Maßzahlen. 1. Arithmetisches Mittel. Das für quantitative Merkmale am häufigsten verwendete Lokalisationsmaß ist das arithmetische Mittel.

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1 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 6 Maßzahle Arthmetsches Mttel Das für quattatve Merkmale am häufgste verwedete Lokalsatosmaß st das arthmetsche Mttel Defto: De Größe := = heßt arthmetsches Mttel oder Mttelwert eer statstsche Vertelug Adere Schrebwese: Uter Verwedug der absolute bzw relatve Häufgkete := k = bzw := h k = De vorkommede k Merkmalsauspräguge werde also mt hrer relatve Häufgket gewchtet Egeschafte des arthmetsche Mttels a) Zetralegeschaft ( ) = 0 = b) Verschebug y := + a ( =,, ) y = + a c) Homogetät z := b ( =,, ) z = b d) Berechug vo aus de Gruppemttelwerte : = m =

2 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 7 Der Meda Zur Kezechug der Lage eer Vertelug fdet zuwele der Meda Awedug Um h zu bestmme, müsse de Merkmalsauspräguge der statstsche Rehe der Größe ach geordet se: 3 Defto: Ee Zahl Med mt Med = + Med + falls ugerade falls gerade heßt Meda der emprsche statstsche Rehe Ma seht glech, dass deser Defto Med cht mmer edeutg bestmmt st Ist gerade ud sd de bede beachbarte Werte der Mtte cht glech groß, da st ede der bede Zahle ud ede Zahl dazwsche e Meda So wählt ma desem Fall häufg ( ) falls gerade Med = + + als Meda Das Lagemaß Meda hat de Nachtel, dass es - gaz m Gegesatz zum arthmetsche Mttel - uter Umstäde ur de Zahlewerte vo eer oder zwe Auspräguge berückschtgt Dafür hat deses Lagemaß de Vortel, dass see Berechug zumdest für ugerades ur ordale Messbarket voraussetzt, das heßt de Beobachtugswerte brauche ur auf eer Ordalskala agesedelt zu se 3 Der Modus Der Modus st derege Wert eer Stchprobe oder eer Grudgesamhet, der am häufgste vorkommt Defto: De Zahl M =, mt h( ) > h( k ), für alle k heßt Modus oder Modalwert eer emprsche statstsche Rehe Auch der Modus st e Lagemaß, das vorzugswese be cht metrsch skalerte Merkmale Verwedug fdet Im Gegesatz zum Meda ud arthmetsche Mttel behält es sogar see S be re qualtatve, also ordal skalerte Merkmale Der Modus muss cht für ede statstsche Rehe estere Verteluge, de geau ee Modus bestze, heße umodal

3 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 8 4 Das geometrsche Mttel Bem geometrsche Mttel G : =, > 0 werde de ezele Merkmalswerte multplzert ud aus dem Produkt de te Wurzel gezoge Es st ur defert, we sämtlche Werte der statstsche Rehe postv sd Das geometrsche Mttel etsprcht dem arthmetsche Mttel der Logarthme log G = log Daraus folgt wege der Zetralegeschaft des arthmetsche Mttels, dass de Summe der logarthmerte Quotete der Werte mt hrem geometrsche Mttel ( log logg) = 0 = log G Null st Daraus wederum erhalte wr ach de Recheregel für Logarthme ( Summe vo Logarthme st glech dem Logarthmus des Produkts ) 0 = log( ) = log G G G =, G G G ( ) dass das geometrsche Mttel eer besodere Wese zetral st: De Quotete /G, vo dee ege kleer als Es, adere größer als Es sd, multplzere sch gerade zu Es auf Wege deser Egeschaft st das geometrsche Mttel eher geeget, Quotete, Prozete ud Wachstumsrate zu mttel, we das arthmetsche Mttel versage würde Deshalb st das geometrsche Mttel besoders be der Beschrebug vo Zetrehe e guter Lageparameter De Berechug eer durchschttlche Wachstumsrate basert, auf der Vorstellug eer kostate Wachstumsrate oder geometrsche Progresso Ket ma de Afagswert ud de Edwert eer Zetrehe, sage wr der Zetrehe des Bruttoladsproduktes BIP 0, BIP,, BIP T, so ka ma daraus atürlch de durchschttlche Wachstumsrate r ach der Formel r BIPT = T BIP 0 fde, was der Berechug ees geometrsche Mttels etsprcht 5 Das harmosche Mttel Bldet ma vo de Werte eer statstsche Rehe de Kehrwerte /, ka ma atürlch auch vo dese das arthmetsche Mttel

4 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 9 ( + + ) bereche Nmmt ma da vom Ergebs weder de Kehrwert, erhält ma das sogeate harmosche Mttel H : = ( / ) (Beachte: Das her verwedete Symbol H für de Zahlewert des harmosche Mttels, hat chts mt dem Fuktoszeche H() für de Vertelugsfukto zu tu - ud soll cht verwechselt werde) Für ede statstsche Rehe mt verschedee postve Werte st H < G < das harmosche Mttel kleer als das geometrsche ud das arthmetsche Auch her stellt sch de Frage, wa das harmosche Mttel beutzt werde sollte, das heßt wa es ee mt der Fragestellug kosstete Mttelwert lefert 6 Streuugsmaße Das Ausmaß der Streuug oder Varato oder Dsperso eer Vertelug bzw der Werte eer statstsche Rehe soll eer Maßzahl ausgedrückt werde Spawete (Rage) Se st de Dfferez zwsche der größte ud der kleste Merkmalsausprägug der statstsche Rehe: rage := ma m De Spawete st atürlch besoders efach zu bereche, de es wrd ur der größte ud der kleste Wert eer statstsche Rehe verwedet Mttlere absolute Abwechug Se wrd als arthmetsches Mttel der absolute Abwechuge der Merkmalswerte vo hrem Mttelwert berechet MAA := =

5 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 0 Mttlerer Quartlsabstad Ma ordet de Merkmalswerte der statstsche Rehe der Größe ach ud telt se 4 Segmete mt möglchst glech großer Azahl vo Werte Eakt geht das atürlch ur, we de Gesamtzahl der Werte durch 4 telbar st, sost behlft ma sch äherugswese Daach sucht ma sch 3 Werte Q Q = Q 0 5 3, de sogeate Quartle Se müsse so beschaffe se, dass se der gleche Wese we der Meda zwsche de Segmete lege Das arthmetsche Mttel der bede Quartlsabstäde st u der mttlere Quartlsabstad MQA : = ( Q Q ) + ( Q Q ) Q Q = Varaz ud Stadardabwechug Das am häufgste verwedete Streuugsmaß st de Varaz De Varaz hat außerdem zetrale Bedeutug der theoretsche Statstk Defto: De Größe s : = ( ) = heßt emprsche Varaz oder kurz Varaz eer beobachtete statstsche Rehe Legt ee relatve Häufgketsvertelug der statstsche Rehe vor, so ka de Varaz auch damt berechet werde, gemäß k s : = h ( ) = Defto: De postve Wurzel aus der Varaz s := + s heßt Stadardabwechug

6 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle Egeschafte der Varaz a) De Varaz st stets größer oder glech Null: s 0 b) Traslato: y := + a ( =,, ) s = Y s c) Streckug: z := a ( =,, ) Z s = a s Was de Stadardabwechug betrfft, so glt etspreched: s Z = a s d) Verefachte Berechug: ( ) = e) Verschebugssatz: ( ) = ( d ) ( d ) f) Berechug der Gesamtvaraz s aus de Gruppevaraze s : m m = s + ( ) = = s () Der Summad heßt ere Varaz (oder tere Varaz) Se st das gewchtete Mttel aus de Varaze der m Gruppe () Der Summad heßt de äußere Varaz (oder etere Varaz) Se st de Varaz der Gruppemttelwerte ( =,, m), also de Varaz zwsche de Gruppe

7 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle Mmalegeschaft der Varaz (oder das Przp der kleste Quadrate ) Da m Verschebugssatz der Term ( ) = ( d ) ( d ) ( d) e egatv se ka, glt für edes d stets ( ) < ( d ), das heßt de mttlere quadratsche Abwechug vom arthmetsche Mttel st kleer als de mttlere quadratsche Abwechug vo rged eem adere Wert (Mmalegeschaft) Mt multplzert, erhält ma für de Summe der quadratsche Abwechuge vo rged eem d: SQA( d ) : = ( b) ( ) Somt köte wr das arthmetsche Mttel auch defere als deege Zahl d, de SQA mmert Das st das Przp der kleste Quadrate : Das Mmum vo SQA fde wr durch Dfferetato ach b ud Nullsetze d SQA db ud erhalte als Lösug = ( d )( ) = 0 = ( d ) = 0 d = d = d = 0 d = Varatoskoeffzet Defto: Der Quotet aus Stadardabwechug ud Absolutbetrag des Mttelwertes eer statstsche Rehe mt 0 VK := s heßt Varatoskoeffzet Der Varatoskoeffzet st e relatves Maß Er msst de Streuug relatv zum Nveau bzw zur absolute Größeordug der statstsche Rehe

8 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 3 8 Kozetrato eer Vertelug De Frage ach der Kozetrato rchtet sch auf de Atel, de ezele statstsche Ehete ω a der gesamte Summe der Merkmalswerte eer statstsche Rehe S = habe Uter Kozetrato versteht ma also ee Uglechhet der Vertelug der Merkmalssumme auf de Merkmalsträger Absolute Kozetrato E hoher Atel der Merkmalssumme S etfällt auf ee klee absolute Azahl vo Merkmalsträger Relatve Kozetrato E hoher Atel der Merkmalssumme S etfällt auf ee klee Atel der Merkmalsträger Oder umgekehrt ausgedrückt: E gerger Atel der Merkmalssumme etfällt auf ee hohe Atel der Merkmalsträger Vo Kozetrato desem Se zu spreche, geht atürlch ur da, we Summe vo Merkmalsauspräguge ud auch de Gesamtsumme S sachlch svoll terpretert werde köe, es sch also um e etesves Merkmal hadelt Kee Kozetrato bezüglch ees Merkmals eer Vertelug legt vor, we alle Elemete ω deselbe Merkmalswert ( ω ) = =, ( =,, ) aufwese Zur Veraschaulchug stelle ma sch emal vor, alle Uterehmuge eer Brache hätte geau deselbe Umsatz, oder alle Bewoher der Isel Cuba dasselbe Vermöge oder de gleche Itellgezquotete LORENZ Kurve Aders als be de Lage- ud Streuugsmaße wrd her (zuächst) cht ee aggregerte oder summarsche Maßzahl zur Charakterserug der Kozetrato eer Vertelug ermttelt, soder ee gaze Kurve kostruert, de sogeate LORENZ Kurve Se zegt, we sch de Merkmalssumme auf de Merkmalsträger vertelt oder kozetrert Damt das geht, müsse ege Voraussetzuge erfüllt se: () Es dürfe kee egatve Merkmalsauspräguge vorkomme, das heßt 0 ( =,, k) () De Merkmalsauspräguge müsse der Größe ach geordet (worde) se: 0 < < < k (3) De Größe 0 ud > 0 = müsse svoll ud terpreterbar se (etesves Merkmal)

9 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 4 Zur Kostrukto der Kurve trägt ma umehr für edes =,, k auf der Ordate de Werte des kumulerte Atels a der Merkmalssumme M := 00 S = gege de Werte der emprsche Vertelugsfukto auf der Abszsse ab, wobe H := 00 = 00 h = = S : = k = de gesamte Merkmalssumme st Der Faktor 00 det ledglch der Normerug vo H ud M auf 00 Prozet Nachdem u de so berechete Wertepaare (H, M ) = P als Pukte eem H M Koordatesystem egetrage sd, werde se durch Le verbude Defto: E Streckezug, der eem Koordatesystem ausgehed vom Ursprug P 0 = (0, 0) de Pukte P = (H, M ) mteader verbdet, heßt LORENZ Kurve De LORENZ Kurve gbt also zu edem Prozetsatz der statstsche Ehete de dazugehörge Prozetsatz a der Merkmalssumme a M 00% % BILD: LORENZ Kurve H De LORENZ Kurve st somt egetlch kee Kurve, soder e Polygo- oder Streckezug, der stets vollstädg uterhalb der Dagoale verläuft; er begt m Pukt P 0 = (0, 0) ud edet m Pukt P k = (00, 00) Jedes

10 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 5 ezele Stückche des Streckezugs st steler als das vorhergehede: Satz: De LORENZ Kurve st kove M BILD: Stegug der LORENZ-Kurve M - H M H - H Außerdem erkee wr desem Bewes, dass für uterdurchschttlch klee Merkmalswerte de LORENZ Kurve ee kleere Stegug als de Dagoale aufwest ud umgekehrt: b b = <, we < = >, we > De LORENZ Kurve stellt zuächst ke Kozetratosmaß m Se eer ezge summarsche Maßzahl für de gaze Vertelug dar Velmehr gbt se puktuelle Maße a Zu edem Pukt H wrd de sogeate relatve Kozetrato M agegebe: Auf H Prozet der kleere statstsche Ehete etfalle M Prozet der Merkmalssumme Dabe sd de kleere statstsche Ehete deege mt de gergere Merkmalswerte Natürlch etfalle da auf de 00 H Prozet größere Ehete 00 M Prozet der Merkmalssumme LORENZ Kurve ach Größeklasse Legt de Vertelug ur ach Größeklasse vor, ka ebefalls ee LORENZ Kurve gezechet werde ξ 0 ξ ξ ξ 3 ξ m Eakt sd desem Falle hre Werte aber ur a de Klasseobergreze, de da de Kckstelle der LORENZ Kurve blde De de Iformato über de Vertelug erhalb der Größeklasse st cht vorhade oder durch de Aufberetug verloregegage Zusätzlch zu de absolute oder relatve Klassehäufgkete := absh(ξ < ξ ), =,, m beötgt ma aber och de Merkmalstelsumme S, de eder Größeklasse zukomme ud zusamme de Merkmalssumme

11 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 6 S = S + S + + S m ausmache We de arthmetsche Mttelwerte der Klasse agegebe sd, lasse se sch lecht daraus bereche als S =, =,, m Zur Berechug der LORENZ-Kurve würde ma ach folgeder Arbetstabelle vorgehe köe: Nr ξ Größeklasse ξ < S = = S = H M De wahre Kozetratoskurve wrd zwsche de Kckstelle stärker durchhäge, es se de, erhalb der Klasse gäbe es keerle Kozetrato De Kozetratosfläche K (sehe m folgede Abschtt) des ach Größeklasse berechete ud gezechete LORENZ Polygos wrd also eher etwas zu kle ausfalle Möchte ma auch Aussage über de M relatve Kozetrato a Zwschestelle H mache, so ka ma versuche, ee glatte Kurve durch de 00% Eckpukte zu zehe Damt erhelte ma ee Appromato der 80 wahre Kozetrato durch ee stetge LORENZ Kurve ohe Kckstelle I der ebestehede 60 Graphk zegt ee stetge Appromato a der Stelle H = 50 ee relatve Kozetrato M vo 40 34%, währed auf dem Steckezug 56% abzulese wäre % BILD: Kurve als Appromato H GINI-Koeffzet Um e aggregertes oder summarsches Kozetratosmaß also ees, das de gaze Vertelug berückschtgt aus der LORENZ Kurve zu gewe, ka ma sch de Umstad zuutze mache, dass mt zuehmeder Kozetrato de Kurve mmer stärker durchhägt De efachste Art, das Durchhäge ud damt de Kozetrato zu messe, wäre, () hre Läge L zu bestmme oder () de Fläche K zu messe, de se mt der Dagoale eschleßt Normert ma de Seteläge des Quadrats der Darstellug der LORENZ Kurve auf statt auf 00 (des gescheht durch Weglasse des Faktors 00 de Formel für de Koordate H ud M), so legt de Läge zwsche L

12 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 7 wobe L = fehlede ud L = vollstädge Kozetrato bedeutete De Fläche zwsche der Dagoale ud der LORENZ Kurve läge zwsche 0 K /, wobe K = 0 fehlede ud K = / vollstädge Kozetrato bedeute würde Das st eher upraktsch Deshalb verglecht ma de Kozetratosfläche K mt der mamal möglche Fläche, de sch be eer LORENZ Kurve uter der Dagoale fde köte: Defto: Der Quotet GINI := Kozetratosfläche K größtmöglche Kozetratosfläche heßt GINI Kozetratoskoeffzet eer Vertelug Der GINI Koeffzet wäre da glech der doppelte Kozetratosfläche Be geauerem Hsehe bemerkt ma / K ma / BILD: Kleste ud größtmöglche Kozetratosfläche allerdgs, dass de größtmöglche Fläche uter der Dagoale cht /, soder selbst be mamaler Kozetrato, we also de gesamte Merkmalssumme auf de te Ehet etfalle würde, ur K ma = st Deshalb wrd zweckmäßgerwese der GINI Koeffzet als defert GINI := K

13 J SCHIRA, C MÜLLER / Statstk I / SS 005 Maßzahle 8 K K GINI = 0 GINI = 038 GINI = 07 BILD: LORENZ-Kurve ud GINI-Koeffzete Der GINI Kozetratoskoeffzet hat de Vortel, daß 0 GINI er zwsche Null ud Es legt, ud st somt als ee ormerte Maßzahl der summarsche relatve Kozetrato azusehe De Kozetratosfläche K auszureche st cht schwer, aber vo Had eher umstädlch Ma berechet dazu de Trapezfläche uter dem LORENZ Polygo, um hre Summe da vo der Dreecksfläche abzuzehe Ma erhält 05 k K = ( M + M ) h = 0 h M Leselste zu de Maßzahle Schra, Josef: Statstsche Methode der VWL ud BWL: Theore ud Pras, Müche: Pearso Studum, 003, Kaptel S Selbststudum: Abschtt 7 Quatle Aufgabe:, 6, 0, 4, 5 Bohley, P: Statstk, 7 Auflage, Müche, We: Oldebourg, 000, Kap IV ud V Neubauer, W; Bellgardt, E; Behr, A: Statstsche Methode, Müche: Vahle, 00, Kaptel 5 Vogel, Fredrch: Beschrebede ud schleßede Statstk, 9 Aufl, Müche, We: Oldebourg, 00, Kaptel 3