2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

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1 udeswettbewerb Mathemat Wsseschaftszetrum Postfach o Fo: Fax: e-mal: fo@budeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsso Karl Fegert ufgabe ud Lösuge. Rude 004 Über Kommetare ud Ergäzuge zu dese freue wr us! schrft oder Emal dresse s.o. Stad: Otober 004

2 WM 004 II ufgabe : Es se ee postve gaze Zahl. Ee atürlche Zahl heße typsch, we jeder hrer Teler be vso durch de Rest lässt. Ma bewese: a) We de zahl der Teler eer postve gaze Zahl (eschleßlch ud ) typsch st, da st de te Potez eer gaze Zahl. b) e Umehrug der ussage a) st falsch, we größer als st. ewes zu a): e betrachtete postve gaze Zahl habe de Prmfatorzerlegug (m Wetere mt PFZ bezechet) ; de zahl der Teler vo se mt d() bezechet. a p Jeder Teler vo lässt sch wege der Edeutget der PFZ geau eer rt als Telprodut deser PFZ darstelle, d.h. de Mege der Teler vo besteht aus geau de Zahle der Form t p t mt t {0,,..., a }. Mt efacher Kombator letet ma ab, dass d() ( a + ). Heraus eret ma u.a. sofort, dass sbesodere jedes der (a +) e Teler vo d() st. Falls d() u typsch st, lässt jeder Teler vo d() be vso durch de Rest. es glt sbesodere für jedes der (a +), also lässt jedes der a de Rest 0; damt st jedes der a e cht egatves Velfaches vo. Es gbt also cht egatve gaze Zahle b, sodass p a b p b ( p ) b. lso st de te Potez der gaze Zahl p. ewes zu b): Zum Nachwes geügt es, zu jedem > ee Zahl azugebe, de te Potez eer gaze Zahl st ud dere zahl vo Teler cht typsch st; d.h. mdestes ee Teler bestzt, der be vso durch ee Rest verschede vo lässt. E möglches espel st de gaze Zahl : 5 ( ) (5 ( ) ). Es st da de te Potez der Zahl 5 ( ) ; dese st wege > gaz. a 5 ee Prmzahl st, st 5 ( ) de Prmfatorzerlegug vo, also st d() ( )+ + ( ). amt hat d() de Teler ( ); deser lässt be vso durch de Rest, deser Rest st wege > verschede vo. emeruge: I der PFZ vo habe alle a de Wert 0. e Zahl st also der rgumetato zu Telaufgabe a) ethalte. I der rgumetato zu b) a de Zahl 5 durch jede adere Prmzahl ersetzt werde. Ee Zahl der Form p a a da als Gegebespel für de ewes zu b) verwedet werde, we a+ für alle > ee Teler hat, der be vso durch ee Rest verschede vo lässt. Für alle > st e solcher Teler. a (a+):( ) (a a+a+):( ) a + (a+):( ), st für de Exstez ees solche Telers hreched, dass a de edgug a+ m( ) mt gazzahlgem m erfüllt, z.. a {( ), ( 3), (3 4),... }. Für st de Umehrug der ussage a) rchtg: Se de te Potez eer gaze Zahl, also ee uadratzahl. a st gazzahlg ud ezger Teler vo, der detsch mt seem Komplemetärteler st. lso st d() ugerade ud damt auch alle Teler vo d(); dese lasse also be vso durch de Rest.

3 WM 004 II ufgabe : Es se ee postve gaze Zahl. I eem Kres mt Radus see edlch vele Sehe gezoge. Jeder urchmesser habe mt höchstes deser Sehe gemesame Pute. Ma bewese, dass de Summe der Läge aller deser Sehe leer als π st. Vorbemerug: e ussage blebt gültg, we ma sch auf ere Pute der Sehe beschrät. Gemesame ezechuge: e Gesamtzahl der Sehe se mt bezechet; de Sehe selbst belebger Rehefolge mt s, s,..., s. Wel see m ogemaß agegebe. a der Kres de Radus hat, a ma de Mttelputswel ud de Läge des zugehörge oges detfzere. Gelegetlch detfzere wr auch de ezechug ees Objetes we öge, Strece oder Wel mt dere Läge bzw. Wete.. ewes: Wr zeche durch de fags ud de Edput jeder Sehe je ee urchmesser; d 8 ee belebge davo bezeche wr mt d, de d 6 d 7 restlche so mt d, d 3,..., d, dass d be eer rehug d 5 s gege de Uhrzegers der Rehe ach d,..., d überstrecht. e Wel zwsche d ud d + bezeche d 3 d 4 wr mt ϕ. (Evtl. sd mache der d detsch mt d +, da st ϕ 0. I.. st vo de bede Edpute ees ϕ ϕ 7 ϕ 5 solche urchmessers ur eer auch Edput eer 8 ϕ 4 Sehe. We be solche ufgabe üblch, werde + mt ϕ t 83 t 73 t 3 detfzert.) s 4 a d ach eer Halbdrehug de Kresfläche vollstädg überstrche hat, hat er auch sämtlche betrachtete urchmesser d (, 3,...,) überstrche. a er ach t 53 s d d der Halbdrehug zusätzlch see ursprüglche Lage emmt, st ϕ π. s 3 e Paare vo urchmesser mt aufeader folgede Idces zerlege de Kres oppelsetore (d d + ) (,,..., ). Sehe, de ee urchmesser sd, werde durch dese oppelsetore Telabschtte zerlegt. e Läge des durch de Setor (d d + ) auf der Sehe s m bestmmte Telabschtts se mt t m bezechet; we deser Setor mt s m ee Pute oder höchstes Radpute der Sehe gemesam hat, se t m 0. Es st also s m tm. Wr werde de Läge der Sehe s m über de zugehörge Mttelputswel abschätze, deswege setze wr ϕ m ϕ, falls der Setor (d d + ) ere Pute der Sehe ethält, ud ϕ m 0, falls der Setor (d d + ) ee oder ur Radpute der Sehe ethält. amt hat der zur Sehe s m gehörede Mttelputswel de Wete s m t < m ϕm (). ϕ m. a jeder oge läger als de zugehörge Sehe st, glt Für Sehe s m, de urchmesser sd, gbt es dese Telabschtte aaloger Wese: Es gbt zwe Telabschtte vom Kresrad zum Mttelput, dere Läge jewels st (dese sd aber cht so efach durch de Idces zu defere we obe) ud.. mehrere Telabschtte der Läge 0 m Mttelput der Sehe, evtl. Telabschtte der Läge 0 am Rad der Sehe. Wr öe also zwe verschedee Idces p ud q wähle, so dass t pm t qm ud t m 0 für alle adere Idces. Zur bschätzug be der ddto setze wr we obe ϕ m ϕ für alle,,..., (de Sehe s m hat m betrachtete Fall mt jedem urchmesser gemesame Pute!); de Glechug () glt da wege s m tm < π ϕm etspreched. 3

4 WM 004 II Nach Voraussetzug hat jeder urchmesser (her werde alle urchmesser, cht ur de d betrachtet!) mt höchstes Sehe gemesame Pute. a ach Kostruto alle urchmesser, de durch das Iere ees Setors gehe, mt de gleche Sehe gemesame Pute habe, gbt es für jedes höchstes verschedee Werte m {,,..., }, für de ϕ m > 0; damt st ϕm ϕ für alle. Zusamme mt eer Umstellug der Summade ergbt sch de verlagte Uglechug m m m m m m m m s t < ϕ ϕ ϕ π. m. ewes (egetlch ur ee Umformulerug des. eweses): Jede Sehe s bestmmt durch hre Edpute auf der Kresle zwe öge, vo dee eer cht läger als der halbe Kresumfag st. Wr spegel dese oge (bzw. be glechlage ee belebge der bede) am Kresmttelput ud ee jede deser übrges bs auf evtl. Radpute dsjute öge Seheboge zur Sehe s. Offeschtlch hat e urchmesser geau da mt eer Sehe ee Put gemesam, we er mt de zugehörge Seheböge gemesame Pute hat. statt der Gesamtläge aller Sehe betrachte wr de Gesamtläge aller Seheböge; da jede Sehe ürzer st als jeder der bede zugehörge Seheböge, geügt es zu zege, dass de Gesamtläge aller Seheböge cht größer als π st. Zu jeder Sehe marere wr alle Pute auf de bede zugehörge Seheböge mt eer Farbe, wobe wr für verschedee Sehe verschedee Farbe verwede. Im llgemee werde vele Pute mehrere Farbmareruge habe; es gbt aber ee Put, der mehr als Farbmareruge hat, wel aderfalls m Wderspruch zur Voraussetzug der urchmesser durch ee solche Put mt mehr als Sehe gemesame Pute hätte. a wr ur edlch vele Sehe habe, utertele hre Edpute de Kresle ud damt auch jede Seheboge edlch vele bschtte, de hrersets m Ier ee Edpute vo Sehe ethalte; dese bschtte ee wr Elemetarböge. Im Ier jedes Elemetarboges st jeder Put mt der gleche Farbombato marert. a sch de Elemetarböge cht überlappe, st hre Gesamtläge cht läger als der Kresboge, also cht läger als π. e Läge jedes Seheboges a als Summe der Läge seer Elemetarböge ausgedrüct werde. I der Summe der Läge aller Seheböge taucht da jeder Elemetarboge so oft auf, we de zahl der Farbmareruge der Pute m Ier agbt, also höchstes mal. amt st de Gesamtläge aller Seheböge cht größer als π. Varate (abstrate Formulerug des. eweses): Mt d α (0 α < π) se derjege urchmesser bezechet, der mt eem belebg ausgewählte urchmesser de postv oreterte Wel α eschleßt. Ferer defere wr f (α) als Futo, de de Werte bzw. 0 ammt, je achdem ob d α mt der Sehe s gemesame Pute hat oder cht. a e urchmesser mt mehr als Sehe gemesame Pute hat, st f ( α) f. alle α [0,π]. urch de Edpute jeder Sehe s sd auf dem Kres zwe öge defert, vo dee wr de ürzere bzw., falls s e urchmesser st, ee belebge der bede glechlage mt b π bezeche. Mt Hlfe der Futoe f öe wr dere Läge ausdrüce durch b f ( α) dα. a jede Sehe ürzer st als der zugehörge oge b st, öe wr abschätze ud erhalte we gewüscht 0 s < b f ( α) dα π f ( α) 0 π 0 dα π dα π. 0 4

5 WM 004 II ufgabe 3: Gegebe see zwe Krese ud, de sch de bede verschedee Pute ud schede. e Tagete a m Put schede außer eem Put C ; etspreched schede de Tagete a m Put de Kres eem wetere Put C. e Gerade (C C ) schleßlch schede eem vo C ud verschedee Put. Ma bewese, dass de Gerade () de Sehe C halbert.. ewes (Umfagswelsatz, vgl. Fgur): e Gerade () schedet de Kres eem Put, de wr E ee. Es st da C C E C E C E (E legt auf ) C (Umfagswel über Sehe C ) (Seh.(!) Tag.(C!) Wel a ) E (E legt auf der Gerade () ); damt st C E. Mt de gleche rgumete schleße wr: E E C 80 C C EC. amt st E C. lso st Verec C E e Parallelogramm; beatlch halbere sch jedem Parallelogramm de agoale, sbesodere halbert () (E) de Strece C. susso der Lagebezehuge: Falls E, d.h. Tagete a, so glt de rgumetato etspreched, wobe de erste bede Glechhetszeche zusammegefasst ud der Sehe Tagete Satz als egrüdug geomme werde müsse. (eser Fall ommt allerdgs e vor.) e rgumetato a be adere als der Szze dargestellte Lagebezehuge zwsche de Pute,, C, C ud überomme werde, allerdgs müsse da mache Umfagswel durch hre Nebewel ersetzt werde. e Gesamthet aller möglche relatve Lage be festem ud festem erhält ma z.. dadurch, dass ma M auf der Mttelserechte vo bewegt. abe dreht sch de Tagete a um de Put ud mmt mt usahme vo () jede möglche Lage e; etspreched mmt C jede möglche Lage auf mt usahme des Putes e. amt hat ma folgede ver Lage: We C der gleche Halbebee bez. we M legt, da a auf eem der dre öge C (Fall ), C (Fall ) oder (Fall 3) lege; gemet st jewels derjege oge, der cht de verte Put ethält. We C derjege Halbebee bez. legt, de M cht ethält, da legt mmer auf dem oge (Fall 4). er letzte Fall behaltet auch de Fall, dass M auf legt. C C C C M M M M E Fall Fall 5

6 WM 004 II C C M M M M C E C E Fall 3 Fall 4. ewes: (ählche reece, Strahlesatz) e ufgabestellug st symmetrsch ud ; d.h. es a auch behauptet werde, dass de Gerade durch ud de zwete Schttput vo C C mt de Strece C halbert. Wr bezeche de zwete Schttput vo C C mt C mt, ferer beee wr de Put um. C Schleßlch see der Schttput vo mt C mt M, der Schttput vo mt C mt M bezechet. M M Zuächst zege wr de Ählchet der reece, C ud C. Es st ämlch: C (Ie- ud ußewel a gegeüberlegede Ece m Seheverec C ) ud C C (Tagete- bzw. Sehewel a der Sehe m Kres ); aalog st (ma vertausche de Idces ud ud ehre de rehs um) C C ; de reece stmme also zwe Wel übere. Nach dem bsher Gesagte st sbesodere C C. Nu st aber auch M M (Schetelwel); damt glt C M M C ; d.h. C M + M M + M. Heraus folgt sofort C M M ; amt sd cht ur de reece C ud C ählch, soder auch C M ud M ; d.h. auch de aus de je ver Pute bestehede Fgure C M ud C M sd ählch. amt erhalte wr de Verhältsglechuge M : M C : (*) ud CM : C M : C. (**). us der Glechug (*) folgt zusamme mt dem gleche Wel be, dass de reece C ud M M ebefalls ählch sd; damt glt : M : M C : : C. us dem erste Glechhetszeche folgt mt Strahlesatz (Zetrum ), dass M M, also C C M M. Heraus folgt mt dem Strahlesatz (Zetrum ) M : C M : C (***). Schleßlch setze wr (**) ud (***) zusamme ud erhalte CM : C M : C ; also we gewüscht CM M. e rgumetato a we m. ewes be adere Lagebezehuge zwsche de Pute,, C, C ud überomme werde, allerdgs müsse da mache Umfagswel durch hre Nebewel, mache Summe durch ffereze ersetzt werde. 6

7 WM 004 II 3. ewes (Iverso am Kres): Folgede Egeschafte der Kresspegelug a eem Kres um mt Radus r werde als beat vorausgesetzt: () as ld ees Putes st derjege Put ' auf der Halbgerade (, für de ' r. () Jede Gerade durch de Mttelput des Iversosreses st Fxgerade. (3) as ld eer Gerade, de cht durch geht, st e Kres, der ethält. (4) as ld ees Kreses durch st ee Gerade. C Wr bezeche de Mttelput der Strece C mt C ud vertere de Gesamtfgur am Kres um mt Radus. as ld ees Objetes X be deser bbldug se mt X' bezechet. e Krese ud werde ach (3) Gerade durch überführt. e Tagete a ud m Put werde als Gerade durch ach () sch selbst überführt; da se mt bzw. ee wetere Schttpute außer bestze, sd de lder der Krese parallel zur jewelge Tagete. a ud C verschedee Pute auf sd, st also 'C ' C ' ud aalog 'C ' C '; damt st das Verec C ''C ' e Parallelogramm. a, st ' ( )' (C ''). Schleßlch st C ; ach () wrd also C dejege Put auf C überführt, der zwsche ud C legt ud der halbert. Wäre (C C ), so wäre (C C ) etweder Tagete a oder, also C oder C m Wderspruch zur ufgabestellug. a zusätzlch (C C ), st das ld der Gerade (C C ) ach (3) e Kres, der de Pute, C ', C ' ud ' ethält; desem Kres sd C ' ud C '' parallele Sehe; hre Mttelserechte also detsch. e Spegelug a deser Mttelserechte bldet also C ' auf ' ud auf C ' ab. Nu verüpfe wr dese Spegelug mt der Spegelug a der Mttelserechte der Strece ''. a C ', C C ' ud ' alle auf der Gerade ( )' lege, sd de bede Mttelserechte parallel, de Verüpfug st ' ' also ee Parallelverschebug um de Vetor C''. C ' a zusätzlch C ''C ' e Parallelogramm, also C ' C'' C ' st, bldet dese Verüpfug auch auf ' C ' ab. a aber berets de Spegelug a der Mttelserechte der Strece C '' de Put auf C ' überführt, führt de Spegelug a der adere Mttelserechte C ' sch selbst über, d.h. dese Mttelserechte geht durch C '. Wel C ' ' ud C ' '', folgt heraus, dass de Mttelserechte vo mt der Mttelserechte vo '' zusammefällt. Heraus öe wr wederum schleße, dass es ee Kres gbt, der außer de Pute, ' ud ' auch de Put ethält. as Urbld deses Kreses das st de Gerade () ethält also auch das Urbld des Putes ; des st da auf dem Iversosres legt der Put selbst. emerug: eser ewes ommt ohe ee etrachtug vo Lagebezehuge aus. 7

8 WM 004 II ufgabe 4: Ma bewese, dass es uedlch vele Paare (x,y) verschedeer postver ratoaler Zahle gbt, für de sowohl x + y als auch 3 x + y ratoal st. 3 Gemesame Vorbemerug: E Paar (x,y), das de geforderte edguge der ufgabe erfüllt, ee wr zulässg. E Paar (u,v) ud ee Put (u v) m chsereuz ee wr ratoal, we bede Elemete bzw. bede Koordate ratoal sd.. ewes (explzte gabe eer Folge, ach Telehmer ael Guteust): Wr defere de bede Folge (x ) ud (y ) über x : 4 4 ( 8 0 ) ud y : x mt,, 3,.... a sd de x ud y für alle offeschtlch verschede, ratoal (sogar gazzahlg!) ud postv. ußerdem sd bede Folge offeschtlch streg mooto steged; damt erhält ma (x,y ) (x m,y m ) m ; d.h. de uedlch vele Paare (x,y ) sd alle verschede. Schleßlch sd x 3 + y x + ( x ) 3 x ( + ( 6 6 ( 4 4 ( 8 0 )))) x ( ) x ( 9 0 ) ud x 3 + y x 3 + ( x ) x (x ) x ( 4 4 ( 8 0 ) ) x ( 4 ) x ( 6 7 ) bedes uadrate vo Zahle, de für gazes x ud gazes offeschtlch ratoal (sogar gazzahlg!) sd. amt sd de uadratwurzel der betrachtete usdrüce ebefalls ratoal; also sd alle Paare (x,y ) zulässg. Varate: e Folge x : 4( + 4 ) ud y : 4( 4 + ) 3 x führe für alle, 3, 4,... ebefalls zu uedlch vele verschedee zulässge Paare (x,y ).. ewes: Wr wese de Exstez uedlch veler zulässger Paare (x,y) mt x < y ach. Zu jedem Paar (x,y) verschedeer postver ratoaler Zahle gbt es da geau e ratoales > mt y x; umgeehrt führt auch jedes Paar postver ratoaler Zahle (x,) mt > über y : x zu eem Paar verschedeer postver ratoaler Zahle (x,y) mt y > x. Es st da x + y 3 x + 3 x 3 x ( + 3 x) (xu) ud x 3 + y x 3 + x x (x + ) (xv) mt geegete postve reelle Zahle u ud v; dabe st + 3 x u () ud x + v (). Offeschtlch sd be vorgegebeem ud x de Zahle u ud v bede edeutg bestmmt; ferer sd u ud v geau da ratoal, we das Paar (x,y) zulässg st. Für (u,v) ergbt sch aus () ud () ach Multplato vo () mt 3 0 ud Subtrato de otwedge edgug + 3 x 3 x 5 u 3 v u oder äquvalet v + (C 3 ). Umgeehrt führt be fest gewähltem > jede ratoale Lösug (u,v) der Glechug (C ) mt v > über de efto x : v zu eer Lösug x sowohl vo () als auch vo (): e efto vo x st äquvalet zur Glechug () ud Esetze vo x () ergbt de zu (C ) äquvalete Glechug + 3 (v ) u. Ferer führe be fest gewähltem > verschedee v Werte zu verschedee x Werte ud damt zu verschedee Paare (x,y). Es geügt also, für mdestes e > uedlch vele ratoale Lösuge (u,v) mt v > für de Glechug (C ) achzuwese. es a auf verschedee rte geschehe: Varate : Wr führe de Nachwes für. Herzu forme wr (C ) äquvalet um zu u 3 v 5, also zu u 8v 3 (C ). ese Glechug hat de Form eer allgemee Pell'sche Glechug, sodass wr das allgemee Lösugsverfahre ud de ewes für desse Rchtget her mt spezelle Werte überehme öe. 8

9 WM 004 II e Paare (u v ) (,, 3,... ) see reursv defert durch u 0, v 0 ud u + 3u +8v, v + u +3v für >. Mt vollstädger Iduto st schell gezegt, dass alle so bestmmte (u,v ) Lösuge vo (C ) sd: Wege 8 3 st (u 0,v 0 ) (,) ee Lösug vo (C ); ud we (u,v ) ee Lösug vo (C ) st, d.h. we (u 8v ) 3 glt, da st 3 ( 3) (u 8 v ) (3 8) 3 u 8 u 8 3 v v 3 u + 8 v 8 (u + 3 v ) 3 u u v + 8 v 8 (u + 3 u v + 3 v ) (3u + 8v ) 8 (u + 3v ) u + 8v +, also auch (u +,v + ) ee Lösug vo (C ). us der Reursosformel st sofort eschtg, dass de Folge der u ud der v streg mooto steged sd; wege v 7 > st für damt auch de edgug v > erfüllt; da u 0 ud v 0 bede ratoal sd ud de Reurso lear mt ratoale Koeffzete st, erhalte wr also uedlch vele verschedee ratoale Lösuge (u,v) mt v >. emerug: eser Lösugsasatz lefert sogar uedlch vele verschedee gazzahlge Lösuge. uelle: z.. oder adere Sete, de ma m Iteret (Suchbegrff "Pell Equato") fdet. ort lautet der her verwedete Satz: HS: Ist (u,v) ee gazzahlge Lösug vo u v E (mt, E ) ud (r,s) ee gazzahlge Lösug der "Ehetsglechug" u v, so st auch ((ur + vs),(us + vr)) ee gazzahlge Lösug vo u v E. emeruge: Wege x v 4 ud y x ( ) sd auch de aus de (u,v ) resulterede zulässge Paare (x,y ) gazzahlg. Ma erhält (45, 90), (596, 39), (5485, 08570), (84460, ),.... Verwedet ma zusätzlch de aus der efto folgede Idettäte x v 4 (u )/8, also u 8x + ud v x + 4, so st x + v + 4 (u +3v ) 4 u + 6u v + 9v 4 8x ( 8x + )( x + 4) + 9(x +4) 4 7x +6 ( 8x + )( x + 4) +33. amt a ee Reursosformel für gazzahlge zulässge Paare (x,y) dret agegebe werde: Varate (ohe drete ewes): e reursv deferte Folge x 0 0, x + 7x +6 ( 8x + )( x + 4) +33 ud y x für, ergbt für alle,,... zulässge Paare (x,y ). u Varate 3 (reer Exstezachwes): urch de Glechug (C ) st de Relato {(u v) v + } 3 mt dem Graphe G gegebe; jede Lösug (u,v) vo C etsprcht da eem Put (u v) auf G ; es geügt also, uedlch vele ratoale Pute (u v) mt v > auf G achzuwese. Mt Schulmttel öe wr aus der Glechug (C ) ablese: G st ee Rchtug v chse geöffete Hyperbel mt de Schetel (0 ± ) (de Wurzel st wege > stets defert!) ud de 3 symptote v ± 3/ u; ferer ethält G de Pute ( ± ± ) ud der m. uadrate legede st st überall ls gerümmt mt eer Stegug, de stets leer als 3/ st. Nu betrachte wr alle Gerade durch ( ) mt ratoaler Stegug m > 3/, also alle Gerade, de steler als de symptote m. uadrate sd. us de Egeschafte vo G st sofort erebar, dass jede deser Gerade de Graphe G m. uadrate eem Put (u v) mt u > ud v > schedet, ud zwar für verschedee m verschedee Pute. (ese ussage glt übrges für alle >!) 9

10 WM 004 II v 3/ u v ( ) v (u -)/ 3 ) + er u Wert deser Schttpute berechet sch abhägg vo m aus der Glechug u ( + m( u )) +. We (,m) ratoal 3 st, st des ee quadratsche Glechug für u mt ratoale Koeffzete, dere ee Lösug u, also ratoal st. eatlch st de zwete Lösug da ebefalls ratoal; da ferer de Geradeglechug ratoale Koeffzete hat, st da auch der v Wert des Schttputes ratoal. amt habe wr sogar für jedes belebge ratoale > uedlch vele ratoale Pute (u v) auf dem Graphe G mt u > achgewese. emeruge: Für jedes > ud jedes m> -3/ lasse sch de Koordate des Schttputes der Gerade mt G oret bereche ud heraus e zulässges Paar [x,y] [x(,m),y(,m)] bestmme. e her etstehede Formel für x(,m) wrd m 3. ewes verwedet. Umgeehrt gbt es zu jedem zulässge Paar (x,y) e etsprechedes Paar (,m). erechet ma also für alle ratoale > ud alle ratoale Steguge m> -3/ jewels de Koordate der zwete Schttpute, so erhält ma de Gesamtmege aller zulässge Paare (x,y) mt x<y. a de ufgabestellug symmetrsch x ud y st, führt e Vertausche vo x ud y zur Gesamtmege aller zulässge Paare (x,y) ohe jede wetere Eschräug. statt des Pute ( ) hätte wr auch de Put ( ) oder jede adere ratoale Put als gemesame Put der Geradeschar wähle öe. er Grud für de Wahl des Putes ( ) war, dass da der Parameter m aus eem Itervall gewählt werde a, das ur esetg beschrät st. 4 4m ( + m)( m+ ) 3. ewes: e efto x : x(,m) ud y : x führt für jedes ratoale Paar 3 ( m ) (,m) mt > ud m > 3/ zu eem zulässge Paar (x,y): Es st ämlch mt (,m) offeschtlch auch (x,y) ratoal; mt > > 0 ud m > 3/ > 0 st der Neer verschede vo Null ud es sd auch x > 0 ud y > 0; ferer st wege > auch x y. Schleßlch bestätgt Nachreche, dass sowohl x + y 3 x + 3 x 3 x ( + 3 x) 4 4 4m ( + m)( m+ ) 3 4m ( + m)( m+ ) ( m ) ( m ) m ( + m) ( m+ ) (( m ) + 4m( + m)( m+ ) ) 3 6 ( m ) m ( + m) ( m+ ) ( m m m + 4 m+ 4 m + 4 m ) 3 6 ( m ) m ( + m) ( m+ ) ( m+ m + ) 3 6 ( m ) als auch x 3 + y x (x + ) 4 4 4m ( + m)( m+ ) 4m ( + m)( m+ ) ( m ) ( m ) m ( + m) ( m+ ) ( 4m( + m)( m+ ) + ( m ) ) 3 6 ( m ) 4 m ( + m) ( m+ ) 4 m + 4m+ 4 m + 4m + m m ( m ) m ( + m) ( m+ ) ( m + + m) 3 6 ( m ) u ( ) das Produt vo uadrate vo Zahle st, de für ratoales ud m ebefalls ratoal sd. amt sd jewels de uadratwurzel der betrachtete usdrüce auch ratoal; jedes Paar (x,y ) st also zulässg. 0

11 WM 004 II ls Letztes zege wr och, dass de efto zu uedlch vele verschedee Paare (x,y ) führt: Herzu setze wr z.. m, 3, 4,...; da st stets m > 3/ ud de efto vo x verefacht 5 8 ( + ) sch zu x x() ; des st ee Folge vo postve Zahle mt Grezwert 0 (m Neer 5 ( ) ommt höherer Potez vor als m Zähler!), für geüged große also streg mooto falled. emeruge: e Motvato für dese Formel ergebe sch aus de rgumete der Varate 3 des. eweses. Glechzetg wrd lar, dass de Gesamthet aller möglche Werte (,m) zur Gesamthet aller zulässge Paare (x,y) mt x<y führt. Varate des erste eweses öe durch ee geschcte efto eer Folge aus Werte vo (,m) hergeletet werde: e Wahl der (,m) st da Grudlage für ee efto eer Folge vo Werte (x,y), dere Zulässget durch efache Rechug gezegt werde a. So a ma we obe m setze, oder z.. auch 3 4( + )( + ) m, was zu x x(), y x führt. ( )