STATISIK. LV Nr.: 0021 WS 2005/06 13.Oktober 2005

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1 STATISIK LV Nr.: 00 WS 005/06 3.Oktober 005

2 Streuugsmaße Varaz Stadardabwechug Varatoskoeffzet Mttlere absolute Abwechug Spawete Quartlsabstad Schefe Wölbug

3 Varaz Beobachtugswerte a,...,a (metrsch skalert) Streuugsmaß: Arthmetsche Mttel der Abwechugsquadrate der Ezelwerte a vo hrem arthmetsche Mttel Varaz (Mttlere quadratsche Abwechug) s (a a) 3

4 Varaz Bsp. Körpergröße vo 5 Persoe: 6, 70, 55, 87, 79 Arthmetsches Mttel 70,6 Varaz (Mttlere quadratsche Abwechug) s ² /5 [(6-70,6)² + + (79-70,6)² ] s ² 3,44 4

5 Streuugsmaß Streuugsmaß: Summe der quadrerte Abwechuge - cht Summe der Abwechuge vo a vo hrem arthm. Mttel, da glt: (a a) 0 Mttlere quadratsche Abwechug bezoge auf ee belebge Wert M MQ(M) (a M) 5

6 Varaz Verschebugssatz (Bezehug zw. MQ(M) ud Varaz): MQ(M) s Das bedeutet: MQ(M) Varaz + (a M) MQ(M) s ² we M arthm. Mttel Mmumegeschaft des arthm. Mttels. (a a) < (a M) (M a) 6

7 7 Varaz Recheverefachug: Legt ee Häufgketsvertelug vor: k Merkmalswerte x,...,x k mt abs. Häufgkete h bzw. rel. Häufgkete f (,...,k) Varaz: a a a) (a s h x) (x s s (x x) f f x h x x mt

8 8 Varaz Varaz eer Grudgesamthet, de aus Telgesamthete (, ) besteht: mt a) (a a) (a s s s a a a +

9 9 Varaz Klassfzerte Date: Häufgketsvertelug Varaz äherugswese bereche, statt der Merkmalswerte x werde de Klassemtte x verwedet: h x) (x s f x) (x s f x h x x mt

10 Varaz Be umodale Verteluge, st de Varaz, de aus de klassfzerte Date berechet wrd, größer als de Varaz, de aus de Ezelwerte berechet wrd. Be kostate Klasseeteluge (? x): Sheppardsche Korrektur: s corr s (? x) s ²... de aus de klassfzerte Date äherugswese bestmmte Varaz 0

11 Varaz Dmeso: Quadrat der Dmeso der ezele Beobachtuge Egeschaft: Varaz mmer 0 Ist Varaz 0, legt kee Streuug vor, alle Beobachtugswerte sd glech ud somt auch glech dem arthmetsche Mttel.

12 Stadardabwechug Stadardabwechug Quadratwurzel der Varaz s s (a a)

13 Varaz & Stadardabwechug Egeschafte: Leare Trasformato der Ezelwerte a : a * a + ßa (,...,) Da: Varaz: s *² ß²s² Stadardabwechug: s * ß s Soderfall: ß, Trasformato a * a + a s *² s ² ud s * s 3

14 Stadardserug Stadardserug: Spezelle leare Trasformato Bldet aus Ezelwerte a stadardserte Werte z, dem vo jedem a das arthm. Mttel µ abgezoge wrd ud durch de Stadardabwechug dvdert wrd. z a µ s Arthm. Mttel der z mmer 0, Varaz der z mmer. 4

15 Varatoskoeffzet Streuug zweer oder mehrerer Verteluge mt sch stark voeader uterschedede Mttelwerte vergleche Relatves Streuugsmaß (für verhältsskalerte Merkmale mt ausschleßlch postve Merkmalswerte), bezeht de Stadardabwechug s (absolutes Streuugsmaß) auf das arthm. Mttel µ. s VC µ 5

16 MAD Mttlere absolute Abw. Arthmetsches Mttel der absolute Abwechuge der ezele Merkmalswerte vom Mttelwert (z.b. arthm. Mttel oder Meda) MAD a M Mmumegeschaft des Medas: a M belebger Wert Me a M 6

17 MAD Häufgketsvertelug der Date MAD bezoge auf Mttelwert µ MAD MAD x x µ f µ h MAD aus Häufgketsvertelug vo klassfzerte Date: Merkmalswerte x durch Klassemtte x ersetze. 7

18 Spawete (Rage) Abstad zw. dem größte ud dem kleste Wert Ezelwerte der Größe ach orde: a [],,a [] R a [] - a [] Häufgketsvertelug vo k Merkmalsauspräguge: R x k - x Häufgketsvertelug vo klassfzerte Date: R x k o - x u Spawete st stabl gegeüber Ausreßer 8

19 Quartlsabstad Quartle Q, Q (Meda), Q 3 tele de Gesamthet 4 glech große Tele. a-quatl: a (k) m a / (a (k) +a (k+) ) falls?a kee gaze Zahl (k de auf?a folgede gaze Zahl) falls?a gaze Zahl k?a Quartlsabstad (Iterquartle Rage) defert als Spawete der 50% mttlere Werte: QA Q 3 Q Egeschaft: stabl gegeüber Ausreßer 9

20 Deskrptve Aalyse: Box-Plot Box-Plot: grafsche Darstellug eer Beobachtugsrehe (Vertelug ud Struktur) N 38 GROEßE 40 N 38 GEWICHT 0

21 Deskrptve Aalyse: Box-Plot Box-Plot für Verglech vo Messrehe: GROEßE N 0 8 w m SEX

22 Deskrptve Aalyse: Box-Plot Box-Plot Box: behaltet 50% der Date (Greze:. ud 3. Quartl), Darstellug des Medas. Whskers: maxmal,5-mal de Läge der Box. Ausreßer: Werte außerhalb der Whskers. Ausreßer Krasse Ausreßer

23 Schefe Gbt Rchtug (rechts- oder lksschef) ud Größeordug der Schefe eer umodale Häufgketsvertelug a. g g (a (a a) a) < 0 lksschefe 0 symmetrsch > 0 rechtsschefe 3 Ke drekter Streuugsparameter 3 3

24 4 Schefe Schefe eer Häufgketsvertelug aus grupperte Date (k Klasse): Verwedug der Klassemttel od. der Klassemtte Berechug mt Klassemttel ud Klassemtte ka zu uterschedlche Ergebsse führe. 3 k k 3 h a) (a h a) (a g 3 k k 3 h a) (m h a) (m g

25 Schefe Lksschefe Vertelug: g < 0 Lksschefe Vertelug Häufgket Ausprägug 5

26 Schefe Symmetrsche Vertelug: g 0 Symmetrsche Vertelug Häufgket Ausprägug 6

27 Schefe Rechtschefe Vertelug: g > 0 Rechtsschefe Vertelug Häufgket Ausprägug 7

28 Wölbug Wölbug od. Kurtoss od. Exzeß: Maßzahl für umodale Häufgketsverteluge Gbt a, ob (be glecher Varaz) das absolute Maxmum der Häufgketsvt. größer als be der Dchte der Normalvt. st. 4 (a a) g (a a) 3 8

29 Wölbug g < 0 abs. Max. kleer als be N-Vt. 0 Normalvertelug > 0 abs. Max. größer als be N-Vt. Wölbug eer Häufgketsvertelug aus grupperte Date (k Klasse): Verwedug der Klassemttel od. der Klassemtte k k 4 4 (a a) h (m a) h g 3 g 3 (a a) h (m a) h 9

30 Kozetratosmaße Metrsch skalertes Merkmal X mt postve Auspräguge Frage: We telt sch de Summe der Merkmalswerte x,,x der Beobachtugsrehe auf de Utersuchugsehete auf? Bsp: ladwrtschaftlche Betrebe, Größe der Nutzfläche: x,...,x. We telt sch de gesamte Nutzfläche auf de ezele Betrebe auf? 30

31 Kozetratosmaße Merkmalswerte werde durch q Merkmalsauspräguge a <...<a q mt absolute- ud relatve Häufgkete h bzw. f bestmmt. Gesamtbetrag der Merkmalswerte der Beobachtugsrehe: j x j a h 3

32 Kozetratosmaße Lorezkurve: Grafsche Darstellug der Kozetrato der Merkmalswerte Koordatekreuz: Abszsse: es werde de ach der Größe der Merkmalsausprägug geordete relatve Häufgkete aufsummert h j k f j für,...,q j Ordate: Auspräguge werde der Größe ach aufsummert ud auf Summe aller Auspräguge q bezoge l a h a h für,...,q j j j j j j j 3

33 Kozetratosmaße Verbde der Pukte (k,l ) ergbt de Lorezkurve, wobe mmer k 0 l 0 0 ud k q l q glt. l 0 k 33

34 Kozetratosmaße Iterpretato: e Pukt (k,l ) der Lorezkurve gbt a, dass auf k 00% der Utersuchugsehete l 00% des Gesamtbetrages aller Merkmalsauspräguge etfalle. Bsp. auf k 00% der ladwrtschaftlche Betrebe etfalle l 00% der gesamte Nutzfläche 34

35 Kozetratosmaße Bsp. ladwrtschaftlche Betrebe Abszsse: Es wrd der Prozetsatz der Betrebe mt der kleste Fläche bestmmt, da wrd der Prozetsatz der Betrebe mt der zwetkleste Fläche bestmmt ud zum Prozetsatz der Betrebe mt der kleste Fläche addert, usw. Ordate: Flächeatele der Betrebe bzgl. der Gesamtfläche werde der Flächegröße ach aufsummert. 35

36 Kozetratosmaße Bsp. ladwrtschaftlche Betrebe Azahl der Betrebe Flächeg. pro Gruppe % der Betrebe Flächegröße Flächeatele aufsumm. Betrebsatele aufsumm. Flächeatele bs 5 ha 63 0,4 0,063 0,4 0, ha 9 7 0,8 0,07 0,60 0, ha ,8 0,35 0,78 0, ha ,6 0,8 0,94 0,550 > 50 ha ,06 0,45,00,000 Gesamt

37 Kozetratosmaße Bsp: ladwrtschaftlche Betrebe Ladwrtschaftlche Betrebe 0,9 0,8 aufsummerte Flächeatele 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 aufsummerte Atele der Betrebe 37

38 Kozetratosmaße Bsp. Ladwrtschaftlche Betrebe: Iterpretato: auf k 00% der ladwrtschaftlche Betrebe etfalle l 00% der gesamte Nutzfläche auf 4% der Betrebe etfalle 6,3% der Nutzfläche, auf 60% der Betrebe etfalle,5% der Nutzfläche, auf 78% der Betrebe etfalle 7% der Nutzfläche, auf 94% der Betrebe etfalle 55% der Nutzfläche. 38

39 Kozetratosmaße Extremfälle: Kee Kozetrato, alle Utersuchugsehete habe de gleche Atel am Gesamtbetrag. Lorezkurve st Dagoale. Gesamtbetrag kozetrert sch (fast) vollstädg auf ee Utersuchugsehet. Lorezkurve st (fast) sekrecht. 39

40 Kozetratosmaße Extremfälle: 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, , 0,4 0,6 0,8 40

41 Kozetratosmaße G-Koeffzet od. Lorezsche Kozetratosmaß (LKM): Maßzahl für de Kozetrato. Defert als das -fache der Fläche (F) zw. Dagoale ud Lorezkurve. LKM F. Es glt mmer: 0 LKM (-)/ Stadardserter G-Koeffzet: LKM or /(-) LKM 4

42 4 Kozetratosmaße Berechug vo F: k Werte auf Abszsse l Werte auf Ordate q Azahl der verschedee Merkmalsauspräguge q F 0,5 F + q j j j - H a H a k k ) l (l k k F

43 Kozetratosmaße Bsp. Ladwrtschaftlche Nutzfläche Flächegröße Flächeatele aufsumm. Betrebsatele F bs 5 ha 0,063 0,4 0, ha 0,07 0,60 0, ha 0,35 0,78 0, ha 0,8 0,94 0,48630 > 50 ha 0,45,00 0,87300 Gesamt,6455 LMK F F,6048 0,6408 mt,,5 LKM or 50/49 0,6408 0,

44 Verhältszahle Quotet zweer Maßzahle: Verhältszahl Glederugszahle Ma bezeht ee Telgröße auf ee hr übergeordete Gesamtgröße Bezehugszahle Quotet zweer sachlch svoll Verbdug steheder Maßzahle Idex-Zahle Quotet zweer Maßzahle glecher Art 44

45 Glederugszahle Glederugszahle Bsp. Tagesprodukto 500 Tele, davo 300 fehlerhaft. Da sd 0% der Tagesprodukto Ausschuss (300/500 00). Ausschussatel st ee Glederugszahl 45

46 Bezehugszahle Bezehugszahle: Verursachugszahle: Bezeht Bewegugsmasse auf de zugehörge Bestadsmasse. Etsprechugszahle: Alle Bezehugszahle, be dee ma Eregsse cht auf hre Bestad bezehe ka. 46

47 Bezehugszahle Bsp. Verursachugszahle: Geburtezffer Bestadsmasse: Ewoher eer Stadt (E) Bewegugsmasse: Zahl der Lebedgeboree (L) G (L/E)*000 Sagt, we vele Geburte auf 000 Ewoher eer Stadt etfalle. 47

48 Bezehugszahle Bsp. Etsprechugszahle: Schüler-Lehrer-Verhälts (Zahl der Schüler) / (Zahl der Lehrer) Sagt, we vele Schüler (ugefähr) auf ee Lehrer etfalle. Des etsprcht aber.a. cht der durchschttlche Klassegröße. 48

49 Idexzahle Idexzahle: Es werde zwe Maßzahle der gleche Art Bezehug gesetzt. Messzahle oder Efache Idzes De zugehörge Maßzahle beschrebe ee reale Sachverhalt. (Zusammegesetzte) Idexzahle Ee der Maßzahle st ee Zahl, de ee fktve Zustad beschrebt. 49

50 Idexzahle Efache Idzes: Rehe vo Maßzahle, de ma Bezehug zueader setze wll. x 0,...,x t Maßzahle zu Zetpukte t, x 0 Maßzahl zum Basszetpukt 0. Da st I 0t x t / x 0 für t 0,,,... ee Zetrehe efacher Idzes 50

51 Idexzahle Messzahle werde oftmals mt 00 multplzert. Bsp. Umsatz m Jahr 5, bezoge auf Jahr 0: I x 5 /x D.h. dass 87% des Umsatzes m Bassjahr m Jahr 5 umgesetzt werde. Oder: Es legt ee Mderug des Umsatzes um 3% vor. Verglech vo I mt I : Der Umsatz st um 3 Prozetpukte gestege. 5

52 Idexzahle Umbasere: Gegebe: Idzes I 0t zur Bassperode 0 Gesucht: Idzes I kt zur Bassperode k Berechug ohe Ursprugsdate: x x x t t 0 I kt x k x k x 0 Verkettug: We für x t I 0t berechet werde soll, ud x 0 cht bekat st. I 0t I 0k I kt I I 0t 0k 5

53 Idexzahle Bsp. Umsatz für Jahre 990 bs 998 Jahr Umsatz x t / x 0 x t / x ,00, ,98, ,95, ,96, ,93, ,87 0, ,90 0, ,9 0, ,97,04 53

54 Idexzahle Umbasere: Idex vo 996 zur Bassperode 990 solle Idex zur Bassperode 994 umgerechet werde. I 990,996 0,90 (Bassperode 990) I 990,994 0,93 (Bassperode 990) I 994,996 0,90 / 0,93 0,97 (Bassperode 994) Verkettug: Weterer Wert für 998 I 990,998 I 990,994 I 994,998 0,93,04 0,97 54

55 Idexzahle Zusammegesetzte Idexzahle (Idzes): Betrachte Warekorb: Ware zu eem Zetpukt t Mege q t,...,q t Prese p t,...,p t Wert des Warekorbes Perode t: p t q t 55

56 Idexzahle Wertdex: Verglech Wert ees Warekorbes zur Berchtsperode t mt dem zur Bassperode 0 W 0t p p t 0 q q t 0 56

57 Idexzahle Bsp. Durchschttlcher Verbrauch a Flesch aller prvate Haushalte eer Gemede. Bassmoat, Berchtsmoat. (Mege g, Prese DM/kg) Flesch p 0 q 0 p q F 5, , 40 F,5 60 3,55 00 F3 4, 50 4,8 50 F4 7,8 0 8, 5 F5 4, ,6 470 F6 0,5 30 0,4 30 F7 8, , 930 gesamt

58 Idexzahle Bsp. Wertdex 7 pq t t pq 6750,5 W0t, ,5 p q p q Flesch p 0 q 0 p q p 0 q 0 p q F 5, , ,5 874 F,5 60 3, F3 4, 50 4, F4 7,8 0 8, ,5 F5 4, , ,5 36 F6 0,5 30 0, ,5 79 F7 8, , gesamt ,5 6750,5 58

59 Idexzahle Bsp. Wertdex 00 W 0 00,09 0,9 D.h. der tatsächlche Aufwad für Flesch für de prvate Haushalte st vom Bassmoat bs zum Berchtsmoat um,9% gestege. Es st her cht berückschtgt, dass der durchschttlche Verbrauch m Berchtsmoat um 05g gerger st. 59

60 Idexzahle Presdzes: Aussage über de Presetwcklug Für verschedee Perode das gleche Megeschema verwede 60

61 Idexzahle Presdex ach Paasche P P 0, t p p t 0 q q t t Ma verglecht de Wert ees Warekorbes q t,...,q t zur jewelge Berchtsperode t mt dem Wert, de deser uter der Presstuato zur Bassperode gehabt hätte. 6

62 Idexzahle Bsp. Presdex ach Paasche P P 0, t p p t 0 q q t t Flesch p 0 q 0 p q p 0 q 0 p q p 0 q p q 0 F 5, , , , F,5 60 3, F3 4, 50 4, F4 7,8 0 8, , F5 4, , , ,5 70 F6 0,5 30 0, , ,5 364 F7 8, , gesamt ,5 6750,5 5996,

63 Idexzahle Bsp. Presdex ach Paasche 7 ptqt pq P 6750,5 00 P0, t , ,5 p q p q 0 t D.h. mmt ma für bede Moate de durchschttlche Verbrauch a Flesch m Berchtsmoat als Megeschema (Warekorb) a, so sd de Prese desem Zetraum um 4,65% gestege. 0 63

64 Idexzahle Presdex ach Laspeyres P L 0, t p p t 0 q q 0 0 Der Warekorb q 0,...,q 0 der Bassperode 0 wrd für alle Berchtsperode zugrudegelegt ud hr fktver Wert der Berchtsperode t wrd mt seem Wert der Bassperode verglche. 64

65 Idexzahle Bsp. Presdex ach Laspeyres 7 ptq0 pq 0 L P0, t , ,5 p q p q 0 0 D.h. Für de m Bassmoat verbrauchte Mege a Flesch muss ma der Berchtsperode um 4,68% mehr Geld ausgebe

66 Idexzahle Verglech Presdzes ach Paasche ud Laspeyres: L: Warekorb muss ur für Bassperode bestmmt werde, Koste (+) Aktualtät (-) P: Warekorb muss für Berchtsperode bestmmt werde, Koste (-) Aktualtät (+) Verglech. Sd Abwechuge groß, muss der Warekorb eu festgelegt werde. Fshersche Idealdex: I F I P I L 66

67 Idexzahle Megedzes: Aussage über Megeetwcklug (uabhägg vo der Presetwcklug) 67

68 Idexzahle Megedex ach Paasche Q P 0, t p p t t q q t 0 Stadardserug ach de Prese zur Berchtsperode 68

69 Idexzahle Bsp. Megedex ach Paasche ptqt pq P 6750,5 00 Q0, t p q p q t 0 D.h. der Verbrauch a Flesch, gewchtet mt de Prese m Berchtsmoat st um 3,34% gesuke ,66 69

70 Idexzahle Megedex ach Laspeyres Q L 0, t p p 0 0 q q t 0 Stadardserug ach de Prese zur Bassperode 70

71 Idexzahle Bsp. Megedex ach Laspeyres p0q t p0q L 5996,5 00 Q0, t ,5 p q p q 0 0 D.h. der Verbrauch a Flesch, gewchtet mt de Prese zum Bassmoat, st um 3,3% gesuke ,69 7