesamthet gezoge. Deser Vorgag ka MIT oder OHNE Zurücklege der Elemete de Gesamthet erfolge. Je ach Größe der Gesamthet (N) st der Utersched erheblch. Nur be großer Gesamthet st der Utersched verachlässgbar. Zuerst soll der Fall für ee edlch große Gesamthet, daach für uedlch große betrachtet werde Be edlcher Größe(N) der Gesamthet: Azahl möglcher Stchprobe mal Zehe MIT Zurücklege mal Zehe OHNE Zurücklege Rehefolge der Elemete wrd berückschtgt Rehefolge der Elemete cht berückschtge N Azahl der Varatoe N (N )(N ) (N + ) Azahl der -Permutatoe vo N Elemete N(N )(N ) (N + ) N * * 3 * * Azahl der Kombatoe Aus eer Lste vo Leute (N) werde 3 mt Zurücklege gezoge. Azahl möglcher Stchprobe **. (Dabe ka vorkomme, daß ee Perso mehrfach der Stchprobe vorkommt!) Be Leute (N) würde de beste dre Ragplätze vergebe (3). Wevel Möglchkete gbt es? *9*87. Be Leute (N) werde ee Gruppe vo 3 ausgewählt. De Rehefolge erhalb der Gruppe spelt be Gruppebldug kee Rolle. Azahl Möglchkete (*9*8)/(**3) De Zufallsauswahl muß u so erfolge, daß jede möglche Stchprobe de gleche Chace hat, realsert zu werde. Auf das Zehe eer ezele Stchprobe pro Ezelzehug agewadt heßt das: Bem Zehe ees jede ezele Elemets muß jedes Elemet aus der Ure de gleche Chace habe, ausgewählt zu werde.

32 Nagl, Eführug de Statstk Sete 3 Dabe st zu beachte, daß das Zehe vo Stchprobe mmer dem Zweck det, Näheres über de Vertelug oder Kezahle der Vertelug ees Merkmals zu erfahre Be uedlcher Größe der Populato hat de Uterschedug des Zehes wege der Größe selbst zwsche MIT bzw. OHNE Zurücklege kee Kosequeze, es wrd sozusage mmer MIT Zurücklege gezoge. Im Vordergrud steht dabe besoders de Vertelug ees Merkmals. Dabe ka de Vertelug des Merkmals der Populato selbst stetg se ud daher überabzählbar vele Werte aehme. Adere (dskrete) Merkmale habe abzählbar uedlch vele Auspräguge, mache ur edlch vele. Bespele Oft st ee Stückelug der Populato abzählbar edlch vele chacegleche Elemete möglch, wobe jedes Elemet selbst weder Repräsetat für glech vele (möglcherwese uedlch vele) Populatoselemete gesehe werde ka. De Azahl der Repräsetate (etwa mt N bezechet) ka da wederum dazu verwedet werde, we be edlcher Populato de Azahl verschedee möglcher Stchprobe zu bereche, de alle de gleche Chace habe Bem Würfelwurf mt regulärem Würfel ka ee Stückelug glechwahrschelche 6 Repräsetate:,, 3, 4, 5 ud 6 (Ure mt 6 Kugel). Be gezktem Würfel, der de Ergebsse bs 6 m Verhälts :::::5 lefert, ka ee Stückelug mt glechwahrschelche Repräsetate erfolge (Ure mt Kugel, de 5 Sechse ud jewels ee,, 3, 4, 5) Bem MENDEL-Epermet wäre da 9 rud-gelbe, 3 rud-grüe, 3 katggelbe ud katg-grü Repräsetate vorhade. Werfe mt regulärer Müze erfordert zwe Repräsetate ( Kopf, Adler) Be 3 reguläre Würfe 6 3 möglche, glechwahrschelche Stchprobe Be 3 gezkte Würfe 3 möglche, glechwahrschelche Stchprobe Be 3 MENDEL-Epermete 6 3 möglche, glechwahrschelche Stchprobe Be 3 reguläre Müzwürfe 3 möglche, glechwahrschelche Stchprobe Pro Ezelzehug: Jeder Repräsetat muß de gleche Chace habe. De verschedee Ezelzehuge sd uabhägg (das Ergebs eer Zehug darf cht de Chace ees Ergebs be eer adere Zehug veräder; köte auch so formulert werde: Vor jeder Zehug wrd der gleche Urezustad hergestellt). De Rekostrukto des Zehes vo Elemete über Repräsetate st ur ötg, we e gemesames Populatos-Stchprobe-Modell für Fall ud Fall verwedet wrd. Falls bede Fälle als zwe verschedee Modelle des Etstehes vo Stchprobe agesehe werde, st der Weg über Repräsetate cht erforderlch; de Repräsetate stehe da jewels ur für sch selbst. Be der Beschrebug des Merkmals der Populato durch Atele, Dchte oder de Vertelugsfukto spelt de Größe der Populato allemal kee Rolle. Auf desem Weg st auch das Übertrage der Vorgeheswese auf überabzählbar vele Elemete der Populato be stetger Vertelug möglch. 3.3 Beschrebug der Ergebsse des Zehes vo Stchprobe Um zu kläre, wefer auf Grud ees Ergebsses eer ezele Stchprobe (Statstk bzw. emprsche Vertelug) e Rückschluß auf de Gesamthet möglch st, muß utersucht werde, welche Ergebsse dese Gesamthet überhaupt lefer ka; ud zwar uter gleche Bedguge. Daher: Welche Ergebsse köe de möglche Stchprobe glecher Größe aus deser Gesamthet we oft vorkomme? Mt Hlfe mathematscher Überleguge dese Vertelug aller Ergebsse bereche. Ee adere ahelegede Methode, dese Frage zu beatworte, besteht dar, mmer ud mmer weder real Stchprobe zu zehe ud ee Vertelug all deser real resulterede Ergebsse zu erstelle. Bede Wege sd möglch ud führe zu zwe verschedee Iterpretatoe vo Wahrschelchket Der klasssche ud frequetstsche Wahrschelchketsbegrff Im folgede solle de bede Begrffe der für de vorlegede Fragestellug otwedge Tefe erläutert werde; tefsger ud umfasseder wrd das Thema Statstk II (bzw. A) behadelt. Klassscher Wahrschelchketsbegrff De Wahrschelchket Wahrschelchket wrd defert als das P(A) für Eregs A: Bespele. Gesamthet see Persoe, 3 davo weblch Stchprobe zehe. Güstg se weblch.

33 Nagl, Eführug de Statstk Sete 33 Verhälts der güstge zu de möglche Fälle. Was güstge Fälle sd, ka fre defert werde. De güstge Fälle werde m Se eer Mege zusammegefaßt ud als Eregs bezechet P(A): # A # M #A : Azahl Fälle A #M: Azahl möglcher Fälle Frequetstscher Wahrschelchketsbegrff Wahrschelchket See de güstge wrd defert als Atel Fälle m Eregs A auf lage Scht. zusammegefaßt. Der Atel wrd jewels für alle bs dah stattgefudee Wederholuge berechet Atel der güstge A- Fälle der erste w Zufallsepermete: (w) # A w p A : w. 3. A: Mege der Fraue. #A 3. #Möglche Fälle: #M. P(A)3/ (d. h. Wahrschelchket eer Stchprobe der Größe ee Frau zu zehe).3 Würfelwurf (Repräsetateapproach). Bem emalge Werfe des reguläre Würfels (Stchprobe ) ee 6 zu erhalte: A :{ 6 }. M :{,, 3, 4, 5, 6 }. P(A) #A/ #M / 6. Würfelwurf, regulär. Bem zwemalge Werfe () zwe Sechse zu erhalte. A:{ 66 }, M:{,..., 6,..., 66 }. #A. #M36. P(A)/36. Reguläre Würfel emal () werfe. A st das Eregs: { 6 }. Nach der klasssche Defto: P(A).666 / (w) Der Atel der 6 -e p A schwakt zuerst (be kleem w) uruhg, st da lage zu hoch, stablsert sch aber mmer mehr be der Wahrschelchket, daß ee 6 kommt (de durchgezogee Gerade repräsetert de Wahrschelchket P(A)). Der Wert, um de de relatve Häufgket (Atel) schwakt ud zu dem se schleßlch kovergere soll, wrd als Wahrschelchket bezechet Wahrschelchket P(A): P(A) : plm (p (w ) ) w Zu lese: Der Grezwert, (w) gege de der Atel p A recht scher kovergert be zuehmedem w A w Azahl wederholter Würfelwürfe De bede Begrffe erlechter Ergäzug de Iterpretato der Wahrschelchket, we de Fälle ( der obge Bezechug Repräsetate) selbst als glechwahrschelch vorausgesetzt werde köe. Der klasssche Begrff führt ee gut achvollzehbare Berechugsmöglchket e. Auf Grud des frequetstsche Kozepts ka de Wahrschelchket de Frage aschaulch beatworte, welcher Atel zu erwarte wäre, falls der Zufallsversuch sehr oft wederholt würde. Dabe ka der Atel be edlcher Wederholug aspruchslos als efache relatve Häufgket terpretert werde. Wahrschelchketsvertelug Mest teressert cht ur de Wahrschelchket ees ezele Eregs, soder (etwa m dskrete Fall) de Wahrschelchkete für alle Auspräguge ees Merkmals (bzw. für alle Mttelwerte, alle Varaze oder adere Maßzahle vo Stchprobe eer bestmmte Größe aus eer deferte Populato). De teresserede Varable werde her u mt X bezechet ud mmt Abhäggket vom Zufall ezele Werte a (Zufallsvarable). Das st wederum e Merkmal (Zufallsmerkmal), für desse Auspräguge va Eregsdefto de Wahrschelchket bestmmt werde ka. De Auftelug der Wahrschelchket auf de verschedee Auspräguge heßt da de Wahrschelchketsvertelug für de Varable X. Für de Wahrschelchketsvertelug köte wederum alle berets vorgestellte Maßzahle berechet werde. Der Erwartugswert E(X) Das arthmetsche Mttel der Zufallsvarable X, für dere Auspräguge de Wahrschelchkete bekat sd, wrd Erwartugswert geat. Dese spezelle Bezechug erlaubt auch sprachlch ee Dfferezerug zwsche üblchem arthmetsche Mttel (für Populato bzw. Stchprobe) ud dem für ee Zufallsvarable. De Berechug folgt dem üblche Weg des gewchtete arthmetsche Mttels, wobe de Gewchte her Wahrschelchkete (statt der Atele) sd. Außer dem Erwartugswert köte übrges wetere Aspekte der Wahrschelchketsvertelug berechet werde (Meda, Quatle, Varaz usw.).

34 Nagl, Eführug de Statstk Sete 34 Zur Erlechterug des Verstehes des Erwartugswerts ka her drekt de frequetstsche Defto der Wahrschelchket beutzt werde: Der Erwartugswert st der durchschttlche Wert auf lage Scht. Das arthmetsche Mttel über de Varable X be w Zufallsepermete (w) se:. Erwartugswert E(X) (w ) plm ( ) w Zu lese: Der Grezwert, gege de das arthmetsche Mttel (w) recht scher be zuehmedem w strebt Bespel: Pro Spel muß e Esatz vo 3 DM bezahlt werde. Das Spel besteht dar, bem Würfel jewels de Augezahl (X) auszuzahle. Im Spelsalo sert der Maager über de Verlust ud aalysert de für ee Abed erstellte Graphk, auf der de Mttelwerte für ee Würfel sequetell egetrage sd: Arthmetsches Mttel (w) als Fukto vo w Durchgezogee Gerade st E(X) w Azahl wederholter Würfelwürfe Der Verlust pro Spel war daher ca. 5 Pfeg ( DM) 3.3. Stchprobemttelwerte bzw. -varaze De Vorgeheswese des Zehes vo Stchprobe ud das Beschrebug der Ergebsse solle für de bede wchtge Maßzahle Stchprobemttelwerte ud Stchprobevaraze eemplarsch vorgeführt werde Smulatosepermet De Vertelug der Maßzahle köte mt Hlfe theoretscher Überleguge berechet werde. Um de Gesamtvorgeheswese traspareter zu mache, soll her de Überscht über alle Ergebsse emprsch über Zufallszehuge erzeugt werde. Dese Ergebsse täusche re theoretsch berechete vor (smulere) ud werde daher smulerte Ergebsse geat. Der Vorgag selbst heßt Smulato. Das Smulatosepermet besteht dar, aus der Lste der 55 UE jewels 5 Stchprobe glecher Größe zu zehe. Dabe solle de 55 Ehete als Repräsetate erhalb eer uedlche Gesamthet betrachtet werde. Daher werde de Stchprobe auch MIT Zurücklege gezoge. Um de Aufwad etwas ezuschräke, soll vorläufg ur e Merkmal betrachtet werde: Körpergröße. Stchprobe der Größe ( ): Aus der Vertelug der Gesamthet werde alle Stchprobe der Größe gezoge. I desem Fall köte de resulterede Vertelug der Werte aller möglche Stchprobe auch theoretsch lecht über de klasssche Defto der Wahrschelchket berechet werde: für jede Ausprägug de Atel der güstge durch de möglche Fälle. D. h. dese Wahrschelchketsvertelug glecht geau jeer der Populato. Trotzdem sd dese bede Verteluge kozeptoell klar zu uterschede. Be der Smulato wrd deser Sachverhalt auch deutlch (be ur 5 Wederholuge stmme de bede Verteluge zwar fast, aber cht völlg übere). De smulerte Wahrschelchketsvertelug des Merkmals, de Überscht über alle möglche Stchprobe der Größe (be w5), st rechts obe dargestellt Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 Populatosvertelug der Körpergröße. µ Zufallsauswahl...usw Werte übertrage Smulerte Wahrschelchkets- Vertelug der Körpergröße (5) E(X) Vert. blde...usw...

35 Nagl, Eführug de Statstk Sete 35 Für dese Vertelug ka auch der Mttelwert (w) berechet werde, der be wachsedem w gege de Erwartugswert E(X) strebt. Das arthmetsche Mttel für de Populato (µ) st glech groß we der Erwartugswert: E(X) µ. (5) Der Mttelwert be w5 st Deser Mttelwert strebt be wachsedem w gege de Erwartugswert: E(X) (auf Grud theoretscher Berechug über de klasssche Wahrschelchketsdefto berechet). Aderersets ka für de Populato selbst das arthmetsche Mttel berechet werde, das als µ bezechet wrd: µ De bede Werte (E(X) ud µ) sd glech Aus der Vertelug der Gesamthet werde Stchprobe der Größe gezoge. De Werte der erste acht (Sp-Sp8) Stchprobe ud de letzte (Sp5) m Rahme der Smulato für 5 Wederholuge sd m Dagramm dargestellt Für jede Stchprobe wrd her als Maßzahl das arthmetsche Mttel ud de Stchprobevaraz (mt Dvso durch -) s berechet Daach wrd de Vertelug gebldet für jede Maßzahl. De Vertelug der Maßzahl (über de 5 Stchprobe) st de smulerte Wahrschelchketsvertelug der Maßzahl (jewels obe m Dagramm). Zusätzlch wurde och de Mttelwerte be w5 ud de Erwartugswerte egetrage. (Für das arthm. Mttel auch de Varaz). Uter de Verteluge wrd der Mttelwert ± Stadardabwechug schematsch als Itervall agezegt. Stchprobe ( 4): Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp Zufallsauswahl Stchprobe ( 9): Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 Populatosvertelug der Körpergröße. µ σ 9.37 Maßzahle bereche Smulerte Wahrschelchkets- Vertelug des arthm. Mttels der Körpergröße (5) E( X ) Var( X ) Vert. blde Vert. blde...usw......usw......usw... Populatosvertelug der Körpergröße. µ σ Zufallsauswahl Maßzahle bereche Smulerte Wahrschelchkets- Vertelug der des arthm. Mttels der Körpergröße (5) E( X ) Var( X ) Vert. blde Smulerte Wahrschelchkets- Vertelug der Stchprobevaraz der Körpergröße (5) s E( S ) Vert. blde...usw......usw......usw... s Smulerte Wahrschelchkets- Vertelug der Stchprobevaraz der Körpergröße (5) s E( S ) 9.37 s

36 Nagl, Eführug de Statstk Sete Wchtge Aspekte der Stchprobevertelug der bede Maßzahle De Wahrschelchketsvertelug für de Maßzahl (her Stchprobevaraz ud Stchprobemttelwert) wrd als Stchprobevertelug der Maßzahl bezechet. Se stellt de Überscht über de Ergebsse für de Maßzahl her be alle möglche Stchprobe. De Ergebsse des Smulatosepermets bezüglch der bede Maßzahle solle getret betrachtet werde. Das Epermet regt zu folgede Feststelluge a: Zur Stchprobevertelug des arthmetsches Mttels De Mttelwerte der Stchprobe habe als Erwartugswert das arthmetsche Mttel der Populato. Be der Smulato etsprcht deser Erwartugswert dem Grezwert des Mttelwerts über de Stchprobemttelwerte. (Um Ergebsse für de uterschedlche Stchprobegröße uterschede zu köe, wrd dem Mttelwert als Ide begefügt). Dese Egeschaft wrd als de Erwartugstreue des arthmetsche Mttels bezechet De Streuug des Mttelwerts wrd kleer mt zuehmeder Stchprobegröße. Deser Edruck ka präzsert werde: De Varaz des Mttelwerts skt m Verhälts / zur Varaz der Populato. Etspreched ka auch de Stadardabwechug des Mttelwerts berechet werde. Er wrd auch als Stadardfehler des Mttelwerts bezechet E( X ) µ. E( X ) plm w σ Var( X ) Std( X ) σ (w) Für Körpergröße: µ E( X 4 ) E( X 9 ) (5) (5) Varaz der Populato: σ 9.37 De agegebee Varaz be de Stchprobeverteluge st de eakte, cht ur de smulerte: Var( X 4 ) / 4 Var( X 9 ) / 9 De bede agesprochee Tedeze köte auch folgedermaße ausgedrückt werde: Der Atel der Mttelwerte, de dem Populatosmttelwert ahe sd, mmt mt zuehmeder Stchprobegröße zu. Aders formulert: Der Atel mt kleem Abstad der Stchprobemttelwerte zum Populatosmttelwert mmt tedezell zu Gesetz der große Zahl: P( X µ < ε) be für e fest vorgegebees ε De Mttelwerte der smulerte Vertelug lege mt zuehmedem eger beeader, ud zwar der Nähe des Mttelwerts der Populato. Oder: Mt zuehmedem lege de Stchprobemttelwerte fast scher eg um µ Zur Stchprobevertelug der Stchprobevaraz s Der Erwartugswert der mt der Formel s berechete Stchprobevaraze st glech groß we de Varaz der Populato. Be der Smulato etsprcht deser Erwartugswert dem Grezwert des Mttelwerts über de Stchprobevaraze. Dese Egeschaft wrd als de Erwartugstreue vo s bezechet. Deser Egeschaft wege wrd mest dese Formel (also Dvso durch - statt durch ) für de Berechug der Varaz der Stchprobe verwedet. Auch de Stchprobevertelug der Varaz wrd mt zuehmedem schmaler. Der Großtel aller Stchprobevaraze kozetrert sch zuehmed um de Varaz der Populato. Auch her sd ählche Beschrebuge we für das arthmetsche Mttel möglch De Populatosvaraz σ. Es glt: σ E( S ) ( plm w (w) s ) σ 9.37 E( S 4 ) E( S 9 ) 9.37 De smulerte Mttelwerte der Varaze: (5) s (5) s Be 4 st de Stchprobevaraze- Vertelug och vel breter als be 9 Dese durch das Epermet ageregte Feststelluge köte auch allgeme bewese werde. Es se darauf hgewese, daß de Populatosvaraz ( äußerst seltee Fälle) uedlch se ka. Doch sogar da glt das Gesetz der große Zahl.

37 Nagl, Eführug de Statstk Sete Form der Stchprobevertelug des Mttelwerts be große Stchprobe Im letzte Abschtt kote beobachtet werde, daß der Großtel aller möglche Stchprobemttelwerte mt zuehmedem zuehmed äher bem Populatosmttelwert legt. Oft teressere Präzseruge deser Fragestellug: We groß st der Atel aller möglche Stchprobemttelwerte, der etwa eem vorgegebee Itervall legt (z.b. be Körpergröße zwsche 7 ud 8 cm) bzw. der kleer als e vorgegebeer Wert st (z.b. 6 cm) oder eem festgelegte Itervall um de Populatosmttelwert legt? Dese Frage köe lecht beatwortet werde, we de Form der Stchprobevertelug des Mttelwerts bekat st. Be zuehmeder Stchprobegröße ka de Vertelug der Stchprobemttelwerte durch de Normalvertelug ageähert werde (zetraler Grezwertsatz): De oberste Vertelug zegt de Vertelug des Merkmals der Populato. Als Verglech wrd jewels de Normalvertelug we als schwarze Fole hterlegt. Aus der Populato wurde Stchprobe gezoge ud jewels Mttelwerte für 5 Stchprobe berechet. De (smulerte) Stchprobeverteluge der Mttelwerte werde für uterschedlche Stchprobegröße (4, 9, 6, 5) gezegt. Dabe wrd schtbar, daß de Vertelug der Mttelwerte mt zuehmedem der Normalvertelug ählcher (zetraler Grezwertsatz) wrd. Allerdgs geht das uterschedlch schell, je ach Art Für zusätzlche Evdez wurde och zwe wetere Merkmale gewählt. Das Merkmal Azahl ältere Geschwster wurde vor allem ausgewählt, wel es etrem schef st ( der Populatosvertelug ka wege der Schefhet auch cht de gesamte Normalvertelug gezegt werde, se wurde dort lks abgeschtte). Populato Körpergröße der Populatosvertelug. Falls de Populatosvertelug schef oder mehrgpflg st, dauert es läger (größeres erforderlch). Je ählcher de Populatosvertelug eer Normalvertelug st, desto scheller (auch scho be kleem ) sd de Mttelwerte ormalvertelt Azahl ältere Geschwster Studezet U pro Woche (Stude) Zetraler Grezwertsatz: De Vertelug des Mttelwerts über de uabhägg aus der gleche Populatosvertelug gezogee Werte ähert sch be zuehmedem der Normalvertelug. Etwas geauer: de Vertelug der stadardserte X µ Zufallsvarable Z ähert sch be Std(X ) stegedem der Stadardormalvertelug, de ee Mttelwert vo ud ee Stadardabwechug vo hat: Z ~ N(,) Dese Stadardserug bedeutet etwa be der Körpergröße (mt µ ud σ9.556), daß alle möglche Mttelwerte zetrert würde ( subtrahere) ud durch de Stadardabwechug des Mttelwerts (je ach ) σ Std(X ) dvdert würde.

38 Nagl, Eführug de Statstk Sete 38 Stadardserug erhöht de Verglechbarket. Aus Grüde Populato der Verglechbarket wurde auch de Populatoswerte stadardsert: Populato X µ stadardsert Z σ Im vorherge Bld wrd de Vertelug der Stchprobemttelwerte mmer schmaler, wel de Varaz der Mttelwertemt zuehmedem ach der Formel σ Std(X ) kleer wrd. Damt de Verteluge glech bret blebe, werde de Werte durch Std(X ) dvdert; davor wrd och der Populatosmttelwert µ subtrahert: X µ Z. De Std(X ) Subtrakto zetrert alle Verteluge auf de Nullpukt z z z z z z z Körpergröße z E weterer Grud für de Stadardserug legt dar, daß be gaz großem de Varaz gege gge, ud daher de Vertelug zu eer Epuktvertelug degeerere würde. Aus der Kets der Stadardormalvertelug (sehe Ahag) werde u och präzsere Aussage über de Lage der Merkmalsmttelwerte (be größerem ) möglch. Mt Hlfe der Trasformato z (-µ )/ σ köe aus rgedwelche -Werte de z-werte berechet werde. De Kets der Vertelug ermöglcht, de Aussage des Gesetzes der große Zahl für gegebees zu präzsere, d. h. aufzuzege, we der Atel der Stchprobemttelwerte eem feste Itervall um µ mt zummt z z Azahl ältere Geschwster z z z z z Studezet U pro Woche (Stude) Be de Abszsse wurde de Zeche für Mttelwerte de z-werte egefügt, um zu betoe, daß des de Verteluge der Mttelwerte sd. Gegebe se das Itervall µ ± k. Für uterschedlche Stchprobegröße erhält ma de z-werte auf Grud der Formel: ± k z uo ((µ ± k)- µ )/(σ / ). σ De Fläche uter der Stadardormalvertelug Φ(z) bzw. D(z) sd tabellert (sehe grües Tabelleheftche!) Bespel: Körpergröße µ , σ se k. Das feste Itervall st daher (75.345, ). Für 6: z uo*4/9.556 ±.4. D(.4) Wahrschelchket, daß e Stchprobemttelwert m feste Itervall µ ± legt Stchprobegröße

39 Nagl, Eführug de Statstk Sete 39 Aderersets ka auch utersucht werde, we deses Itervall um µ mt zuehmedem schmaler wrd für ee vorgegebee Atel (etwa be 95% bzw. 99% usw.)? Bespel: Körpergröße µ , σ9.556 De Umkehrug der Trasformato Für 6: Std(X6 ). 39. Be 6 ka her scho Normalvertelug uterstellt µ + σz lefert de -Werte auf 4 Grud der z-werte. werde. Da 95% der z-werte zwsche ±.96 lege, lege 95% der Körpergrößemttelwerte m Berech ±.39*.96 d.h. zwsche 7.66 ud 8.8 Für ee vorgegebee Wahrschelchket(v) ka e zv -Wert der Stadardormalvertelug Φ für e symmetrsches Itervall bestmmt werde: ± z v. Das symmetrsche Itervall für de Mttelwerte: lautet Abhäggket vo der Stchprobegröße σ µ ± z v wrd mt zuehmedem schmaler Suche de Wert z v, so daß glt: v - Φ( - z v ). σ Es glt: P( X µ ± z v ) v. D.h. De Wahrschelchket, daß der Mttelwert eer Stchprobe der Größe m Itervall σ µ ± z v legt, st glech v z.b. Körpergröße µ , σ Für vorgegebees v. 95 st z De es glt: v - *Φ( -.96)-* : Std(X6 ) Das 95% Itervall (7.7, 8.) : Std (X 5 ).9. 5 Das 95% Itervall (7.6, 8.) : Std(X ) Das 95% Itervall (74.5, 78.). Für v. 99 st z De es glt: v - *Φ( )-* Stchprobeatele be qualtatvem Merkmal Nach dem gleche Schema we bem quattatve Merkmal Körpergröße soll u e qualtatves Merkmal utersucht werde, ud zwar ee dchotomes Gedakeepermet Als Maßzahle werde der Atel ud Azahl eer bestmmte Ausprägug betrachtet. Zudem wrd auch de Dummy-Varable für dese Ausprägug egeführt. Das Gedakeepermet besteht wederum dar, aus der Lste der 55 UE jewels sehr vele Stchprobe glecher Größe zu zehe. Dabe solle de 55 Ehete userer Date weder als Repräsetate eer uedlche Gesamthet betrachtet werde. Das Merkmal Se soll utersucht werde. Stchprobe der Größe ( ): De bede Auspräguge (w m) werde als Varable dummy codert (w als, m als ). De Populatosatele werde her mt π abgekürzt, um de Uterschede zur Stchprobe hervorzuhebe. Für de Dummy-Varable ka sowohl das arthmetsche Mttel als auch de Varaz der Populato berechet werde: µ σ * π π m w + * π *( π m m ) π Aus der Vertelug der Gesamthet werde sehr, sehr vele Stchprobe der Größe gezoge. De resulterede Vertelug der aller möglche Stchprobeergebsse st de Wahrschelchketsvertelug des Merkmals selbst. Daher glt wederum eersets P(Sem) π m ; zudem st der Erwartugswert der Dummy-Varable glech dem Mttelwert der Populato E(X) µ.. Aalog glt das auch für de Varaz. m Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 Populatosvertelug des Merkmals Se. π m /55 µ σ.643 w m Zufallsauswahl Werte übertrage Wahrschelchketsvertelug des Merkmals Se P(Sem) E(X) Var(X).643 w m Vert. blde...usw......usw...

40 Nagl, Eführug de Statstk Sete 4 Für de Darstellug wurde Stabdagramme gewählt, da de Verteluge dskret sd. De Wahrschelchketsvertelug für de Velzahl der Stchprobeergebsse wurde eakt berechet. Aus der Vertelug der Gesamthet werde wederum Stchprobe der Größe gezoge. De Werte der erste eu (Sp-Sp9) Stchprobe m Rahme der Smulato sd m Dagramm dargestellt. Für jede Stchprobe wrd her als Maßzahl der m - Atel (p m ) berechet. Zusätzlch wrd das arthmetsche Mttel der Dummy-Varable für jede Stchprobe berechet: * p + *p p. w m m Weters: de Azahl der Mäer ( m -Azahl) ud de Summe * az (gaz rechts). Stchprobe ( 4): Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 SpUsw Populatosvertelug des Merkmals Se. π m µ σ.643 w m Zufallsauswahl...usw... Maßzahle bereche Wahrschelchketsvertelug des m -Atels bzw. des arthmetsche Mttels der Dummy-Varable: E( X ) Var( X ) Vertelug blde...usw Wahrschelchketsvertelug des m -Azahl bzw. der Summe der Dummy-Varable: sum E(Az).68 Var(Az) Vertelug blde...usw... az Daach wrd de Vertelug gebldet für jede Maßzahl. De Vertelug der Maßzahl (über de alle möglche Stchprobe) wurde her eakt berechet ud st de Wahrschelchketsvertelug der Maßzahl (jewels obe m Dagramm). Zusätzlch wurde och Erwartugswerte egetrage. (Für das arthm. Mttel auch de Varaz). Uter de Verteluge wrd der Erwartugswert ± Stadardabwechug der Vertelug schematsch als Itervall agezegt. Stchprobe ( 9): Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 Populatosvertelug des Merkmals Se. π m µ σ.643 w m Zufallsauswahl...usw... Maßzahle bereche Wahrschelchketsvertelug des m -Atels bzw. des arthmetsche Mttels der Dummy-Varable: E( X ) Var( X ) Vertelug blde...usw Wahrschelchketsvertelug des m -Azahl bzw. der Summe der Dummy-Varable: E(Az) 5.89 Var(Az) Vertelug blde...usw... az Aspekte der Stchprobevertelug des Atels De Form der Stchprobevertelug für de Atel ud für de Azahl für ee bestmmte Stchprobegröße st glech. Nur de Achse sd verschede, de: Azahl *Atel.

41 Nagl, Eführug de Statstk Sete 4 De Darstellug des Atels als Mttelwert der etsprechede Dummy-Varable erlaubt das Übertrage der Erketsse, de m Zusammehag mt dem Mttelwert gemacht wurde, auf de Atel bzw. auf de Azahl. Sogar der zetrale Grezwertsatz ka agewadt werde, obwohl her och ee de zusätzlche Schwergket dar besteht, daß ee grudsätzlch dskrete Vertelug der Azahl (bzw. des Atels) durch de stetge Vertelug (Normalvertelug) ageähert werde soll (das wurde vo MOIVRE ud LAPLACE gezegt). De hervorgehobee Ausprägug et ma m allgemee de Erfolgsausprägug bzw. Erfolg. I der folgede Tabelle wrd mt π der Erfolgsatel der Populato, mt p der Erfolgsatel der Stchprobe abgekürzt. De Dummy-Varable st für das Erfolgseregs defert. Zusammefassug der Ergebsse für Atel (Mttelwert) ud Azahl (Sum) De Mttelwerte der Stchprobe habe als Erwartugswert das arthmetsche Mttel der E( X ) µ π Populato. E(Az) µ π Für Se, st m -Dummy µ.65455π m E( X 4 )E( X 9 ) De Streuug des Mttelwerts wrd kleer mt zuehmeder Stchprobegröße. Pop.Varaz für σ π(-π) Varaz der Populato: σ.643 Se heßt auch als Stadardfehler des Atels Zusätzlch glt auch her wederum: Der Erwartugswert der mt der Formel s berechete Stchprobevaraz st glech groß we de Varaz der Populato. Std( X ) π( π) Std(Az) π ( π) Es glt: σ E( S ), wobe s ( ) bzw. als Var( X 4 ) / 4 Var( X 9 ) / 9 σ.643 E( S 4 ) E( S 9 ).643 Form der Vertelug für Atel ud Azahl be klee Stchprobe: Bomalvertelug B(,π) Als möglche Ergebsse komme be der Azahl ur de gaze Zahle zwsche ud vor; etspreched be de Atele /, /,...,/. Für klee Stchprobe köe de Wahrschelchkete eakt berechet werde, mt der dese de ezele Atele (bzw. Azahle) vorkomme. Für Azahl:,,...,k,..., k bzw. Atel:,,,,, P(Azahlk) P(Atel k/) k k ( π) k π, wobe! : der k k!( k)! Bomalkoeffzet st. Dabe glt für : Bespel Se(4): Se π:π m 36/ Möglche verschedee Azahle:,,, 3, 4. Etspreched de Atele, ¼, ½, ¾, P(Azahl4) 4 π ( π) ( π) π P(Azahl3) π 3 ( π) 4π ( π) P(Azahl) π ( π) 6π ( π) P(Azahl) π 3 ( π) 4π ( π) P(Azahl) π 4 ( π) π ( π).44 Für de Stchprobeatele glt ebefalls das Gesetz der große Zahl. De Stchprobeatele köe aber ur dskrete Werte aehme. Obwohl e festes Itervall formulert werde ka, erreche de realserbare Atele be uterschedlchem de Itervallgreze uterschedlch gut. Be alle Eschräkuge bezüglch der Stetgket ka e Itervall vorgegebe werde. Es ka utersucht werde, we groß de Wahrschelchket st, daß eem feste Itervall symmetrsch um π e Stchprobeatel legt. Bespel: Se π.5. Das Itervall reche vo.4 bs.6. We groß st de Wahrschelchket, daß e Stchprobeatel desem Itervall legt? Wege der Dskrethetsprobleme wurde de Wahrschelchkete ur für Stchprobegröße -erschrtte berechet. Dese Wt st für : für : Wahrschelchket, daß e Stchprobeatel m feste Itervall (.4,.6) legt für π Stchprobegröße

42 Nagl, Eführug de Statstk Sete Aufarbete vo Erfahruge mt Stchprobebeschrebuge De Bespele der Beschrebug der möglche Stchprobeergebsse wurde für bestmmte Maßzahle durchgeführt (Mttelwert, Varaz ud Atel). Dese Maßzahle werde besoders häufg beötgt. Der gleche Beschrebugsvorgag köte für jede adere Maßzahl durchgeführt werde. Das Ergebs st mmer de Stchprobevertelug der Maßzahl. Für mache Maßzahle erhält ma Verteluge, de mt mathematsche Werkzeuge gut beschrebbar sd, für mache adere Maßzahle resultere mathematsch kaum faßbare Verteluge (z.b. de Vertelug der Stadardabwechug). Als zwete Erfahrug kote festgestellt werde, daß für de Beschrebug der Maßzahl ees Merkmals cht alle physkalsch realserbare Elemetkostellatoe betrachtet werde müsse, soder ur de verschedee möglche Merkmalsauspräguge (jewels be deutlch). De Wahrschelchkete für de verschedee Auspräguge sd da allerdgs cht mehr glech groß, aber dese Wahrschelchkete köe be glecher Chace jedes Elemets lecht berechet werde. Das führt.a. zu eer sparsamere Darstellug der Ergebsse. Auch für Stchprobe mt > köe statt der Elemetkostellatoe de möglche Merkmals-kostellatoe betrachtet werde. Dese möglchst sparsame Form der Beschrebug be gegebeem wrd der Stchproberaum bzw. Merkmals-Stchproberaum geat Beschrebug der Ergebsse m Merkmals-Stchproberaum Der Stchproberaum beschrebt alle möglche Ergebsse möglchst sparsam ud fragestellugsoretert. Mest st des de Beschrebug der Ergebsse durch de Merkmalsauspräguge. Be eem Merkmal mt I Auspräguge sd für ee Stchprobe der Größe sgesamt I verschedee Merkmalskostellatoe möglch. Der Stchproberaum st der Mege deser Merkmalskostellatoe für Ezelzehug Be eer Ezelzehug, be dem jedes Elemet de gleche Chace hat, ausgewählt zu werde, etsprcht de Wahrschelchket, daß ee bestmmte Ausprägug das Ergebs st, dem Atel der Ausprägug der Gesamthet. Das Zehe vo Elemete selbst ka drekt als Zehe aus der Vertelug terpretert werde: Zuerst wrd de (kumulerte) Vertelugsfukto ees Merkmals (auch für qualtatve st Sorterug ach rgedeem Code möglch) für de Populato gebldet. Zur Auswahl eer Merkmalsausprägug wrd ee zwsche ud glechvertelte Zufallszahl gezoge. Auf Grud deser Zufallszahl ka u auf der Abszsse der -Wert gefude werde. De so bestmmte Zufallsvarable X st damt geau so vertelt we de Populatosvertelug, für de de kumulerte Vertelug gebldet wurde. Dese Idee ka auch für stetge Verteluge ud Merkmale geutzt werde Aders formulert: De Zufallsvarable X mmt ee bestmmte Wert mt der Wahrschelchket a, de dem Populatosatel glech st: P(X) π Vertelugsfukto für Populato F() blde, mt: F() I de Bespele rechts wurde ebe dem Maßstab zusätzlch de Elemetummer -55 userer Populato egefügt, um das Verstäds für das folgede Vorgehe zu förder: Se u ee glechvertelte Zufallszahl < u. Wähle das kleste, für das glt: F() u ud u F() Vergleche mt Bereche der Quatle! Be stetg mootoem F blde zu uf() verse Fukto F - (etsprcht dem Umkehre der Fuktosrchtug): F - (u) Glechvertelte Zufallszahle Glechvertelte Zufallszahle Glechvertelte Zufallszahle Glechvertelte Zufallszahle Vertelugsfukto für Se F() Vertelugsfukto für Körpergröße F() Stetge Vertelugsfukto für Körpergröße F() Stadardormal-Vertelugsfukto Φ(z) z

43 Nagl, Eführug de Statstk Sete Berechug der Wahrschelchket be Mehrfachzehuge De verschede I Merkmalskostellatoe be Stchprobe sd cht mehr glechwahrschelch. Mt Hlfe der glechwahrschelche Elemetekostellatoe köe aber de Wahrschelchkete der Merkmalskostellatoe berechet werde. Wr beschräke us her auf de dskrete Fall. Zur Beschrebug der Ergebsse mehrerer Zehuge wrd für de. Ezelzehug ee Zufallsvarable X defert, de ee bestmmte Wert aehme ka. Das Gesamtergebs st ee Merkmalskostellato ( ud - verküpft) der Ezel-Zufallsergebsse De Wahrschelchket für ee solche Kostellato ka bem Zehe MIT Zurücklege als Produkt der Wahrschelchkete für de Ezelergebsse geschrebe werde, wobe de Ezelergebswahrschelchkete für ee bestmmte Merkmalsausprägug glech dem Populatosatel sd. Se blebe glech über de gesamte Zehugsvorgag, da her der Zustad der Ure ach jedem Zug cht verädert wrd. De Wahrschelchket st ur vo der Merkmalsausprägug (ud vo sost chts) abhägg. We dese Egeschaft glt, werde de Zufallsvarable als uabhägg bezechet Für. Ezelzehug: X Für e Merkmalskostellato be Zehuge: X, X,..., X,..., X Bem Zehe MIT Zurücklege glt: P(X, X,..., X ) P(X ) * P(X ) *... * P(X ) π π π De Wahrschelchkete P(X ) sd für gleche Auspräguge glech, egal be welchem Zug. Bespel: Stchprobe 4. Für das Merkmal Se werde 4 Werte gezoge. Be der. Zehug ka zufallsbedgt (möglcher Wert ) bzw. (ebefalls möglcher Wert ) resultere, allgeme: X. De Beschrebug des gesamte Zufallsergebsses köte de Merkmalskostellato se: X, X,..., X,..., X De Wahrschelchket für de bede möglche Auspräguge P(X ) π m36/55 ud P(X )π w-π m9/55. Be köe 4 Merkmalskostellatoe resultere: ww, wm, mw oder mm. Aders geschrebe: (X, X ), (X, X ), (X, X ) oder (X, X ). De Wahrschelchket deser Kostellatoe ka ach der klasssche Defto (güstge durch möglche Fälle) berechet werde: 9*9 9 9 P( ww )P(X,X ) * 55* P(X )*P(X ) P( w )*P( w ); 9* P( wm ) P(X, X ) * 55* P(X )*P(X ) P( w )*P( m ); P( mw ) P( w )*P( m ) ud P( mm ) P( m )*P( m ) Bem Zehe OHNE Zurücklege ka ebefalls de Gesamtwahrschelchket als Produkt der Ezelergebswahrschelchkete geschrebe werde. De Ezelergebswahrschelchkete für ee bestmmte Merkmalsausprägug verädert sch aber je ach de Vorergebsse. Der Zustad der Ure verädert sch m Laufe des Zehes. Daher sd herbe de Zufallsvarable abhägg. De Abhäggket der Eregsse ka mt Hlfe vo bedgte Wahrschelchkete formulert werde: P(X, X,..., X ) P(X ) * P(X X ) * P(X 3 3 X, X )... *P(X X,...,X - - ) Hter dem Strch wrd de Bedgug vermerkt. Falls be OHNE Zurücklege Stchprobe gezoge würde, ka sch de Wahrschelchket für ee Merkmalsausprägug m Laufe des Zehes veräder. De Wahrschelchket der Kostellatoe ka ach der klasssche Defto (güstge durch möglche Fälle) berechet werde: 9*8 9 8 P( ww )P(X,X ) * 55* P(X )*P(X X ) De Wahrschelchket für weblch bem zwete Zehe st cht mehr glech we bem. Zug. Es hägt vom Ergebs des erste Zuges ab. Bespel: Stchprobe 3 be dchotomem Merkmal Se, be Zehe MIT Zurücklege glt Uabhäggket der Eregsse, daher erhält ma de Wahrschelchkete der Kostellatoe als Produkt ur vo der Ausprägug abhägger Ezelwahrschelchkete. Für de Fragestellug, we groß de Wahrschelchket für de Azahl Mäer st, müsse ege der Merkmalskostellatoe zusammegefaßt werde. De Wahrschelchkete werde dabe addert. Isgesamt gbt es 3 8 Kostellatoe: Kostellatoe: Wahrschelchkete: Wege Kommutatvtät der Multplkato glt: Azahl Mäer 3 www π wπ wπ w π w 3 π w wwm, wmw, mww, π wπ wπ m, π wπ mπ w, π mπ wπ w, wmm, mwm, mmw, π wπ mπ m, π mπ wπ m, π mπ mπ w, mmm π mπ mπ m π w π m, π w π m, w π m π w π m, π w π m, w π m π 3 π Wahrschelchket der Azahl der Mäer w π m π 3 π 3 π 3 m 3 π m w π m

44 Nagl, Eführug de Statstk Sete Zufallsvarable ud dere Realserug De Stchprobemaßzahle varere vo Stchprobe zu Stchprobe ( Abhäggket vom Zufallsmechasmus). Daher werde de Stchprobemaßzahle als Zufallsvarable betrachtet. Für ee ezele Stchprobe wrd e bestmmter Wert berechet; deser Wert st da de Realserug eer bestmmte Stchprobemaßzahl. Damt scho vo der Schrebwese her Verwechsluge vorgebeugt wrd, werde de Zufallsvarable mt Großbuchstabe (mest aus dem htere Tel des Alphabets), für de Realseruge (de kokret vorkommede Werte) werde Klebuchstabe verwedet. Dese Koveto wurde berets bsher verwedet. Auf dese Art (Großbuchstabe für Zufallsvarable ud Klebuchstabe für Realsatoe) ermöglcht, Sachverhalte, de sost eher umstädlche Formuleruge beötgte, recht efach symbolsch zu formulere. De Stchprobemaßzahle sd Formel, de de Ergebsse der Ezelzehuge (.,.,...,. Zehug) verreche. De Zufallsvarable, de dese Ezelergebsse beschrebe, werde als Stchprobevarable bezechet: X, X,..., X De Stchprobemaßzahle werde daher auch als Stchprobefuktoe bezechet X < 5 köte folgedermaße beschrebe werde: Eregs, daß eem Zufallsepermet das arthmetsche Mttel kleer als 5 st. Damt sd m Se des wederholte Stchprobezehes alle Fälle gemet, be dee der kokret berechete Mttelwert für ee kokret realserte Stchprobe X < 5 st. X < X bedeutet das Eregs, daß eem Zufallsepermet das arthmetsche Mttel kleer als X st ( X st dabe e kokreter Wert, der auch m Se eer Realserug kle geschrebe wrd), der aber verschedee Werte aehme ka. Be de Beschrftuge der Abszsse wurde daher mmer e kleer Buchstabe verwedet. Mt Hlfe der Stchprobevarable köe de Formel selbst geschrebe werde. De Formel mt de Stchprobevarable stehe da stellvertreted für alle möglche Realsatoe (alle möglche Stchprobe eer bestmmte Größe) z. B. für das arthmetsche Mttel als Zufallsvarable: X (X + X + + X ) /. Das arthm. Mttel ka z. b. als Fukto g der Stchprobevarable terpretert werde: X g(x, X,, X ) Stchprobeverteluge für Maßzahle ud Stadardfehler De Stchprobeverteluge zege de Varato der Stchprobemaßzahl uter Berückschtgug des Stchprobezehes aus eer Populato, de selbst weder durch Maßzahle (Parameter der Populatosvertelug) beschrebe werde köe. Nach dem gleche Populatos-Stchprobe-Schema, ach dem de Stchprobeverteluge für das arthmetsche Mttel, de Varaz ud de Atel erarbetet wurde, köte auch de Stchprobeverteluge (Stv) für alle ader uter Kaptel behadelte Maßzahle berechet werde, ute ege Bespele. De Stadardabwechuge der Stchprobeverteluge für ee bestmmte Stchprobemaßzahl wrd als Stadardfehler der Stchprobemaßzahl bezechet. Stchprobe vertelug Erwartugswert arthm. Mttel µ Atel Meda. bzw. 3. Quartl π µ ~ falls Populato symmetrsch, µ ~ sost ~ µ.5 bzw. ~ µ.75 sehe obe Varaz: S σ Stadardabwe chug: S σ Stadardfehler Pop.Vertelug (PV) geerell.5 f ( ~ ) µ.5 3 σ π( π) be Spezalfall PV Normalvertelug.5 f ( ~ σ *.533 * µ ) bzw. 4 µ 4 σ 4 µ 4 σ ab ca. 3 4σ f ( ~ σ *.366 * µ ).75 Bemerkuge Stv ormal ca. ab >3, auch we PV cht ormal Stv ormal ca. ab >3 (vorher Bomalvertelug) Stv ormal ca. für >3. f ( µ ~ ) st de Dchte der Populatosvertelug bem Meda Stv ormal ca. für >3. f ( µ ~ ). 5 Dchte Populatosvertelug bem. Quartl, aalog für 3. Quartl σ Stv ormal ca. für > σ Stv ormal ca. für > wobe 4. Momet: µ 4 ( µ ) be dskrete Verteluge, bzw. be stetge: µ 4 ( µ ) f () d 4

45 Nagl, Eführug de Statstk Sete Statstsche Schätztheore I Kaptel 3 wurde bsher de Stchprobeverteluge vo Maßzahle betrachtet. De Stchprobemaßzahle varere vo Stchprobe zu Stchprobe ( Abhäggket vom Zufall). Daher werde de Stchprobemaßzahle als Zufallsvarable betrachtet. Für ee ezele Stchprobe wrd e bestmmter Wert berechet; deser Wert st da de Realserug eer bestmmte Stchprobemaßzahl. De Stchprobeverteluge zege dese Varato der Stchprobemaßzahl uter Berückschtgug des Stchprobezehes aus eer Populato, de selbst weder durch Maßzahle (auch Parameter der Populatosvertelug geat) beschrebe werde köe. Der Parameter st aber ee feste Größe. De über de Stchprobeverteluge gewoe Erketsse ud Ergebsse ware bsher re deduktv; se wurde uter der Aahme des Zehes vo efache Stchprobe aus eer Gesamthet abgeletet. I desem Abschtt solle duktve Argumete egeführt werde, es soll vo der Stchprobe ausgehed auf de Gesamthet geschlosse werde. Es gbt dre Verfahre deser Art: Puktschätzug, Itervallschätzug ud Hypotheseteste Puktschätzug I eer kokrete Utersuchug wrd ur ee Stchprobe gezoge ud für bestmmte Fragestelluge wrd da jewels ee Maßzahl berechet (z.b. Mttelwert, Atel usw.). Dese Stchprobe soll aber als ee möglche zufallsgeletete Realsato uter vele dekbare Stchprobe betrachtet werde. Geauso soll auch de kokret berechete Stchprobemaßzahl ur als ee Realsato der vele dekbare Realsatoe der Stchprobemaßzahl als Formel bzw. als Fukto der Stchprobevarable gesehe werde. De kokrete Utersuchug soll mest Hwese auf de Populato ud de berechete Maßzahl auf ee bestmmte Maßzahle der Populatosvertelug(de Parameter) gebe. Damt stellt sch de Frage, welche Stchprobemaßzahl Hwese auf welche Parameter gbt. Ee Stchprobemaßzahl, de solche Hwese auf ee bestmmte Parameter gbt, wrd Schätzer deses Parameters geat. Be der Puktschätzug wrd utersucht, wefer e Parameter der Populatosvertelug durch ee Maßzahl eer kokrete Stchprobe äherugswese ersetzt werde ka. De Stchprobemaßzahl, de de Parameter aäher soll, heßt da der Schätzer (egl. Estmator) des Parameters. Der kokrete Wert der kokrete Stchprobe heßt Schätzwert (egl. Estmate) Der Schätzer wrd machmal auch als Schätzfukto bezechet; dese Bezechug betot deutlch de fuktoale Abhäggket vo de zufällg varerede Meßgröße der Stchprobe. Symbol für de Parameter: θ (theta) Schätzer heßt de Stchprobemaßzahl (als Fukto der zufallsbehaftete Stchprobewerte selbst ee Zufallsvarable), de de Parameter aäher soll, symbolsch: Θˆ (sprch deutsch: theta dach, egl.: theta hat). Es wrd her der theta-großbuchstabe verwedet, da der Schätzer ee Zufallsvarable st. Θˆ g( X, X,..., X ), X, X,..., X sd de Stchprobevarable θ steht stellvertreted für vele Parameter (z. B. µ, µ ~, σ, σ, π ). Ageomme, θ stüde etwa für µ. Da etspräche Θˆ dem µˆ. E ahelegeder Schätzer ( µˆ ) für µ wäre wohl X. Der Schätzwert st da e für ee bestmmte Stchprobe. X(X +X X )/ Be der Ersetzug des Parameters durch ee Schätzwert wrd scherlch ee Ugeaugket egeführt. De Alege der Puktschätzugstheore bestehe dar, de Ugeaugket eersets wegstes so zu legtmere, daß de Schätzer bestmmte Krtere geüge solle (so köe be Vorlege mehrerer Schätzer-Kaddate de beste ausgewählt werde bzw. mehrere verglche werde), aderersets Przpe zu erarbete, we optmale Schätzer erzeugt werde köe. De wchtgste Krtere, dee de Schätzer geüge solle, sd Erwartugstreue, Kosstez ud Effzez. De wchtgste Kostruktosprzpe sd: Mometemethode(M), Kleste Quadratemethode (KQ) bzw. Mamum-Lkelhood-Methode (ML), de da als Ergebs de M-Schätzer, KQ-Schätzer bzw. ML-Schätzer lefer. Dese Kostruktosprzpe erlaube, de Formel zur Berechug vo Schätzer zu etwckel.

46 Nagl, Eführug de Statstk Sete 46 Egeschafte vo Schätzer Erwartugstreue ees Schätzers E Schätzer heßt erwartugstreu bzw. uverzerrt(egl. ubased) geau da, we der Erwartugswert des Schätzers (Durchschtt über Schätzwert aller möglche Stchprobe) glech dem Parameter st, de er schätze soll... Bas θ E( ˆΘ ) Als Verzerrug (egl. bas) wrd de Dfferez zwsche Erwartugswert des Schätzers ud dem Parameter bezechet Θˆ st erwartugstreu geau da, we glt: E( Θˆ )θ Θˆ Bas E( ˆΘ ) - θ Bespele:. Für das arthmetsche Mttel glt: E( X ) µ, daher st der Mttelwert e erwartugstreuer Schätzer des Populatosmttelwerts.. Ageomme, Se ehme ur de jewels erste Wert der Stchprobe X (Rest cht verwede). Es glt: E(X ) µ. Daher st X e erwartugstreuer Schätzer für µ. 3. Ageomme, Se blde de Mttelwert ur über de erste Hälfte der Stchprobe (Rest cht verwede). Da st deser Mttelwert auch e erwartugstreuer Schätzer für µ. 4. E( S ) σ. De Formel S st e erwartugstreuer Schätzer für de Populatosvaraz 5. E( S ) σ. De Formel S st ke erwartugstreuer Schätzer für de Populatosvaraz, er uterschätzt de Populatosvaraz um de Faktor 6. Aus der Tabelle der Stadardfehler am Ede des letzte Abschtts wrd erschtlch, daß de Stadardabwechug (ebeso der Meda be schefe Verteluge) st cht erwartugstreu. De Verzerrug (Bas) bem Schätzug durch de S -Formel: Bas E( S ) - σ σ - σ σ. I desem Fall e egatver Bas, d. h. de wahre Varaz wrd durch de S -Formel uterschätzt Effzez ees erwartugstreue Schätzers (Forderug mmaler Varaz) Ageomme, es stüde zwe verschedee erwartugstreue Schätzer für ee Parameter zur Verfügug, so sollte der gewählt werde, der ee kleere Varaz hat. Der Schätzer mt der kleere Varaz wrd als der effzetere bezechet. Dese Egeschaft st relatv zu eem ader Schätzer defert. E absolut effzeter (oder efach effzeter) Schätzer st eer, der effzeter als alle ader Schätzer ees Parameters st. Relatve Effzez zweer erwartugstreuer Schätzer heßt das Verhälts der Varaze des schlechtere zum bessere Schätzer See ˆΘ erwartugstreu (E( ˆΘ )θ) ud ˆΘ auch erwartugstreu (E( ˆΘ )θ). ˆΘ heßt effzeter als ˆΘ geau da, we glt: Var( ˆΘ )<Var( ˆΘ ). Relatve Effzez vo ˆΘ über ˆΘ Var( ˆΘ )/Var( ˆΘ ). Bespel: Dre Schätzer für µ ( θ). Für das arthmetsche Mttel glt: E( X ) µ st der Mttelwert e erwartugstreuer Schätzer des Populatosmttelwerts. Deser etspräche dem Schätzer ˆΘ. Der erste Wert der Stchprobe X st ebefalls erwartugstreu für µ. Das se Schätzer Nr. ˆΘ. Als drtte Kaddate betrachte wr och de Schätzer vo µ, be dem ur der erste Tel der Stchprobe für de Schätzug vo µ verwedet wrd. X / (es se uterstellt, daß ee gerade Zahl st). Das st Schätzer Nr. 3: ˆΘ 3. Für de Etschedug, welcher Schätzer verwedet werde soll, wrd de Varaz der Schätzer verglche. Var( ˆΘ ) σ /. Var( ˆΘ ) σ. Var( ˆΘ 3 ) σ /(/) σ / ˆΘ 3 De relatve Effzez vo ˆΘ über ˆΘ st glech σ /( σ /). ˆΘ st daher um de Faktor effzeter als ˆΘ. De relatve Effzez vo ˆΘ über ˆΘ 3 st glech ( σ /)/( σ /). ˆΘ st daher um de Faktor effzeter als ˆΘ 3 ; oder %. ˆΘ ˆΘ Bemerkug: Falls zwe Schätzer verglche werde, vo dee cht bede erwartugstreu sd, wrd de Varaz durch de sogeate Mttlere quadrerte Fehler (egl. Mea squared Error) ersetzt: MSE E( Θ ˆ θ). Das

47 Nagl, Eführug de Statstk Sete 47 st de Varaz, de de Abwechuge vom Parameter θ drekt erfaßt, währed sost de Varaz defert wrd als Abwechug vom Erwartugswert ( Var( Θ ˆ ) E( Θˆ E( Θ ˆ )) ). Kosstez ees Schätzers Ee weter erstrebeswerte Egeschaft ees Schätzers legt dar, daß mt zuehmed großer Stchprobe de Chace stegt, daß er gaz ahe dem Parameter legt, de er schätze soll. Der Schätzer heßt kosstet geau da, we glt: Der Atel der Schätzwerte, de dem Parameter ahe sd, soll mt zuehmeder Stchprobegröße gege gehe. Aders formulert: Der Atel mt kleem Abstad der Schätzwerte zum Parameter mmt mt zuehmedem zu. Aders formulert: De Wahrschelchket, daß de Abwechug des Schätzers vom Parameter sehr kle st, wrd mt zuehmedem scher. E Schätzer st mmer kosstet, we der Bas ud de Varaz des Schätzers mt zuehmedem gege gehe. Der Schätzer Θˆ st geau da kosstet, we glt: P( Θ ˆ θ < ε) be für e fest vorgegebees ε Für das arthmetsche Mttel zegt das Gesetz der große Zahl, daß das arthmetsche Mttel e kossteter Schätzer für µ st. Der erste Wert der Stchprobe X als Schätzer für µ war erwartugstreu, aber cht effzet. Ist er kosstet? Ne, da auch be größer werdeder Stchprobe mmer ur der erste Wert geomme wrd. Das war m vorge Bespel Schätzer Nr. ˆΘ. Schätzer Nr. 3: ˆΘ 3 (Mttelwert über de halbe Stchprobe) des vorge Bespels st kosstet. Übrges: Auch de ach der Formel S berechete Varaz st kosstet, da der Utersched (Dvso durch oder (-) mt zuehmedem ) verschwded kle wrd Kofdeztervalle Ee wetere Möglchket, Iformatoe über ee Parameter der Gesamthet zu erlage, besteht dar, Itervalle zu fde, erhalb derer der Parameter mt agebbarer Scherhet legt. Solche Itervalle heße Kofdeztervalle; de verlagte Scherhet (z.b.:.99 bzw..95 usw.) heßt Kofdezzahl: -α. Voraussetzug für de Kostrukto der Itervalle st de Kets der Vertelug des Schätzers. Grudsätzlch köte auch esetge Itervalle kostruert werde, mestes werde jedoch zwesetge Itervalle gebldet. De Itervalle werde so kostruert, daß se be gegebeer Kofdezzahl möglchst schmal sd. We de Vertelug des Schätzers symmetrsch st, werde de Itervalle selbst symmetrsch um de Schätzwert agelegt Kofdeztervall für µ Dabe st zu beachte, ob de Stadardabwechug der Populato (σ) bekat oder ubekat st. Währed m erste Fall de Stadardormalvertelug zur Kostrukto des Kofdeztervalls zugrude gelegt werde ka, wrd be ubekater Populatosstadardabwechug de Stchprobestadardabwechug verwedet. Dese zusätzlche egeführte Ugeaugket führt zu bretere Itervalle Kofdeztervall für µ be bekatem σ Als Schätzer wrd der Stchprobemttelwert verwedet. Er st scho be kleem ormalvertelt, falls de Populatoswerte ormalvertelt sd. Be großem sd de Stchprobemttelwerte wege des zetrale Grezwertsatzes ormalvertelt. Für de Stadardormalvertelug glt, daß 95% der z- Werte zwsche.96 ud.96 lege. Des glt auch für de stadardserte Stchprobemttelwert. De Aussage, daß de stadardserte Zufallsvarable eem vorgegebee Itervall legt, ka umformulert X µ P.96 < < σ X µ.96 < 3 <.96.96σ < X µ <.96σ σ

48 Nagl, Eführug de Statstk Sete 48 werde de Aussage, daß µ vo eem Itervall überdeckt wrd. Das Itervall st der zufallsbehaftete Tel, µ st weterh fest. Auch für deses Überdeckugstervall glt de Wahrschelchketsaussage. Das Überdeckugstervall varert zufallsbedgt vo Stchprobe zu Stchprobe ud st daher e Zufallstervall. X.96σ U.95 < µ < ( U < µ < O ). 95 P X +.96σ O.95 Für ee kokrete Stchprobe wrd de Zufallsvarable X durch de kokrete Mttelwert der Stchprobe ersetzt. Deses Itervall heßt Kofdeztervall zur Kofdezzahl.95. Für das Kofdeztervall glt de Wahrschelchketsaussage cht mehr. Das Itervall für ee spezelle Stchprobe überdeckt de Parameter µ oder es überdeckt h cht. u.95 < µ < o.95 mt.95. σ ud o σ u 96 Das Kofdeztervall überdeckt µ oder ebe cht Für de Kozepto der Darstellug st relevat: De AwederI ket de Lage der Vertelug cht. Se ket ur de Varaz. Nur wr kee de wahre Lage der Vertelug. Se kostruert ur hre Kofdeztervalle. Bespel: Aus eer Vertelug vo IQ-Werte werde Stchprobe (4) gezoge ud Kofdeztervalle berechet. Für jedes ezele Itervall glt ur, daß es etweder µ ethält oder cht ethält. De Kofdeztervalle sd so kostruert, daß 95% aller Kofdeztervalle µ ethalte. Das st de Wahrschelchketsaussage des Überdeckes. Berechug des Kofdeztervalls: u σ o σ Sp Sp Sp4 Sp5 Sp6 Sp8 Sp9 Sp IQ Sp3 Sp7 Populatosvertelug IQ µ σ 5 Zufallsauswahl IQ Bespel: Stchprobe7 (Sp7) IQ-Werte: 98, 6,, 45. ( )/4 7.5 σ σ / 4 5 / 7.5. u σ * o σ * Das Kofdeztervall (.55, 3.95) überdeckt µ cht. Das wrd der rechte Spalte vermerkt. Alle übrge Kofdeztervalle ethalte µ. Abkürzugskoveto für Kofdezzahle: De Kofdezzahl.96 stammt aus der Stadardormalvertelug ud bezechet de Wert, bs zu dem 97.5 % der Fläche legt, bzw..975 bezechet de Wert, ab dem.5 % der Fläche legt, bzw. z. 5 bezechet de Wert, für de glt, daß m Itervall ±.96 95% der Fläche legt z. 95 Abkürzugskoveto: z De Kofdeztervalle köe auch auf adere Kofdezzahle ausgedeht werde. Allgeme se de Kofdezzahl: -α. Da st be der obge Koveto folgedes z zu wähle: z bzw. bzw. z Kofdeztervall blde Wahrschelchkets- Vertelug des arthm. Mttels des IQ E( IQ ) Var( IQ ) 5 / Vert. blde α cht dr...usw......usw......usw... µ m Itervall? Wahrschelchketsvertelug: Das Zufallstervall überdeckt de Pop.-Mttelwert P(Itervall überdeckt µ).95 z α dr Vert. blde α.

49 Nagl, Eführug de Statstk Sete Kofdeztervall für µ be UNbekatem σ Falls de Varaz der Gesamthet cht bekat st, muß se auf Grud der Stchprobe erst geschätzt werde (σ wrd also durch s - ach der üblche Formel der ezele Stchprobe ersetzt). Das st be klee Stchprobe e gravereder Egrff, der zusätzlche Uscherhet schafft. Be große Stchprobe wrd das kosequezelos akzeptert. Falls de Populato ormalvertelt st, st de Vertelug der stadardserte Mttelwerte bekat: de Studet-t-Vertelug. Für große Stchprobe stmmt de Studet-t-Vertelug mt der Normalvertelug übere. Be kleem st de t-vertelug breter. De de z-werte (z b. z.96) etsprechede t-werte sd daher etwas größer. De t-werte führe daher zu bretere, aber vo Stchprobe zu Stchprobe uterschedlch brete Kofdeztervalle. De Studet-t-Vertelug st cht ur her awedbar, soder auch be adere Fragestelluge. Dabe werde Stchprobegröße über de Frehetsgrade berückschtgt. Be der vorlegede Awedug st de Azahl der Frehetsgrade -. De Azahl der Frehetsgrade wrd mest mt df (degrees of freedom) abgekürzt (her also: df - )..4 Stadardormalvertelug.4 Stadardormalvertelug.3. Studet-t Vertelug mt eem Frehetsgrad.3. Studet-t Verteluge mt Frehetsgrade ud Frehetsgrade z bzw. t z bzw. t Auszug aus Tabelleahag H: Dem z-wert vo.96 etspreche be de uterschedlche Frehetsgrade de t-werte: df t. 975 t. 975 (df ) (df ) bezechet wederum de t-wert, bs zu dem 97.5% der Fläche der Studet-t (df) legt. De AwederI ket weder de Lage och de Varaz der Vertelug. Nur wr kee de Lage ud Varaz der Vertelug. Se kostruert hre Kofdeztervalle u uter der zusätzlche Uscherhet des Schätzes der Varaz für jede Stchprobe. Beachteswert: De Kofdeztervalle sd her pro Stchprobe sd uterschedlch bret Sost glt das Gleche für deses Schema, was scho bem vorge gesagt wurde Sp Sp Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp IQ Sp3 Populatosvertelug IQ µ σ 5 Zufallsauswahl. Kofdeztervall blde Wahrschelchkets- Vertelug des arthm. Mttels des IQ E( IQ ) Var( IQ ) 5 / Vert. blde cht dr...usw......usw......usw... IQ µ m Itervall? Wahrschelchketsvertelug: Das Zufallstervall überdeckt de Pop.-Mttelwert P(Itervall überdeckt µ).95 dr Vert. blde

50 Nagl, Eführug de Statstk Sete 5 Kofdezzahl.95. Berechug des Kofdeztervalls: u o.95 t.975 (df ) s.95 + t.975 (df ) s df - Bespel: Stchprobe7 (Sp7) IQ-Werte: 98, 6,, 45. ( )/4 7.5 sq * (7.5) s sq /( ) 74.75/ s sq /( ).635 s s / /.3. df 4-3. t. 975 (df ) t. 975 (3) 3.8 u σ * o σ * Das Kofdeztervall (84.746, 5.54) überdeckt µ. Für ee kokrete Stchprobe muß ud de Varaz ach der Formel s berechet werde. Für de Kofdezzahl (-α) wrd t-vertelug be df t (df ) bzw. t (df ) eruert. α α Das Kofdeztervall st: u < µ < mt u.95 o.95 α t αs o α + t αs ud mt s s Kofdeztervalle für Populatosatel π Da der (Erfolgs-)Atel dem Mttelwert der Dummy-Varable (für Erfolg) etsprcht, ka der Populatosatel π als µ dargestellt werde, ebeso der Stchprobeatel als. De Varaz des Stchprobeatels st π( π) σ. De Stchprobevertelug der Atele be klee Stchprobe st de Bomalvertelug. Für klee Stchprobe köe eakte Kofdeztervalle kostruert werde. Im folgede solle Kofdeztervalle für große Stchprobe behadelt werde. Da be große Stchprobe auf Grud des zetrale Grezwertsatzes vo De MOIVRE-LAPLACE de Atele appromatv ormalvertelt sd, ka für große Stchprobe de gleche Methode we für de Mttelwert verwedet werde. Es solle her de Formel zusammegestellt ud ege Modfkatoe besproche werde. Be sehr große Stchprobe > Als Aäherug ka de u α Stadardormalvertelug o α verwedet werde. σ wrd grob geschätzt durch mt: de etsprechede Stchprobestadardabwechug σ z ασˆ + z ασˆ ˆ (( ( ) )) / Bespel: Atel Wähler π der S-Parte (µ ) st gesucht. Der Atel der S-Wähler se eer Stchprobe ermttelt worde. Deser Atel war.43 oder 43%. Es soll e 95% Kofdeztervall erstellt werde..43*.57 Ageomme, se 3. σ ˆ u * o * Ee absolute Mehrhet st be 95% ger Scherhet cht Scht. Be der Iterpretato sollte allerdgs auch de Brete des Itervalls bedacht werde. Be mäßg große Stchprobe ( zwsche 5 u. ) Möglchkete t-vertelug verwede Astelle vo z α statt der z-werte t (df ) verwede vorschtge Varate: Für de Schätzug wrd de mamal möglche Varaz verwedet (we π.5) α se 5..43*.57 σ ˆ.7. t.95 (49).. 49 ( u.95, o. 95 ) (.893,.577).5.5 σ ˆ.5.5 σˆ.7. Dese Form der Berechug wrd wrklch vo Meugsforschugssttute verwedet ud zur Berechug der Kofdeztervalle z-werte egesetzt. Besser wäre wohl de etwas vorschtgere Varate mt t-werte. Für kleere Stchprobe gbt es Spezalverfahre, de her cht weter behadelt werde (z.b. WONNACOTT T. H. & WONNACOTT R. J. Itroductoary Statstcs 977, S.4 f, oder: WARDELL D. G. : Small-Sample Estmato of Beroull ad Posso Parameters, : The Amerca Statstca 997, 3-35)

51 Nagl, Eführug de Statstk Sete Hypothesetests De AwederI hat Hypothese über de Gegestadsberech, über de se Aussage mache wll. Der Gegestadsberech st wederum de Populato. De Hypothese bezehe sch mmer auf de Gesamthet. De Hypothese solle auf Grud eer Stchprobe eer krtsche Prüfug uterzoge werde. Be der Hypotheseformulerug wrd sogeate Nullhypothese vo eer Alteratvhypothese uterschede werde. De Nullhypothese (als H bezechet) st de Hypothese, der be der Prüfug de zetrale Aufmerksamket zukommt. Oft ethält de Alteratvhypothese(H a ) de haltlch relevate Aussage. Se ka aber machmal cht hreched präzse formulert werde (z.b. StudetIe sd m Schtt tellgeter als NormalbürgerIe bzw. es gbt ee Zusammehag zwsche Frustrato ud Gewalt). De Nullhypothese ethält aderersets eher kovetoelles, uspektakuläres Wsse; besoders wchtg st aber, daß de Nullhypothese ee Form habe muß, de eakt formulert werde ka (z.b. StudetIe sd m Schtt eakt glech tellget we NormalbürgerIe bzw. es gbt kee Zusammehag zwsche Frustrato ud Gewalt). Es gbt zwe Schule vo Hypothesetester. De ee folgt der Auffassug vo Sr Roald FISHER (RF), de adere der Kozepto vo J. NEYMAN ud E.S. PEARSON (NP). RF ud NP habe über vele Jahre hweg über de rchtge Kozepto des Testes gestrtte. Nach RF wrd de Nullhypothese e ersthaft als haltlch relevate Hypothese erwoge, soder ur als Atthese, de zwar abgeleht, aber e akzeptert werde ka. Nach NP st Hypotheseteste e Etschedugsverfahre, be dem de Nullhypothese durch das Testverfahre akzeptert oder abgeleht werde ka. RF hat auch bestrtte, daß Hypotheseteste als Etschedugsverfahre für de Wsseschaft vo Belag st. NP habe e Kozept für Fehler erster ud zweter Art etwckelt, das be RF ubekat st. I vele Statstkbücher wrd leder de Uterschedlchket deser Kozeptoe übergage, daher gbt es oft och ee drtte Gruppe vo Hypothesetester, be dee bede Postoe dffus vermscht sd. Her soll zuerst ur der gemesame Neer dargestellt werde mt Vorrag für NP, über de Uterschede soll später eem egee Abschtt gesproche werde. Der Hypothesetest etsprcht eem Etschedugsverfahre, be dem auf Grud des Stchprobeergebsses de H akzeptert (ach NP; ach RF ka ma se cht akzeptere, soder ur cht ablehe) oder H abgeleht (ud damt de H a ach NP akzeptert) wrd. De Stuato läßt sch gut durch ee Kreuztabelle charaktersere: Etschedug auf Grud der Stchprobe H akzeptere H ablehe Zustad H st rchtg rchtge Etschedug Fehler. Art Gesamthet H a st rchtg Fehler. Art rchtge Etschedug De bede Fehler-Wahrschelchkete ud hre Bedeutug: De Wahrschelchket ees Fehlers. Art sollte kle se, se wrd mt α abgekürzt. α wrd vor der Durchführug des Tests fest vorgegebe; se st de Wahrschelchket, daß be der Etschedug der Fehler erster Art passert ; d. h. de Wahrschelchket, daß H abgeleht wrd, obwohl se rchtg st. α wrd auch Sgfkazveau geat ud mest auf.5 oder. festgelegt. De Wahrschelchket, daß H akzeptert wrd, we H rchtg st, st -α. De Wahrschelchket ees Fehlers. Art sollte auch kle se; es st de Wahrschelchket, daß H akzeptert wrd, obwohl de Alteratvhypothese rchtg st. Se wrd mt β abgekürzt, wrd aber cht festgelegt. β ka berechet werde, se hägt wesetlch vo der Größe der Stchprobe, vo α ud H a ab. -β wrd auch als Macht des Tests (oder Teststärke oder auch Testgüte) geat: Se st de Wahrschelchket, daß de Alteratve akzeptert wrd uter der Voraussetzug, daß de Alteratve rchtg st. Kostrukto ees Tests (Mmalschrtte) Bespel: StudetIe habe m Schtt de gleche IQ we Glechaltrge(H ). Geplat se ee Stchprobe mt 4 StudetIe. Se α.5.. Nullhypothese ud Alteratvhypothese formulere H : µ, H a: µ>. Auswahl eer Teststatstk: Das st de Stchprobemaßzahl, mt dere Hlfe de Etschedug über H erfolge soll. Naheleged st her, de Stchprobemttelwert als Teststatstk zu wähle

52 Nagl, Eführug de Statstk Sete 5 3. Testvertelug uter H ermttel: Das st de Vertelug der Teststatstk, d. h. de Stchprobevertelug der Maßzahl uter Geltug vo H 4. Krtsche Berech festlege: Berech der Teststatstkwerte fde, be dee H abgeleht wrd. De Festlegug sollte dre Schrtte erfolge: a) Bedeutug der H Teststatstkwerte übersetze. b) Etrempostoe der Teststatstk bestmme, be dee H auf jede Fall abgeleht werde soll (zuguste vo H a ). Dabe wrd H a stark mt beeflusse, welche Etremwerte zur Ablehug vo H führe solle. De Etremwerte köe auf der Achse der Teststatstk (je ach H a ) etweder sehr wet lks, sehr wet rechts oder bedsetg etrem se. c) Vo de Etrempostoe her u utersuche, we wet sch der Ablehugsberech ach e erstreckt. Er soll gerade so wet gehe, daß de Wahrschelchket, daß de Teststatstk desem Berech legt, α st. Darüber gbt de Testvertelug Auskuft. Bem bedsetge krtsche Berech wrd jewels α/ auf lks ud rechts vertelt. Bemerkug: Be stetge Testverteluge st de Wahrschelchket, daß de Teststatstk m krtsche Berech legt, de Fläche über dem krtsche Berech, zudem st das wege der Stetgket mmer zu erreche. Be dskrete Testverteluge st dese Wahrschelchket de Summe vo de Etreme her, wobe der selte eakt errecht werde ka. Es ka da e eaktes α agegebe werde. Testvertelug st de Normalvertelug für X 4. Uter Geltug vo H hat se als Erwartugswert µ, ud Std( X 4 )5/. µ st verglechbar mt dem Stchprobemttelwert. X 4 st e erwartugstreuer Schätzer für µ H µ Her st de Etremposto (EP) rechts α pro H a (µ>) be sehr großem IQ-Mttelwert EP Krtscher Berech.34 Durchführug ees Tests. Stchprobe zehe 4. Teststatstk für de Stchprobe bereche Stchprobemttelwert (Teststatstk) bereche. z.b. 7.5 (Stp7) 3. Etschedug. We Teststatstk m krtsche Berech legt, wrd H abgeleht. 7.5 legt m krtsche Berech, daher wrd H abgeleht, Ergebs sgfkat: 7.5 * Sprachkoveto: We H cht abgeleht wrd, sagt ma, das Ergebs (oder auch de Maßzahl) se NICHT SIGNIFIKANT. We H abgeleht wrd, sagt ma auch Abhäggket vom vorher gewählte Sgfkazveau α, das Ergebs (oder auch de Maßzahl) se statstsch SIGNIFIKANT (α.5), SEHR SIGNIFIKANT (α.) oder HOCH SIGNIFIKANT (α.). Oft werde de Maßzahle eem Bercht mt Sterche gekezechet: * für sgfkat, ** für sehr sgfkat, *** für hoch sgfkat Mttelwerttests Forme der Bespele: Nullhypothese a) H : µ µ bzw. µ Im Schtt habe Studete ee IQ vo µ35 Im Durchschtt arbete Studete 35 Stude b) H : µ µ bzw. µ 5.3 Der durchschttlche Bezverbrauch des Autotyps ZX st (höchstes) 5.3 l c) H : µ µ µ Durchschttlch stehe jedem Budesbürger (mdest) qm Wohfläche zur Verfügug Alteratvhypothese H a : µ µ a bzw. µ µ µ Im Schtt habe Studete ee IQ vo (her st µ a) µ 35 De durchschttlche Arbetszet der Studete st cht 35 Stude bzw. µ > µ bzw. µ < µ µ>5.3 Der durchschttlche Bezverbrauch des Autotyps ZX st höher als 5.3 l usw. µ< Durchschttlch hat jeder Budesbürger weger als qm Wohfläche Teststatstk: Als Teststatstk wrd der Mttelwert der Stchprobe verwedet bzw. e stadardserter Mttelwert. Je achdem, ob de Stadardabwechug der Populato bekat oder ubekat st, muß de Testvertelug auf der Stadardormalvertelug oder der Studet-t-Vertelug aufbaue. Krtscher Berech: De bede erste Schrtte des Festleges des Krtsche Berechs köe für bede Fälle gemesam erfolge. Der Stchprobemttelwert (Teststatstk) st m S ees Schätzers umttelbar

53 Nagl, Eführug de Statstk Sete 53 verglechbar mt dem Populatosmttelwert. Trotz der Velfalt vo H -H a -Kostellatoe geüge dre Fälle, alle Kostellatoe abzudecke: Lkssetge, rechtssetge ud bedsetge Lokalserug der Etrempukte (EP). krtscher Berech sehr kle H sehr groß H -H a-kostellatoe-bespele: rechtssetg µ EP (H : µ, H a: µ), (H : µ 5.3, H a: µ>5.3), lkssetg EP µ (H : µ, H a: µ9), (H : µ, H a: µ<), bedsetg (symmetrsch) EP µ EP (H : µ35, H a: µ 35) Mttelwerttest be bekatem σ (Gauß-Test) De AwederI behauptet, de Lage (Nullhypothese) ud de Varaz der Vertelug zu kee. Wr helfe hr dabe, de Vertelug der Mttelwerte zu fde, dem aus der Hypothesepopulato belebg vele Stchprobe gezoge werde. Dadurch erhalte wr de Testvertelug (d.. Stchprobevertelug des arthmetsche Mttels uter Geltug der Nullhypothese H ). De Testvertelug lefert auch de krtsche Berech. Uter deser Voraussetzug (Geltug vo H, d. h. daß wrklch aus eer solche Nullhypothesepopulato gezoge wurde) wrd 5% aller möglche Stchprobe de H verworfe Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 Bespel: Ee Stchprobe vo 4 StudetIe werde gezoge, wobe H : µ utersucht werde soll mt H a: µ>. Implzt H se de Aahme ethalte, daß auch de Varaz de gleche we be Glechaltrge ud de Vertelug ormal se. H Populatosvertelug IQ µ σ IQ Zufallsauswahl arthm. Mw. bereche Wahrschelchkets- Vertelug des arthm. Mttels des IQ E( IQ ).6. Var( IQ ) 5 / α Krt. Berech Vert. blde ablehe cht ablehe Vert. blde...usw......usw......usw... Mw. KB? Wahrschelchketsvertelug Der Stchprobemttelwert fällt cht de krtsche Berech. P( IQ legt krt. Ber.).5 Als Testwert ka sowohl der Stchprobemttelwert als auch der stadardserte Stchprobemttelwert µ ( z ) verwedet werde. σ De Testvertelug des Stchprobemttels X uter Geltug der Nullhypothese µ µ st de Normalvertelug: NV( µ, σ X ), de stadardserte Größe Z µ st stadardormalvertelt NV(,). σ Bespel (Fortsetzug): Se der IQ-Mttelwert der 4 StudetIe. Da st der z-wert Be de folgede Falluterscheduge werde aus Übugsgrüde alle möglche Etscheduge vorgeführt, obwohl ur de rechtssetge desem 5 Bespel relevat wäre. α se.5. Teststatstk Krtscher Berech z-wert Mttelwert lkssetg z - z α µ σ z α IQ-Mttelwert der 4 StudetIe. z.67. z.645. µ.95 z (.67) st cht.645. Daher: H akzeptere. Bzw. st cht (-.645*(5/) ) daher: akzeptere

54 Nagl, Eführug de Statstk Sete 54 rechtssetg bedsetg z α z z - z oder z α α z σ µ + z α oder z µ α z σ σ µ + α z.95 (.645) z (.67); daher: H ablehe; bzw. ebefalls: +.645*(5/).34 z.96. z (.67) st größer als.96,. 95 fällt daher de krtsche Berech. Ebefalls ach der Mttelwertteststatstk drekt: De bede Greze sd ±.96*(5/) (85.3; 4.7). Der Krtsche Berech legt außerhalb. legt m Krtsche Berech. Daher: H ablehe Mttelwerttest be UNbekatem σ (t-test) We scho be de Kofdeztervalle wrd her de ubekate Stadardabwechug durch de Stchprobe- X µ X µ Stadardabwechugswert ersetzt ud so de Teststatstk Z modfzert zu T. σ S Uter der Voraussetzug, daß das Merkmal der Populato ormalvertelt st, ka als Testvertelug für de so modfzerte Teststatstk T de Studet-t-Vertelug verwedet werde. Etspreched werde be der Berechug der krtsche Bereche de z-werte durch de t-werte ersetzt. De Azahl der Frehetsgrade (df) st wederum Bomaltest Da de Testvertelug ee Bomalvertelug st, heßt deser Test Bomaltest. De Fragestelluge, de mt dem Bomaltest bearbetbar sd, bezehe sch mmer auf ee dchotome oder dchotomserte Populatos- Varable. Dabe wrd ee Ausprägug als Erfolgsausprägug defert. Der Atel der Erfolge der Populato (π) wrd betrachtet; für h werde de Hypothese formulert. Da der Erfolgsatel als Mttelwert der Dummy-Varable für Erfolg terpretert werde ka, sd otwedgerwese sowohl der Hypothesebldug als auch be de Durchführugsschrtte Ählchkete zum Mttelwerttest vorhade. Forme der Bespele: Nullhypothese a) H : π π bzw. b) H : π π bzw. c) H : π π Alteratvhypothese H a : π πa bzw. π π π.5 π.5 π.5 π.5 π.8 π.5 π <.5 π >.5 Be eer Prüfug rät jemad ur. See Chace eer rchtge Atwort.5 IQ vo st der Meda (IQ dchotomsert be, Erfolg se < ) IQ vo st das. Quartl (IQ dchotomsert be, Erfolg se < ) Ee Parte hat höchstes ee Wähleratel vo.5 Studet hat sovel gelert, daß see Chace eer rchtge Atwort.8 st IQ vo st cht der Meda IQ vo st e Quatl, das e kleeres Quatum als.5 hat. Ee Parte hat de Mehrhet (Wähleratel größer als.5) bzw. π > π bzw. π < π usw. Teststatstk: Als Teststatstk wrd der Erfolgsatel oder de Erfolgsazahl der Stchprobe verwedet. Testvertelug: Der Erfolgsatel hat de gleche Vertelug we de Erfolgsazahl, de Bomalvertelug. Krtscher Berech: De bede erste Schrtte des Festleges des Krtsche Berechs für de Stchprobeatel etspreche jee des Mttelwerttests. Wederum sd möglch: Lkssetge, rechtssetge ud bedsetge Lokalserug der Etrempukte (EP). krtscher Berech rechtssetg p sehr kle H π p sehr groß EP H -H a-kostellatoe-bespele: (H : π.5, H a: π.8), (H : π.5, H a: π>.5), lkssetg EP π (H : π.5, H a: µ.5), (H : π.5, H a: π<.5), bedsetg (symmetrsch) EP EP (H : π.5, H a: π.5) π Der drtte Schrtt uterschedet sch sofer vom Mttelwerttest, als der Stchprobeatel ee dskrete Varable st. Daher st das gesetzte α Nveau selte eakt realserbar. Der krtsche Berech soll da so egerchtet werde, daß de Wahrschelchket, daß e Stchprobeatel de krtsche Berech (uter Geltug der Nullhypothese) fällt, kleer oder glech α st. Zudem ka das eakte α agegebe werde, d.h. de wrklche Wahrschelchket, daß e Stchprobeatel de krtsche Berech fällt (uter Geltug der Nullhypothese).

55 Nagl, Eführug de Statstk Sete 55 Deses Populatos- Stchprobe-Schema det wederum der Kostrukto der Testvertelug für de Teststatstk Atel uter Geltug der Nullhypothese. De Populato st dchotom (Erfolg se als S-Wähler defert). Der Atel (bzw. Azahl) der Erfolge st bomalvertelt mt B(,.5). (sehe Tabelleahag A, B) I der Bomalvertelug sd vo de Etrempostoe her de krtsche Werte zu bestmme. De Summe der Wahrschelchkete soll α se. Das eakte α st de Summe der Wahrschelchkete des krtsche Berechs. Macht des Tests bereche De Macht des -β heßt auch Macht Tests wurde obe des Tests (β st de als de Wahrschelchket defert, Fehlers. Art). De Wahrschelchket des daß de Alteratvhypothese akzep- Wahrschelchket, daß Macht des Tests st de tert wrd, we se der Stchprobeatel rchtg st. Dese de krtsche Berech Berechug st aber fällt uter der ur für umersch Voraussetzug, eakt bestmmte daß ee bestmmte Alteratvhypothese möglch. rchtg Alteratvhypothese st. De Macht köte auch für alle dekbare eakte Alteratvhypothese berechet werde Bespel: De Alteratvhypothese se, de S-Parte habe de Mehrhet der Wählerstmme d.h. π >.5. Als Nullhypothese werde π.5 gewählt (es se darauf hgewese, daß der krtsche Berech be eer Wahl der Nullhypothese π.5 auf gleche Art festgelegt würde). Für de Festlegug des krtsche Berechs wrd der Etrempukt auf der Achse des Stchprobeatels be deser Hypothesekostellato rechts gesetzt...5 Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Sp7 Sp8 Sp9 Sp5 H Populatosvertelug des Erfolgs: S-Wähler. π..5 σ.5 Ncht-SW De Fukto, de für alle Werte der Alteratvhypothese de Macht des Tests darstellt, heßt Gütefukto des Tests S-Wähler Zufallsauswahl...usw... Atel bereche Krtsche Berech festlege: Atel Az Wt kum Der krtsche Berech besteht aus de Atele:.,.9. Würde der Atel.8 och dazugeomme, wäre de Summe der W te >.5. Das eakte α beträgt:.7 Bespel: Im Wahlbespel müßte der Stchprobe mdestes e Atel vo.9 pro S se, damt de Nullhypothese(S hat kee Mehrhet) abgeleht werde köte be. We groß st her de Macht des Tests? Da ur für umersch eakt bestmmte Alteratvhypothese de Macht berechet werde ka, soll als Alteratve π a.6 betrachtet werde (d.h. ageomme S hätte der Gesamthet ee 6% Mehrhet). De Macht des Test st de Wahrschelchket, daß de Stchprobeatele de krtsche Berech falle (.9 bzw..) bzw. de Azahl der Erfolge 9 oder sd, falls π a.6. Dese Wahrschelchket ka drekt mt der Bomalvertelugsformel berechet werde oder aus Tabelleahag A (B) abgelese werde be Erfolgswahrschelchket m Ezelversuch.6. Das st de Summe der Wahrschelchkete.43 ud D. h. De Macht des Test.463. Oder aders ausgedrückt: De Wahrschelchket des Fehlers. Art β Das st wohl vel zu hoch für ee Fehlerwahrschelchket! Berechug der Macht des Tests für alle möglche π- Werte der Alteratvhypothese Sollte möglchst stel se! Falls de Macht des Tests zu kle st, sollte de Stchprobe vergrößert werde. Awedug be Veräderugsmessug: We utersucht werde soll, ob ee Behadlug (Therape, Schlakhetskur usw.) wrksam st, wrd oft vor ud ach der Behadlug e Krterum erhobe (z.b. Agst, Körpergewcht usw.). Für de Überprüfug, ob ee Verbesserug egetrete st, ka de Verbesserug als de Erfolgsausprägug defert werde. We de Behadlug wrkugslos st, st de Chace ees Erfolgs.5 (π, we bem Müzwurf). Dese Nullhypothese ka da ebefalls mt dem Bomaltest utersucht werde. Er wrd auch als Vorzechetest bezechet (wege Verbesserug als + ud Verschlechterug als -) Wahrschelchketsvertelug des S-W -Atels bzw. des arthmetsche Mttels der Dummy-Varable: E(Atel).5 Atel Vertelug blde...usw KB..9 Kumulerte Wahrschelchketsvertelug des S-W -Atels Gütefukto des Tests Atel KB π

56 Nagl, Eführug de Statstk Sete 56 Be große Stchprobe (*π>5) Als Aäherug ka de Stadardormalvertelug σ verwedet werde. σ wrd uter Geltug der Nullhypothese bestmmt π ( π ) mt π aus der Nullhypothese: H π π : Bespel: Fortsetzug Für de Nullhypothese (π.5) st π. 5. Ageomme, se 4. σ.5* Der rechtssetge krtsche Berech für de Stchprobeatel ka auf Grud der Normalvertelug mt z bestmmt werde: π + z α σ * Krtscher Berech: (.6395, ]. Der eakte krtsche Berech be α.435 st [.65, ] Apassugstest für Verteluge Be mache Fragestelluge soll utersucht werde, wefer de emprsch gefudee Vertelug eer theoretsch postulerte etsprcht. Dese Fragestellug ka für zwe Auspräguge mt dem Bomaltest beatwortet werde. Her soll dese Fragestellug für mehr als zwe Auspräguge betrachtet werde. Nullhypothese: De Populatosatele see auf Grud theoretscher Überleguge für alle Auspräguge bekat. Damt st de Form der Populatosvertelug hypothetsch bekat. I eer Stchprobe werde de Häufgkete beobachtet, mt der dese Auspräguge vorkomme. De Summe der Häufgkete st de Stchprobegröße. De Häufgkete köe Stchprobeatele umgerechet werde. De Vertelug der aller möglche Häufgkete st ee Multomalvertelug. Das zetrale Iteresse glt aber der Frage, wefer de Uterschede zwsche de hypothetsche Populatosatele ud de Stchprobeatele zu groß sd. De I Populatosatele see: π, π,..., π,..., πi mt: π + π πi I Häufgkete der Stchprobe:,,...,,..., I mt: I. Stchprobeatel: p De Stchprobevarable (Häufgkete) N, N,..., N I sd multomalvertelt mt N + N N I E Maß für de Utersched vo Verteluge st gesucht (dafür gbt es vele) Bespel: Nach MENDEL sollte 4 Erbsesorte (rud-gelb, rud-grü, eckg-gelb, eckg-grü) be eem Kreuzugsepermet m Verhälts 9:3:3: stehe. Dese Verhältsse köe Populatosatele umgerechet werde: π 9/6.565, π 3/6.875, π 33/6, π 4/6.65. (d.h. I4) MENDEL hat folgedes Ergebs erzelt: 35, 8, 3, De Atele sd: p 35/ p.94446, p , p Auf dese Art ud Wese köte festgestellt werde, we uter zufällgem Zehe ud uter Geltug der theoretsche Posto (Nullhypothese) de Varatoe de Häufgkete ausfalle köe. Ist der Utersched zwsche de hypothetsch, theoretsche Atele ud de emprsch gefude zu groß? Zu groß köte bedeute, daß de Theore vellecht cht stmmt. E Maß für de Utersched vo zwe (Apassugs-)Ch-Quadrat: Verteluge ka auf de Etropeüberleguge aufgebaut werde. Je Lkelhood-Rato-Ch** größer das Maß, desto größer der I π Vertelugsutersched. Es wrd LRχ p l Lkelhood-Rato-Ch** (LRχ ) p geat. E aderes Maß für de Utersched zweer Verteluge hat K. PEARSON PEARSON-Ch** etwckelt. Es st de Summe quadrerter, stadardserter Abwechuge der Pχ I (p π ) π Stchprobe- vo de Pop.-atele Bemerkug : De Etrope für de emprsche Vertelug st Hp p ld(p ) LRχ -*556 ( 35/556* l((9/6) / (35/556))+ 8/556* l((3/6) / (8/556))+ /556* l((3/6) / (/556))+ 3/556* l((/6) / (3/556)) ) Weters muß da utersucht werde, ob des ee große Abwechug st (etwa bem Stchprobezehe, sehe ute) Pχ 556* ( (35/556-9/6) /(9/6)+ (8/556-9/6) /(3/6)+ (/556-9/6) /(3/6)+ ( 3/556-9/6) /(3/6) Ee cht optmale Stratege wäre, de Codeläge ach eer ader Vertelug zu wähle; de durchschttlche Fragedauer wäre größer: H(p:π) p ld( π ). Dese Dfferez H(p:π) Hp

57 Nagl, Eführug de Statstk Sete 57 ka als Maß für de Utersched vo Verteluge verwedet werde: H(p:π) Hp p (ld( π ) ld(p )) pld( π / p ). Statt des duale de atürlche Logarthmus zu verwede, bedeutet ur das Multplzere mt eer Kostate. Weteres Multplzere mt ergbt LRχ. Bemerkug : Be zuehmede gehe de Uterschede zwsche LRχ ud Pχ gege. Testvertelug für de Stchprobemaßzahl LRχ (ud Pχ ) Als Testvertelugsappromato ka be großem de Ch** Vertelug verwedet werde. Auszug aus Tabelleahag G: Frehetsgrade χ Erwartugswert ud Varaz der Ch-Quadrat-Vertelug sd efach zu bereche: E(χ )df ud Var(χ )df. Für Frehetsgrade df> ka de Normalvertelugsappromato verwedet werde. Ch-Quadrat-Verteluge mt uterschedlche Frehetsgrade df.6.5. df 4.4 df.5 df df 3 df 4..5 df df 3 df χ χ Um de Form der Vertelug vo LRχ zu utersuche, wurde her wederum ee Smulatosstude durchgeführt: Aus der Populatosvertelug wurde 5 Stchprobe ( jewels 48) gezoge. Für jede Stchprobe wurde de LRχ Maßzahl berechet. De resulterede Vertelug (grau) etsprcht der sogeate Ch**-Vertelug (schwarz uterlegt). Wetere Smulatoe köte folgedes zege: Sp Sp Sp3 Sp4 Sp5 Sp6 Populatosvertelug der 4 Bohetype 9 : 3 : 3 : r-gelb r-grü e-gelb e-grü Zufallsauswahl De Ch**-Vertelug paßt umso besser, je Sp7 Sp8 größer de Stchprobe st. Sp9 Se wrd be wachsedem Sp5...usw......usw... aber cht schmaler.. De Form hägt ur vo der Azahl der Auspräguge ab (I). Se wrd durch de Frehetsgrade df I- charaktersert ( sollte groß se) 3. De durchschttlche Häufgket pro Ausprägug sollte mdestes 5 se (d.h. cht zuvele Auspräguge be eem gegebeem ). Das sehr koservatve Krterum (*π 5) glt für das Pχ, cht für LRχ. Es sollte aber sgesamt weger als % solcher Zelle vorhade se, für de *π <5. LRχ bereche.3.. Wahrschelchketsvertelug des LRχ E(LRχ ) 3 Var(LRχ ) 6 LRχ Krtscher Berech Vertelug blde

58 Nagl, Eführug de Statstk Sete 58 Krtscher Berech De Nullhypothese behauptet ee bestmmte Art der Populatosvertelug. De Nullhypothese wrd abgeleht, we der beobachtete Vertelug zu stark vo der Nullhypothesevertelug abwecht (gemesse durch de Teststatstke LRχ bzw. Pχ ). Be sehr großer Teststatstk wrd daher de Nullhypothese abgeleht. Der krtsche Berech wrd vo rechts her bestmmt. Für e vorgegebees α st daher mmer der Berech: LRχ bzw. Pχ χ b. 5 Im MENDEL sche Epermet st be α.5 ud df3 der krtsche Berech: rechts vo 7.8. De Nullhypothese wrd daher cht abgeleht, da LRχ cht m krtsche Berech legt. De Date passe sogar verdächtg gut zur Theore!!!! Frehetsgradsmodfkato bem Schätze vo G Parameter: dfi-g- Der Apassugstest wrd oft verwedet, um zu überprüfe, ob de Populato selbst ormalvertelt st. Da st ötg, de quattatve Berech Gruppe ezutele. Falls der Mttelwert der Populato cht bekat st, wrd der geschätzte Mttelwert der Date verwedet (dasselbe glt evetuell für de Stadardabwechug). De Azahl der geschätzte Parameter (G) muß vo de Frehetsgrade abgezoge werde: dfi-g-. Adere Apassugstests Für de Überprüfug der Überestmmug vo Verteluge be mdest ordalem Skaleveau ka auch der KOLMOGOROFF-SMIRNOFF Test verwedet werde, be Itervallskaleveau st der W-Test vo SHAPIRO-WILK zu empfehle Zwesetge Krtsche Bereche ud Kofdeztervalle Her solle Kofdeztervalle betrachtet werde, de symmetrsch um ee zetrale Lagewert lege. Solche Kofdeztervalle köe mt symmetrsche zwesetge krtsche Bereche verglche werde, falls de gleche Schätzer verwedet ud de Stadardfehler der Schätzer bede Fälle ach der gleche Formel berechet werde. Auf Grud glecher Kostruktosprzpe glt:. We der H -Parameter θ außerhalb des (-α)-kofdeztervall für de Schätzwert vo θ legt, wrd de Nullhypothese be zwesetgem krtsche Berech auf dem Sgfkazveau vo α abgeleht.. Umgekehrt ka e kokretes (-α)-kofdeztervall als de Mege der Parameterwerte terpretert werde, de be eem etsprechede Hypothesetest zu eer Aahme der Nullhypothese (be zwesetgem krtsche Berech) geführt hätte. De bede Przpe solle durch e Gauß-Test-Bespel verdeutlcht werde. Für ee Stchprobe se e 95%Kofdeztervall gefude worde ±.96σ (Im Bespel: 6 ±.96*7.5 (9.3,.7), sehe m Dagramm gaz ute). Für ee zwesetge Test vo H : µµ (z.b. µ95) legt der krtsche Berech für außerhalb µ ±.96σ (z.b. 95±.96*7.5(8.3, 9.7)). Legt µ m Kofdeztervall für µ (d.h. de Dstaz zwsche µ ud st kleer als.96σ ), da ka cht der krtsche Rego lege (de krtsche Rego legt außerhalb deser Dstaz ) ud umgekehrt µ µ µ ±.96*7.5 95% Kofdeztervall

59 Nagl, Eführug de Statstk Sete 59 Daher ka der Test für de Hypothese: µµ efach dadurch durchgeführt, daß utersucht wrd, ob der Parameter µ m Kofdeztervall für de Schätzwert für µ ( ) legt. Falls µ außerhalb des Kofdeztervalls (bzw. geau auf der Greze, we obe das obere ud utere Bld), wrd H (µµ ) abgeleht. Da dese Aussage für alle kokrete Parameterwerte für µ glt, de erhalb des Kofdeztervalls für de Schätzwert für µ ( ) lege, glt daher: Das Kofdeztervall ka als de Mege aller akzepterbare Hypothese terpretert werde. Im Bespel würde alle Nullhypothese akzeptert werde, für de glt: 9.3 < µ ud µ <.7. Übugsbespele zu Kap. 3. Betrachte Se ee Klausur mt Aufgabe als Stchprobe (). Jede Atwort werde per Zufall mt ja bzw. e ausgefüllt. Wevele verschedee möglche Klausureatwortkostellatoe ka es gebe?. Bem Toto-Spele ka ma, oder astreche. Betrachte Se das Toto-Spel als Stchprobe mt. Wevel verschedee Ausfüllmöglchkete gbt es? 3. Betrachte Se Lottospele als das Auswähle eer Stchprobe(6) aus 49 Zahle (OHNE Zurücklege). We vele möglche Tps gbt es, a) we de Rehefolge berückschtgt wrd? b) we de Rehefolge cht berückschtgt wrd (dem fertg ausgefüllte Lottosche seht ma cht a, welcher Rehefolge ausgefüllt wurde)? 4. Aus eer Schulklasse (N) soll ee Stchprobe (5) ohe Zurücklege gezoge werde. We vele möglche Stchprobe gbt es? 5. Welche Möglchkete sehe Se, mt eem Würfel aus eer Lste vo Zahle ee Zahl so auszuwähle, daß jede Zahl de gleche Chace hat gezoge zu werde? 6. Erstelle Se de Graphk für de frequetstsche Wahrschelchketsbegrff für das Werfe eer Müze w. Das güstge Eregs se Zahl. 7. Der IQ se so ormert, daß er der Populato ormalvertelt st mt µ ud σ5. a) Se zehe alle möglche Stchprobe der Größe. We groß st der Mttelwert über all dese Stchprobe? We heßt deser Mttelwert? b) Se zehe alle möglche Stchprobe der Größe 4 (Gedakeepermet). We groß st der Mttelwert über alle Stchprobemttelwerte? We groß st der Mttelwert über alle Varaze, de ach der Formel s berechet werde? We groß st deser Mttelwert über de Varaze, de ach der Formel s berechet werde? c) Se zehe alle möglche Stchprobe jewels der Größe 9, 6,. Beatworte Se de gleche Frage we uter b) d) Was bedeutet deser Fragestellug das Gesetz der große Zahl? 8. Der folgede Programmcode lefert Pseudozufallszahle (SmalltalkV, zur bessere Lesbarket lecht modfzert). Der Beutzer gbt emal am Afag ee Afagszahl (Seed) a (z.b. 47). Erzeuge Se ach folgede Awesuge dre Pseudozufallszahle: et Seed : ( (78 * Seed)) mod: ^Seed / "Methode et lefert: Zufallszahl zwsche ad " Das bedeutet: Rest be Dvso durch wrd eues Seed Das bedeutet: Seed/65534 als Zufallszahl ablefer. Orgalcode SMALLTALK V (ur für Programmerer!): et temp [Seed : (78 * Seed) btad: 8r temp : Seed / temp ] whletrue: [ ]. ^temp "Aswer the et radom floatg pot umber betwee ad (wthout or )"

60 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6 9. Betrachte Se ee Klausur mt Aufgabe als Stchprobe (). Jede Atwort werde zufällg ( rees Rate) ausgefüllt. De Wahrschelchket, daß de Aufgabe rchtg beatwortet wrd, se.5. We groß st de Wahrschelchket, daß so a) alle Aufgabe rchtg sd? b) kee rchtg st? c) geau ee rchtg st (d.h. %, Atel.)? d) geau rchtg sd(d.h. %, Atel.)? e) 4% oder mehr rchtg sd?. Ageomme, Parte S erzele derzet der Gesamthet der Wähler e Ergebs vo 4%. We groß st de Wahrschelchket, daß da eer Stchprobe e Atel erzelt wrd, der größer oder glech 5% st, be eer Stchprobegröße vo a)? b)? c)?. Se π.5. Das vorgegebee Itervall reche vo.4 bs.6. We groß st de Wahrschelchket, daß e Stchprobeatel desem Itervall legt, we de Stchprobegröße a) st? b) st?. De Körpergröße der Populato se µ mt σ We groß st de Wahrschelchket, daß e Mttelwert eer Stchprobe m Itervall ( , ) legt, falls de Stchprobegröße a) 6 st? b) st? 3. Se zehe Stchprobe eer bestmmte Größe vo IQ-Werte belebg oft. We bret st das Itervall um, dem mt 95% aller arthmetsche Mttelwerte Ihrer Stchprobe be belebger Wederholug deses Stchprobeepermets lege, be eer Stchprobegröße vo a)? b)? c)? 4. Ihe se bekat, daß das arthmetsche Mttel der Gesamthet der Studelöhe Ihres Zaharztes 5 DM betrage, de Stadardabwechug se DM. a) Ageomme, Se kosumere ee Stude; betrachte Se des als ee Zufallsstchprobe der Größe. We groß st de Wahrschelchket, daß Se 3 Mark oder weger bezahle? b) Ageomme, Se kosumere Stude; betrachte Se des als ee Zufallsstchprobe der Größe. We groß st de Wahrschelchket, daß das arthmetsche Mttel der Studelöhe 3 Mark oder weger beträgt? 5. Se zehe Stchprobe eer bestmmte Größe vo IQ-Werte belebg oft. We bret st das Itervall um, dem 99% aller arthmetsche Mttelwerte Ihrer Stchprobe be belebger Wederholug deses Stchprobeepermets lege, be eer Stchprobegröße vo d)? e)? f)? 6. Se hätte ee Stchprobe vo kaufmäsche Agestellte gezoge, Se wsse de Mttelwert des IQ der Populato der kaufmäsche Agestellte cht, de Stadardabwechug se aber de IQ-typsche, zudem ormalvertelt. Der IQ-Mttelwert der Stchprobe se 94. Bereche Se ach de Formel u σ bzw. o. 95 σ vo Stchprobegröße: a) b) c) Was sagt Ihe u das Kofdeztervall? +.96 das 95%-Kofdeztervall für IQ, für uterschedlche Fälle 7. Das Ekomme der Gesamthet se ormalvertelt, Se wsse weder de Pop.-Mttelwert och de Stadardabwechug. Ihre Stchprobe () lefert ee Mttelwert vo 5 ud ee

61 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6 Stadardabwechug vo (berechet ach der Formel s ). Bereche Se das 95% Kofdeztervall be ubekater Populatos-Stadardabwechug (Skrpt Sete 5 lks obe). a) Azahl der Frehetsgrade (df)? b) We groß st t. 975 (df )? c) We lautet das Kofdeztervall? 8. Begrüde Se, warum be eer Stchprobegröße de Vertelug der Werte eakt der Vertelug etsprcht, de de Populato hat (am Bespel der Körpergröße m Skrpt S. 34) a) Verwede Se dafür de bede Deftoe der Wahrschelchket. b) Warum st m Skrpt de Vertelug cht eakt glech? 9. Betrachte Se de dre Schätzer für µ ( ˆΘ se X, ˆΘ se der Mttelwert über de erste ud. Wert der Stchprobe ( X + X )/, ˆΘ 3 se der Mttelwert über das erste Drttel hrer Stchprobe ( se k*3). Populatosvaraz se σ, der Populatosmttelwert se µ. a) Sd dese Schätzer erwartugstreu? b) Bereche Se de Varaz der dre Schätzer. Welcher hat de kleste Varaz? Bereche Se de relatve Effzez (Skrpt Sete 46 ute) vo ˆΘ über ˆΘ ud vo ˆΘ über ˆΘ 3. c) Welcher deser Schätzer st kosstet?. Se hätte ee Stchprobe vo kaufmäsche Agestellte gezoge. Ihre Nullhypothese se: der Mttelwert des IQ der Populato der kaufmäsche Agestellte st 97. Alteratvhypothese: µ 97 (α.5). Kostruere Se de Mttelwerttest für 5 (Voraussetzug: IQ se auch be de kaufmäsche Agestellte ormalvertelt mt σ5). a) Was st de Teststatstk? b) We st de Teststatstk vertelt? c) Bestmme Se de krtsche Berech. d) Der Stchprobemttelwert se. Wrd H verworfe?. Das Ekomme der Gesamthet se ormalvertelt, Se kee de Pop.- Stadardabwechug cht. Ihre Stchprobe () lefert ee Mttelwert vo 5 ud ee Stadardabwechug vo (berechet ach der Formel s ). Kostruere Se ee Mttelwerttest für H: µ4 Ha: µ. a) Was st de Teststatstk? b) We st de stadardserte Teststatstk vertelt? c) Bestmme Se de krtsche Berech. d) Wrd H verworfe?. De Alteratvhypothese se, de S-Parte habe de Mehrhet der Wählerstmme d.h. π >.5. Als Nullhypothese werde π.5 gewählt. Kostruere Se () ee Test der Nullhypothese (α.5) uter Verwedug des Stchprobeatels als Teststatstk. a) Welche Vertelug hat de Teststatstk? b) Krtscher Berech? c) Eaktes α? d) Macht des Tests für eakt formulerte Alteratve π a.6? 3. H: Der IQ-Meda vo Studete se. Alteratvhypothese: st. Qutl. Kostruere Se ee Test der H-Hypothese, wobe de Teststatstk der Atel derer mt IQ kleer glech se. De Stchprobegröße se:. a) Welche Vertelug hat de Teststatstk? b) Krtscher Berech? c) Eaktes α? d) Macht des Tests? e) We groß st der Fehler. Art? 4. Das Hormo Vasopress st evetuell der Lage, de Tefschlaf zu verbesser. 3 Studete sd beret, das Medkamet auszuprobere. Als Teststatstk dee der Atel der Studete, be dee ee Verbesserug des Tefschlafs festgestellt wrd. H: De Wahrschelchket eer Verbesserug st.5. Ha:

62 Nagl, Eführug de Statstk Sete 6 De Wahrschelchket eer Verbesserug st.7. Kostruere Se ee Test der H- Hypothese(α.5). a) Welche Vertelug hat de Teststatstk? b) Was st der krtsche Berech? c) We groß st das eakte α? d) We groß st de Macht des Tests? e) We groß st β? 5. E Warehaus betet e Produkt dre uterschedlche Verpackuge (A, B, C) a. Am erste Tag wurde 3 mal A, 8 mal B ud 7 mal C verkauft. Es soll überprüft werde, ob ee Präferez für ee bestmmte Verpackug vorhade st. Als Nullhypothese wrd formulert: es gbt kee Präferez; das Verhälts der Produkte zueader se ::. a) Führe Se ee Apassugstest durch be α.5. b) Wrd de Nullhypothese verworfe? 6. Hudert Studete löse 4 glech schwere Aufgabe (A, B, C, D). Es wrd ageomme, daß de Studete lestugshomoge sd. Das heßt sgesamt: de Wahrschelchket, daß e Item rchtg gelöst wrd, st für alle Studete ud jedes Item glech groß. Folgedes Ergebs wurde erzelt: Studete habe, Studete habe, 4 Studete habe, Studete habe 3 ud Studete habe 4 Aufgabe rchtg gelöst. a) Bereche Se de Atel der rchtge Lösuge (be de sgesamt 4 Versuche). So ka de Ezelerfolgs -Wahrschelchket für jede Versuch jeder Perso geschätzt werde. b) Bereche Se (bzw. eruere aus Tabelle) mt der geschätzte Ezelerfolgs -Wahrschelchket folgede Wahrschelchkete, daß e Studet,,, 3 bzw. 4 Aufgabe rchtg hat, we er jede Ezelversuch uabhägg vom jewels vorherge durchführt. Damt erhalte Se de Bomalvertelug für de Erfolgsazahl be 4 Versuche. c) Überprüfe Se, ob de obe gegebee Vertelug,, 4,, eer Bomalvertelug etsprcht. 7. Stchprobe aus Populato vo Gymasaste. Se messe IQ (ormalvertelt mt σ5). Der Stchprobemttelwert se 6. Für 4. a) Bereche Se das 95%-Kofdeztervall b) Teste Se (zwesetg) de H: µ9. Wrd H akzeptert? c) Teste Se (zwesetg) de H: µ9. Wrd H akzeptert? d) Teste Se (zwesetg) de H: µ93. Wrd H akzeptert? e) Teste Se (zwesetg) de H: µ6. Wrd H akzeptert? f) Teste Se (zwesetg) de H: µ9. Wrd H akzeptert? g) Teste Se (zwesetg) de H: µ. Wrd H akzeptert? h) Teste Se (zwesetg) de H: µ. Wrd H akzeptert? Für 6. ) Bereche Se das 95%-Kofdeztervall j) Bestmme Se de Berech der Nullhypothese, de be 6 ud Stchprobemttelwert 6 akzeptert würde (zwesetg)

63 Nagl, Eführug de Statstk Sete 63 Ahag zu Kap. 3 De Normalvertelug N( µ, σ ). Dchtefukto.4.3 f (z) e π z f () µ σ abgekürzt: ~ N( µ, σ ) σ π e Stadardormalvertelug, kurz NV(, ) z. f (IQ) 5 π e IQ 5 IQ-Normalvertelug, kurz: NV(, 5) IQ De Vertelugsfukto F() gbt de Fläche uter der Dchtefukto vo - bs a. Das st das Itegral über de Dchtefukto. Deses Itegral st cht über ee geschlossee Form lösbar. De Vertelugsfukto für de stadardserte Normalvertelug heßt Φ(z) ud legt Tabelleform vor. Durch etsprechede Trasformato ( z µ ) ka für jede -Varablewert be Kets vo µ ud σ σ der stadardserte z-wert berechet werde. Umgekehrt ka mt µ + σ z aus dem z-wert weder der -Wert berechet werde. Auf Grud der z-trasformato ka de Fläche für jede -Wert der Stadardormalvertelug für z eruert werde. Charakterstsche z-werte der Stadardormalvertelug uterer z-wert oberer z-wert Prozet der Gesamtfläche Bezechug der z-werte Symmetrsche Bereche zwsche ud.675 5% z zwsche -.96 ud.96 95% z zwsche ud % z Esetge Bereche zwsche ud 95% z zwsche - ud % z

64 Nagl, Eführug de Statstk Sete 64 De Bomalvertelug wrd mt B(,π) abgekürzt (machmal auch mt B(,p)) Dabe bedeutet de Stchprobegröße. π steht für de Wahrschelchket des Erfolgs (bzw. des Atels der Erfolgselemete der Populato). Be eer Stchprobe der Größe (Mt Zurücklege Zehe!) gbt de Bomalvertelug de Wahrschelchket der Azahl der Erfolge (möglch sd,,...,k,...) a. Dese Azahl ka selbst wederum als (Stchprobe)-Atel formulert werde: k/ (bzw. Prozet). Im grüe Heftche sd sowohl de Wahrschelchkete (Tabelleahag A), als auch de kumulerte Wahrschelchkete (Tabelleahag B) tabellert; de Azahl der Erfolge wrd m grüe Heft mt bezechet. Aäherug der Bomalvertelug durch Normalvertelug (Zetraler Grezwertsatz, De Movre-Laplace) π.5 π.7 π Populato azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl azahl Da der (Erfolgs-)Atel dem Mttelwert der Dummy-Varable (für Erfolg) etsprcht, ka der Populatosatel π als µ dargestellt werde, ebeso der Stchprobeatel als. De Varaz des Stchprobeatels st µ ( µ ) σ bzw. σ π( π) Für großes glt daher: Der Stchprobeatel st appromatv ormalvertelt: NV(π, σ De Azahl der Erfolge st ebefalls appromatv ormalvertelt: NV(π, π ( π) ), π( π) ), mt σ.

65 Nagl, Eführug de Statstk Sete 65 4 Aalyse zweer Merkmale Wege wsseschaftlche Fragestelluge begüge sch damt, de Vertelug ur ees ezge Merkmals zu betrachte. Oft sd Hypothese Aussage über mehrere Merkmale smulta ethalte. Zuerst wede wr us Fragestelluge zu, de smulta zwe Merkmale behadel. Mestes wrd vom Zusammehag zweer Merkmale gesproche. Das ee Merkmal soll als das -Merkmal, das adere als y-merkmal bezechet werde. Das Skaleveau der bede Merkmale schräkt de verschedee Arte der Aalyse des Zusammehags zweer Merkmale e. De folgede Zusammestellug der Verfahre st zwar cht vollstädg, ethält aber de wchtgste Verfahre. Ege deser Verfahre werde desem Kaptel behadelt werde. Mdestskaleveau des -Merkmals Nomal Ordal Itervall Vergleche zweer Mttelwerte, Varazaalyse, Vergleche vo Varaze. Nchtparametrsche Verfahre (be Verletzug vo Vertelugs-Voraus- Mdestskaleveau des y-merkmals Nomal Ordal Itervall Nchtparametrsche Verfahre (Medatest, WILCOXONtests, KRUSKAL- WALLIS-Test, FRIEDMAN- Varazaalyse), Aalyse mt ordal-logstsche Modelle setzuge) Kreuztabelleaalyse, Ch- Quadrat, Nomale Korrelato (Ch-Quadrat-Normeruge, GOODMANs λ, KRUSKALs τ, kappa), Aalyse mt logleare ud omallogstsche Modelle Aalyse mt omallogstsche Modelle Aalyse mt omal-logstsche Modelle (logstsche Regresso), Uvarate Dskrmazaalyse Ragkorrelato (SPEAR- MANs ρ, KENDALLs τ) Aalyse mt ordallogstsche Modelle Mttelwerttests, Varazaalyse PEARSON-Korrelato, Regressosaalyse 4. Vergleche vo Mttelwerte Auf Grud ees (mdest omale) Merkmals (-Merkmal) köe Gruppe vo UEe gebldet werde. Für jede Gruppe ka der Mttelwert für e (mdest tervallskalertes) Merkmal (y-merkmal) berechet werde. De Mttelwerte der verschedee Gruppe werde verglche. Bem Verglech teressert erster Le, ob de Mttelwerte uterschedlch oder glech sd, bzw. we groß de Uterschede sd. 4.. Verglech zweer Mttelwerte Typsche Fragestelluge: De Dfferez de Mttelwerte der bede Gruppe (, ) bezüglch der Gesamthet st gefragt: µ. µ Ee Hypothese (H bzw. H a ) behauptet, daß dese Dfferez ee spezelle Wert habe: H : µ µ µ (dabe st µ oft glech ) bzw. H µ µ µ a : a Hypotheseform: Ist de durchschttlche Berufsausbldugsdauer vo Ehemäer µ Em µ Ef µ Em - µ Ef glech lag we de der Ehefraue? Im Durchschtt habe Schüler Mathematk glech gute Note µ M µ E µ M - µ E we Eglsch. Sd Zwllge (Erst- ud Zwetgeboree) m Schtt glech µ E µ Z µ E - µ Z tellget? Väter sd m Schtt glech groß we hre Söhe. µ V µ S µ V - µ S Studete arbete durchschttlch zu Hause um zwe Stude µ zh µ U + µ zh - µ U mehr als a der U. Fraue sd (m Durchschtt) glech tellget we Mäer. µ F µ M µ F - µ M De Sozalkompetez wrd durch Gesprächstherape cht µ vor µ ach µ vor - µ ach verbessert (Sk vor bzw. ach Therape). Whte Collars (Weßkragearbeter) verdee m Schtt µ W µ B+ µ W - µ B mehr als Blue Collars ( Blauma -Arbeter). Durchschttlch arbete Studete glech vel we Lehrlge. µ S µ L µ S - µ L Mttlere Orgasatoe sd m Durchschtt effzeter als große µ MO > µ GO µ MO - µ GO> Dese Fragestelluge köe mt Hlfe vo Hypothesetests bzw. Kofdeztervalle beatwortet werde.

66 Nagl, Eführug de Statstk Sete Desgüberleguge: Verbudee ud uverbudee Stchprobe Mache der obe ageführte Fragestelluge köte auf zwe grudsätzlch verschedee Arte utersucht werde. Für de bede Gruppe köte zwe Stchprobe so erhobe werde, daß zu jeder UE der ee Stchprobe e möglchst vele Egeschafte gleche UE der zwete Stchprobe gewählt wrd. Der Utersched soll ur m Gruppemerkmal lege. Zwe solche Stchprobe werde als verbudee Stchprobe bezechet. Leder st dese Art der Dateerhebug cht mmer möglch. Verbude heße zwe Stchprobe geau da, we es ee Regel gbt, jeder UE aus der ee Stchprobe geau ee UE aus der adere Stchprobe zuzuorde. Bespel. Stchprobe. Stchprobe Regel Berufsausbldugsdauer vo rgedwelche Ehemäer ud Ehefraue Ehemäer dere Ehefraue edeutg Itellgez der Zwllge rgedwelche Erstgeboreee Zwetgeboreer edeutg Größe vo Vater ud Soh rgedwelche Väter dere Söhe edeutg Sozalkompetez vorher/ achher Persoe vor Therapebeg gleche Persoe daach edeutg Uverbude heße zwe Stchprobe, für de ee solche edeutge Regel cht estert. Whte & Blue Collars rgedwelche Whte C. Itellgez vo Mäer ud Fraue rgedwelche Mäer rgedwelche Blue C. rgedwelche Fraue kee kee Be uverbudee Stchprobe ka vorausgesetzt werde, daß de Meßwerte der ee Stchprobe uabhägg vo dee der adere Stchprobe sd (betrachte de bede Stchprobe als Tele eer große Stchprobe, be der Uabhäggket aller Stchprobevarable ageomme wrd). Daher werde uverbudee Stchprobe auch bezechet als uabhägge Stchprobe. Verbudee Stchprobe werde auch als gepaarte Stchprobe bzw. auch wege der möglche Abhäggket der Meßwerte auch als abhägge Stchprobe bezechet Kofdeztervalle ud Tests be verbudee Stchprobe Da jedem Meßwert der ee Stchprobe eakt e Meßwert der ader Stchprobe etsprcht, köe de Dffereze auf der Idvdualebee gebldet werde. De Dfferezwerte selbst werde we ee Stchprobe für e Merkmal (das Dfferezemerkmal) behadelt. Dateaufberetug: Blde de Dfferezewerte der. ud. Stchprobe. De Dfferezewerte köe als ee eue Stchprobe betrachtet werde, mt Stchprobemttelwert d ud Stadardabwechug s d Stp : y j (j,,...,) Stp : y j (j,,...,) Dfferezewerte: d j :y j y j. d : (d d s d : ( d ) / j d ) Bespel: Durchschttlcher Utersched m Arbetsverhalte vo Studete Stude (zu Hause vs. a der U). Beobachtugswerte: U- Ehete: j. Stchprobe (zu Hause): y j. Stchprobe ( U): y j Stchprobe der Dffereze: d j:y j y j d : ( + ) / 4.5. s d : (53.5) De Dfferez de Populatosmttelwerte der bede Gruppe st etspreched µ µ. Kofdeztervalle ud Hypothesetests habe zur Voraussetzug, daß de Dffereze ormalvertelt sd (be großem helt der zetrale Grezwertsatz de Verletzug deser Voraussetzug). Das Kofdeztervall für de Dfferez µ µ ka ach de Formel für e Merkmal berechet werde. (-α)-kofdeztervall für µ be cht bekater Varaz µ s d st: d ± t α (df ) mt df-. Bereche des 95%-Kofdeztervalls für de Mttelwertdfferez: df 3. t α (3) Daher st das Kofdeztervall glech ± ± ( ,.8668).

67 Nagl, Eführug de Statstk Sete 67 Im erste Dagramm sd ur de Werte dargestellt; m zwete wurde de Kofdeztervalle (Pfele) ud der Stadardfehler (Querstrch) für jede Stchprobe ezel hzugefügt ud de Mttelwerte verbude. Arbetszet Stude 3 Arbetszet Stude 3 Arbetszet Stude 3 Dfferez der Arbetszet 5 Im drtte Dagramm wurde de ezele Meßwerte verbude, damt de Abhäggketsstruktur der Date besser schtbar wrd. Im verte Dagramm folge de Dfferezwerte mt de Stadardabwechuge, de 95%- Kofdeztervalle samt Stadardfehler des Dfferezemttelwerts. Sp zu Hause U zu Hause U zu Hause U zu Hause-U s d µ + t α (df ) d s d d µ t α (df ) bzw. s d µ + t α (df ) d Se H : µ - µ. µ st daher glech. De Alteratvhypothese se: H a: µ - µ. Der krtsche Berech st daher zwesetg. df 3. t α (3) Der zwesetge krtsche Berech legt daher außerhalb (klusve Radpukte) vo: 6.65 ± 3.8 ± ( ,.57668). d.5 legt cht m krtsche Berech. Daher wrd de Nullhypothese cht abgeleht Kofdeztervalle ud Tests be uverbudee Stchprobe Dateaufberetug: Ierhalb jeder Stchprobe werde de Meßwerte umerert. Für jede Stchprobe wrd der Mttelwert ud de Stadardabwechug berechet. st der Gruppede Stp : y j (j,,..., ) Stp : y j (j,,..., ) y y + + : (y... y ) / : (y y ) / s : ( y für,. j j y ) Bespel: Körpergröße der erste 6 UEe. Getret ach Se. Date sd ach Körpergröße sortert. Stp (m): 7,74,74,75,78,84,84,85,86,88,89,9,9,94 Stp (w): 65,67 Körper größe 9 Hypothesetests Krtscher Berech für d für de Dfferez µ µ lkssetg d µ t α (df ) s d ( H : µ µ µ ) köe ebefalls rechtssetg wederum we be eem Merkmal (Dffereze) durchgeführt werde. bedsetg Stchprobe. Azahl Mttelwert y Stadardabwechug s Std-Fehler s /. (m) (w) Körper größe 9 Be der Darstellug der Date sollte zusätzlch der Stadardfehler der Mttelwerte berechet werde. Her wrd er getrt für jede Gruppemttelwert berechet. Im Dagramm (lks) sd zusätzlch zu de ezele Werte de Mttelwerte mt Stadardabwechuge egezechet. Im Dagramm (rechts) wurde de Mttelwertpukte verbude. Für jede Gruppe st das 95%- Kofdeztervall (mt Pfele) ud der Stadardfehler (Querstrch) egezechet Ma Frau Ma Frau Für de Tests vo Hypothese we auch für Kofdeztervalle sollte de Vertelug des y-merkmals für jede Populato, aus der de Stchprobe gezoge wrd, ee Normalvertelug se (es recht allerdgs, daß de Stchprobemttelwerte für jede Stchprobe ormalvertelt sd).

68 Nagl, Eführug de Statstk Sete 68 Be der Schätzug der Kofdeztervalle bzw. de Hypothesetests muß zudem berückschtgt werde, ob de Varaze des y-merkmals de bede Populatoe glech oder verschede sd, we de Varaze cht bekat sd ud daher auf Grud der Stchprobe geschätzt werde müsse Kofdeztervall für Mttelwertdfferez Im folgede Flußdagramm werde de strategsch zetrale Etschedugspukte durch de Abfrage ( Rhombe) hervorgehobe. Alle Kofdeztervalle für µ -µ (abgekürzt durch µ -µ K) als Dffereze der bede Stchprobemttelwerte plus/mus dem mt z bzw. t gewchtete Stadardfehler vo y y ) berechet. De Stadardfehler vo ( y y ) werde mt σ y y bzw. s y y bzw. s y y ( bezechet. σ ud σ bekat e σ σ homoskedastsch e ja ja µ -µ K: µ -µ K: ud ± σ mt: σ ( y y ) z α y y y y σ σ + ( y y ) ± t α (df ) s y y mt: df + s y y ( )s + ( df )s + µ -µ K: ( y y ) ± t α (df ) s y y mt: s y y s s + ud df ( s + s ) ( s ) ( ) + ( s ) ( ) Bespel (Fortsetzug): Bereche des 95%-Kofdeztervalls für de Körpergröße-Mttelwertdfferez µ -µ für de bede Se- Gruppe. De Körpergröße-Werte see ormalvertelt für jede Gruppe. df t (4) s s. Der Stadardfehler des Aahme: De Populatos- Stadardabwechug beder Gruppe see glech ( σ σ ): Homoskedastscher Fall Aahme: De Populatos- Stadardabwechuge see verschede ( σ σ ): Heteroskedastscher Fall ( )s + ( )s Mttelwerts st s y y (3)s + ()s Das Kofdeztervall für µ -µ st: ( y y ) ±.5 s y y ( 83 66) ±.5 * ±.5 * ±.759 (5.48, 8.759). Be Verwedug des Kofdeztervalls für ee zwesetge Test der Nullhypothese µ µ µ ka festgestellt werde, ob µ m Kofdeztervall legt. Legt µ cht m Itervall, wrd de Nullhypothese abgeleht. Welche Nullhypothese würde her abgeleht werde? s /4 4., (4.+ ) 5. s /.Daher st df ( ) t (.)..95. Der Stadardfehler des Mttelwerts st s s s y y + +. Das Kofdeztervall für µ -µ st glech ( y y ) ±. s 7 ±. *.4 7 ± 4.98 y y (.7,.98). Daß deses Kofdeztervall schmaler als jees m homoskedastsche Fall st, legt dara, daß de vel kleere Stadardabwechug be de Fraue her wesetlch stärker berückschtgt wrd. Das Ergebs sollte vorschtg terpretert werde, da de Stchprobe der Fraue sehr kle st Hypothesetests zur Mttelwertdfferez Der efachere Darstellug wege werde de stadardserte Mttelwertdffereze als Teststatstk verwedet, für de da aschleßed utersucht werde muß, ob se m esetge bzw. zwesetge stadardserte krtsche Berech lege. De Stadardfehler vo ( y y ) werde weder we be de Kofdeztervalle mt σ y y bzw. bzw. s bezechet. sy y y y

69 Nagl, Eführug de Statstk Sete 69 De zetrale Etschedugsstelle werde wederum durch das Flußdagramm betot. De Nullhypothese habe de Form: µ µ µ. σ ud σ bekat e σ σ homoskedastsch e ja ja z : (y y ) σ y y (y t(df) : µ s y ) µ y y Z st stadardormalvertelt mt df +. T(df) st Studet-t-vertelt mt df Frehetsgrade (y t(df): y ) s µ y y ( s + s ) ( ) ( ) ) mt df. s ( ) + s ( T(df) st Studet-t-vertelt mt df Frehetsgrade Bespel (Fortsetzug): Teste der Nullhypothese, daß Mäer m Schtt cm größer sd als Fraue: H : µ µ. Daher st µ. Aahme: De Populatos- df s Stadardabwechug beder. s. Der Studet-t-vertelte Testwert t(4) Gruppe see glech ( y y µ ) s y y ( ) / Aschleßed soll utersucht ( σ σ ): werde, ob der Testwert t(4).8 m krtsche Berech legt. Deser t-wert legt weder be esetger Homoskedastscher Fall och be zwesetger Fragestellug m krtsche Berech. Aahme: De Populatos- Stadardabwechuge see verschede ( σ σ ): Heteroskedastscher Fall s /4 4., (4.+ ) 5. s /.Daher st df ( ) Der Studet-t-vertelte Testwert t(.) (y y µ ) sy y (7 ) / Auch her ka aschleßed utersucht werde, ob der Testwert t(.): 3.5 m krtsche Berech legt. Als Teststatstk wurde obe de stadardserte Mttelwertdfferez (z bzw. t) vorgeschlage, dere Zähler jewels ( y y ) µ st. Der Erwartugswert vo ( y y ) st glech ( µ µ ). Damt st de Nullhypothese ( µ µ µ ) lecht Teststatstkwerte übersetzbar ud umgekehrt. Be Geltug der Nullhypothese sollte de Teststatstk (stadardserte Mttelwertdfferez) ahe se. Be der Kostrukto des krtsche Berechs (vo de Etrempukte her) für de Teststatstkwerte (z oder t) wrd de Alteratvhypothese berückschtgt. Dabe sd folgede Hypothese-Kostellatoe (eplzt oder mplzt) zu berückschtge: krtscher Berech z bzw. t sehr kle H z bzw. t sehr groß H -H a-kostellatoe-bespele: rechtssetg EP (H : µ µ µ µ lkssetg EP (H : µ µ µ µ bedsetg EP EP (H : µ µ µ µ µ > ) µ < ) µ ) Bespel (Fortsetzug): Teste der Nullhypothese, daß Mäer m Schtt cm größer sd als Fraue: H : µ µ. De Teststatstkwerte wurde berets berechet. Homoskedastscher Heteroskedastscher Alteratvhypothese: Fall: t(4).8 Fall: t(.) 3.5 H t (4).5 a : µ µ. Daher: zwesetger krtscher Berech.95 t (.)..95 H wrd akzeptert H wrd abgeleht H a : µ µ < (De Größedfferez zwsche Mäer ud Fraue st kleer als t (4).76.5 t (.).8.5a ) d.h. H a : µ µ <. Für de Teststatstk uter Geltug der Alteratvhypothese st zu erwarte: y y <. Daher lkssetger krtscher Berech H wrd akzeptert, da.8 cht m krtsche Berech legt H wrd akzeptert, da 3.5 cht kleer als.8 st

70 Nagl, Eführug de Statstk Sete Maß der Relevaz des Uterscheds der Mttelwerte Be Vergrößerug der Stchprobe wrd der Stadardfehler der Mttelwertsdfferez kleer. Das st sofer svoll, als be Vergrößerug der Stchprobe de Zufallsschwakug gegeüber dem Populatosutersched mmer weter zurücktrtt. De Kofdeztervalle be zuehmeder Stchprobegröße sehr schmal ud lefer recht eakt de Dfferez der Populatosmttelwerte. Bem Hypotheseteste führe scho margale Abwechuge vo der Nullhypothese zu sgfkate Ergebsse (be eer Nullhypothese µ -µ reche daher scho mmale Uterschede de Populatosmttelwerte für ee Ablehug). Wer daher geug Mttel hat, große Stchprobe zu fazere, ka auch be verschwded klee Populatosuterschede sgfkate Ergebsse erzele. Deses Problem mt dem Thema statstsche Sgfkaz versus haltlche Relevaz ka dadurch gelöst werde, daß auf rgedee Art e Maß für de Größe ees Uterscheds der Populato defert wrd. De Größe deses Uterscheds muß selbst da weder aus der Stchprobe geschätzt werde. Be deser Gelegehet se darauf verwese, daß deses Problem cht ur be Mttelwertuterschede vorhade st, soder geerell bem Teste auch be adere Problemstelluge vorhade st. Daher st es erstrebeswert, ee geerelle Lösug deses Relevazproblems zu fde. Daher soll her ee auf vele Problemstelluge geeralserbare Lösug vorgestellt (das PRE-Kozept: Proportoal Reducto of Error) vorgestellt werde. Das PRE-Kozept wurde vo KOSTNER(965) etwckelt Das PRE-Kozept am Bespel zweer dchotomer Merkmale De Utersuchug der Relevaz des -Merkmals für das y-merkmal besteht m PRE-Kozept dar, ee Prädktos-Regel zu beurtele, de erlaubt, auf Grud der Kets der -Merkmalsausprägug de y- Merkmalsausprägug zu prädzere (progostzere, errate). Bespel: y: CP-Präferez E PRE-Maße ka auf Grud folgeder Schrtte kostruert werde: R. F. Erstelle eer Prädktosregel für das y- Merkmal, de das -Merkmal berückschtgt Defere ees Fehlermaßes: Ausmaß des Fehlers, der be Awedug der Regel R y (MIT ) auf alle ezele UEe etsteht. R y (MIT ) F y (MIT ) Krchgag ud Partepräferez Gaßegg : ja e Krch ja gag e R y(mit ): We ja, da y ja; we e, da y e. Als Fehler F y(mit ) köte ma her defere: Azahl falscher Prädktoe, de bem Awede der Regel etstehe: R. F. 3. Erstelle eer Prädktosregel für das y- Merkmal, de das -Merkmal NICHT berückschtgt (bzw. de Abhäggket zwsche ud y cht berückschtgt) Defere ees Fehlermaßes: Ausmaß des Fehlers, der be Awedug der Regel R y (OHNE ) auf alle UEe etsteht. De bede Fehlermaße werde so s Verhälts gesetzt, daß das PRE- Maß lecht terpreterbar st: Fehlerreduktosatel durch Berückschtgug des -Merkmals. I % ausgedrückt: Prozetuale Fehlerredukto durch Berückschtgug vo. F y R y (OHNE ) F y (OHNE ) PRE-Maß: (OHNE ) - F F y y (OHNE ) PRE (MIT ) Fy (MIT ) F (OHNE ) y R y(ohne ): mmer y ja. Das -Merkmal soll her cht berückschtgt werde. Da wrd ma wohl alle Fälle be CP- Präferez mt ja rate. Als Fehler F y(ohne ) defert ma de Fehler aalog zum F y(mit ) : Azahl falscher Prädktoe, de bem Awede vo R y(ohne ) etstehe: 35. Der Fehler F y(mit ). Absolut gesehe sagt dese Wert weg. Erst durch de Verglech mt dem Fehler R y(ohne ) ka de Verbesserug beurtelt werde. PRE (/35) De Berückschtgug vo reduzert de Fehler um 4.86 % E Das PRE-Maß st mmer kleer glech (be postve Fehlermaße). We zusätzlch der OHNE-Fehler größer st als der MIT-Fehler st das PRE-Maß auch größer als PRE Falls F y (MIT ) F y (OHNE ) glt: PRE Fehlermaße werde mmer als postve Größe gewählt, so auch her (Azahl Fehler). Zudem wurde als Regel m vorlegede Fall der Modalwert gewählt. Daher glt auch: R y(mit ) F y(ohne ). Damt gelte bede Voraussetzuge. So legt deses PRE-Maß (es heßt übrges auch GOODMANs lambda) mmer zwsche ud.

71 Nagl, Eführug de Statstk Sete Determatoskoeffzet. Art für verbudee Stchprobe Das PRE-Maß für Prädkto be Mttelwerte heßt auch Determatoskoeffzet. Art (e weterer Name: η v (eta** für verbudee Stchprobe)). Das PRE-Maß wrd ach de obe vorgestellte Schrtte etwckelt. Be der Dateaufberetug werde de Mttelwerte berechet. Dabe ethält der Mttelwert der Dffereze de relevate Uterschedsformatoe. R. Erstelle eer Prädktosregel für das y-merkmal, das de durch bedgte Utersched berückschtgt: Als Dfferez für jede ezele UE wrd der Mttelwert der Dfferezewerte prädzert F. Defere ees Fehlermaßes: De Dffereze zwsche beobachtetem ud prädzertem Dfferezwert be jeder UE (heßt auch: Resduum) sd de Kompoete des Fehlers. Als Fehler selbst wrd de Summe der quadrerte Resdue verwedet. R y (MIT ): dˆ j : d für alle UEe (j,...,) j. (MIT )- Resduum: r j : d j - d (j,...,) F y (MIT):ssq( d) j r j ( d j d) j d j j d Bespel: Arbetszet (y) am Ort (): zu Hause vs. U UE j Stchprobe. (zu Hause): R y(mit ): Be jeder UE wrd gesagt: Der Utersched st.5 5 j d zu Hause-U y j. ( U): y j Dffere ze: d j: y j y j Mw.5 d j r j r j d j De quadrerte Resdue sd de ezele Fläche. F y(mit ): Summe der Fläche ssq( d ) r j j Se ka auch aders berechet werde: d j d 53-4*(.5 ) j R. Erstelle eer Prädktosregel für das y-merkmal, das de durch bedgte Utersched NICHT berückschtgt: Als Dfferez für jede ezele UE wrd de NULL-Dfferez prädzert F. Defere des Fehlermaßes: Da de prädzerte Werte jewels sd, sd uter der OHNE-Regel de Resdue de Dfferezewerte selbst. Der Fehler st de Summe der quadrerte Dfferezewerte 3. Fehlerreduktosatel durch Berückschtgug des -Merkmals. I % ausgedrückt: Prozetuale Fehlerredukto durch Berückschtgug vo. R y (OHNE ): d j für alle UEe (j,...,) j. (OHNE-)- Resduum: r j : d j - (j,...,) F y (OHNE):ssq() d j j η v Det.-Koeffzet. Art für verbudee Stchprobe Fy (OHNE ) - Fy (MIT ) F (OHNE ) y ssq() -ssq(d) ssq() d j j ( d j d ) j d j j d d j j R y(ohne ): Be jeder UE wrd gesagt: Der Utersched st d zu Hause-U Fehler F y(mit ) ssq( d ) r j j Fehler F y(ohne ): ssq() d j 53. j Der Determatoskoeffzet. Art st e PRE-Maßes: ( ssq() - ssq(d))/ssq() ( )/ D.h. de Berückschtgug des Mttelwert-Uterscheds y, der durch bedgt st, führt zu eer Prädktosfehlerredukto um 3 %. Der Determatoskoeffzet. Art ka auch aders berechet werde: d d j 4*.5 / 53.3 j j d j d j Prädktoswert be alle UEe st. De quadrerte OHNE-Resdue, d. h. de quadrerte Dfferezewerte (lks als Fläche). F y(ohne): De Summe deser Fläche ssq() d j 53. j

72 Nagl, Eführug de Statstk Sete 7 E Der Determatoskoeffzet. Art für verbudee Stchprobe legt zwsche ud η v De: Eersets sd de deferte Fehlermaße postv. Zudem glt für de her deferte Fehler: F y(mit ) F y(ohne ), da F y(ohne ) sq () d d d d d j j + sq(d) j j F y(mit ). Daher legt das PRE-Maß zwsche ud Determatoskoeffzet. Art be UNverbudee Stchprobe Auch das PRE-Maß für Prädkto mt Hlfe vo Mttelwerte wrd Determatoskoeffzet. Art geat. Bem Name η blebt der Ide v be uverbudee Stchprobe weg. Das PRE-Maß wrd wederum ach de obe vorgestellte Schrtte etwckelt. Be der Dateaufberetug werde de Mttelwerte für jede Gruppe berechet. Zudem sollte auch der Gesamtmttelwert berechet werde. Stp : y j (j,,..., ) Stp : y j (j,,..., ) y : (y y ) / y : (y y ) / y ( y + y) / mt + Bespel: Körpergröße der erste 6 UEe. Getret ach Se. Stp (m): 7,74,74,75,78,84,84,85,86,88,89,9,9,94 Stp (w): 65,67 Stchprobe. Azahl Mttelwert y y (4*83+ *66) / 6 894/ Stadardabwechug s. (m) (w) R. Als Prädktosregel für das y-merkmal, das berückschtgt: Als Prädktoswert wrd jeder ezele UE der Mttelwert jeer - Gruppe zugesproche, der se agehört. F. Defere ees Fehlermaßes: De Resdue sd weder jewels de Dffereze zwsche dem beobachte-te ud prädzerte Wert. Als Fehler wrd de Summe der quadrerte Resdue verwedet. Deser Fehler wrd auch als de Quadratsumme erhalb der Gruppe (egl. wth) bezechet. R. Als Prädktosregel für das y-merkmal, das NICHT berückschtgt, wrd der Gesamtmttelwert verwedet. Egal, zu welcher Gruppe ee UE gehört R y (MIT ): ŷ : für alle UEe. j y ŷ j (y Dach) wrd auch als prädzerter Wert (egl. predcted value) bezechet j. (MIT )-Resduum: rj : y j y (,) ud für jede UE (j) erhalb der Gruppe F y (MIT):ssq(wth) j ( yj y ) j j r + ( j y ) j y ( )s + ( ) s y + y j j y j j y R y (OHNE ): ŷ j : y für alle UEe. Auch her ka vo eem prädzerte Wert ŷ (y Dach) gesproche werde, der u aber glech st für alle UEe. j R y(mit ): Jeder UE aus der Gruppe wrd 83, jeder UE aus Gruppe wrd 66 zugesproche (prädzert). y De Prädktoswerte (Mttelwerte) sd der Graphk mt offee Krese verzechet Ma Frau De quadrerte Resdue sd de ezele Quadrate, de als Fläche für jede UE schtbar sd. F y(mit ): De Summe der Fläche ssq(wth) (7-83) (94-83) +(65-66) +(67-66) 73 Auf Grud der Stchprobevaraze bereche: ( )s + ( ) s 3* * Ee wetere Varate zur Berechug vo sq(wth): de Summe aller quadrerte Werte zu blde ud davo de mt der Azahl gewchtete quadrerte Mttelwerte subtrahere: sq(wth) y + y j j ( y + y ) j j (4*7 +*66 ) R y(ohne ): Jeder UE wrd der Gesamtmttelwert zugesproche y (4*83 + *66) / 6 894/ De Prädktoswerte sd der Graphk ute durch de bede Krese ebe de Beobachtugspukte markert.

73 Nagl, Eführug de Statstk Sete 73 F. Defere des Fehlermaßes: Da de prädzerte Werte für alle UEe glech dem Gesamtmttelwert sd, st der Fehler zuglech de Summe der quadrerte Abwechuge vom Gesamtmttelwert. Deser Fehler wrd auch als totale (egl. total) Quadratsumme bezechet 3. Fehlerreduktosatel durch Berückschtgug des -Merkmals. I % ausgedrückt: Prozetuale Fehlerredukto durch Berückschtgug vo. j. (OHNE )-Resduum: rj : y j y (,) ud für jede UE (j) erhalb der Gruppe F y (OHNE): ssq(total) j j ( yj y) r + j ( j y) j y y j + y j j j y η Det.-Koeffzet. Art ssq(total) - ssq(wth) ssq(total) y y j j + + y j y j y y y. y De quadrerte Resdue sd de ezele Quadrate, de als Fläche für jede UE schtbar sd. Fehler F y(mit ) sq(wth) 73 Fehler F y(ohne ): sq(total) Der Determatoskoeffzet. Art st das PRE-Maß: ( ssq(total) - ssq(wth)) / ssq(total) ( )/ / D.h. de Berückschtgug des Mttelwert-Uterscheds y, der durch bedgt st, führt zu eer Prädktosfehlerredukto vo 4%. Der Det.-Koeffzet. Art ka auch aders berechet werde: sq(betwee) 4*83 + *66-6* Der Zähler y + y wrd auch als ssq(betwee) bezechet E Der Det. -Koeffzet. Art legt zwsche ud η Ma Frau F y(ohne ): De Summe der Fläche ssq(total) ( ) ( ) + +( ) + +( ) Adere Varate des Bereches ssq(total) y j + y j y j j (6*8.875 ) Det.-Koeffzet. Art ssq(betwee)/ssq(total) / Verglech mehrerer Mttelwerte be uverbudee Stchprobe De Varazaalyse soll zuerst ach de gleche Przpe der Prädkto etwckelt werde. Auf Grud ees qualtatve Merkmals () mt mehr als Auspräguge wrd ee quattatves Merkmal y progostzert mt Hlfe der Mttelwertsregel. Als Fehlermaß wrd wederum de Quadrate der Resdue verwedet. I eem wetere Schrtt soll e Test etwckelt werde, der de Hypothese prüft, daß de Mttelwerte des y- Merkmals alle Gruppe glech sd. Im Rahme der Varazaalyse wrd das -Merkmal Faktor geat, de Auspräguge werde auch Stufe (egl. levels) des Faktors geat. Daher heßt de Varazaalyse mt eem Faktor auch efaktorelle Varazaalyse. Her werde ur uverbudee Stchprobe betrachtet werde, de Varazaalyse ka aber auch für verbudee Stchprobe formulert werde. Stp : y j (j,,..., ) y : (y y ) / s : (yj y) j mt,,...,i y ( y Iy) / mt I Be der Dateaufberetug werde de Mttelwerte ud Stadardabwechug e für jede Gruppe berechet; ebefalls Mttelwert ud Std für de Gesamtstchprobe Bespel: Körpergröße Schulausbldug des Azahl Mttelwert Stadardabwechug s Vaters. Stp y Volksschulabschluß höhere Schulabschluß Abtur U, Ig-schule u. ä Gesamt Mttelwert y 388/ Gesamt-Stadardabwechug s / 7.39

74 Nagl, Eführug de Statstk Sete 74 Körpergrößewerte (y) der mälche Studete (aus de erste 6 UEe jee, be dee terpreterbare Ausbldugsagabe des Vaters vorhade sd) j y j De Mttelwerte sd als ugefüllte Krese dargestellt. De Stadardabwechuge sd als Stäbe ach ute ud obe (vom Mttelwert aus) schtbar. De Datepukte selbst sd de schwarze Pukte. Je höher de Ausbldug des Vaters, desto größer st de durchschttlche Körpergröße des Sohes 95 Körper größe cm Volks S. höhere S. Ab U Das Mdestskaleveau für st omal, de Aalyse ka aber auch für höheres Meßveau agewadt werde, falls das Merkmal cht allzuvele Auspräguge hat Determatoskoeffzet.Art Der Determatoskoeffzet.Art (bzw. wederum auch η geat) stellt ur de Verallgemeerug des für zwe uverbudee Stchprobe etwckelte Koeffzete dar. Prädktosregel st de Gruppe- Mttelwerteregel Fehlermaß: Summe der quadrerte Resdue (erhalb der Gruppe). Drekte Berechug Adere Berechugsvarate: Summe der gewchtete Gruppevaraze Summe der quadr. Werte mus gewchtete quadr. Gruppemttel. R y (MIT ): ŷ j : y st der Prädktoswert für alle UEe. j. (MIT )-Resduum: rj : y j y (,..,I) ud für jede j. UE erhalb der Gruppe F y (MIT):ssq(wth) I j j r ( j y ) I j I j I j y ( )s y j I y R y(mit ): Als Prädktoswert wrd jeder ezele UE der Mttelwert jeer -Gruppe zugesproche, der se agehört. y De Prädktoswerte (Mttelwerte) sd der Graphk mt Krese verzechet Volks S. höhere S. Ab U De quadrerte Resdue sd de ezele Quadrate, de als Fläche für jede UE schtbar sd. F y(mit ) : De Summe der Fläche drekt berechet ssq(wth) (7-78.5) (94-9.5) 98 Auf Grud der Stchprobevaraze bereche: 3* * *.77 +* Ee wetere Varate zur Berechug vo sq(wth): de Summe aller quadrerte Werte zu blde ud davo de mt der Azahl gewchtete quadrerte Mttelwerte subtrahere: sq(wth) (4* *8 +*89.5 +*9.5 ) Als OHNE- Prädktosregel wrd de Gesamt- Mttelwertregel. verwedet. R y (OHNE ): ŷ j : y für alle UEe alle Gruppe R y(ohne ): Jeder UE wrd der Gesamtmttelwert zugesproche y De Prädktoswerte sd der Graphk ute durch de cht gefüllte Krese ebe de Beobachtugspukte markert.

75 Nagl, Eführug de Statstk Sete 75 OHNE-Fehlermaß: Summe der quadrerte Abwechuge vom Gesamtmttelwert (total ssq) Drekte Berechug Adere Berechugsvarate: Summe der quadr. Werte mus mal quadr. Gesamtmttel. j. (OHNE )-Resduum: rj : yj y (,...,I) für jede UE (j) alle Gruppe F y (OHNE): ssq(total) I j j r ( j y) I j I j y y j y y Volks S. höhere S. Ab U De quadrerte Resdue sd de ezele Quadrate, de als Fläche für jede UE schtbar sd. F y(ohne ): De Summe der Fläche ssq(total) ( ) + +( ) + +( ) ( ) Adere Varate des Bereches ssq(total) I yj - y j (3*83.69 ) Fehlerreduktosatel durch Berückschtgug des -Merkmals. I % ausgedrückt: Prozetuale Fehlerredukto durch Berückschtgug vo. Quadratsumme zwsche de Gruppe η Det.-Koeffzet. Art ssq(total) - ssq(wth) ssq(total) I I j y y j y y Der Zähler y y I heßt ssq(betwee) Fehler F y(mit ) sq(wth) 98. Fehler F y(ohne ): sq(total) Das PRE-Maß, das durch de her vorgestellte Regel ud Fehlermaße defert wurde, heßt Determatoskoeffzet. Art bzw. η : ( ssq(total) - ssq(wth)) / ssq(total) ( )/ / D.h. de Berückschtgug der Mttelwertuterschede y, de durch bedgt sd, führt zu eer Prädktosfehlerredukto vo 53.64%. Der Det.-Koeffzet. Art ka auch aders berechet werde: ssq(betwee) (4* *8 +*89.5 +*9.5 )- (3*83.69 ) Det.-Koeffzet. Art ssq(betwee)/ssq(total) / Der Det. -Koeffzet. Art für mehr als zwe Gruppe legt ebefalls zwsche ud : η Bereche vo ssq(total) auf Grud der Gruppevaraze be gegebee Mttelwerte: Auf Grud der Kostrukto der Quadratsumme glt de Bezehug: ssq(total) ssq(betwee) + ssq(wth), da obe be der Kostrukto des Determatoskoeffzete de Dfferez ssq(total)-ssq(wth) durch ssq(betwee) abgekürzt wurde. ssq(wth) ka drekt auf Grud der Gruppevaraze berechet werde(sehe obe): I ssq(wth) ( )s. Be der Berechug der Quadratsumme zwsche de Gruppe j ssq(betwee) y y I werde ur de Gruppemttelwerte ud der Gesamtmttelwert verwedet. Atel erklärter Varaz: Der Determatoskoeffzet wrd machmal als der Atel erklärter bzw. aufgeklärter Varaz terpretert. De Stchprobe-Gesamtvaraz des y-merkmals st glech ssq(total)/(-). ssq(total)/( -) - ssq(wth)/( -) Der Determatoskoeffzet ka auch erwetert als geschrebe werde. ssq(total)/( -) Dese Form der Darstellug zegt, daß de atelge Redukto de Fehlerquadratsumme auch als atelge Redukto der Varaz terpretert werde ka. De Quadratsumme zwsche de Gruppe ka als Summe echter Abwechugsquadrate der Gruppemttelwerte vom Gesamtmttelwert terpretert werde. De es glt folgede Bezehug:

76 Nagl, Eführug de Statstk Sete 76 I I (y y) ssq(betwee) y y I I I I I I De: (y y) (y yy+ y ) y y y + y y y(y) + y y y. wzzw. (a b) a ab+ b y Wege deser Bezehug st u auch bewese, daß ssq(betwee) cht egatv werde ka, da ssq(betwee) ee postv gewchtete Summe vo Quadrate st. Zusätzlch folgt daraus, daß der Determatoskoeffzet cht egatv werde ka. Da der Determatoskoeffzet e PRE-Maß mt cht egatve Fehlermaße st, muß er zwsche ud lege. Mttelwerte sd optmal be quadratschem Fehlermaß. Ma köte dskutere, ob cht besser statt der Mttelwerte etwa de Medae oder sost e aderer Wert als Prädktoswert verwedet worde wäre. Dese Frage ka veret werde. De de Mttelwerte führe jewels zur kleste Fehlerquadratsumme be de gegebe Date. Dese Egeschaft wrd auch als KQ-Egeschaft (Klest-Quadrate-Egeschaft) der Mttelwerte bezechet. Falls als Fehlermaß astatt der quadrerte Abwechuge de absolute Abwechuge verwedet würde, wäre de Medae optmal Test der Hypothese, daß alle Mttelwerte glech sd De globale Null-Hypothese, daß alle Mttelwerte glech sd ( µ µ µ I ) ethält mplzt mehrere Ezelhypothese. We alle Paare betrachtet werde, sd das I*(I-)/ (be Gruppe 45 Ezelhypothese). Be möglchst sparsamer Aufzählug geüge allerdgs (I-) Ezelhypothese (z.b. µ µ ) µ µ ) ( µ I µ I ) ( I ( I ). Daher sd mdestes (I-) Ezelhypothese deser Globalhypothese ethalte. We alle Gruppe-Mttelwerte glech sd, muß zudem gelte: Alle Gruppemttelwerte sd glech dem Gesamt-mttelwert ( µ µ µ I µ ) bzw. de Dffereze zum Gesamtmttelwert sd ull ( µ µ µ µ... µ I µ ). De Alteratvhypothese st de Vereug der globale Nullhypothese. Ihre Vereug besagt, daß zumdest ee Ezel-Nullhypothese cht erfüllt st (es köe auch mehrere Ezel-Nullhypothese verletzt se). Kostrukto der Teststatstk F(df,df). Es muß ee Stchprobemaßzahl kostruert werde, de alle Mttelwert-uterschede zusammefaßt. Se soll kle se, we de Mttelwerte überestmme, ud groß, we graverede Uterschede estere. De Quadratsumme zwsche de Gruppe (Ssq(betwee) I (Y Y) ) stellt ee Größe, de dese Forderug erfüllt. Falls de Nullhypothese zutrfft, würde wege der Erwartugstreue der Stchprobemttelwerte tedezell deser Wert ull werde (wege µ µ µ µ... µ I µ ). Es recht aber cht aus, ur ee Teststatstk zu habe; auch hre Vertelug muß bekat se, damt der krtsche Berech bestmmt werde ka. Auf der Bass vo Ssq(betwee) hat Sr R. FISHER de ach hm beate F-Statstk etwckelt: Ssq (betwee) / df F (df, df ), wobe df(i-) ud df(-i) st. Ssq (wth) / df df wrd als Zählerfrehetsgrad, df als Neerfrehetsgrad bezechet. Der Zähler Ssq(betwee)/df wrd auch Msq(betwee), der Neer Ssq(wth)/df wrd auch Msq(wth) geat. Dabe steht msq für mea sum of squares (Mttlere Quadratsumme). Testvertelug der Teststatstk F(df,df) uter Geltug vo H. Uter der Voraussetzug, daß de y-werte jeder Gruppe ormalvertelt sd ud de Varaze alle Gruppe glech (Homoskedastztät) sd, hat de

77 Nagl, Eführug de Statstk Sete 77 Teststatstk F(df,df) ee bekate Vertelug, ud zwar de sogeate F-Vertelug. De Form der Vertelug für F(df,df) hägt vo de bede Frehetsgrade df ud df ab F-Vertelug mt, 9 Frehetsgrade 5, 9 Frehetsgrade 5, 6 Frehetsgrade..8.6 F-Vertelug mt 3, 9 Frehetsgrade 9, 3 Frehetsgrade F 5 Krtscher Berech Der F-Wert st mmer postv. Der krtsche Berech wrd vo rechts her bestmmt, da uter Geltug der Alteratvhypothese e großer F-Wert zu erwarte st. Für e vorgegebees α ud de zwe Frehetsgrade df ud df st der Wert F α (df, df ) bzw. F α (df, df ) der F- Vertelug zu fde, für de glt: P( F F α (df, df ) )α. Deser Berech F F α (df, df ) st der krtsche Berech F 3 4 F F-Vertelug df3 df α Krtscher Berech De krtsche Werte F α (df, df ) sd für α.5 (Tabelleahag F) ud für α. (Tabelleahag F) tabellert, wobe jewels de Spalte de Zählerfrehetsgrade (df) ud de Zele de Neerfrehetsgrade (df) sd. Für de bede Frehetsgrade 3(df) ud 9(df) st für α.5 der krtsche Wert F. 95 (3,9) Durchführug des Tests Nu muß och der F-Wert für de Stchprobe berechet werde. Als Schema für dese Berechug wrd mest ee ANOVA-Tabelle (ANOVA steht für ANalyss Of VArace) erstellt, de de folgede Form hat: ANOVA-Tabelle Varatosquelle Sum of Squares d.f. Mea sum of squares F-Rato Faktor, betwee ssq(betwee) df I- msq(betwee)ssq(betwee) / df F(df,df) msq(betwee) / msq(wth) Error, wth ssq(wth) df -I msq(wth) ssq(wth) / df Total ssq(total) - msq(total) ssq(total) / (-) Bespel: Körpergröße ud Ausbldug des Vaters. De Summe der Quadrate wurde obe bem Determatoskoeffzet. Art berets berechet. Se werde her der Tabelle egetrage. ANOVA-Tabelle Varatosquelle Sum of Squares d.f. Mea sum of squares F-Rato Ausbldug des Vaters / 3 F(3,9) / 33. Fehler / 9 Total / Es st och zu utersuche, ob der F-Wert m krtsche Berech legt. We ja, wrd H abgeleht. Im Bespel legt F(3,9) 3.47 cht m krtsche Berech, de 3.47< F. 95 (3,9) Daher wrd H akzeptert. Umreche des F-Werts de Determatoskoeffzete (η ) ud umgekehrt. Auf Grud des Determatoskoeffzete ud der Frehetsgrade ka der F- Bespel: η , I4; dfi-3, df -I η df Wert drekt berechet werde: F η df F Aderersets ka der Determatoskoeffzet drekt aus dem F-Wert ud de Bespel: Se F 3.47 F Frehetsgrade berechet werde: η η (df / df) + F s (9 / 3)

78 Nagl, Eführug de Statstk Sete 78 Test der Hypothese: Determatoskoeffzet. Art der Populato. Dese Hypothese st äquvalet zur globale Nullhypothese ( µ µ µ I ). De: We scho obe ausgeführt, ka de globale Nullhypothese auch folgedermaße formulert werde: µ µ µ µ... µ I µ. Im Zähler des Det.Koeff. steht ssq(betwee). Für de Populato st das ee gewchtete Summe (mt postve Gewchte) der quadrerte Dffereze ( µ µ ) (,..., I). Glt de globale Nullhypothese, st de we mmer gewchtete Summe. Ist aderersets der Det.Koeff. der Pop., so müsse alle Summade ( µ µ ) Null se; Daraus folgt wederum de Geltug der globale Nullhypothese. wzzw. Adjusterter Determatoskoeffzet. Art (bzw. Adjustertes η ). Als Fehlermaß köte alteratv zur Fehlerquadratsumme selbst de mttlere Fehlerquadratsumme(msq) verwedet werde, für F(OHNE ) daher msq(total) ud für F(MIT ) her msq(wth). Das PRE-Maß mt deser Fehlerdefto wrd adjustertes η (machmal auch abgekürzt geschrebe: msq(wth) η : msq(total) η ) geat: ssq (wth) /( I) ssq (total) /( ) Im Bespel war η : I ( η ) η ( η ) I I η st als PRE-Maß kleer oder glech, da das Fehlermaß(msq) postv st η.5364, 3, I4. 98 / / -(4/3)(.4636).5364 (/3)(.4636).38 η ka aber egatv werde, da msq(wth) größer als msq(total) se ka. Zudem st η.a. kleer als η, we aus de obge Glechuge hervorgeht. Der Utersched st verachlässgbar, we groß bzw. I kle bzw. η sehr groß st Etstehug der Stchprobe be der Varazaalyse Her soll dargestellt werde, we de Beobachtuge als Stchprobe etstehe. Dabe werde ege verefachede Aahme gemacht, de obe scho besproche wurde. Dese Aahme solle her eersets ochmals zusammefassed dargestellt, aderersets weterführed Varate eer Glechug egeführt werde, de de Etstehug der Y-Werte beschrebt ud als Modellglechug bezechet wrd. Populatos-Stchprobeschema: De gesamte Populato besteht jewels aus eer Populato für jede Gruppe (Gruppepopulato). Jede Gruppepopulato wrd charaktersert durch de Mttel-werte, de evetuell verschede sd, ud durch de Varaze. Se soll für alle Telpopulatoe glech se. Auch de übrge Aspekte solle de Verteluge glech se. Für Zwecke des Testes ud der Kofdeztervalle wrd zusätzlch Normalvertelug vorausgesetzt. Stchprobezehug: Aus jeder Telpopulato wrd ee Stchprobe bestmmter Größe gezoge. Mt Hlfe der Zufallsvarable Y wrd das Ergebs des Zehes beschrebe. Telpopulatoe (,...,I) (Tel-)Populatosmttelwerte: µ, µ,..., µ I (Tel-)Populatosstadardabwechuge sd glech: σ σ... σ I : σ (Homoskedastztät). Aus jeder (Tel-) Populato werde Stchprobe der Größe gezoge. Alle Zufallsvarable Y j (,...,I) sd uabhägg Bespel: Körpergröße 4 Gruppe Vs. µ.4. hs. µ.4. Ab. µ 3.4. U µ 4 9 y Vs hs Ab U Vs hs Ab U Vs hs Ab U Zufallsauswahl... usw...

79 Nagl, Eführug de Statstk Sete 79 Darstellug des Schemas als Summe aus systematsche ud Zufallsgröße De Darstellug deses Schemas ka verefacht werde. Eersets wrd durch de uterschedlche Populatosmttelwerte ee systematsche Verschedehet operatoalsert, aderersets zufällge Varato durch das zufällge Zehe der Stchprobe aus eer mehr oder weger brete Vertelug zugelasse. Das Ergebs Y wrd als Summe aus eem systematsche Tel (µ ) ud eem Zufallstel (e) dargestellt. e wrd machmal als Störgröße oder Fehler bezechet. Gruppeeffektdarstellug: Zerlegug des systematsche Tels ee Summe aus eer Kostate ( allgemees Nveau ) ud spezfsche Gruppeeffekte. Je ach Wahl des allgemee Nveaus köe uterschedlche Arte vo Effektdarstelluge egeführt werde. De Effekte stelle de für de Gruppe spezfsche Abwechug dar. Pfaddagrammdarstellug: Mt Hlfe vo Dummy- Varable ud Pfele köe das allgemee Nveau, de Effekte samt der Störgröße überschtlch zusammegefaßt werde. Dabe gelte ege Kovetoe für de Varable ud de Effekte. Das Pfaddagramm st aderersets ur de graphsche Darstellug eer Glechug ud ka auch so gelese werde. Y j µ + ej, wobe e j vo Zehug zu Zehug uabhägg st ud jewels aus der gleche Störgröße -Vertelug mt der Stadardabwechug σ (auch mt σ e bezechet) ud µ e stammt. Her wrd de sogeate symmetrsche Effektdarstellug gewählt. µ k + α, dabe werde de α so gewählt, daß de Summe der α glech st: α + α α I Daraus folgt, daß k der ugewchtete Mttelwert der ezele µ s st: µ + µ µ I k :µ I De Effekte stelle her de Dfferez zum ugewchtete Mttelwert dar: α µ µ Dummy Dummy... µ Dummy I α α α 4 De gemessee Varable Kästche, de cht gemessee Krese bzw. Ellpse. De Dummes werde als Block aeader gefügt. De Effekte werde ebe de Pfele egezechet, das geerelle Nveau als Ausgagspukt des Pfeles. De Glechug für das Pfaddagramm lautet: Y µ + αd + α D α ID + e we Dabe bedeutet D we de etsprechede Dummy-Varable für de Auspräguge vo. Y e I Vertelug der Störgröße: -σ e -σ e σ e σ e Bespel: Se µ 7, µ 74, µ 3µ 48., Vs µ α α µ µ 4 Da st µ76 (( )/4). De Effekte sd: α -6, α -, α 3α 44. So seht ma de Uterschede der ezele Gruppe etwas besser. Gruppe legt um 6, Gruppe um uter dem allgemee Nveau; de Gruppe 3 ud 4 lege um 4 cm drüber Volkssch. - höhere S. 4 Ab U 4 Beachte: fktves Bespel, das obe bem Populatos-Stchprobe-Schema egeführt wurde. Bespel: Nebe der aschaulche Darstellug des Pfaddagramms st auch ee eakte Darstellug m Se eer Glechug möglch: Y 76 6D vs 3D hs + 4D Ab + 4D U + e Falls VS, ergbt sch Y als Summe aus Störgröße; etspreched für de adere Auspräguge vo µ α 3 α 4 µ 3 e Desgvarate Radomserug: Nebe der Idee des Zehes vo Stchprobe aus real esterede (Tel)-Populatoe soll her auf de wchtge Techk der Radomserug hgewese werde. Dese Methode ka allerdgs ur be Epermete m egere S agewadt werde. De Auswrkuge vo I Behade, hs 3, Ab 4, U y Kgr.

80 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 lugsarte (Treatmets) soll utersucht werde. De Treatmets werde zwar auch auf ee Stchprobe vo UEe agewadt, wesetlch wchtger st aber, daß de Treatmets selbst mt Hlfe ees Zufallsmechasmus de UEe zugewese werde. Radomserug mt Zurücklege: De efachste Art des zufällge Zuordes köte dar bestehe, aus eer Ure das Treatmet zu zehe, das ee bestmmte UE erhalte soll. Daach wrd das Treatmet weder de Ure zurückgelegt. Der Nachtel deses Verfahres st, daß so de Azahl der Treatmets cht vo vorhere geplat werde ka. Radomserug ohe Zurücklege: Mest wrd ee bestmmte Azahl vo Wederholuge (Replkatoe) jedes Treatmets geplat. Alle Treatmets samt Replkatoe werde der Ure depoert. Für ee bestmmte UE wrd aus der Ure per Zufall e Treatmet gezoge. Bespel: Zur Utersuchug der Qualtät der Lehre vo Tutore werde mt Hlfe ees Würfels bestmmt, wer welche Tutor Verastaltug besuche soll. Dabe köte passere, daß eer Tutoregruppe auf Grud des Zufalls sehr wege Studete, be eem adere sehr vele sd. Bespel: Es see dre verschedee Treatmets geplat. Für jedes Treatmet see Messuge geplat. Da müßte de Ure etwa mt T- Zettel, T-Zettel ud T3-Zettel gefüllt werde. Aus hr würde ohe Zurücklege das etsprechede Treatmet gezoge. De über Radomserug gewoe Messuge köe zwar auch mt dem vorlegede Populatos-Stchprobe-Modell der Varazaalyse behadelt werde, darüber haus gbt es egee sogeate Radomserugsmodelle, für de. a. weger Voraussetzuge ötg sd.

81 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 4. Efache Regressosaalyse Körper größe cm Regresso mt ur eem Prädktor heßt efach (m Gegesatz dazu: multple Regresso: mehr als e Prädktor). Zudem sprcht ma och vo multvarater Regresso, we mehr als e Prädkad vorlegt; uvarat: be eem Prädkade. De her betrachtete Regresso st daher egetlch uvarat ud efach Streudagramm für Körpergröße ud Gewcht Gegebe see zwe QUANTITATIVE (mdestes Itervallskala) Merkmale ud y (z.b.: Körpergröße ud Gewcht). De Wertepaare (,y ) für alle UEe (,..., ) werde mest Form ees Streudagramms präsetert Körpergewcht kg Gesucht st ee Regel, mt der de y-werte mttels eer efache Fukto be Kets der -Werte möglchst gut errate werde köe. Als ee solch efache Fukto werde her ee Gerade gewählt. De Glechug für ee Gerade lautet: y a + b, mt a Abschtt auf y-achse a der Stelle, egl. Itercept b Stegug der Gerade Bemerkuge: Dese Gerade heßt auch REGRESSIONsgerade, a ud b heße Regressoskoeffzete. a bzw. b werde optmal gewählt (sehe ächster Abschtt). Das Verfahre wrd Regressosaalyse geat. Der Name REGRESSION geht auf e haltlches Ergebs zurück; mt Hlfe des vorlegede Verfahres fad der Athropologe GALTON, daß de Söhe großer Väter mest etwas kleer als hre Väter, de Söhe kleer Väter etwas größer als hre Väter sd (Regresso m S vo RÜCKGANG Rchtug Mttelmaß, Tedez zur Mtte ). De -Varable wrd auch bezechet als: REGRESSOR, uabhägge Varable oder Prädktor; de y-varable etspreched als: REGRESSAND, abhägge Varable oder Prädkad. Als Prädktosregel wrd de Geradeglechug verwedet: Orde jeder UE. de y-wert zu, der auf Grud der Glechug für de Gerade durch Esetze des bekate -Wertes berechet werde ka: deser y-wert heßt der prädzerte Wert (egl. predcted value) oder Prädktoswert. De Dffereze zwsche tatsächlchem y-wert ud dem Prädktoswert heße Resdue, bzw. Resdualwerte Zur Beurtelug der Güte des Verfahres wrd als Fehler für de MIT Regel de Summe der quadrerte Resdue (MIT ) berechet. F y (MIT) : ssq(y. ) r y. R y (MIT ): ŷ : a + b st der Prädktoswert für de. UE.. (MIT )Resduum: r : y ŷ (,..,) ud für jede. UE. Deses Resduum wrd auch mt y. abgekürzt. y ŷ Se: a 5.6 (Abschtt auf y-achse), b (Stegug) Der Prädktoswert für de 7. UE mt 74 als -Wert: ŷ 7 a + b * Er legt auf der egezechete Gerade. Der y-wert st für dese UE st 78. Das Resduum für de 7. UE st daher: r y MIT r y. r F y(mit):ssq(y. )

82 Nagl, Eführug de Statstk Sete 8 Als OHNE- Prädktosregel wrd de Gesamtmttelwert-Regel verwedet. OHNE-Fehlermaß: Summe der quadrerte Abwechuge vom Gesamtmttelwert: F y (OHNE ) : ssq(total) ( y y ) R y (OHNE ): y ŷ : y für alle UEe ŷ : y 84 y y OHNE ( y y) F y(ohne ) ssq(total) 548 y Determatoskoeffzet. Art: Koeffzet zur Gesamtbeurtelug des Verfahres wederum als atelge Fehlerredukto durch de Berückschtgug vo va Geraderegel gegeüber Nchtberückschtgug vo durch de Verglech der bede Fehler. Deses PRE-Maß wrd auch ry geat. De Varaz vo y st glech dem OHNE - Fehler dvdert durch (-). Daher ka ry als atelge Varazredukto terpretert werde. r y :Det.-Koeffzet. Art F y (OHNE ) - F F y y (OHNE ) ssq(total) - ssq(y.) ssq(total) (MIT ) Det.-Koeffzet. Art ssq(total)/( -) - ssq(y.)/( -) ssq(total)/( -) Var(y)- ssq(y.)/( -) Var(y) Der Determatoskoeffzet. Art legt zwsche ud. De Körpergröße ka durch ee Geraderegel errate werde. Der bem Rate mt deser Regel regstrerte Fehler F y(mit ) ssq(y. ) Be Nchtbeachte vo wrd der Gesamtmttelwert 84 jeder UE zugesproche. Der be deser cht berückschtgede Prmtvregel regstrerte Fehler F y(ohne ) ssq(total ) 548. Der Determatoskoeffzet. Art r y D. h. Durch de Geraderegel 548 ka 39.% Fehlerredukto errecht werde. Oder aders formulert 39.% der Varaz ka durch de Geraderegel reduzert werde; ma formulert auch: 39.% der Varaz wrd erklärt bzw. aufgeklärt durch de Geraderegel. Adjusterter Determatoskoeffzet. Art adjust. r y ssq(y.)/( - ) ssq(total)/( -) / Bespel: Der adjust. r y / st etwas kleer, vor allem be kleem 4.. Optmaltät der Gerade Uter alle möglche Gerade, de durch a ud b festgelegt sd, soll de ausgesucht werde, de AM BESTEN zu de gegebee Datepukte paßt. De am beste passede Gerade st de optmale Gerade. Am beste passe ka uterschedlch defert werde (z.b. de Summe der Resdue-Beträge bzw. der quadrerte Resdue sollte möglchst KLEIN werde). Bespel: Für 4 gegebee Datepukte soll de optmale Gerade gefude werde. De 3. Gerade (gaz rechts) st vo de 3 Versuche de beste, da se de kleste ssq(r) hat a5, b.6 ssq(r) a3, b ssq(r) a3, b.6 ssq(r)

83 Nagl, Eführug de Statstk Sete 83 Her soll als optmal de Gerade gelte, be der de Summe der qua-drerte Resdue mmal wrd. De Problemstellug st daher, jee Gerade zu fde, be der de Summe der Resdualquadrate am kleste wrd. De Summe der Resdualquadrate st ee Fukto, de vo a ud b abhägt. F y (MIT ) : ssq(y. ) r soll be gegebee Date mmal se. Dese Quadratsumme st als Fukto vo a ud b darstellbar: f(a,b): r ( y (a + b )). Bespel: Für de obge 4 fest gegebee Datepukte wrd de Summe der quadrerte Resdue s(a, b) Abhäggket vo a ud b dargestellt. f(a,b) Gesucht sd jee a ud b, für de de Fukto mmal wrd. Das Mmum eer Fukto ka mt Hlfe der Dfferetalrechug gefude werde, dem de erste Abletuge ull gesetzt werde. Im vorlegede Fall muß ach a ud ach b abgeletet werde, wobe be der Abletug ach a de Varable b als kostat behadelt wrd; etspreched be der Abletug ach b (partelle Abletuge): m a,b (y (a + b )). Abletug ach a blde ud f (a, b) ull setze (y a b )* ( ) a. Abletug ach b blde ud f (a, b) ull setze (y a b )*( ) b Durch de Abletug erhält ma Glechuge de Ubekate (a, b). Dese bede Glechuge heße: Normalglechuge f(a,b) y y a a + + b b a f(a,b) Folgede Dfferetalregel komme zur Awedug: De Abletug eer Summe st glech der Summe der Abletuge. Ketteregel be (y a b) ud be a (y a b) (äußere*ere Abl.) b Dvdere durch auf bede Sete der bede Glechuge, Ausführe des Summeres über de Tele lefert de lksstehede Glechuge b Ee wetere, etwas efachere Form der bede Glechuge: Nach dem sogeate Przp der kleste Quadrate (KQ), we de ebe vorgeführte Methode auch heßt, kote Formel für a ud b gefude werde. Kurzformel für b. De Produkte der mt y werde auch Kreuzprodukte geat Kovaraz: Der Ausdruck m Zähler der Stegug b heßt Kovaraz zwsche ud y. Se st Maß für das gemesame Varere der bede Merkmale y y + a b a Obere Glechug umforme ud Esetze de utere lefert de Lösug für a bzw. b: y y a y b, b + b Dvdere durch - lefert m Neer de Stchprobevaraz für ( y y) s y b ( ) s Der Zähler-Term s y, st ählch aufgebaut st we de Varaz, ethält aber ud y. Kovaraz zwsche Y ud X s y Cov(Y,X) : ( y y ) Dvdere beder Glechuge durch Bespel: Für de 4 obe gegebee Datepukte wrd b ud a berechet: y De Kovaraz Cov(Y,X) wurde obe berets berechet: s y Cov(Y,X) ( 6 4 * 3 * ) 3 y y Summe 46 6 b s y s (6 4 * 3 ( 4 * 3 3 * * ) ) a y b 3.6* 3 y / 3 Beötgt wrd: 4, y 3,,.6

84 Nagl, Eführug de Statstk Sete 84 De Kovaraz zwsche ud y st glech der zwsche y ud De Varaz selbst st ur e Spezalfall der Kovaraz: Var(X)Cov(X, X) bzw. Var(Y)Cov(Y, Y) Kovarazformel als Summe zetrerter Kreuzprodukte Mt Hlfe der Kovaraz ud Varaz ka de Formel für de Stegug b efach formulert werde Zusammefassug: Allgemees Schema zur Berechug vo a ud b:. Stelle de Datepaare als Tabelle dar. Füge Spalte für, y ud de Kreuzprodukte y hzu 3. Blde de Summe für de Spalte mt de Kurzbezechuge: Σ, Σy, Σ, usw. Daraus köe alle relevate Größe berechet werde. ) ) Cov(Y,X) : ( y y ( y y Cov(X,Y) Wege der Kommutatvtät der Multplkato glt das mttlere Glechhetszeche Werde der Kovarazformel für bede Varable X gesetzt, erhält ma s Cov(X,X) ( ) ( ). Der letzte Ausdruck st geau de Formel für de Varaz vo : Var(X) Cov(X,Y) : ( ( )(y y ) ) s b s y s s y Cov(X, Y) Var(X) Σ/ 964/ y Σy/ 39/3 84 Var(X) (Σ - * )/(-) (7576-3*(964/3) )/ Var(Y) (Σy - * y )/(-) ( *84 )/ Cov(X,Y)(Σy- * y )/(-) (7786-3*(964/3)*84)/ b Cov(X,Y)/Var(X) / a y b *(964/3) 5.56 Bespel:, y 3. Vo jedem Wert de Mttelwerte subtrahere, da de Produkte blde ud Summere: Cov(X,Y) ( (--)(-3) + (--)(4-3) + (-)(-3) + (-)(5-3) )/3 De Formel wurde obe berets verwedet: Cov(X,Y). Var(X) / 3. b / (/3).6 Bespel: Körpergewcht ud Körpergröße. y y Summe Σ Σy Σ Σy Σy 4.. Verefachte Berechug für ssq(y. ) ud Determatoskoeffzet. Art Für de Berechug des Fehlers mt (auch als ssq(y. ) bezechet) war de Berechug der Prädktoswerte aller UEe ötg. Dese Berechug st eersets aufwedg ud afällg für Rudugsfehler. Daher soll ee efachere Formel verwedet werde, de ur auf Kovaraz ud de Varaze beruht. Verefachte Formel zur Berechug des Fehlers MIT Verefachte Formel für de Determatoskoeffzete. Art F y (MIT ) : ssq(y. ) r Cov (X, Y) ( ) Var(Y) Var(X) r Cov (X, Y) Var(X)Var(Y) Körpergröße-Bespel: F y(mit ) wurde obe berets berechet. Das Ergebs war gerudet auf Dezmalstelle: Mt der eue Formel: *( ( / )) Körpergröße-Bespel: r wurde obe berets berechet. Das Ergebs war gerudet auf 3 Dezmalstelle:.39. Mt der eue Formel: / ( * ) Der Utersched kommt ur vom Rude. Das Ergebs her st geauer. Bewes:. Bewes für de verefachte Berechug des Determatoskoeffzete. Art Als bekat vorausgesetzt F y(mit ) ( ) ( Var(Y) Cov (X, Y) / Var(X) ). PRE-Ide für Det.Koeff. r ( )Var(Y) F (MIT ) ( )Var(Y) y ( )Var(Y) ( ) (Var(Y) Cov (X,Y) / Var(X)) ( )Var(Y) wzzw. Esetze der Fehler MIT Formel de PRE-Ide-Formel Ausreche lefert de behauptete Formel

85 Nagl, Eführug de Statstk Sete 85. Bewes für de verefachte Berechug des Fehlers MIT Nach Defto F y(mit ) r (y (a + b )). des Fehler MIT ( y ( a + b )) ( y ( y b + b )) Betrachte der Ezelsummade (( y y) b( )) ( y y) b(y y)( ) + b ( ) Zurück de F y(mit ) Summebetrachtug ( y y) b (y y)( ) + b ( ) ( )Var(Y) b( )Cov(X, Y) + b ( )Var(X) ( ) + ( Var(Y) Cov (X, Y) / Var(X) Cov (X, Y) / Var(X)) a wrd ersetzt wege ausgeklammert. a y b. b wrd Daach wrd de Formel (w-z) w -wz+z agewadt. wege: ( ) ( )Var(X), ( y y) ( )Var(Y) ud ( y y)( ) ( )Cov(X, Y) wege: Ersetze vo b Cov(X,Y)/Var(X) ) ( Var(Y) Cov (X, Y) / Var(X)) wzzw. ( 4..3 Modell ud Schätzug der Regressosaalyse Das Modell beschrebt, we de Beobachtugspaare als Stchprobe aus eer Gesamthet etstehe. Es wrd her das klasssche Regressosmodell betrachtet. Dabe werde ege verefachede Aahme gemacht, de das Problem des duktve Schleßes hadhabbar mache. I der Populato glt de wahre leare Bezehug: µ y () α + β. Um dese y-mttelwert a der Stelle habe de y-werte ee Vertelug, wobe uterstellt wrd, daß de y- Varaz a alle -Stelle glech st. Als Stchprobe werde y- Werte gezoge für bestmmte Werte. Das sd de der Stchprobe betrachtete (, Y ) Wertepaare. Als Zufallsvarable muß daher ur Y betrachtet werde ( wrd als fest gewählt agesehe). Regressosglechug der Populato: µ y () α + β De Varaz der Vertelug der y-werte a jeder Stelle ( σ y ( ) σ e ) st glech (Homoskedastztät) Der. y-wert wrd zufällg aus der Vertelug a der Stelle gezoge, d. h. Y st ee Zufallsvarable für de glt: E(Y ) µ ( ) α + β y y ) ud Var(Y ) σ ( σ e Körpergröße-Bespel: I der Populato glt vellecht für ee bestmmte Mege vo -Werte(Gewcht) folgede wahre Bezehug für de Mttelwert der Körpergröße: µ y () (mt α48, β.5) De y-werte (Körpergröße) sd auch der Populato cht be eem bestmmte -Wert cht alle glech, soder habe ee Vertelug um µ y (). De Varaz deser Vertelug soll aber für alle verschedee -Werte glech groß se y Varaz der y-werte se 5 σ y ( ) σ e Zudem sd de Zufallsvarable Y statstsch uabhägg. Be Eführe eer addtve Störgröße bezeht sch de statstsche Uabhäggket auf de Störgröße: De Kets oder Nchtkets des Wertes rgedeer Störgröße verädert NICHT de Chace, rgedee adere Störgröße zu errate. Etwas grffger mt Hlfe eer sogeate usystematsche Störgröße e formulert: Y α + β + e mt: E(e ) ud Var(e ) σ e α β -σ e -σ e σ e σ e e Y e Im Bespel: Varaz der Störgröße 5 σ e α48, β.5. Für de Stchprobe werde fest vorgegebee - Werte auswählt. 85

86 Nagl, Eführug de Statstk Sete Schätzug der Parameter des Modells De Parameter des Modells sd eersets der Abschtt α ud de Stegug β, aderersets de Varaz der Störgröße σ e. Für de Berechug vo Itercept ud Stegug wurde obe de KQ-Lösug gefude: Formel für a ud b. Es ka gezegt werde (Theorem vo GAUß-MARKOFF), daß mt de so ermttelte Formel tatsächlch α ud β geschätzt werde ka ud zwar so, daß sowohl a we auch b erwartugstreu ud effzet sd. Um de Nähe zu α ud β äher zu dokumetere, wrd a mt αˆ ud b mt βˆ abgekürzt. Der Erwartugswert ud de Varaz der bede Schätzer sd: E( ˆ ) Var( ˆ ) αˆ st NV(α, Var( αˆ )), Be großem sd auf Grud des α α α σ e + ( )s falls Störgröße NV zetrale Grezwertsatzes de bede Schätzer ormalvertelt, auch we σ e βˆ st NV(α, Var( βˆ )), E(ˆ) β β Var(ˆ) β de Störgröße cht ormalvertelt s ( ) falls Störgröße NV sd Aderersets st σ e ebefalls cht bekat, muß daher ebefalls geschätzt werde. De Summe der quadrerte Resdue, de durch - dvdert werde, st e erwartugstreuer Schätzer für σ e Deser Ausdruck etsprcht dem Fehler mt (her auch mt efacher Berechug) s e σˆ e (Y Ŷ ) - wrd auch als der Frehetsgrad (df) für de vorlegede Problemlage bezechet. wrd vo subtrahert, wel Parameter geschätzt werde müsse, damt de Ŷ bestmmbar sd. F s σ e y (MIT) e ˆ Cov (X, Y) ( Var(Y) Var(X) ) Dese Summe der quadrerte Abwechuge wurde obe für das Körpergrößebespel berets mehrfach berechet. Es war geau der Fehler mt Berückschtgug vo. df 3-. Körpergröße-Bespel: F y(mit ) st 3. s e σˆ e / 3.3 s e Kofdeztervalle ud Hypothesetests für α ud β Da her α selbst als Parameter verwedet wrd, wrd her das sost bem Teste ud be de Kofdeztervalle verwedete Fehler. Art-α durch ω ersetzt, der Hoffug Mßverstädsse zu vermede. Kofdeztervall für α (-ω)-kofdeztervall für α: Körpergröße-Bespel: 95% Kofdeztervall für α: t σe st be der Regressosaalyse e bekat, muß. 95 ()., s e 5.5 (sehe αˆ ± t ( ω) (df ) s e +, ( )s obe) * daher geschätzt werde. mt df(-) Kofdeztervall für β (-ω)-kofdeztervall für β: s e βˆ ± t ( ω) (df ), mt df(-) ( )s 5.6 ±.*5.5* ±.*.43 (3.74, 78.46) Fortsetzug: 95% Kofdezter-vall für β: wobe ( )s * ±.*5.5/ ±.*.6646 (.785,.848) Etspreched köe Tests für Hypothese etwckelt werde. Test der Hypothese: Der stadardserte Testwert α α. t (df ) : ( αˆ α ) s e + st Studet-t ( )s vertelt mt df(-) Frehetsgrade Test der Hypothese: β β. Der stadardserte Testwert s e t(df ) : (ˆ β β ), st Studet-t ( )s vertelt mt df(-) Frehetsgrade Bespel: De Mege der akzepterbare Hypothese be zwesetgem Teste be 5% sd: (3.74, 78.46) Se H : α5 H a: α>5. Sg.Nveau5%. t() (5.6 5) Esetger KB.8. Daher legt.853 cht m KB. Daher H akzeptert. Bespel: De Mege der akzepterbare Hypothese be zwesetgem Teste be 5% sd: (.785,.848) Se H : β H a: β>. Sg.Nveau5%. t() ( ) Esetger KB.8. Daher legt.668 m KB. Daher wrd H abgeleht. 86

87 Nagl, Eführug de Statstk Sete Wchtge Erweteruge der Regressosaalyse De Erweterug auf stochastsche Regressore bedeutet, daß auch de -Varable ee Zufallsvarable se ka (de -Varable wrd cht ur be festgelegte Werte we m klasssche Modell ausgewählt). Dese Erweterug st für Tests ud Kofdeztervalle uproblematsch; se köe m Se bedgter Tests ud Kofdeztervalle terpretert werde. De Bedgug st de Eschräkug auf de ausgewählte -Werte. Erweterug auf mehrere Regressore (Multple Regresso). I vele Fragestelluge soll cht ur e ezger Prädktor, soder zuglech mehrere Prädktore berückschtgt werde. Dabe wrd der Prädktoseffekt jedes Prädktors uter Berückschtgug der ader ( uter Kostathaltug der ader ) utersucht. espel: Zur Prädkto der Körpergröße werde cht ur das Körpergewcht, soder zusätzlch Geschlecht ud Alter berückschtgt. De Varable Geschlecht hat als Dummy-Varable als Itervallskala akzepterbar. Als Stchprobe werde de 55 Persoe der Studeteutersuchug verwedet..4 Es folgt e typscher Computerausdruck (JMP-Programm):.3 Summary of Ft 54 RSquare RSquare Adj.733 Root Mea Square Error t Mea of Respose t t Prob> t st de Fläche zu t Parameter Estmates Term Estmate Std Error t Rato Prob> t Lower 95% Upper 95% Itercept < SEX < ALTER GEWICHT Aalyss of Varace Table Source DF Sum of Squares Mea Square F Rato Prob>F Model <. Error C Total De Störgrößevaraz wrd geschätzt (Mea Square Error), ebeso de Stadardabwechug der Störgröße (Root Mea Square Error). Rsquare st das PRE-Maß, das de Atel der durch de dre Prädktore reduzerte Varaz. Deser Koeffzet etsprcht dem Determatoskoeffzete. Art ud heßt u multples R-Quadrat. De Prädktosglechug bezeht smulta dre Prädktore mt e: Y α + β S Se + β A Alter + β G Gewcht + e Schätzug: geschätzte Varaz der Störgröße 5.6 ˆσ e -.5 Se σ e -σ e σ e σ e e KGr. e Y *Se + (-.88)*Alter +.68*Gewcht + e. Das Pfaddagramm rechts stellt dese Glechug graphsch dar. De Prädktore dürfe dabe korrelere (kursve Werte be de Doppelpfele). Dese Korrelato wrd bem Schätze berückschtgt..7. Alter Gewcht.68 De Erweterug auf mehrere Regressade ( abhägge Varable, Prädkade) wrd der statstsche Lteratur durchwegs als multvarate Regresso (m Gegesatz zu uvarat) bezechet (Vorscht: Mache Sozologe mee mt multvarater Regresso de multple Regresso). Dese Erweterug wrd vor allem da verwedet, we uter eem Überbegrff (z.b. Zustad des Sees) mehrere Ezelmerkmale (z.b. Verschmutzug, Fschmege usw.) zusammegefaßt sd. Da ur de Ezelmerkmale gemesse wurde, werde de möglche Prädktore auf alle ezele abhägge Varable we be der uvarate Regresso agewadt; zusätzlch dazu köe Testwerte berechet werde, de für möglche Hypothese übergrefed über alle Regressade gelte. 87

88 Nagl, Eführug de Statstk Sete PEARSON-Korrelato zweer quattatver Merkmale Der Zusammehag zwsche zwe mdest tervallskalerte Merkmale soll utersucht werde, allerdgs wederum egeschräkt m Se eer leare Bezehug. I der Regressosaalyse stehe de bede Parameter der leare Bezehug (α ud β) m Vordergrud der Überleguge. Zudem wurde ebefalls das PRE-Maß egeführt, das de Güte eer leare Bezehug zur Beschrebug des Zusammehags zwsche de bede Varable beurtelt. I der Korrelatosaalyse teressert ur dese zwete Frage Verbdug mt der Frage der Rchtug des Zusammehages: Nmmt mt stegedem -Wert der y-wert zu (postver Zusammehag) oder ab? Ergebs deser Überleguge st der Korrelatoskoeffzet r, der zwsche ud legt. Er wurde vo PEARSON, ebefalls vo BRAVAIS ud auch vo adere erfude. Er heßt daher auch PEARSON- BRAVAIS Korrelatoskoeffzet bzw. PEARSON Korrelatoskoeffzet, machmal auch Produktmomet- Korrelatoskoeffzet (wel er m wesetlche als Mttelwert über Produkte defert wrd), für de Stchprobe: Korrelato zwsche ud y s y r y : s s y Kovaraz zwsche ud y Stadardabw.()*Stadardabw.(y) 4.3. Charakterserug vo Kovaraz u. Korrelato Da de Kovaraz st de wesetlche Größe für de Defto der Korrelato st, solle hre Egeschafte äher utersucht werde. Egeschafte vo r bzw. der Kovaraz De Kovaraz zwsche ud Kovaraz st symmetrsch: y st glech der Kovaraz s y s y zwsche y ud s De Kovaraz legt m Berech, der y r y : ka mmal durch das Produkt der Stadardabwechuge beschräkt st: s s y ud mamal werde s s s s s Nur we alle Meßwerte eakt auf eer Gerade lege, wrd der Etremwert ( bzw. ) errecht. De optmale Gerade st steged be postvem r y, falled be egatvem r y. y y Alle y-werte köe durch e Gerade ya+b beschrebe werde geau da, we s s y s y oder s s y s y De optmale Gerade st steged be postver Kovaraz, falled be egatver Kovaraz; parallel zur -Achse be Kovaraz y Begrüduge: Wurde obe berets gezegt De: Das PRE-Maß y r legt zwsche ud. De Wurzel daher zwsche ud. Multplzere mt de Stadardabwechuge lefert das Resultat für s y Das PRE-Maß r y st geau da, we de (auf Grud der Gerade a+b berechete) prädzerte y-werte mt de tatsächlche y-werte überestmme. De Stegug wrd auf Grud der Formel s y/s berechet. Falls s y postv st, st de Stegug postv. Etspreched be egatver Kovaraz. Geometrsche Iterpretato der Kovaraz 6 De Kovarazformel wrd als arthm. Mttel zetrerter Produkte berechet. Zuerst zur Summe: Das Zetrere (subtrahere des Mttelwerts) stellt ee Achsever-schebug dar, das Produkt der zetrerte - ud y-werte als Fläche (mt postvem bzw. egatvem Vorzeche) terpretert werde. ( )s y : ( )(y y ) De Produkte ( )(y y) köe postv (m Bld rechts als helle Fläche) oder egatv (m Bld rechts als dukle Fläche) werde. Bem Summere werde daher egatv ud postve Tele egalsert; das Überwege der postve bzw. egatve Tele wrd der Summe festgehalte y ( )(y 3) Summe 6 3*s y arthm. Mttel sd: y 3 88

89 Nagl, Eführug de Statstk Sete 89 Darstellug der Kovaraz als arthmetsches Mttel der ezele Produkte (Flächesumme dvdert durch -). De Korrelato stellt de (egatv bzw. postv gewchtete) Atel der Fläche a der mamal möglche dar: de stadardserte Kovaraz s y Flächesumme/(-) als ee Fläche m ursprüglche Streudagramm. Wege der Restrkto s s y s y s s y ka de Fläche e Rechteck (mt Grudle s ud Höhe s y ) egeschrebe werde. s y r y : s s y y s s De Kovaraz, s y. De Stadardabwechuge sd s.86, s y.86. Der Korrelatoskoeffzet: r y / (.86*.86).6. s y -s y Wetere Bespele: Bespel: Graphsche Darstellug vo Körpergröße ud Gewcht. Als Oreterug wurde be de Mttelwerte ( 74.54, y 84) Achse ezechet. Stadardabwechuge: s s y De Kovaraz s y 4.47 st m Bld rechts m. Quadrate als graue Fläche egetrage. Se köte mamal s *s y werde. De mamale Größe wrd durch das Quadrat beschräkt, das durch de Achsebeschrftug Stadardabwechugsehete rechts ud obe vorgegebe st. Bespel für egatve Kovaraz: y ( 3)(y 3) Summe -6 3*s y arthm.mttel sd: y 3 3 Stadardabwechuge: s.86. s y.86. Da de egatve Kovaraz wurde m rechte Bld lks vo der y-mttelwertachse als Fläche egetrage. 95 y Der Korrelatoskoeffzet: r y 4.47 / Der Korrelatoskoeffzet: r y - / (.86*.86) s s s s y 8 8 -s y y y y s s s y -s y Bespel für Null-Kovaraz y ( 3)(y 3) *s y De egatve ud postve Fläche gleche sch jewels aus, daher wrd de Kovaraz sgesamt. BEACHTE: Kee leare Bezehug! Obwohl her der Korrelatoskoeffzet st, st uverkebar ee kresförmge Bezehug zwsche ud y vorhade. 6 y Der Korrelatoskoeffzet: r y. 6 y s s s y -s y Das letzte Bespel regt folgede Bemerkug a: We der Korrelatoskoeffzet vo ull verschede st, st zumdest tedezell ee leare Bezehug vorhade. We aber der Korrelatoskoeffzet ull st, folgt cht, daß kee (evetuell aders geartete) Bezehug zwsche ud y vorhade st. 89

90 Nagl, Eführug de Statstk Sete 9 Korrelato als Kovaraz der stadardserte - ud y-werte. Be de meste Fragestelluge sd de - ud y-werte cht drekt verglechbar. Stadardsere der Merkmale ka zumdest formal solche Vergleche ermöglche. Als Nullpukt wrd der Mttelwert eer Normgruppe festgelegt, als Meßehet de Stadardabwechug. Der Mttelwert stadardserter Varable st. De Stadardabwechug stadardserter Varable st. De Kovaraz der stadardserte Varable st glech dem Korrelatoskoeffzete der etsprechede Varable Das -Merkmal hat mest adere Meßehetstervalle als das y- Merkmal; zudem auch uterschedlche Nullpukte. De stadardserte Werte werde auch z-werte geat: Stadardsertes : z() : Stadardsertes y: z(y) : z () ud s z () s y y z ()z(y) z( )z(y ) s r y y De: r y s s y y (wel s s ud s y kostat st, st Ausklammer möglch) ( )(y y) ssy y s y s s y ok Aussage der Art Jemad st glech schwer we groß oder Se Gewcht st um kg kleer als see Größe sd slos, da das ee Merkmal etwa Klogramm, das adere etwa cm gemesse st. Im obge Bespel sd: y 3,, s.86 ud s y.86. De z-werte werde für jede ezele UE berechet: ( ) ( y 3) y z( ) z(y ) s ( ) / 3 z() y z( ) z(y ) z( ) z(y ) s.8 / 3.6. Zum Verglech: z()z(y) r y y sy s s / (.86*.86).6. Darstellug der Dchtefukto zweer Merkmale (bvarate Dchtefukto) Be große Stchprobe st de Gefahr sehr groß, daß be Streudagramme mehr als e Datepukt a eem Koordatepukt vorhade st. Mehrfachbesetzuge köe mt Hlfe der drtte Dmeso (Dchte) berückschtgt werde (we be der Darstellug der edmesoale Vertelug). Be dskrete Merkmale köte Stäbe egezechet werde. Be stetge Merkmale (bzw. be Klasseeteluge) köe dredmesoale Quader verwedet werde (bvarates Hstogramm) Für de Darstellug eer bvarate, stetge Populato wrd ebefalls de Dchtefuktosdarstellug verwedet, be der für jede (,y) Wert de Dchte f(,y) berechet wrd. Bespel: Gewcht ud Körpergröße für 54 Persoe der Studeteutersuchug (vo de 55 Persoe fehlt ee Größeagabe). Scho be ur 54 Persoe habe mehrere Persoe gleche -y-wertepaare. Klasseetelug beder Merkmale (Werte a der Klassegreze wurde aus haltlche Grüde jewels der ächstfolgede Klasse zugeordet) führt zu eem bvarate Hstogramm. Bvarates Hstogramm 95 y Bespel: De bvarate Normalvertelug det häufg als Beschrebug der Vertelug zweer Merkmale der Populato. Bvarate Stadard-Normalvertelug (µ, µ, σ, σy), ρ st her.6. Kotur-Darstellug Dchte f(, y) :Gewcht y:größe f(,y) Dchtefukto De Darstellug der Höheschchtle (Isohypse) des Dchte- Berges wrd auch als Kotour- Dagramm bezechet. 9