7/7/06. Formulierung mittels Dynamischer Programmierung. Berechnungsbeispiel. Gewinnung der optimalen Reihenfolge

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1 Formulerug mttels Dyamscher Programmerug Berechugsbespel Beobachtug: de Azahl der Telprobleme A j mt j st ur Folgerug: der aïve rekursve Algo berechet vele Telprobleme mehrfach! Idee: Bottom-up-Berechug der optmale Lösug, spechere Tellösuge Tabelle ( daher "dyamsche Programmerug") j A : 5 A : 5 5 A : 5 5 A : 5 A 5 : A 6 : 5 p = (, 5, 5, 5,,, 5) j m Welche Tabelleeträge werde für m[,j] beötgt? 6 Her: Bottom-up = vo der Dagoale ach "rechts obe". Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 5 ewug der optmale Rehefolge Implemeterug mttels dyamscher Programmerug Spechere de Posto für de beste Treug, d.h., dejege Wert k, der zum mmale Wert vo m[,j] führt Spechere dazu eem zwete Array s[,j] deses optmale k: s[,j] wrd ur für Folge mt mdestes Matrze ud j > beötgt s[,j] gbt a, welche Multplkato zuletzt ausgeführt werde soll Für s[,j] = k ud de Telfolge A j st es optmal, zuerst A k, daach A k+ j ud zum Schluss de bede Telergebsse zu multplzere m s = le(p) for rage(,+ ): # assume m has dm (+). (+) m[,] = for l rage(,+ ): # cosder chas of legth l for rage(,-l ): j = +l- # le l j- = l- m[,j] = for k rage(,j ): q = m[,k] + m[k+,j] + p[-]*p[k]*p[j] f q < m[,j]: m[,j] = q s[,j] = k Komplextät: es gbt geschachtelte Schlefe, de jewels höchstes -mal durchlaufe werde, de Laufzet beträgt also O( ). Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 6. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 7

2 Bespel Techk der dyamsche Programmerug egebe: Folge vo Dmesoe (5,, 6,, 7) Multplkato vo A (5 ), A ( 6), A (6 ) ud A ( 7) Optmale Folge st ((A (A A ))A ) Rekursver Asatz: Löse ees Problems durch Löse mehrerer kleerer Telprobleme, aus dee sch de Lösug für das Ausgagsproblem zusammesetzt Phäome: Mehrfachberechuge vo Lösuge j A 8 A 6 8 m[,j] A A 7 j s[,j] A A A A optmale Folge Bottom-up-Berechug: fügt Lösuge kleerer Uterprobleme zusamme, um größere Uterprobleme zu löse ud lefert so ee Lösug für das gesamte Problem Methode: teratve Erstellug eer Tabelle Optmaltätsprzp: ee optmale Lösug für das Ausgagsproblem setzt sch aus optmale Lösuge für kleere Probleme zusamme. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 8. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 9 Wchtge Begrffe Optmale Uterstruktur (Przp der Optmaltät): E Problem bestzt de (Egeschaft der) optmale Substruktur, bzw. gehorcht dem Przp der Optmaltät : :. De Lösug ees Problems setzt sch aus de Lösuge vo Telprobleme zusamme - Bsp. MMP: gesuchte Klammerug vo A A setzt sch zusamme aus der Klammerug eer (bestmmte) Telkette A A k ud eer Telkette A k+ A. We de Lösug optmal st, da müsse auch de Tellösuge optmal se! - Bsp. MMP: wr habe folgede Behauptug bewese: Falls Klammerug zu A A k cht optmal Klammerug zu A A (de gemäß A. Tellsg zu A A k ethält) ka cht optmal se Achtug: Zwete Bedgug (Tellösuge müsse optmal se) st machmal cht erfüllt: Bsp.: lägster Pfad durch ee raphe Aufgabe m Bsp.: bestmme lägste Pfad vo a ach c Im Bsp rechts: Lösug besteht aus Telpfade a b ud b c Aber dese sd cht optmale(!) Lösuge der etspr. Telprobleme - Optmale (d.h., lägste) Lösug für a b = a d c b a d b c. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug

3 Uabhäggket der Tellösuge: De Telprobleme heße (m Se der Dy. Progr.) uabhägg : : de Optmerug des ee Telproblems beeflußt cht de Optmerug des adere (z.b. be der Wahl der Utertelug) - Bsp. MMP: de Wahl der Klammerug für A A k st völlg uabhägg vo der Klammerug für A k+ A - egebsp. "lägster Pfad": de optmale Lsg für a b (ämlch a d c b) mmt der optmale Lsg für b c Elemete weg a d b c Überlappede Telprobleme: Problem wrd zerlegt Uterprobleme, dese weder Uter- Uterprobleme, usw. Ab rgedeem rad müsse deselbe Uter-Uterprobleme mehrfach vorkomme, sost ergbt das DP wahrschelch kee effzete Lösug - Bsp. MMP: Rekursosbaum ethält vele überlappede Telprobleme. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug Schrtte be der dyamsche Programmerug Rekostrukto der optmale Lösug: Optmale Lösug für esamtproblem behaltet Schrtte:. Etschedug treffe zur Zerlegug des Problems Tele. Optmale Wert für Telprobleme bereche. Optmale Wert für esamtproblem "zusammesetze" Dyamsche Programmerug berechet zuächst oft ur de "Weg" zur optmale Lösug, aber - m zwete Schrtt wrd da de optmale Lösug mttels dese Weges berechet - dazu Etscheduge efach Phase specher ud Phase da "abspele" m s - Bespel: MMP Spechere Idex k, der zum optmale Wert führt zwetem Array s. haraktersere de (rekursve) Struktur der optmale Lösug. Defere de Wert eer optmale Lösug rekursv. Trasformere de rekursve Methode ee teratve bottom-up Methode, be der alle Zwscheergebsse eer Tabelle gespechert werde. Erstelle ee optmale Lösug aus dem () berechete optmale Wert, zusamme mt der ebefalls () gespecherte Zusatzformatoe. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 5

4 Optmale Suchbäume Problemstellug Bespel: Wörterbuch Eglsch Frazössch Mt AVL-Bäume oder perfekt balacerte Bäume bekommt ma O( log ) worst-case Lookup-Zet Bsp.: Übersetzug ees eglsche Textes Folge: mache Wörter werde wesetlch häufger als adere achgesehe Zel: esamtzet zum Übersetze ees Textes möglchst kle, d.h., esamtzet für Lookup (oft mehrfach) aller Wörter des Textes soll kle se egebe se Folge K = k < k <... < k vo sortere Keys, mt eer Suchwahrschelchket p für jede Key k Es soll e bärer Suchbaum (BST) mt mmal zu erwartede Suchkoste erstellt werde Koste ees Lookup = Azahl der besuchte Kote m Baum Für jede Key k sd de Koste = d T (k )+, mt d T (k ) = Tefe vo k m BST T M.a.W.: durchschttlche Lookup-Zet pro Wort soll kle se Folge: häufge Wörter müsse "eher weter obe" a der Wurzel stehe. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 6. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 7 Bespel egebe see 5 Keys mt de Suchwahrschelchkete: p =.5, p =., p =.5, p =., p 5 =. Beobachtuge: optmaler BST muß cht de kleste Höhe habe k k k k d T (k ). k k k k k 5 d T (k ) p k. d T (k ) d T (k ) p.5.5 E[Suchkoste] =.5 E[Suchkoste] =. Des st der optmale Baum für dese Key-Mege optmaler BST muß cht de größte Wahrschelchket a der Wurzel habe Erstelle durch erschöpfedes Teste? (exhaustve eumerato) erstelle alle möglche BST mt Kote für jede BST: vertele de Schlüssel ud bereche de zu erwartede Suchkoste es gbt aber verschedee BST mt Kote. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 8. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 9

5 Optmale Uterstruktur. Jeder Uterbaum ees BST behaltet Schlüssel eem zusammehägee Berech k,, k j für j. We T e optmaler BST st ud de Uterbaum T' ethält, da st auch T' e optmaler BST für de Keys k,, k j Bewes: "ut ad paste", d.h., Bewes durch Wderspruch: Aahme: T' cht optmal für k,, k j Es ex. T'' der besser als T st Se der BST, der aus T etsteht, dem T' durch T'' ersetzt wrd st korrekter BST ud hat außerdem kleere mttlere Suchkoste als T W! T T. Eer der Schlüssel k,, k j, z.b. k r mt r j, muß de Wurzel ees optmale Uterbaumes für dese Schlüssel se Der lke Uterbaum vo k r ethält k,, k r- Der rechte Uterbaum vo k r ethält k r+,, k j. Zum Fde ees optmale BST: betrachte alle Kote k r ( r j), de als Wurzel Frage komme bestmme alle optmale BSTs für k,, k r- ud k r+,, k j k r k k r- k r+ k j. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug Rekursve Lösug Fde optmale BST für k,, k j mt j, für j < st der Baum leer Defere e[,j] := erwartete Suchkoste des optmale BST für k,, k j We = j, da e[,] = p Zur techsche Verefachug setze e[,j] = für j < Falls j > : wähle Wurzel k r für r j erstelle rekursv ee optmale BST - für k,, k r- als de lke Uterbaum ud - für k r+,, k j als de rechte Uterbaum Nützlche Verallgemeerug: Es wrd cht mehr verlagt, daß p,, p j ee Wahrschelchketsvertelug blde; es darf gelte esucht st aber weterh e BST für k,, k j, so daß de Summe mmert wrd Dese Summe wrd deoch erwarteter Suchaufwad geat. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 5

6 Bottom-up-Berechug eer optmale Lösug We k r de Wurzel ees optmale BST für k,, k j : k r T T T Spechere für jedes Uterproblem (,j): zu erwartede Suchkoste eer Tabelle e[,j] mt j r[,j] = Wurzel des Uterbaums mt de Schlüssel k,, k j, r[,j] j w[,j] [,] = Summe der Wahrschelchkete - w[,] = p für - w[,j] = w[,j-] + p j für j Aber k r st cht bekat, daher glt. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 5 def optmal_bst( p,q, ): for rage(, ): e[,] = w[,] = p[] for l rage(, ):# calc all opt trees w/ l keys for rage(, -l ): # - ell j = +l- e[,j] = # z.b. ^- w[,j] = w[,j-] + p[j] for r rage(, j+ ): t = e[,r-] + e[r+,j] + w[,j] f t < e[,j]: e[,j] = t r[,j] = r retur e,r Satz: E optmaler Suchbaum für Keys mt gegebee Zugrffshäufgkete ka Zet O( ) kostruert werde. Laufzet: O( ). Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 6. Zachma Iformatk - SS 6 Dyamsche Programmerug 7 6