Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße

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1 Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C Berechug vo Mttelwert ud Streuug 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

3 Berechug vo Mttelwert ud Streuug Gruppe A Gruppe B Gruppe C Gruppe A Gruppe B Gruppe C Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C m * m * m * m ²* m ²* m ²* ,76 5,76 5,76 2,4 2,4 2,4 x m m x k k Das arthmetsche Mttel st a alle 3 Gruppe glech 7. De Varaz st a alle 3 Gruppe glech 5,76 bzw. st de Stadardabwechug alle 3 Gruppe 2,4. 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

4 Vsualserug Obwohl Mttelwert ud Varaz glech sd, uterschede sch de dre Verteluge Bezug auf Ihre Form erheblch wr beötge Maßzahle höherer Ordug 4 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

5 Maßzahle der Schefe Koveto: Postv rechtsschef bzw. lksstel Negatv lksschef bzw. rechtsstel Be multmodale Verteluge st kee efache Iterpretato möglch Umodale symmetrsche Vertelug rechtsschef lksschef 5 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

6 Typsche Maße Pearso scher Schefekoeffzet: S k 3 xx x x Quartlskoeffzet der Schefe S q Q3Q2Q2 Q Q Q 3 6 Q Q 2 Q 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

7 Mometekoeffzet der Schefe (Fsher) Im Fall vo Ezeldate: 3 x x zm S m s x x Be klasserte Date k 3 m x S m 3 2 m x 3 Ee Ausdruck der Form: Summe der (Beobachtuge mus Mttelwert) hoch k dvdert durch de Zahl der Beobachtuge et ma das k-te Zetrale Momet..Zetrales Momet arthmetsches Mttel 2. Zetrales Momet Varaz 3.Zetrale Momet Grudlage für Schefemaß 7 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

8 Wölbug (Kurtoss) eer Vertelug De Wölbug oder Kurtoss beschrebt de Stelhet bzw. Sptzgket eer (egpfelge) Häufgketsvertelug. Verteluge mt gerger Wölbug streue relatv glechmäßg; be Verteluge mt hoher Wölbug resultert de Streuug mehr aus extreme, aber seltee Eregsse. Um das Ausmaß der Wölbug besser eschätze zu köe, wrd se mt der Wölbug eer Gauß sche Glockekurve (Normalvertelug) verglche, dere Wölbug kostat 3 st. Der Exzess gbt de Dfferez der Wölbug eer emprsche Vertelug zur Wölbug eer Gauß sche Glockekurve a. Der Exzess eer Vertelug st daher defert als: Exzess () = Wölbug Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

9 Wölbug (Kurtoss) eer Vertelug Verteluge werde etspreched hres Exzesses egetelt : = 0: ormalgpflg oder mesokurtsch Emprsche Wölbug etsprcht der Wölbug eer Gauß sche Glockekurve > 0 : stelgpflg oder leptokurtsch. Im Verglech zur Normalvertelug ee sptzere Vertelug, d.h. mt stark ausgeprägte Peak. < 0 : flachgpflg oder platykurtsch. Im Verglech zur Normalvertelug abgeflachte Vertelug. 9 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

10 Mometekoeffzet der Wölbug (Kurtoss) Ermttlug des Exzesses Im Fall vo Ezeldate: 4 x x zm s x x Be klasserte Date Ee Ausdruck der Form: Summe der (Beobachtuge mus Mttelwert) hoch k dvdert durch de Zahl der Beobachtuge et ma das k-te Zetrale Momet..Zetrales Momet arthmetsches Mttel 2. Zetrales Momet Varaz k 2 4 m x m x Zetrale Momet Grudlage für Schefe-Maß 4.Zetrale Momet Grudlage für Wölbugs-Maß 0 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

11 Bespel vo Fole-2 (sehe auch XLS) Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C Schefe Wölbug ,694 0,967 0,9352 0,2222 S k m m x m x k 2 4 m x m x 2 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

12 Kozetratosmessug We telt sch de gesamte Merkmalssumme auf de ezele Merkmalsträger auf? Bespele: Auftelug der Gesamtbevölkerug Gemede verschedeer Größeklasse Auftelug des gesamte Steueraufkommes auf de ezele Steuersubjekte Auftelug der gesamte Schadesumme eer Verscherugssparte auf de ezele Verträge Auftelug des gesamte Marktumsatzes ees Produktes auf verschedee Abeter 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

13 Reales Bespel De Date werde deser veröffetlchte Form cht optmal dargestellt. 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

14 Begrffe rud um de Kozetratosmessug Absolute Kozetrato: Vertelug der Merkmalssumme auf ee bestmmte Azahl der Merkmalsträger Relatve Kozetrato: Vertelug der Merkmalssumme auf ee bestmmte Atel der Merkmalsträger Maxmale Kozetrato: De gesamte Merkmalssumme etfällt auf ee Merkmalsträger; alle adere habe de Merkmalssumme Null. Mmale Kozetrato: De Merkmalssumme telt sch glechmäßg auf alle Elemete der Grudgesamthet auf. Jeder Merkmalsträger hat deselbe Merkmalsausprägug. 4 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

15 Maßzahle der absolute Kozetrato P xj j Kozetratosrate: jm j x Gesamte Merkmalssumme Merkmalssumme der m- größte Merkmalsträger C m x x j j x x... x 2 P () Atel des -te Merkmalträgers der geordete Stchprobe a der gesamte Merkmalssumme Pj jm Der Klammer gesetzte Idex sgalsert, dass es sch um geordete Datewerte hadelt! C (m) Atel der gesamte Merkmalssumme, der auf de m- größte Merkmalsträger etfällt Nachtel: Aussage mmer ur für e gegebees m möglch Gesamte Merkmalssumme 5 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

16 Bespel zur Berechug der Kozetratosrate (sehe auch Excel-Sheet) Uterehme A Produkt Umsatz Atel b 0 0% c 0 0% C (2) = 00% d 0 0% C (3) = 00% e 0 0% a % 000 Uterehme B Produkt Umsatz Atel e 60 6% d 80 8% C (2) = 66% c % C (3) = 86% b % a % 000 Uterehme C Produkt Umsatz Atel 6 Kozetratosrate a % b % C (2) = 40% c % C (3) = 60% d % e % 000 C m jm j x x j j Pj jm Iterpretato: C (2) bzw. C (3) auf de 2 bzw. 3 umsatzstärkste Produkte etfällt x-% des Gesamtumsatzes. Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

17 Herfdahl-Idex (Hrschma-Idex) HI HI P j j 2 4 x x 4 x 3 x Der HI st de Summe der quadrerte relatve Atele aller Merkmalsträger a der Merkmalsumme x 2 x Egeschafte: x x 2 x 3 x 4 () maxmale Kozetrato HI 4 x +2 x () mmale Kozetrato HI () Fuso zweer Merkmalsträger erhöht mmer de Idex 7 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße x

18 Bespel (sehe auch Excel-Sheet) Uterehme A Produkt Umsatz Atel P (j) Atel²... P (j) ² b 0 0% 0% c 0 0% 0% d 0 0% 0% e 0 0% 0% a % 00% % <<< Herfdahl Idex Uterehme B Produkt Umsatz Atel P (j) Atel²... P (j) ² e 60 6,00% 0,36% d 80 8,00% 0,64% c ,00% 4,00% b ,00% 9,00% a ,00% 2,96% ,96% <<< Herfdahl Idex Uterehme C Produkt Umsatz Atel P (j) Atel²... P (j) ² a % 4% b % 4% c % 4% d % 4% e % 4% % <<< Herfdahl Idex 8 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

19 Lorezkurve De Lorezkurve st de wchtgste grafsche Darstellugsform der relatve Kozetrato: Abszsse : kumulerte Atele der Merkmalsträger k Ordate: kumulerte Atele a der Merkmalssumme l E Pukt (k, l ) auf der Lorezkurve gbt a, dass auf de k 00% kleste Merkmalsträger l 00% der gesamte Merkmalssumme etfalle. Lorezkurve: Verbdugsle zwsche alle (k, l ) mt (k 0, l 0 )=(0,0) ud (k q, l q )=(,) 9 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

20 Bespel: Umsatzkozetrato auf 3 Produkte Umsatz m Produkt Uterehme a b c d e Gesamtumsatz A B C Uterehme A Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) b 0 0,20 0,00 0,20 0,00 c 0 0,20 0,00 0,40 0,00 d 0 0,20 0,00 0,60 0,00 e 0 0,20 0,00 0,80 0,00 a 000 0,20,00,00,00 000,00,00 20 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

21 Bespel: Vertelug Uterehme A Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Lorezkurve Kumulerte Atele der Merkmalsträger 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

22 Bespel B,C Uterehme B Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) e 60 0,20 0,06 0,20 0,06 d 80 0,20 0,08 0,40 0,4 c 200 0,20 0,20 0,60 0,34 b 300 0,20 0,30 0,80 0,64 a 360 0,20 0,36,00,00 000,00,00 Uterehme C Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) a 200 0,20 0,20 0,20 0,20 b 200 0,20 0,20 0,40 0,40 c 200 0,20 0,20 0,60 0,60 d 200 0,20 0,20 0,80 0,80 e 200 0,20 0,20,00,00 000,00,00 22 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

23 Bespel: Vertelug Uterehme B Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Lorezkurve Mt de 60% (3 vo 5) umsatzschwächste Produkte erzelt das Uterehme 34% des Gesamtumsatzes. Kumulerte Atele der Merkmalsträger 23 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

24 Bespel: Vertelug Uterehme C Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Kumulerte Atele der Lorezkurve Merkmalsträger 24 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

25 Kozetratosmessug De Fläche zwsche der Lorezkurve ud der 45 - Gerade st offeschtlch e svolles Kozept für e Kozetratosmaß Kozetratosmaß ach Lorez-Müzer bzw. auch G-Koeffzet geat G = 2F F... Fläche zwsche 45 -Gerade ud Lorezkurve Der G-Koeffzet st de zwefache Fläche! 25 Statstk - Schefe-, Wölbug ud Kozetratosmaße

26 Relatve Kozetratosmessug Notato: x( ) x(2)... x( q ) q geordete Merkmalsauspräguge q h... h q Azahl der Merkmalsträger: Merkmalssumme: q q x( ) ( ) absolute Häufgkete der x relatve Häufgkete der x kumulerte Atele der Merkmalsträger: k j ( j) j kumulerte Atele a der Merkmalssumme: l h ( j) j q j ( j) ( j) Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße x x ( j) ( j)

27 Kozetratosmessug F F l l - De Bestmmug der Fläche erfolgt durch Berechug der Fläche vo ezele Trapeze (horzotal schraffert). Am utere Ede hadelt es sch ur um e Dreeck Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

28 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße 28 Kozetratosmessug Herletug der Formel: De Fläche F ka durch de Summe der Trapezfläche F abzüglch der Fläche des obere Dreecks berechet werde: q für x x k k x x x k k l l k k F mt F F q j j j j j j j j j q j j j q,..., 2 2 ) ( 2 0,5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,5 Formel für de Berechug der Telfläche

29 Kozetratosmessug Damt berechet sch das Kozetratosmaß ach Lorez Müzer bzw. der G-Koeffzet ach folgeder Formel: x G ( k k) q () () q x ( j) ( j) j wobe glt: ( jj) k j für,..., q ud k0 0. h( j) jj j 29 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

30 Kozetratosmessug Für das das Kozetratosmaß ach Lorez Müzer bzw. dem G-Koeffzete glt : 0 G Im Falle mmaler Kozetrato, falls alle Merkmalswerte der Beobachtugsrehe glech groß sd, glt G=0. Im Falle maxmaler Kozetrato, d.h. e Merkmalsträger veregt de gesamte Merkmalssumme auf sch, glt G=(-)/ Ee Normerug auf [0,] erzelt ma daher mt: 30 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

31 q x () () G ( k k) q x j ( j) ( j) 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

32 Reales Bespel: Darstellug als Lorez-Kurve Atel Atel kumulerter Atel kumulerter Atel Merkmalsträger Merkmalssumme Merkmalsträger Merkmalssumme 0% 0,0% 0% 0,0% 20% 2,2% 20% 2,2% 20% 9,5% 40%,7% 20% 7,% 60% 28,8% 20% 24,5% 80% 53,3% 20% 46,7% 00% 00,0% 00,0% 00,0% Auf de 60% am wegste Verdeede etfällt Summe ur 28,8% des Gesamtekommes. kumul. Atel a de gesamte Bruttobezüge 80,0% 60,0% 53,3% 40,0% 28,8% 20,0%,7% 0,0% 0,0% 2,2% 0% 20% 40% 60% 80% 00% kumul. Atel der Arbetehmer geordet ach Ekomme 32 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

33 Berechug des G-Koeefzete Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) k - +k 0,20 0,0220 0,20 0,0220 0,200 0,004 0,20 0,0950 0,40 0,70 0,600 0,057 0,20 0,70 0,60 0,2880,000 0,7 0,20 0,2450 0,80 0,5330,400 0,343 0,20 0,4670,00,0000,800 0,84,00,46 G = 0,46 GNORM= 0,520 x G ( k k) q () () q x ( j) ( j) j 33 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

34 Wer sd de Merkmalsträger? > Staate oder > Persoe 34 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

35 Kozetrato des BSP auf Staate bzw. auf Bevölkerug Produkt Azahl BSP Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger kumulerter Atel Merkmalssumme Ärmste Staate ,290 0,024 0,290 0,024 0,290 0,007 Arme Staate ,28 0,093 0,57 0,7 0,862 0,080 Arme Staate ,7 0,087 0,743 0,203,34 0,4 Reche Starte ,257 0,797,000,000,743, ,000,000,589 G = 0,589 G NORM= 0,592 Produkt Bevölkerug BSP Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger kumulerter Atel Merkmalssumme Ärmste Staate ,350 0,024 0,350 0,024 0,350 0,008 Arme Staate ,392 0,093 0,742 0,7,092 0,02 Arme Staate ,099 0,087 0,84 0,203,583 0,37 Reche Starte ,59 0,797,000,000,84, ,000,000,73 G = 0,73 G NORM= 0,74 Bezeht ma de Auftelug des BSP cht auf de Azahl der Staate, soder auf de betroffee Bevölkerug, so ergbt sch ee deutlch höhere Kozetrato! k - +k k - +k 35 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

36 Paradoxo Für 2 große Grudgesamthete () werde 2 haltlch uterschedlche Phäomee relatver Kozetrato beobachtet: A: De Hälfte der Merkmalsträger hat ee Merkmalsausprägug vo Null, vo der adere Hälfte habe alle deselbe Merkmalswert > 0 B: E Merkmalsträger veregt 50% der Merkmalssumme auf sch, de restlche 50% der Merkmalssumme vertele sch glechmäßg auf alle adere Merkmalsträger I bede Fälle glt: G = 0,5 36 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

37 Paradoxo Fall A Fall B Lorezkurve Lorezkurve 37 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

38 Bespel: De Ekommesvertelug eem Lad wrd we folgt beschrebe: De 0% Bestverdeede bezehe sgesamt 30% des Gesamtekommes des Lades. Das st geau so vel, we de 50% am wegste verdeede Ekommesbezeher Summe verdee. k l k +k Merkmalssumme Atel a 0,00 0,00 0,50 0,30 0,50 0,3000 0,500 0,90 0,70,40 0,4000 0,5600,00,00,90 0,3000 0,5700,0000,2800 G = 0, Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

39 Wetere Bespele: Verso Produkt Produkt Produkt Produkt Produkt Summe A B C D E F Verso Herfdahl-Idex Lorez Müzer Koeffzet A B C D E F Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

40 Lorezkurve der Verteluge A ud B Lorezkurve - Verso A Lorezkurve - Verso B 40 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

41 Lorezkurve der Verteluge C ud D Lorezkurve - Verso C Lorezkurve - Verso D 4 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße

42 Lorezkurve der Verteluge E ud F Lorezkurve - Verso E Lorezkurve - Verso F 42 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße