3. Irreduzible Polynome und Kreisteilungspolynome

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1 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome Aus dem letzte Kaptel wsse wr, dass wr zur Berechug des Grades eer algebrasche Körpererweterug Mmalpolyome beötge: st L/K mt L = K(a) für e a L ee efache algebrasche Körpererweterug, so st hr Grad [L : K] ach Satz 2.14 (a) glech dem Grad des Mmalpolyoms m a vo a über K. Außerdem habe wr Lemma 2.6 berets gesehe, dass m a dadurch charaktersert werde ka, dass es e rreduzbles ormertes Polyom über K mt Nullstelle a st. Währed ma ormerte Polyome mt Nullstelle a der Regel lecht fde ka, st es jedoch der Praxs oft schwerg zu etschede, ob dese Polyome auch rreduzbel sd des habe wr Bespel 2.9 (d) berets gesehe. Das ezge Irreduzbltätskrterum, das wr bsher kee, st das Ergebs aus Aufgabe 2.7 (a), dass e Polyom vom Grad 2 oder 3 geau da rreduzbel st, we es kee Nullstelle bestzt. Dass dese Utersuchug der Irreduzbltät vo Polyome m Allgemee e schwerges Problem st, ka ma lecht verstehe, we ma de aaloge Stuato m Rg Z der gaze Zahle betrachtet. Ihr wsst ja vermutlch, dass es sehr aufwädg st, vo eer (große) Zahl herauszufde, ob se rreduzbel, also ee Prmzahl st. De Prmfaktorzerlegug eer solche Zahl zu bestmme st sogar och emal e gazes Stück komplzerter; der Tat st es de Grudlage veler moderer Kryptographeverfahre, dass es herfür kaum effektvere Methode gbt als e zetaufwädges Durchprobere aller dekbare Teler. Im strukturell och komplzertere Polyomrg K[t] über eem Körper K wrd dese Stuato atürlch der Regel cht besser. Wr müsse us daher damt begüge, desem Kaptel e paar Irreduzbltätskrtere azugebe, de zwar de für us teressate Bespele, sgesamt jedoch ur für relatv wege Polyome fuktoere. Wr beschräke us dabe her auf Polyome über dem Körper K = Q, da des der für usere Aweduge relevate Fall st. Bemerkug 3.1. De meste Stratege, um de Irreduzbltät ees Polyoms Q[t] zu zege, verfahre zwe Schrtte: (a) zuächst führt ma de Frage ach der Irreduzbltät Q[t] durch geegetes Wegkürze der Neer auf de Irreduzbltät Z[t] zurück; (b) de Irreduzbltät Z[t] zegt ma da, dem ma de Koeffzete des Polyoms modulo eer Prmzahl p reduzert ud so zum oft efacher zu behadelde Polyomrg Z p [t] über dem Körper Z p übergeht. Beachte, dass der erste Tel (a) dabe cht ur bedeutet, dass ma das betrachtete Polyom f mt eer geegete Zahl multplzert, so dass es Z[t] legt: auch be eem Polyom Z[t] st es atürlch och etwas aderes, ob ma ach der Irreduzbltät Q[t] oder Z[t] fragt de es wäre ja przpell dekbar, dass ma zwar ee cht-trvale Zerlegug f = g h mt ratoale, aber cht mt gazzahlge Polyome g ud h fdet, so dass f da zwar rreduzbel Z[t], aber cht Q[t] wäre. Es stellt sch jedoch heraus, dass de Stuato her besoders schö st ud e derartger Fall cht auftrete ka: ee Zerlegugsmöglchket ees gazzahlge Polyoms über Q führt mmer auch scho zu eer Zerlegugsmöglchket über Z. Des zegt der folgede Satz, der damt de Pukt (a) der obe beschrebee Stratege berets klärt. Satz 3.2 (Lemma vo Gauß). Ist e Polyom f Z[t] rreduzbel Z[t], so auch Q[t]. Bewes. Ageomme, f wäre reduzbel Q[t]. Wr zege zwe Schrtte, dass f da auch reduzbel Z[t] st. 1. Behauptug: st f reduzbel Q[t], so gbt es e λ N >0, so dass sch λ f als Produkt chtkostater Polyome Z[t] schrebe lässt. Des seht ma sofort e: habe wr ee Zerlegug

2 24 Adreas Gathma f = g h mt cht-kostate Polyome g,h Q[t], so gbt es atürlch µ,ν N >0, so dass µg,νh Z[t] glt (ma wähle z. B. für µ ud ν das kleste gemesame Velfache der de Koeffzete vo g bzw. h auftretede Neer). Mt λ := µν erhalte wr da de gewüschte Zerlegug λ f = (µg)(νh) Z[t]. 2. Behauptug: lässt sch λ f für e λ N >1 als Produkt cht-kostater Polyome Z[t] schrebe, so glt des auch für λ f für e geegetes λ < λ N >0. Für de Bewes deser Behauptug se also λ f = g h für cht-kostate g,h Z[t]. Wege λ > 1 köe wr ee Prmfaktor p vo λ wähle ud λ := λ p N >0 setze, so dass wr de Zerlegug pλ f = gh Z[t] erhalte. Wr betrachte dese Glechug u Z p [t], d. h. reduzere alle Koeffzete der Polyome modulo p. Bezechet f Z p [t] das Polyom, das ma aus f Z[t] erhält, dem ma alle Koeffzete durch hre Restklasse Z p ersetzt (ud aalog für de adere auftretede Polyome), so bekomme wr also de Zerlegug p λ f = g h Z p [t]. Aber atürlch st p = 0 Z p [t], ud damt erhalte wr g h = 0 Z p [t]. Da Z p [t] ach [G, Lemma 10.3 (b)] als Polyomrg über eem Körper e Itegrtätsrg st, st des ur möglch, we berets eer der Faktore glech Null st. Es se also ohe Beschräkug der Allgemehet g = 0 Z p [t]. Des bedeutet aber gerade, dass alle Koeffzete vo g durch p telbar sd. Das Polyom g := g p legt damt ebefalls Z[t], ud wr erhalte aus λ f = g h ach Dvso durch p we gewüscht de Zerlegug λ f = g h Z[t] mt λ < λ. Des zegt auch de 2. Behauptug. De Aussage des Satzes ergbt sch u offeschtlch aus der Kombato der bede Schrtte: ach der 1. Behauptug gbt es zuächst e λ N >0, so dass λ f e Produkt cht-kostater Polyome Z[t] st, ud durch fortgesetzte Awedug der 2. Behauptug köe wr dese Zahl λ da so lage reduzere, bs se glech 1 st. Bemerkug 3.3. Der Bewes vo Satz 3.2 zegt sogar och etwas mehr: st f Z[t] reduzbel Q[t], d. h. köe wr f = g h für gewsse cht-kostate Polyome g,h Q[t] schrebe, so gbt es auch ee Zerlegug f = g h mt g,h Z[t], wobe g ud h aus g bzw. h durch Multplkato mt eer ratoale Zahl etstehe. I de bede Schrtte des Beweses werde de bede Polyome der ursprüglche Zerlegug über Q ämlch ledglch mt kostate Faktore multplzert, um de letztedlch gewüschte Zerlegug über Z zu erhalte. Aus deser Beobachtug erhalte wr das folgede ützlche Resultat. Folgerug 3.4. Es see f,g,h Q[t] ormerte Polyome mt f = g h. Glt da f Z[t], so lege auch g ud h berets Z[t]. Bewes. Nach Bemerkug 3.3 gbt es g,h Z[t], de sch vo g bzw. h ur um ee kostate Faktor uterschede ud für de f = g h glt. Da der Letkoeffzet 1 vo f dabe glech dem Produkt der gazzahlge Letkoeffzete vo g ud h st, köe de Letkoeffzete vo g ud h außerdem ur 1 oder 1 se. Wel g ud h aber ach Voraussetzug de Letkoeffzete 1 habe, bedeutet des gerade, dass g = ±g ud h = ±h gelte muss. Mt g,h Z[t] ergbt sch damt auch we behauptet g,h Z[t]. Isbesodere erhalte wr damt das folgede Krterum, das oft be der Suche vo Nullstelle gazzahlger Polyome hlft ud das euch vellecht der ee oder adere Form scho aus der Schule bekat war. Folgerug 3.5 (Gazzahlgket vo Nullstelle). Es se f = t + a 1 t a 0 Z[t] e ormertes Polyom. Ist x Q ee Nullstelle vo f, so glt berets x Z, ud x st e Teler vo a 0. Bewes. Ist x Q ee Nullstelle vo f, so köe wr dese bekatlch abspalte [G, Lemma 11.15] ud f = (t x)g für e ormertes Polyom g = t m + b m 1 t m b 0 Q[t] schrebe. Nach Folgerug 3.4 folgt da t x,g Z[t] ud damt sbesodere x Z. Vergleche wr schleßlch och de kostate Koeffzete, so sehe wr außerdem a 0 = xb 0 ud damt x a 0.

3 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome 25 Bemerkug 3.6. Aufgrud vo Satz 3.2 köe wr us für de Nachwes der Irreduzbltät gazzahlger Polyome über Q[t] also vollstädg auf de Rg Z[t] zurückzehe, d. h. de Irreduzbltät ledglch Z[t] überprüfe. Beachte jedoch, dass Z[t] cht alle kostate Polyome, soder ur de Polyome ±1 Ehete sd. So st also z. B. das Polyom 2t Z[t] reduzbel, da es das Produkt der Nchtehete 2 ud t st. Reduzbltät Z[t] bedeutet also cht otwedgerwese, dass sch das Polyom als Produkt zweer cht-kostater Polyome schrebe lässt. Um derartge Probleme zu umgehe, wolle wr us m Folgede auf ormerte Polyome beschräke. Normerte Polyome über Z[t] köe offeschtlch kee Kostate uglech ±1 als Teler habe, so dass desem Fall de Reduzbltät über Z[t] wrklch äquvalet dazu st, dass sch das Polyom als Produkt vo cht-kostate Polyome schrebe lässt. Wr wolle m Folgede u zwe efache Irreduzbltätskrtere agebe. We scho Bemerkug 3.1 (b) ageküdgt ergebe sch bede (aalog zum Bewes vo Satz 3.2) durch Redukto modulo eer Prmzahl. Lemma 3.7 (Irreduzbltät durch Redukto modulo p). Es se f Z[t] e ormertes Polyom. Gbt es ee Prmzahl p, so dass das Polyom f Z p [t] rreduzbel Z p [t] st, so st berets f rreduzbel Z[t] (ud damt ach Satz 3.2 auch Q[t]). Bewes. Wäre f reduzbel Z[t], ach Bemerkug 3.6 also f = g h für cht-kostate g, h Z[t], so wäre atürlch auch f = g h reduzbel Z p [t]. Bespel 3.8. Ma prüft lecht ach, dass das Polyom f = t 4 +t 3 +t 2 +t + 1 Z 2 [t] rreduzbel st [G, Aufgabe 11.8 (a)] z. B. dem ma explzt achrechet, dass de Polyome Z 2 [t] vom Grad 1 ud 2 (vo dee es ja ur sehr wege gbt) alle kee Teler vo f sd. Also st ach Lemma 3.7 jedes ormerte gazzahlge Polyom, desse Redukto modulo 2 glech f st (d. h. jedes Polyom t 4 + a 3 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t + a 0 Z[t] mt ugerade a 0,...,a 3 ) rreduzbel Z[t] ud auch Q[t]. Satz 3.9 (Irreduzbltätskrterum vo Eseste). Es se f = t +a 1 t 1 + +a 1 t +a 0 Z[t] e ormertes Polyom. Gbt es ee Prmzahl p, so dass p a für alle = 0,..., 1 sowe p 2 a 0 glt, so st f rreduzbel Z[t] (ud damt ach Satz 3.2 auch Q[t]). Bewes. Ageomme, f wäre reduzbel Z[t], ach Bemerkug 3.6 also vo der Form f = g h für gewsse cht-kostate g, h Z[t]. E Verglech der Letkoeffzete lefert sofort, dass g ud h da Letkoeffzet ±1 habe müsse ud damt ohe Beschräkug der Allgemehet als ormert vorausgesetzt werde köe. Wr reduzere de Glechug f = g h u weder modulo p. Da p ach Voraussetzug alle Koeffzete a 0,...,a 1 vo f telt, folgt f = t ud damt g h = t Z p [t]. Wel es Z p [t] ach [G, Bespel (b)] ee edeutge Prmfaktorzerlegug gbt ud t Z p [t] als rreduzbles Polyom atürlch prm st [G, Bemerkug 11.6], st t demach der ezge Prmfaktor, der g ud h auftrete ka, d. h. es st g = t k ud h = t l für gewsse k,l 1. Isbesodere bedeutet des u, dass de kostate Koeffzete vo g ud h glech 0 modulo p, also durch p telbar se müsse. Damt st da der kostate Koeffzet vo f, der ja wege f = g h das Produkt der kostate Koeffzete vo g ud h st, aber durch p 2 telbar, was e Wderspruch zur Voraussetzug st. Bespel Es see p ee Prmzahl ud N >0. Da st das ormerte Polyom t p ach dem Krterum vo Eseste aus Satz 3.9 sowohl Z[t] als auch Q[t] rreduzbel. Da es außerdem p als Nullstelle hat, st es ach Lemma 2.6 das Mmalpolyom vo p über Q. Also glt stets [ p : Q] =. Des verallgemeert de Ergebsse vo Bespel 2.9 (b) ud (c). Aufgabe Zu eer Körpererweterug L/K bezeche K L L de Mege aller Elemete vo L, de über K algebrasch sd. Ma zege: (a) K L st e Körper.

4 26 Adreas Gathma (b) De Körpererweterug Q R /Q st algebrasch, aber cht edlch. Aufgabe 3.12 (Varate des Irreduzbltätskrterums vo Eseste). Es se f = t + a 1 t 1 + +a 0 Z[t] e gazzahlges ormertes Polyom vom Grad 2, so dass ke Teler vo a 0 ee Nullstelle vo f st. Ma zege, dass f da rreduzbel Z[t] ud damt auch Q[t] st, we ee der folgede bede Bedguge glt: 04 (a) p a für alle = 0,..., 2 sowe p 2 a 0 ; (b) p a für alle = 0,..., 1 sowe p 2 a 1. Für de Rest deses Kaptels wolle wr u mt Hlfe der bsherge Resultate de Mmalpolyome ud Grade der Zahle e 2π über Q bestmme. Damt komme wr da auch be userer Frage ach der Kostruerbarket mt Zrkel ud Leal weter da wr ja aus Bespel 1.23 (C) scho wsse, dass das regelmäßge -Eck geau da mt Zrkel ud Leal kostruerbar st, we e 2π eer 2-Radkalerweterug legt, ud des ach Folgerug 2.22 (b) höchstes da möglch st, we [e 2π : Q] ee Zweerpotez st. Da de komplexe Zahle der Form e 2π, oder allgemeer de Lösuge der Glechug t 1 = 0, der Praxs ee wchtge Rolle spele, werde wr he zuächst ee spezelle Name gebe. Defto 3.13 (Ehetswurzel). Es se N >0. Wr setze E := {z C : z = 1} = { e 2πk : k Z } = { e 2πk : k = 0,..., 1 } ud ee de Elemete vo E de -te Ehetswurzel. De Elemete der Telmege E := {z E : z k 1 für alle k mt 1 k < }, also de -te Ehetswurzel, für de auch de kleste Potez st, be der weder 1 herauskommt, werde prmtve -te Ehetswurzel geat. Bespel (a) Für = 1 st offeschtlch st E 1 = E 1 = {1}. Für = 2 ergbt sch E 2 = {1, 1} sowe E 2 = { 1}. (b) Das Bld rechts zegt de sechs 6-te Ehetswurzel z k := e 2πk 6 für k = 0,...,5. Vo he sd geau z 1 ud z 5 prmtv de es st ja z 1 0 = z3 2 = z2 3 = z3 4 = 1, wohgege alle Poteze z m 1 ud zm 5 für m = 1,...,5 uglech 1 sd. z 3 z 2 z 4 z 1 z 5 z 0 = 1 Bemerkug (a) Offeschtlch st E zusamme mt der Multplkato ee Utergruppe vo (C, ) = (C\{0}, ). I der Tat st se geau das Bld des Gruppehomomorphsmus f : (Z,+) (C, ), k e 2πk. Da der Ker vo f geau Z st, folgt aus dem Homomorphesatz [G, Satz 6.17], dass de Abbldug g : (Z,+) (E, ), k e 2πk e Gruppesomorphsmus st: de Gruppe E der -te Ehetswurzel st somorph zu Z.

5 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome 27 (b) Ma ka lecht sehe, welche Ehetswurzel prmtv sd: es se dazu z = e 2πk E. Da glt z E de Ordug vo z C st (Defto 3.13) de Ordug vo k Z st ((a)) k = Z ([G, Lemma 5.15]) 1 k = { ak : a Z } k st ee Ehet Z ggt(k, ) = 1 ([G, Folgerug 10.33]). Uter dem Isomorphsmus aus (a) etspreche de prmtve -te Ehetswurzel E E also geau de Ehete Z Z ; sbesodere st damt E = Z. I Bespel 3.14 (b) 1 2π für = 6 ware des geau e 6 5 2π ud e 6, etspreched de Ehete 1 ud 5 Z 6, bzw. etspreched de zu 6 telerfremde Zahle 1 ud 5 {0,...,5}. Mt Hlfe der prmtve Ehetswurzel köe wr u berets de Polyome defere, de sch später als de Mmalpolyome vo e 2π herausstelle werde: Defto 3.16 (Krestelugspolyome). Für N >0 heßt das -te Krestelugspolyom. Φ := (t z) C[t] z E Bespel Aus Bespel 3.14 erhalte wr z. B. Φ 1 = t 1, Φ 2 = t + 1, ( Φ 6 = t e 2π 6 )( t e 5 2π 6 ) = t 2 t + 1. Für größere st de Berechug vo Φ drekt ach Defto 3.16 oft recht umstädlch. De folgede rekursve Formel st her der Regel ützlcher. Lemma 3.18 (Rekursve Formel für de Krestelugspolyome). Für alle N >0 st E de dsjukte Veregug aller E d mt d. Isbesodere glt also t 1 = Φ d d C[t]. Bewes. Nach Bemerkug 3.15 (b) st E d geau de Mege aller Elemete der Ordug d C. Isbesodere st de Veregug aller E d also dsjukt. Ist u z E, so st de Ordug d vo z ach [G, Folgerug 5.16 (a)] e Teler vo E =, also st da auch z E d für e d. Ist umgekehrt z E d für e d, so folgt mt zd = 1 atürlch auch z = 1 ud damt z E. Isgesamt zegt des, dass E de dsjukte Veregug aller E d mt d st. De behauptete Glechhet vo Polyome folgt u umttelbar, da auf bede Sete offeschtlch das (edeutg bestmmte) ormerte Polyom vom Grad mt de Nullstelle E steht. Bespel (a) Für = 6 lefert Lemma 3.18 de dsjukte Zerlegug E 6 = E 6 E 3 E 2 E 1. Des hatte wr Bespel 3.14 (b) auch scho drekt gesehe: mt der dortge Bezechug z k = e 2πk 6 für k = 0,...,5 st E 6 = {z 0,...,z 5 }, E 6 = {z 1,z 5 }, E 3 = {z 2,z 4 }, E 2 = {z 3} ud E 1 = {z 0}.

6 28 Adreas Gathma (b) Ist p ee Prmzahl, so lefert de Formel aus Lemma 3.18 t p 1 = Φ p Φ 1 = Φ p (t 1) ud damt ach der edlche geometrsche Rehe Φ p = t p 1 t 1 = t p 1 +t p 2 + +t + 1. (c) Allgemeer ka ma für alle N >0 de Formel aus Lemma 3.18 zu der Glechug / Φ = (t 1) Φ d d d< umstelle, mt der ma alle Φ lecht durch rekursve Polyomdvso bereche ka. Aufgabe Ma zege: (a) Φ p r(t) = Φ p (t pr 1 ) für jede Prmzahl p ud alle r 1; (b) Φ 2 (t) = Φ ( t) für alle ugerade > 1. Obwohl Defto 3.16 komplexe Zahle beutzt ud damt a pror komplexe Polyome lefert, habe sch alle usere bsher berechete Krestelugspolyome de Bespele 3.17 ud 3.19 (b) als gazzahlg herausgestellt. Des st ke Zufall, we der folgede Satz zegt. Satz 3.21 (Gazzahlgket der Krestelugspolyome). Für alle N >0 glt Φ Z[t]. Bewes. Wr zege de Behauptug mt Idukto über ; der Iduktosafag für = 1 st klar wege Φ 1 = t 1. Für de Iduktosschrtt se u N >1. Nach Iduktosvoraussetzug st da f := Φ d Z[t] d d< e ormertes gazzahlges Polyom. Wr köe u t 1 Q[t] mt Rest durch f dvdere ud erhalte t 1 = q f + r Q[t] für gewsse q,r Q[t] mt degr < deg f. Außerdem ergbt Lemma 3.18 t 1 = Φ f C[t]. Subtrakto deser bede Glechuge voeader lefert u (Φ q) f = r C[t], ach der Gradformel [G, Lemma 10.3 (a)] also deg(φ q)+deg f = degr. Wege degr < deg f st des aber ur da möglch, we deg(φ q) = degr =, also Φ q = r = 0 st. Isbesodere st damt Φ = q Q[t]. Aus der Glechug t 1 = Φ f Q[t] ergbt sch da mt Folgerug 3.4 auch sofort Φ Z[t]. Bemerkug Berechet ma z. B. mt Hlfe der Rekursosformel aus Lemma 3.18 emal ege Krestelugspolyome, so stellt ma schell fest, dass de Koeffzete deser Polyome cht ur gazzahlg, soder sehr oft sogar ur 0, 1 oder 1 sd allerdgs mt eer kaum zu durchschauede Vertelug. So st z. B. Φ 42 = t 12 +t 11 t 9 t 8 +t 6 t 4 t 3 +t + 1. I der Tat st das erste(!) Krestelugspolyom, das überhaupt ee Koeffzete vom Betrag größer als 1 bestzt, Φ 105 = t 48 +t 47 +t 46 t 43 t 42 2t 41 t 40 t 39 +t 36 +t 35 +t 34 +t 33 +t 32 +t 31 t 28 t 26 t 24 t 22 t 20 +t 17 +t 16 +t 15 +t 14 +t 13 +t 12 t 9 t 8 2t 7 t 6 t 5 +t 2 +t + 1.

7 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome 29 Deoch ka ma ebefalls zege, dass de Mege aller de Krestelugspolyome auftretede Koeffzete ubeschräkt st. Fasse wr usere bsherge Ergebsse zu de Krestelugspolyome zusamme, so wsse wr also, dass Φ e ormertes, gazzahlges (ud damt sbesodere ratoales) Polyom mt Nullstelle e 2π st. Um zu zege, dass Φ wrklch das Mmalpolyom vo e 2π st, blebt also ach Lemma 2.6 ur och see Irreduzbltät zu zege. Allerdgs st leder kees userer bsherge Irreduzbltätskrtere auf de Krestelugspolyome awedbar; wr müsse herfür also ee eue Bewes agebe. We usere bsherge Krtere beutzt auch deser (cht gaz efache) Bewes Redukto modulo eer Prmzahl. Er verwedet de folgede bede Hlfsaussage, de wr bede später deser Vorlesug och emal wedersehe werde. Lemma 3.23 (Recheregel für Poteze Z p ). Für a Z p ud f,g Z p [t] gelte de folgede efache Recheregel: (a) ( f + g) p = f p + g p ; (b) a p = a; (c) f (t p ) = f (t) p. Bewes. (a) Nach der bomsche Formel glt zuächst atürlch ( f + g) p p ( ) p = f g p = f p + g p + =0 p 1 =1 ( ) p f g p. Nu st p aber für = 1,..., p 1 e Teler des Bomalkoeffzete ( ) p p (p 1) (p + 1) =, 1 2 da p zwar m Zähler, aber cht m Neer deses Bruches auftrtt. Also st deser Bomalkoeffzet glech Null Z p, woraus de Behauptug folgt. (b) Für a = 0 st de Aussage atürlch klar. Aderfalls st a Z p ee Ehet, da Z p e Körper st. Wege Z p = p 1 folgt aus dem klee Satz vo Fermat [G, Folgerug 5.16 (b)] also a p 1 = 1 ud damt a p = a. (c) Ist f = a t, so folgt ( f (t) p = a t ) p (a) = at p p (b) = a t p = f (t p ). Lemma 3.24 (Formale Abletuge). Für e Polyom f = a t K[t] über eem Körper K betrachte wr de formale Abletug f := a t 1. Für dese glt: (a) Für alle f,g K[t] st ( f + g) = f + g ud ( f g) = f g + f g. (b) Ist f K[t] e Polyom, das telerfremd zu seer formale Abletug f st, so hat f kee mehrfache Faktore seer Prmfaktorzerlegug (ud damt sbesodere kee mehrfache Nullstelle). Bewes. (a) Des ergbt sch durch efaches Nachreche, sehe z. B. [G, Aufgabe 9.11]. (b) Ageomme, f hätte ee mehrfache Faktor seer Prmfaktorzerlegug, d. h. es wäre f = g 2 h für g,h K[t] mt degg > 0. Awede der Dfferetatosregel aus (a) ergbt da f = 2gg h + g 2 h = g(2g h + gh ), woraus wr sehe, dass f ud f m Wderspruch zur Aahme de gemesame Teler g habe.

8 30 Adreas Gathma Bemerkug De Recheregel aus Lemma 3.24 (a) sd euch für reelle Polyome ud de der Aalyss deferte Abletug atürlch berets aus der Schule bzw. aus de Grudlage der Mathematk bekat. Auch de Aussage aus Tel (b) habt hr dort vellecht scho emal gesehe zumdest wohl der Form, dass mehrfache Nullstelle ees Polyoms auch Nullstelle seer Abletug sd. De besodere Aussage Lemma 3.24 st, dass des cht ur über R, soder für de u re formal deferte Abletug auch über jedem belebge Körper glt. I der Tat werde wr deses Resultat m Bewes der Irreduzbltät der Krestelugspolyome für de edlche Körper Z p awede, ud zwar für das folgede Bespel. Bespel Wr betrachte das Polyom f = t 1 über eem Körper K. Offeschtlch st f = t 1. (a) Ist chark ke Teler vo (z. B. m Fall chark = 0), so st 0 K ud damt f 0. Da de Prmfaktorzerlegug vo f da t als ezge Prmfaktor ethält ud deser offeschtlch ke Teler vo f st, sd f ud f telerfremd. Nach Lemma 3.24 (b) hat f desem Fall also kee mehrfache Faktore. Für K = C wusste wr des berets, de da hat t 1 ja geau de verschedee Learfaktore t z für z E. (b) Ist chark = p > 0 e Teler vo, so st f = 0 das Nullpolyom. Damt sd f ud f cht telerfremd (jeder Teler vo f st ja auch eer vo f ), d. h. Lemma 3.24 (b) st cht awedbar. I der Tat ka es da auch passere, dass f mehrfache Faktore bestzt: für = p > 2 ud K = Z p zum Bespel st f = t p 1 = (t 1) p ach Lemma 3.23 (a). Mt dese bede Hlfsaussage köe wr u we ageküdgt zege, dass Φ das Mmalpolyom vo e 2π st. Satz 3.27 (Irreduzbltät der Krestelugspolyome). Es se N >0. Da glt: (a) Ist z E ee -te Ehetswurzel ud m N >0 mt ggt(m,) = 1, so habe z ud z m dasselbe Mmalpolyom über Q. (b) e 2π Bewes. hat das Mmalpolyom Φ über Q. Isbesodere st Φ also rreduzbel Q[t]. (a) Wr betrachte zuächst de Spezalfall, dass m = p ee Prmzahl st. Es see f ud g de Mmalpolyome vo z bzw. z p Q[t]. Wr mache ee Wderspruchsbewes ud ehme also a, dass f g. (1) Natürlch st t 1 Z[t] e ormertes Polyom mt Nullstelle z ud z p. Nach Bemerkug 2.5 sd de Mmalpolyome f ud g da Teler vo t 1. Da se rreduzbel sd ud wr se als verschede ageomme habe, glt also t 1 = f g h für e (ebefalls ormertes) Polyom h Q[t]. Mt Folgerug 3.4 sehe wr, dass da sogar f,g,h Z[t] gelte muss. Wr köe de Glechug also modulo p reduzere ud erhalte t 1 = f g h Z p [t]. Da ach Voraussetzug p glt, hat u t 1 ach Bespel 3.26 (a) kee mehrfache Nullstelle Z p [t]. Damt müsse f ud g Z p [t] offeschtlch telerfremd se, de e gemesamer Teler vo he wäre ja e quadratscher Teler vo t 1 Z p [t]. (2) Aderersets st z ach Kostrukto vo g auch ee Nullstelle vo g(t p ). Also muss das Mmalpolyom f vo z ach Bemerkug 2.5 e Teler vo g(t p ) se, d. h. es gbt e Polyom k Q[t] mt g(t p ) = f k. Wr habe f ud g (ud damt auch g(t p )) aber obe scho als gazzahlge Polyome erkat, ud damt st ach Folgerug 3.4 auch k Z[t]. Wr köe usere Glechug also weder modulo p reduzere ud erhalte ach Lemma 3.23 (c) f k = g(t p ) = g p Z p [t]. Des st aber ur möglch, we jeder Prmfaktor vo f auch eer vo g st m Wderspruch zum Resultat vo (1). Des zegt de Behauptug (a) für de Fall, dass m = p ee Prmzahl st.

9 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome 31 Fortgesetzte Awedug deses Ergebsses lefert u sofort, dass auch z ud z p 1 p r = ((z p 1) ) p r das gleche Mmalpolyom habe, sofer de Prmzahle p 1,..., p r kee Teler vo sd. Da sch jede Zahl m mt ggt(m,) = 1 als Produkt derartger Prmzahle schrebe lässt, folgt damt de Behauptug (a). (b) Das Mmalpolyom vo z = e 2π muss ach (a) auch alle z m mt ggt(m,) = 1 als Nullstelle habe. Des sd ach Bemerkug 3.15 (b) aber geau de prmtve Ehetswurzel. Damt ka der Grad des Mmalpolyoms vo z cht kleer als E se. Da des ach Defto 3.16 aber geau der Grad vo Φ st, sehe wr, dass Φ wrklch das ormerte Polyom mmale Grades mt Nullstelle z, also das Mmalpolyom vo z st. Isbesodere st Φ ach Lemma 2.6 damt rreduzbel Q[t]. Bemerkug Da Φ de prmtve -te Ehetswurzel als Nullstelle hat, ormert ud ach Satz 3.27 (b) auch rreduzbel Q[t] st, sehe wr als lechte Verallgemeerug vo Satz 3.27 (b), dass Φ cht ur das Mmalpolyom vo e 2π, soder sogar vo jeder prmtve -te Ehetswurzel st. Nachdem wr u de Mmalpolyome Φ der Ehetswurzel e 2π kee, wolle wr atürlch auch och de Grad deser Polyome bestmme. Deser st ach Kostrukto geau E, also Z ach Bemerkug 3.15 (b). We hr de Vorlesug Elemetare Zahletheore scho gehört habt, wsst hr berets, was herbe herauskommt: Satz 3.29 (Grad der Krestelugspolyome). Es se N >0 ee atürlche Zahl mt Prmfaktorzerlegug = p k 1 1 pk r r (für verschedee Prmzahle p 1,..., p r ). Da glt für jede prmtve -te Ehetswurzel z [z : Q] = degφ = E = Z = ϕ(), wobe ϕ de Eulersche ϕ-fukto st. ϕ() := r =1 (p 1) p k 1 Bewes. De erste Glechhet st Bemerkug 3.28, de zwete folgt aus Defto 3.16, ud de drtte aus Bemerkug 3.15 (b). Es blebt also ur och de letzte Glechhet, d. h. de Azahl der Ehete Z zu bereche. Wr tu des zwe Schrtte: 1. Fall: = p k st ee Prmzahlpotez. De Nchtehete vo Z sd da geau m für alle m = 0,..., p k 1, de ee gemesame Teler mt p k habe [G, Folgerug 10.33]. Des sd geau de Velfache vo p, also de p k 1 Zahle m = p mt = 0,..., p k 1 1. Damt folgt Z p k = p k 1 = (p 1) p k Fall: = p k 1 1 pk r r st ee belebge atürlche Zahl. Nach dem chessche Restsatz [G, Satz 11.21] glt da Z = Zp k 1 Z p kr. 1 r Da e Elemet eem Produktrg ach Defto der Rgstruktur offeschtlch geau da ee Ehet st, we jede Kompoete ee Ehet st, folgt daraus auch Z = ( ) ( Z k p 1 Zp kr 1 r Nach dem 1. Fall ergbt sch heraus sofort de behauptete Formel Z = ϕ(). Aufgabe Ma zege: st > 2, so glt [ z + 1 z : Q] = 2 1 ϕ() für jede prmtve -te Ehetswurzel z. ) 05 We berets ageküdgt hat Satz 3.29 atürlch ee umttelbare Awedug auf de Frage ach der Kostruerbarket des regelmäßge -Ecks mt Zrkel ud Leal. Dazu müsse wr ach Bespel 2.23 (C) herausfde, wa [e 2π : Q] = ϕ() ee Zweerpotez st.

10 32 Adreas Gathma Lemma Es se N >0. Da st ϕ() geau da ee Zweerpotez, we vo der Form = 2 m p 1 p r st, wobe r,m 0 glt ud p 1,..., p r verschedee Prmzahle der Form p = 2 2a +1 mt a 1,...,a r N sd. Bewes. Hat de agegebee Form, so st ach Satz 3.29 { r =1 ϕ() = 22a für m = 0, 2 m 1 r =1 22a für m > 0 ee Zweerpotez. Hat umgekehrt de allgemee Prmfaktorzerlegug = p k 1 1 pk r r ϕ() = r =1 (p 1) p k 1 ud st ee Zweerpotez, so köe ugerade Prmfaktore wege des Faktors p k 1 ϕ() offeschtlch ur efach auftrete, ud wege des Faktors p 1 müsse se vo der Form p = 2 b +1 für gewsse b N >0 se. Es blebt also ur och zu zege, dass ee Zahl der Form 2 b + 1 ur da ee Prmzahl se ka, we b selbst ee Zweerpotez st. Nehme wr also a, b wäre kee Zweerpotez. Da köte wr b als b = qc mt ugeradem q > 1 ud geegetem c < b schrebe. Setze wr der Idettät x q y q = (x y) (x q 1 + x q 2 y + + xy q 2 + y q 1 ) da x = 2 c ud y = 1 e, so st de lke Sete glech 2 b + 1, ud auf der rechte Sete habe wr de cht-trvale Faktor x y = 2 c + 1. Also ka 2 b + 1 da cht prm se, was zu zege war. Bemerkug 3.32 (Fermatsche Prmzahle). De Lemma 3.31 auftretede Prmzahle der Form 2 2a + 1 für a N et ma Fermatsche Prmzahle. De erste Zahle deser Form sd a a ud des sd der Tat alles Prmzahle. Als ma de Zahle der Form 2 2a + 1 zuerst utersucht hat (ud umersch cht weter als bs a = 4 gekomme st, wel es Tascherecher ja och cht gab), hat ma mt aver Idukto aus der obge Tabelle vermutet, dass alle Zahle deser Form Prmzahle sd. Heute wsse wr es jedoch besser: scho = = st zusammegesetzt, ud der Tat hat ma bsher och gar kee wetere Prmzahl der Form 2 2a +1 für a > 4 gefude. Folgerug 3.33 (Notwedge Bedgug für de Kostruerbarket des -Ecks). Das regelmäßge -Eck st höchstes da mt Zrkel ud Leal kostruerbar, we vo der Form = 2 m p 1 p r für e m 0 ud verschedee Fermatsche Prmzahle p 1,..., p r st. Bewes. Nach Bespel 1.23 (C) st das regelmäßge -Eck geau da mt Zrkel ud Leal kostruerbar, we e 2π eer 2-Radkalerweterug vo Q legt. Des st ach Folgerug 2.22 (b) aber höchstes da möglch, we der Grad [e 2π : Q] ee Zweerpotez st. Da deser Grad ach Satz 3.29 glech ϕ() st, folgt de Behauptug also aus Lemma Bemerkug De erste -Ecke, de ach dem Krterum aus Folgerug 3.33 cht mt Zrkel ud Leal kostruerbar sd, sd = 7, 9, 11, 13 ud 14. I alle adere Fälle mt 17 st ϕ() ach Lemma 3.31 ee Zweerpotez was bedeutet, dass wr da mt usere bsherge Ergebsse och kee Aussage über de Kostruerbarket mache köe. Erst Folgerug 7.8 werde wr mt Hlfe der Galostheore sehe, dass de Bedgug Folgerug 3.33 der Tat auch

11 3. Irreduzble Polyome ud Krestelugspolyome 33 hreched st ud alle -Ecke, für de ϕ() ee Zweerpotez st, auch wrklch mt Zrkel ud Leal kostruert werde köe.