2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

Transkript

1 Budeswettbewerb Mathemat Wsseschaftszetrum Postfach Bo Fo: Fax: e-mal: fo@budeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsso Karl Fegert Aufgabe ud Lösuge. Rude 006 Kommetare ud Ergäzuge zu dese freue wr us! Aschrft oder Emal Adresse s.o. Stad: Otober 006

2 Aufgabe : E Kres se ogruete Setore egetelt, vo dee schwarz ud de übrge weß gefärbt sd. De weße Setore werde, rgedwo beged, m Uhrzegers mt,, 3,..., ummerert. Daach werde de schwarze Setore, rgedwo beged, gege de Uhrzegers mt,, 3,..., ummerert. Ma bewese, dass es aufeader folgede Setore gbt, dee de Zahle bs stehe.. Bewes: Wr bezeche jede Setor durch see Nummer ud Farbe, also etwa mt w, s, w, s,..., w, s. De Abstad zweer Setore w ud s (,,..., ) bestmme wr, dem wr m Uhrzegers ud auch gege de Uhrzegers de Azahl vo Setore zähle, de zwsche w ud s lege ud das Mmum aus dese bede Zahle bestmme; wr bezeche dese Abstad mt d(). De Setore, de be deser mmale Zählug überstrche werde, ee wr Zählstrece ud bezeche se mt z(). (We de Azahle m Uhrzegers ud gege de Uhrzegers glech sd, wähle wr de Zählstrece aus, de sch bem Zähle m Uhrzegers ergbt.) Offeschtlch sd de d() stets gazzahlg ud aus der Mege {0,,,..., }; es gbt also ee Wert j {,,..., } für de d(j) mmal st. Für e solches j habe auf z(j) alle Setore (sofer exstet) gleche Farbe, wel aderfalls dese Zählstrece etweder de bede Setore (j+) w ud (j+) s oder de bede Setore (j ) w ud (j ) s ethelte (dabe see we be Aufgabe deses Typs üblch de Zahle mod betrachtet, d.h. de Zahle ud + werde als detsch betrachtet); dere Abstad d(j+) bzw. d(j ) wäre da leer als d(j) m Wderspruch zur Mmaltät vo d(j). O.B.d.A. see alle dese Setore weß ud es verlaufe o.b.d.a. de Zählstrece vo Setor j w zu j s m Uhrzegers (aderfalls ersetze ma m Folgede de Bezechuge w durch s ud umgeehrt ud/oder ersetze be de Setorbezechuge e "+" durch e " " ud umgeehrt.) Nu habe de auf de Setor j w m Uhrzegers folgede Setore de zu bewesede Egeschaft: Etweder sd alle dese Setore schwarz, da omme daruter alle Nummer vo bs geau emal vor. Oder es gbt daruter ( {,,..., }) weße Setore ud schwarze; de weße habe da de Nummer (j+) w, (j+) w,..., (j+) w, de schwarze de Nummer j s, (j ) s, (j ) s,..., ( ( +)) s. Des sd geau Zahle, ämlch Zahle vo j s "aufwärts" ud Zahle vo j s "abwärts"; damt st dese Zahlemege mod betrachtet detsch mt {,,..., }.. Bewes (vollstädge Iduto ach der Azahl der Setore ): Wr bezeche jede Setor durch see Nummer ud Farbe, also mt w, s, w, s,..., w, s. Zwe Rade des gegebee Kreses ee wr Halberugsrade, we se zuglech Greze der egetelte Setore sd ud se auf dem Kres zwe Bereche so begreze, dass jeder Berech aufeader folgede Setore ethält ud dass jedem deser Bereche jede der Zahle,,..., vorommt. De Aufgabe st gelöst, we wr de Exstez vo Halberugsrade für alle zege; des gescheht durch Iduto ach. Zuächst stelle wr fest, dass de Kogruez der Setore ee otwedge Voraussetzug für de Behauptug st, ebeso weg de Forderug, dass de Setore lücelos aufeader folge; se dürfe sch ledglch cht überlager. Idutosafag: De Aussage st rchtg für : I desem Fall hat ma ee weße ud ee schwarze Halbres; dere gemesamer Durchmesser besteht offeschtlch aus zwe Halberugsrade. Idutosaahme.: De Aussage se rchtg für e bestmmtes, d.h. zu Setore, de gemäß Aufgabestellug gefärbt ud ummerert sd, gbt es stets zwe Halberugsrade. Idutosschluss: Da st de Aussage auch rchtg für + : Se also der Kres (+) Setore aufgetelt, de gemäß Aufgabestellug gefärbt ud ummerert sd. Wr betrachte zuächst ur de vo bs ummererte Setore. Nach Idutosaahme zusamme mt der Bemerug m. Absatz gbt es zu dese Setore zwe Halberugsrade. Wr utersuche de Lage deser bede Halberugsrade relatv zu de Setore (+) w ud (+) s, dabe gbt es ur de folgede bede Möglchete: Fall : De bede Setore (+) w ud (+) s lege verschedee durch de Halberugsrade deferte Bereche des Kreses: Da sd de Halberugsrade zu de Setore w,

3 s, w, s,..., w, s auch Halberugsrade zu de Setore w, s, w, s,..., w, s, (+) w, (+) s. Fall : De bede Setore (+) w ud (+) s lege m gleche der zwe durch de Halberugsrade bestmmte Bereche: Da bestmme auch umgeehrt de bede Setore (+) w ud (+) s zwe Bereche, vo dee eer ee Halberugsradus ethält; o.b.d.a. se des der Berech, der überstrche wrd, we ma vo (+) w m Uhrzegers zu (+) s geht. Hätte deser Berech Setore vo bede Farbe, da ethelte er auch de bede Setore w ud s ; zwsche dese müsste ach Idutosaahme e Halberugsradus se, was aber m Wderspruch zur Fallbeschrebug steht. Sofer es m Berech zwsche de Setore (+) w ud (+) s Setore gbt, sd dese also alle vo glecher Farbe, o.b.d.a. see dese Setore alle weß ud der Berech werde vo (+) w ach (+) s m Uhrzegers überstrche. Nu betrachte wr de + Setore, de dem Setor (+) w m Uhrzegers folge. Nach der Aussage des vorge Absatzes st der erste schwarze Setor dabe der Setor (+) s ; der erste weße Setor sofer exstet st der Setor w. Isgesamt gbt es uter dese + Setore also schwarze ud + weße Setore für e bestmmtes gazzahlges mt +. Dem Uhrzegers folged habe also de schwarze Setore de Nummer (+) s, (+ ) s,... ( +)) s ; de weße Setore sowet exstet de Nummer w, w,..., ( +) w. Damt ethalte dese Setore geau de Nummer,,..., +, +,..., +; das war zu zege. 3. Bewes (ostrutve Lösug): Wr bezeche de Setoregreze fortlaufed m Uhrzegers mt r 0, r,..., r, ud zwar so, dass r 0 be Rotato m Uhrzegers ach r de mt ummererte weße Setor überstrecht. Weter betrachte wr zu eem gegebee de auf r m Uhrzegers folgede Setore; mt w() bezeche wr de Nummer des erste weße Setors, mt s() de Nummer des erste schwarze Setors. Mt deser Bezechug habe de auf de Setoregreze r m Uhrzegers folgede weße Setore de fortlaufede Nummer w(), w()+, w()+,..., evtl. w() +, usw.; de auf de Setoregreze m Uhrzegers folgede schwarze Setore de Nummer s(), s(), s(),..., evtl. s() +, usw. Nu betrachte wr de Setore, de auf de Setoregreze r 0 m Uhrzegers folge, ud uterschede zwe Fälle: Fall : Alle dese aufeader folgede Setore sd weß. Da ethalte dese auch alle Nummer,,..., ; wr habe damt de geforderte Nachwes geführt. Fall : Es gbt daruter mdestes ee schwarze Setor. We weter ute gezegt, gbt es da e j {,,..., }, für das w(j) s(j). Aus der Defto der s() ud w() folgt da, dass vo de auf r j m Uhrzegers folgede Setore de weße de Nummer w(), w()+, w()+,... w() +, de schwarze de Nummer s() w(), w(),..., w() ( ) für e geegetes {0,,..., } habe. Des sd aber gerade de Zahle {,,..., }. Zum Nachwes der Exstez des j mt der geate Egeschaft betrachte wr de Futo f() : s() w() ud zege, dass dese für e geegetes j de Wert ammt: Zuächst glt stets ee der Bezehuge () w(+) w() ämlch geau da, we der auf r m Uhrzegers folgede Setor schwarz st; () w(+) w() + ämlch geau da, we der auf r m Uhrzegers folgede Setor weß ud w() st (3) w(+) ämlch geau da, we der auf r m Uhrzegers folgede Setor weß ud w() st. Etspreched glt (s) s(+) s() oder 3

4 (s) s(+) s() ud s() oder (3s) s(+) ud s(). Der Fall (3) trtt für e {0,,..., } e: Aus der Kostruto der w() folgt sofort, dass w(0) ud w(). Aus (), () ud (3) folgt, dass w() + für alle {0,..., }. Da uter de geate Setore mdestes e schwarzer st, trtt we der Rehe ach de Werte,,..., ammt mdestes emal der Fall () e. Daher glt w() für alle {0,,..., }. Solage {0,,..., } ud der Fall (3s) e etrtt, st f(+) s(+) w(+) s() w() f() ; d.h. f() mmt um geau ab, we um zummt. Da w(0) ud s(0), also f(0), st f() f(0+) f(0) ( ) ; also st f(j) für rged e j. We aber der Fall (3s) etrtt, d.h. we es e mt s() gbt ud der auf r + folgede Setor schwarz st, gbt es ebefalls e j mt f() : Es st ämlch s(0) s(). Falls s(0) s(), st f() s() w(). Falls s() > ud es e mt s() ud s(+) gbt, trtt für alle j < der Fall (3s) cht e; d.h. es st f(j+)f(j). Wege w(j) w() ud s(j) s() für alle j < glt de Abschätzug f() s() w() s() w(j), d.h. es gbt berets e j mt f(j). Bemerug: De Kostruto des 3. Beweses führt zu geau eer Telugsmöglchet. Es a aber voromme, dass es och mehr Telugsmöglchete gbt; z.b. führt de Kostruto zur Telug ; es gbt aber auch och de Telug

5 Aufgabe : Ma bestmme alle reellwertge Futoe f, de auf der Mege der postve ratoale Zahle defert sd, dort postve Futoswerte bestze ud de de Glechug erfülle. f( xy) f( x) + f( y) + xy f( xy) für alle postve ratoale x, y f( x+ y) Amerug: De Rchtget des Resultates st zu bewese. Gemesame Bezechuge: Mt + se de Mege der postve ratoale Zahle bezechet. Ergebs: f erfüllt de geforderte Bedguge f :. Bewes: x x mt x +. " ": f st auf + defert, reellwertg, alle Futoswerte sd postv ud efaches Nachreche bestätgt, dass auch de der Aufgabe vorgegebee Futoalglechug erfüllt st; es st ämlch f (x) + f (y) + xy f (xy) + + xy x y x y ( xy) ( x+ y) f( xy) f( x+ y) y + x + xy x y für alle x,y +. x y y + x + xy " ": Wr wese schrttwese de otwedge Egeschafte (A) bs (H) der Futo f ach, de aus der Aufgabestellug folge, ud wese dadurch ach, dass es außer f : x x mt x + ee wetere Futo gebe a, de de geforderte Egeschafte hat. Dabe beütze wr de der Aufgabestellug agegebee Futoalglechug f( xy) f( x) + f( y) + xy f( xy) für alle x,y + (*) f( x+ y) gelegetlch der äquvalete Form (Dvso durch f (xy) 0 st ee Äquvalezumformug!) f( x) f( y) + + xy für alle x,y +. (*') f( xy) f( xy) f( x+ y) (A) f ( ) : Wr setze x y ud erhalte so aus (*') de otwedge Bedgug 4 f() f() + + f( ) f( ) f( + ) oder + +, also dret (A). f ( ) (B) f ( 4) 6 : Wr setze x y ud erhalte so aus (*) f ( ) f( ) + f( ) + f( ) f ( + ) zusamme mt (A) de otwedge Bedgug 8f( 4) f( ), woraus sofort (B) folgt. (C) f (x+) für alle x + : f () x f( x ) + + 5

6 f( x) f( ) Wr setze y ; de Glechug (*') lautet da + + x f( x ) f( x ) f( x+ ) f () oder äquvalet + + x, woraus sofort (C) folgt. f( x) f( x+ ) (D) f () : Wr schrebe (C) mt x, des ergbt zusamme mt (A) de otwedge Bedgug f (3) f () + + f ( ) 4f () + 5 schrebt ma (C) mt x 3, ergbt sch aderersets zusamme mt (B) ; f (4) oder f (3) f () f ( 3) f (). oder 6, was wr umforme zu f () + 7 f ( 3) f () f ( 3) (E) f (x+) Glechsetze ergbt 4f () + 5 f (), also äquvalet 4 [f ()] + 5f () 0 oder auch [f () ] [f () + ] 0. Heraus erhält ma da f (x) > 0 vorausgesetzt wrd als ezge möglche Lösug ud damt als otwedge Bedgug f (). x f( x ) + + für alle x + ud alle postve gaze : Des bewese wr mt vollstädger Iduto ach : De Aussage st rchtg für alle x + ud (das st da wege (D) gerade de Aussage (C)); ud we se rchtg für alle x + ud e bestmmtes st, so erhalte wr weder mt (C) f (x+(+)) f ((x+)+)) x ( x ) f( x ) ( ) x ( ) f( x ) ( x ) f( x+ ) + + +, also de Rchtget für (+) ud alle x +. (F) f () für alle postve gaze Zahle : Des bewese wr mt vollstädger Iduto ach : De Aussage st mt (C) ud (D) rchtg für ; ud we se rchtg für e bestmmtes st, da st mt (C) f (+) f () f( ) ( + ), d.h. de Aussage st auch rchtg für +. (G) f ( ) für alle postve gaze Zahle : 6

7 Wr setze der Futosglechug x, y ud erhalte so aus (*) mt (F), (C) ud (D) de otwedge Bedgug f () + f( )+ f( ), also + f ( ) + f( + ) f( + ) ; aderersets st mt (E) f ( + ). + + f ( ) Des setze wr auf der rechte Sete e ud erhalte de otwedge Bedgug + f ( ) f ( ) ; dese führt ach Multplato mt f( ) 0 zu f ( ) + f ( ) ( ) 0 oder ( f ( ) + ) ( f ( ) ) 0. Heraus erhält ma da f(x) > 0 für alle x + vorausgesetzt wrd als ezge möglche Lösug ud damt als otwedge Bedgug f ( ). (H) f ( m ) m für alle postve gaze Zahle m, : Des bewese wr weder mt vollstädger Iduto, desmal ach m: De Aussage st rchtg für m ud alle postve gaze Zahle (da st se ämlch detsch mt (G)); ud we se für e bestmmtes m ud alle postve gaze Zahle rchtg st, da folgt mt x m ud y aus (*') ud (G) m f ( ) f ( ) m + m m f ( ) f ( + ) f ( ) + m f ( ) + m m + + m 4 4 m + + m m m ( m + ) ; ach Kehrwertbldug (erlaubt, da m + cht de Wert 0 ammt) erhalte wr so de Rchtget der Aussage für m+ ud alle postve gaze Zahle. Da jedes x + der Form m mt postve gaze Zahle m, dargestellt werde a, st mt dem Nachwes vo (H) der Bewes abgeschlosse.. Bewes (Verallgemeerug für alle x + ): Mt der gleche Argumetato we m. Bewes wese wr zuächst ach, dass de Futo f : x x mt x + de gegebee Futoalglechug sogar für alle x + erfüllt ud dort ur postve Futoswerte bestzt. Umgeehrt öe wr ebefalls mt der gleche Argumetato we m. Bewes zege, dass jede Futo f auf de reelle Zahle mt de geforderte Egeschafte auch folgede Bedguge erfülle muss: 7

8 (A) f ( ) 4 ; (B) f ( 4 ) ; (D) () 6 f sowe (E) f (x+) für alle x + ud,, 3. x f( x ) + + Aus dem Bewes zu (D) folger wr f (3) f () ; sbesodere glt also (K) f () für,, 3. Nu setze wr der Futoalglechug y ud erhalte so (da f (x) > 0 vorausgesetzt wrd, wrd e durch 0 dvdert) f( x) + f( ) + x f( x) f( x) ; f( x+ ) f( x) + f( ) + x f( x) f( x) ( + x+ ) für,, 3 (wg. (E)); f( x) f( x) + f( ) f( x) ( + x x+ ) f( x) f( x) f( x) + f( ) f( x) + f( x ). Dabe hat ach (K) der zwete Bruch auf der le Sete für,, 3 de Wert. De Futo f muss also auch de Bedgug f( x) (L) f( x ) für,, 3 erfülle. Nu setze wr der Futoalglechug x y ud erhalte so f( x) + f( x) + x f( x ) f( x) + x f( x ) ( ) f( x ) f( x) 4 f( x ) f( x) f( x) + x f( x) f( x ) 4 f( x ) (M) ( ( )) Aderersets folgt mt x y f( x) + f( x) + 4x f( x ) f( x) + f( x) + 4x f( x ) f( x) + x f( x ) 4 ( f x ) f x ( 4 x f( x) ) f( x ) für alle x. f( x ) f( 3x) f( x ) 4 f( x) f( x ) 4 f( x) 5 ( ) + 4 x f( x) f( x ) f( x ) (N) ( ( )) 5 f x ( 4 x f( x) ) f( x ) für alle x. De Bedgug (M) multplzere wr mt 5, de Bedgug (N) mt, setze glech ud erhalte 8

9 5( 4 x f( x) ) f( x ) ( x f x ) 0 0 x f( x) 8 8 x f( x) x f (x) 4 ( ) f( x ); ach Dvso durch f(x ) 0 f(x) für alle x. x

10 Aufgabe 3: Gegebe se e sptzwlges Dreec ABC ud e belebger Put P m Ier des Dreecs. De Lotfußpute vo P auf de Sete AB, BC ud CA see C', A' bzw. B'. Be welche Lage vo P gelte BAC B'A'C' ud CBA C'B'A'? Amerug: De Rchtget des Resultates st zu bewese. Gemesame Bezechuge: Um de Text lechter lesbar zu mache, werde wr gelegetlch de Iewel der Dreece ABC bzw. A'B'C' we üblch mt α, β, γ bzw. α ', β ', γ ' bezeche. Ergebs: Es st BAC B'A'C' ud CBA C'B'A' P st Umresmttelput vo ABC.. Bewes: De Bedgug st hreched: Se P der Umresmttelput vo ABC. Da hat P sbesodere vo Ece A ud B de gleche Etferug, legt also auf der Mttelserechte vo AB. Damt fällt der Fußput des Lotes vo P auf de Sete AB (also C') mt dem Mttelput deser Dreecssete zusamme. Aalog folgert ma, dass B' de Mtte vo Sete AC ud A' de Mtte der Sete BC st. Damt st das Dreec A'B'C' das Mttedreec vo ABC; beatlch sd dese bede Dreece ählch; sbesodere sd da auch etsprechede Iewel glech; des war zu zege. De Bedgug st otwedg: Se BAC B'A'C' ud CBA C'B'A'. A α M AP B' γ α Nach Kostruto st PC'A AB'P 0 ; damt lege C' ud B' bede auf dem Thalesres über der Strece AP. Auf desem Thalesres lege sbesodere de Pute C', B' ud A; damt ethält deser Thalesres de Fassresboge über der Sehe C'B' zum Wel C'AB'. Da de Pute B' ud C' auf de Scheel sowohl vo α also auch vo α' lege, folgt aus der Voraussetzug α α ' sofort, dass de bede Fassresböge über C'B' zu de Wel α bzw. α' gleche Durchmesser habe. Also hat das Dreec AC'B' ee Umres, desse Durchmesser ämlch PA so groß st we der des Umreses vo Dreec A'B'C'. Mt aaloger Schlusswese erhält ma: Aus β β ' folgt, dass auch das Dreec BA'C' ee Umres hat, desse Durchmesser ämlch PB so groß st we der des Umreses vo Dreec B'C'A'. Schleßlch folgt aus α α ' ud β β ', dass γ γ '; ud heraus we obe, dass auch das Dreec CB'A' ee Umres hat, desse Durchmesser ämlch PC so groß st we der des Umreses des Dreecs C'A'B'. Isgesamt st also PA PB PC ; des st glechbedeuted damt, dass P der Umresmttelput des Dreecs ABC st. Varate für de Nachwes, dass de Bedgug otwedg st (Sussatz): Mt r se der Radus des Umreses vo Dreec A'B'C' bezechet. Nach Sussatz glt B'C' r s( α ') P C M CP A'C' s( β ') M BP α β α C' γ γ β γ β A' β B'C' s( γ ') B. Nach Kostruto sd m Verec AC'PB' be C' ud be B' rechte Wel; damt lege C' ud B' auf dem Thalesres über der Strece AP. Also st AP Durchmesser des Umreses vo Dreec AC'B'; aus desem Dreec erhalte wr so mt Sussatz B'C' AP s( α) A'C' ; aalog BP s( β ) B'C' ud CP. s( γ ) Se u α α ' ud β β '. Da st mt Satz vo der Iewelsumme m Dreec auch γ γ ' ud es folgt mt Sussatz 0

11 B'C' AP : BP : CP s( α) A'C' : s( β ) B'C' : s( γ ) B'C' s( α ') A'C' : s( β ') B'C' : s( γ ') r : r : r. Isbesodere st AP BP CP, d.h. P st glechwet vo A, B ud C etfert ud damt Umresmttelput vo ABC.. Bewes: Nach Kostruto st PC'A AB'P 0 ; damt lege C' ud B' bede auf dem Thalesres über der Strece AP. Das Verec AC'PB' st also e Seheverec. Ferer lege P ud A verschedee Halbebee bzgl. der Gerade B'C'; etspreched lege P ud B bzw. P ud C verschedee Halbebee bzgl. A'C' bzw. A'B'. Heraus folgt, dass P auch m Ier vo A'B'C' legt. Da P m Ier vo ABC legt, tele de Strece PA, PB, PC de Wel α, β ud γ jewels zwe Telwel, de wr aoscher Wese mt α, α, β, β, γ, γ bezeche. Ebeso tele de Strece PA', PB', PC' de Wel α ', β ' ud γ ' jewels zwe Telwel auf. A' ud B lege auf dem gleche Kresboge über PC', ebeso lege A' ud C auf dem gleche Kresboge über PB'. Nach Umfagswelsatz habe damt de bede Telwel be A' de Wete β bzw. γ. " ": " ": We P der Umresmttelput vo ABC st, da st AP BP, also st das Dreec APB glechschelg ud somt α β ; mt aaloger Schlusswese st α γ. Also st α ' β + γ α + α α; mt aaloger Schlusswese folgt β ' β ud γ ' γ. We P cht Umresmttelput vo ABC st, ehme wr o.b.d.a. a, dass PB PA ud weter o.b.d.a. sogar PB < PA. Im Dreec APB legt der größere Sete der größere Wel gegeüber, es st also β > α. De Aahme α ' α ud β ' β führe wr u folgedermaße zum Wderspruch: Aus α ' α, also β + γ α + α, folgt mt β > α sofort γ < α, also PA < PC. Aus β ' β ud α ' α folgt γ ' γ, also auch α + β γ + γ, zusamme mt γ < α folgt β < γ, also PC < PB. Zusammegesetzt ergbt sch der Wderspruch PB < PA < PC < PB. 3. Bewes (mt Hlfsdreec; verürzt, da ege Lagebezehuge cht dsutert): De Gerade AP schedet de Umres vo ABC eem vo A verschedee Put; dese bezeche wr mt A ; C etspreched bezeche wr mt B ud C de vo B ud C B verschedee Schttpute vo BP ud CP mt dem Umres vo ABC. Nach Kostruto st der Umres vo ABC glechzetg Umres vo A B C. A B' A' Da das Verec PA'CB' be A' ud B' ee rechte Wel bestzt, P st der Thalesres über der Strece PC glechzetg Umres deses Verecs. Nach Umfagswelsatz (Sehe AC bzw. B'P) ud ach Kostruto (B' CA ud P CC ) gelte u folgede Idettäte: A C C' M B AA C ACC B'CP B'A'P. mt aaloger Schlusswese auch B A A B BA PBC' PA'C'; damt st α α '. Ebeso folgt β β '; damt sd de Dreece A'B'C' ud A B C glechsg ählch (uabhägg vo der Lage vo P!)..

12 Falls u α α ' ud auch β β ', so sd alle dre Dreece glechsg ählch. Da ABC ud A B C de gleche Umres habe, sd dese bede Dreece sogar glechsg ogruet, sbesodere sd A B ud AB Sehe glecher Läge am gleche Kres. Damt lege se achsesymmetrsch zur Mttelserechte der Strece AB (de detsch mt der Mttelserechte der Strece A B st); der Schttput der adere Verbdugsgerade der Edpute also P muss ebefalls auf deser Mttelserechte lege. Auch de Strece B C ud BC sd Sehe glecher Läge am gleche Kres, also legt P auch auf der Mttelserechte vo C B. Damt st P der Schttput der Mttelserechte zweer verschedeer, cht-paralleler Sehe ud somt otwedgerwese der Umresmttelput. Ist umgeehrt P der Umresmttelput, so st A'B'C' das Mttedreec vo ABC, dese bede Dreece sd beatlch ählch.

13 Aufgabe 4: Ee postve gaze Zahl heße zfferreduzert, we hrer Dezmaldarstellug höchstes eu verschedee Zffer voromme. (Dabe werde führede Nulle cht berücschtgt.) Es se M ee edlche Mege zfferreduzerter Zahle. Ma bewese, dass de Summe der Kehrwerte der Zahle aus M leer als 80 st. Gemesame Bezechuge: Mt Z se de Mege der postve gaze Zahle mt Stelle bezechet, also de Mege der postve gaze Zahle m Itervall [0 ;0 ]. Mt R se de Mege der zfferreduzerte Zahle mt Stelle ( ) bezechet. Schleßlch bezeche wr für ee Mege A vo postve gaze Zahle de Summe der Kehrwerte der Zahle aus A mt Σ(A).. Bewes: Wr zege zuächst, dass (A) Σ(R ) <,83 für alle,, 3,... : Es st R Z, also auch stets Σ(R ) Σ(Z ), also Σ(R ) Σ(Z ), , ,075 + ( ) ( ) + 0,5 + 0, , , , , 4,075 + <, ,7 + 0,055, Für > fasse wr Σ(Z ) de Kehrwerte vo gaze Zahle mt glecher Afagszffer zusamme ud erhalte so Telsumme mt jewels 0 Summade; jeder deser Telsumme ersetze wr jede Summade durch de jewels größte. Es ergbt sch Σ(R ) Σ(Z ) Nu zege wr, dass auch 0 j j 0 <,830. j (B) Σ(R ) < 00 0, für alle,, 3,... : Mt D ( 0,,,..., ) se de Mege der Zffer ohe de Zffer, also {0,,..., } \ {} bezechet; mt T de Mege der Tupel aus der Mege D. (Aus pratsche Grüde wrd her auf de egetlch otwedge Agabe des Parameters verzchtet.) Jede zfferreduzerte Zahl mt Stelle a als e solches Tupel aus mdestes eem der T aufgefasst werde. Nach beater Formel st T ud somt R T 0. j 0 I R st ee Zahl leer als 0, also st Σ(R ) e Summad größer als a also (sehr grob!) abschätze: Σ(R ) R m( R ) ,. 0. Ma Mt dese bede Abschätzuge (de erste verwede wr für Zahle mt höchste s Stelle, de zwete für Zahle mt mehr als s Stelle) öe wr u de egetlche Bewes formulere: De größte Zahl aus M habe cht mehr als r Zffer, es st da für jedes s < r uter Verwedug der Summeformel für de geometrsche Rehe r Σ Σ(M) ( R ) ( R ) + ( R ),83 s , s Σ r Σ s+ r s+ 3

14 s+,83 s , 0,,83 s , 0 s+ 0,,83 s , s. Für z.b. s 3 st deser Wert tatsächlch leer als 80, was ma lecht achrechet: Σ(M), , 3 0, ,8 6 < 0, ,7 8 < 0, ,5 4 0, ,065 0, ,5 46,8 < 80. Bemeruge: Dese Abschätzug der obere Schrae st recht grob, ee Berechug mt Tascherecher macht für s 3 de Abschätzug Σ(M),464 glaubhaft; für s 33 sogar de schärfere Abschätzug Σ(M),03. Numersche Berechuge mache sogar 65,7433 < sup(σ(m)) < 65,7433 glaubhaft. De Abschätzug (A) a verschärft werde zu (ma deute de Telsumme der harmosche Rehe als Utersumme be der Berechug vo dx ) x (A*) Σ(R ) < l(0) + 0 ( ) 0, also Σ(R ) <,83; Σ(R) <,5; Σ(R ) <,4 für 3. Hermt erhält ma schärfere Abschätzuge für Σ(M), de her cht ausgeführt werde. Zu bedee st herbe, dass de obe verwedete Abschätzug vo l(0) cht efach eer Tabelle etomme werde a (vgl. Telahmebedguge). Zur Abschätzug (B) vo Σ(R ) ud dere Verwedug m Bewes gbt es folgede Varate: Varate (mt Formel vo Sylvester): Es st (B*) Σ(R ) < 0 0, für 7: A x bezeche de Mege der gaze Zahle aus R, dere Dezmaldarstellug de Zffer x cht vorommt; mt deser Bezechug st R A 0 A... A 8 A. (Aus pratsche Grüde wurde be deser Beschrebug auf de egetlch ötge Aufahme ees Idex verzchtet.) Aalog se de Mege der gaze Zahle aus R, dere Dezmaldarstellug weder de Zffer x och y och... och z vorommt, mt A x, y,..., z bezechet (x, y,..., z {0,,,..., }, x < y <... < z.). Es st da A x, y,..., z A x A y... A z. (Ma beachte, dass her.a. ee Zerlegug vo A x, y,..., z vorlegt!) Nach der Formel vo Sylvester st (de Idces ehme dabe Werte aus {0,,..., } a, vor dem letzte Glechhetszeche wurde der letzte Summad weggelasse, da A 0 A... A ): R A A A A j + A A j A m... + A A j... A m < j + ( ) xy,,..., z x< y<... < z < j< m A (*) < j<... < m Zu eer gegebee Auswahl vo Zffer x < y <... < z bestmme wr u A x, y,..., z. Be der Berechug uterschede wr zwe Fälle: Fall : x 0, d.h. es gbt Zahle A x, y,...,z, dee de 0 vorommt. Da stelle de tupel, dere Stelle mt eer der vo x, y,..., z verschedee Zffer besetzt sd ud dere erste Stelle vo 0 verschede st, e-edeutger Wese de Zahle vo A x, y,..., z dar. Da es (0 ) solche Zffer gbt, st ach beater ombatorscher Formel A x, y,..., z (0 ) (0 ) ( ) (0 ). 4

15 Es gbt ( ) solche Zfferombatoe aus Zffer x < y <...< z mt x 0. Fall : x 0, d.h. de Zffer 0 ommt eer der Zahle vo A x, y,...,z vor. Da st jedem tupel, desse Stelle mt eer der vo x, y,..., z verschedee Zffer besetzt st, de erste Stelle vo 0 verschede; dese tupel stelle also e-edeutger Wese de Zahle aus A x, y,..., z dar. Da es (0 ) solche Zffer gbt, st ach beater ombatorscher Formel A x, y,..., z (0 ). Es gbt ( ) Heraus erhalte wr solche Zfferombatoe aus Zffer x < y <...< z mt x 0. A x, y,..., z ( )(( 0 ) ( 0 ) ) + ( )( 0 ) x< y<... < z ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( )( ) + ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0!( 0 )!( 0 ) ( 0 )!( 0 )!!( )! ( 0 ) 0!( 0 )!( 0 )!( 0 )! ( 0 )!!( 0 )( )! ( ) ( ) 0. ( 0 ) 0!!!( 0 )! Dese Werte setze wr u (*) e ud erhalte (weter ute wrd och ( ) ( ) beützt): ( + ) A z ( ) ( 0 ) ( ) xy,,..., z + R ( ) x, y,..., ( ) ( ) < + für geüged große, z.b. 7. (Nur der. Summad der große Klammer a egatv werde; für 7 st er postv; damt st der Ihalt der Klammer scher postv.) Es gbt 0 gaze Zahle mt Stelle; davo hat 0 de größte Kehrwert. Ma a also abschätze: Σ(R ) R m( R ) , 0 0, für alle 7. Des verwede wr eer zum. Bewes aaloge Schlusswese ud erhalte für s 3 6: Σ(M),83 s + 0 0,,83 s , s+,83 s , s s+ <, ,065 0, ,65 4,85 < 80. Bemerug: Mt Hlfe ees Rechers wrd für s 3 de Abschätzug Σ(M) glaubhaft. 5

16 Varate : Es st (B**) Σ(R ) < 8,3 0, : Wr utersuche de postve gaze Zahle mt Stelle ud Afagszffer z: Jeder der zfferreduzerte Zahle deser Mege fehlt ee Zffer z* {0,,,...,} \ {z}; zu jeder Zffer z* gbt es jewels solche Zahle. Isgesamt gbt es also uter de stellge Zahle mt Afagszffer z cht mehr als zfferreduzerte Zahle. I der Summe der Kehrwerte deser Zahle ersetze wr jede Summade durch de größte, also durch ; der Wert der Summe deser Kehrwerte st also höchstes z 0 z 0 0, z 0 0,. Damt st z Σ(R ) 0 0, 0 0,,83 8,3 0,. z z Des verwede wr eer zum. Bewes aaloge Schlusswese ud erhalte so für s 0 Σ(M),83 s + 8, 3 0,,83 s + 8,3 0 0, s+,83 (s , s+ ) s+,83 ( , ),83 ( ,7 7 ) <,83 ( ( 3 4 )7 ),83 ( ),83 ( ),83 (0 + 5) ,05 < 80. Bemerug: De Verwedug ees Rechers macht für s 0 de Abschätzug Σ(M) 87,566 glaubhaft; für s sogar schärfer Σ(M) 87,300.). Bewes: Wr bezeche mt A(z) de Mege aller postve gaze Zahle, dee de Zffer z cht vorommt, mt A(z,) de Mege der Zahle aus A(z) mt Stelle. Jede Zahl m A(z, +) etsteht aus eer Zahl m* A(z,) durch Ahäge eer Zffer, de vo z verschede st; d.h. es st m 0 m* + y mt y {0,,...,}, y z. Da st Σ(A(z,+)) a A( z, + ) a a * A( z, ) y 0 0 a * + y y z 0 y z a * A( z, ) y 0 a * a* A( z, ) 0 a * 0, Σ(A(z,)). Mt vollstädger Iduto ud mt der Formel für de geometrsche Rehe (es st 0, 0) erhält ma 0, 0 Σ(A(z)) Σ(A(z,)) + Σ(A(z,)) + Σ(A(z,3)) +... Σ(A(z,)) [ +0, + 0, +...] Efaches Nachreche zegt, dass S : Σ(A(0,)) 0 Σ(A(z,)) Weter folgt aus de Deftoe umttelbar Σ(A(z,)) S z (z {,,..., }. 6

17 Nu schätze wr Σ(M) ab: Da M A(0) A()... A(0), st eer erste Uglechug Σ(M) Σ(A(0)) + Σ(A()) + Σ(A()) Σ(A()). Her sd de Kehrwerte der estellge Zahle, also Σ(Z ), Mal gezählt, also 8 Mal zuvel; de Kehrwerte der zwestellge Zahle, also Σ(Z ), sd mdestes 8 Mal gezählt, also 7 Mal zu vel,..., de 8stellge Zahle sd mdestes zwe Mal gezählt, also Mal zuvel. Wr öe also etwas schärfer abschätze : z 0 8 Σ(M) Σ( A ( z)) ( ) Σ( Z ) I desem Ausdruc st Z Σ(A(0,)) S; ferer für Σ(Z ) > > S 0. Der Rest st Rechearbet: z 0 8 Σ(M) Σ( A ( z)) ( ) Σ( Z ) < 0 [ S + (S ) + (S 3 ) (S )] 8 S 7 (S 0 ) 6 ( S 0 )... (S 7 0 ) 0 S 0( ) ( ) S + ( ) + ( ) S 0 (S ) 36 S , S ,76543 * , ,76543 < ,76543 < , ,76543 < 80. Bemeruge: Dese Aufgabe st eg verbude mt de zeh Kemper-Rehe, dese etstehe aus der harmosche Rehe durch Etfere aller Summade, dere Kehrwert ee bestmmte Zffer z cht ethalte. Im. Bewes sd se mt Σ(A(z)) bezechet, dort st auch dere Kovergez gezegt. (Quelle: vele Lexa, z.b. oder Balle, R. "Sums of Recprocals of Itegers mssg a Gve dgt." Amer.Math.Mothly 86, , 7.) 7