Höhere Mathematik 4 Kapitel 17 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Höhere Mathemat 4 Katel 7 Wahrschelchetsrechug Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus

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3 Höhere Mathemat 4 Katel 7 Ihaltsverzechs 7 Wahrschelchetsrechug Deftoe, Besele Bedgte Wahrschelchete, uabhägge regsse Zufallsvarable ud Vertelugsfutoe rwartugswert ud Varaz Besele für Vertelugsfutoe Null-s-Vertelug Bomalvertelug Posso-Vertelug Hyergeometrsche Vertelug Rechtecvertelug oetalvertelug Normalvertelug

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5 7. Wahrschelchetsrechug 7. Deftoe, Besele Defto 7-: Versuch der belebg oft wederholbar ud desse rgebs ugewss st, heßt Zufallseermet. De Mege der be eem Zufallseermet otetell möglche rgebsse heßt rgebsraum Mermalsraum, Stchroberaum, see lemete rgebsse. Telmege vo heße regsse. regs trtt e, we ees der rgebsse etrtt aus dee besteht. De eelemetge Telmege {} heße lemetareregs. De Mege heßt scheres regs, de leere Mege umöglches regs. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- Defto 7-: Für =,,, edlch vele regsse bzw. =,, abzählbar uedlch vele regsse heßt bzw. de Summe der regsse, d.h. trtt geau da e, we mdestes ees der edlch bzw. abzählbar uedlch vele regsse etrtt. Für =,,, edlch vele regsse bzw. =,, abzählbar uedlch vele regsse heßt bzw. das Produt der regsse, d.h. trtt geau da e, we alle der edlch bzw. abzählbar uedlch vele regsse etrete. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

6 Zwe regsse ud heße uverebar, we = glt, d.h. we hr glechzetges trete umöglch st. 4 Das regs \ heßt das zu omlemetäre regs, d.h. trtt geau da e, we cht etrtt. Defto 7-: System S vo regsse heßt regsfeld Megealgebra, - Algebra, we es alle möglche regsse ees Zufallseermets ethält, sbesodere auch de Veregug ud de Durchschtt vo regsse sowe ud. S, der Potezmege vo Besel: Werfe ees fare Würfels regsraum: = {,,,4,5,6} lemetareregs: {}, {}, {}, {4}, {5}, {6} adere regsse z.b.: = {,4,6} = {} {4} {6} gerade Zahl Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- Würfel mt zwe fare Würfel regsraum: = {,,,,,,6,,,.,6,6} Se = {,6,,6,,6,6} bzw. = {6,,6,,,6,6} das regs, dass mt dem ee bzw. dem adere Würfel ee 6 geworfe wrd. Da bedeutet das regs = = {6,6}, dass mt bede Würfel ee 6 geworfe wrd. Müzwurf : Zahl legt obe : Wae legt obe : Zahl oder Wae lege obe : Weder Zahl och Wae lege obe regsfeld: S = {,, =, = bldet das regsfeld des Zufallseermets Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4

7 Defto 7-4: Ist be Wederholuge ees Zufallseermets e regs geau h -mal egetrete, da wrd h als absolute Häufget ud h H als relatve Häufget des regsses Versuche bezechet. Offebar glt: a H b H = c H = H + H, falls = dsjut De rfahrug zegt, dass sch H be wachsedem m allgemee be eem feste Wert eedelt, der charaterstsch für st. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-5 Besel: Müzwurf Zahl legt obe, Wae legt obe Legt u be Würfe h -mal Wae obe, so st h h h h H, H H De rfahrug lehrt her emrsches Gesetz der große Zahle H. Der Wert, be dem sch H "eedelt", lefert gewssermaße e Maß für de "Zufällget" des regsses, ebe de Wahrschelchet des tretes vo. Der Versuch, de Wahrschelchet als Grezwert der relatve Häufget zu defere, st jedoch geschetert. Stattdesse hat sch de aomatsche Vorgeheswese, de gewsse Grudegeschafte relatver Häufgete erfülle, durchgesetzt. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-6

8 Defto 7-5: Aome vo Kolmogorow s se S e regsfeld. e Abbldug P : S mt für S = für das schere regs Für aarwese uverebare regsse =,,, d.h. j = für j glt heßt Wahrschelchet. P Satz 7-: = Für \ glt: Für, S glt = + Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-7 Bewes: = = = + = + =, da ud uverebar., da ud uverebar. Sd, uverebar, so st =, also st de Behautug gerade Forderug Defto 7-5. Für glt = \, wobe \ = = \, wobe \ = Heraus folgt + = \ + + = \ + = + = + Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-8

9 Satz 7-: Ist der regsraum edlch, d.h. = {,, }, ud st das Auftrete der edlch vele lemetareregsse { } glechwahrschelch Lalace-Zufallseermet, so glt für de Wahrschelchet ees regsses Azahl der lemetareregsse, Azahl der lemetareregsse wobe ud de Mächtget der Mege bzw. agbt. Bewes: { } { } { }, da { } für,, Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-9 Besel: Das Werfe ees fare Würfels st e Besel für e Lalace-ermet. s se = {,, 6 } mt { } = {} für =,,6, ud { }=/6. = {,4,6} trtt e, we rgebs des Wurfes gerade st {,4,6} {,,,4,5,6} 6 = {,,4,5,6} trtt e, we rgebs des Wurfes ee \ {}, 6 = mt = {,4,6}, = {,6} {,4,6} {,6} {6} Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

10 7. Bedgte Wahrschelchete, uabhägge regsse Defto 7-6: s see, S mt >. Da heßt de bedgte Wahrschelchet des regsses uter der Bedgug des regsses. Besel: bedgte Wahrschelchet Zwe Karte werde acheader aus eem Satsel gezoge. se das regs: "te Karte e As", se das regs: "te Karte e As". st de Wahrschelchet dafür, dass de te Karte e As st, we auch scho de te Karte e As war. s glt 4 4 P, P P P P Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- Amerug: Im allgemee sd de Wahrschelchete ud voeader verschede. Aufgrud der Defto der bedgte Wahrschelchet besteht zwsche bede de Bezehug P. Defto 7-7: Zwe regsse, S heße voeader uabhägg, we glt. Defto 7-8: regsse,, S heße vollstädg uabhägg, we für jedes m-tuel,, m mt < < m glt Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

11 P P m m mt,, m aarwese uabhägg, we für belebge, j mt j ud j uabhägg sd Amerug: Aus der vollstädge Uabhägget folgt de aarwese, cht umgeehrt, z.b. für =,, S aarwese uabhägg, we,, S vollstädg uabhägg, we außerdem och glt P,, Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- Besel: uabhägge regsse De Schalter S see uabhägg voeader offe oder geschlosse mt der Wahrschelchet S geschlosse =. We groß st de Wahrschelchet dafür, dass Strom vo A ach B fleßt? bedeute: "S st geschlosse", bedeute: "Strom fleßt vo A ach B" = = = + = + = + da alle regsse uabhägg sd. A S S S B Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4

12 Damt regsse a aarwese uabhägg sd, müsse über Bedguge b vollstädg uabhägg sd, müsse Bedguge erfüllt se. Bem "Abzähle" der Möglchete wurde de folgede Aussage beutzt, de auch be der Berechug vo Wahrschelchete be Lalace- ermete Awedug fde. Defto 7-9: Permutatoe e Permutato vo uterschedbare lemete st jede Zusammestellug, der de lemete rgedeer Aordug ebeeader stehe. Uterschedlche Aorduge der lemete bedeute stets verschedee Permutatoe. Jede Aordug vo uterschedbare lemete, vo dee das -te lemet -mal auftrtt, =,,, heßt Permutato mt Wederholug. De Azahl der lemete der Permutato st da = + +. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-5 Satz 7-: De Azahl der Permutatoe vo uterschedbare lemete st P! De Azahl der Permutatoe vo uterschedbare lemete, vo dee das -te lemet -mal auftrtt, =,,,, st,! P!! Defto 7-: Varatoe e Varato vo uterschedbare lemete zur -te Klasse st jede aus lemete bestehede Zusammestellug, de sch aus de lemete uter Berücschtgug der Aordug blde lässt. Varatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse, be dee sch de ezele lemete bs zu -mal wederhole, heße Varatoe mt Wederholug. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-6

13 Satz 7-4 De Azahl der Varatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse st! V! De Azahl der Varatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse mt Wederholuge st V W, Defto 7-: Kombatoe e Kombato vo uterschedbare lemete zur -te Klasse st jede aus lemete bestehede Zusammestellug, de sch aus de lemete ohe Berücschtgug der Aordug blde lässt. Kombatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse, be dee sch de ezele lemete bs zu -mal wederhole, heße Kombatoe mt Wederholug. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-7 Satz 7-5 De Azahl der Kombatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse st! C!! De Azahl der Kombatoe vo uterschedbare lemete zur -te Klasse mt Wederholuge st C W,!!! Besel: Zwe fare Würfel werde geworfe. Bereche, ud 4, wobe etrtt, we Augesumme =, etrtt, we Augesumme = 5, etrtt, we Augesumme, 4 etrtt, we Augesumme gerade. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-8

14 = {,,,,,,6,,,.,6,6} mt = 6 =6 { },,6 glechwahrschelch 6 = {,} mt = P 6 = {,4,,,,,4,} mt = 4 4 P 6 Ist 4 egetrete, so gbt es für 8 möglche lemetareregsse, davo sd 4 für güstg, d.h Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-9 Schütze gbt auf ee Zelschebe dre uabhägge Schüsse ab mt der jewelge Trefferwahrschelchet /. We groß st de Wahrschelchet dafür, dass er sgesamt mdestes Treffer erzelt? = {,,,,,,,,,,,,} mt = =8, wobe de "" ee Treffer ud "" ee Treffer ezechet. trtt e, we Schütze mdestes Treffer erzelt, d.h. = {,,,,,,,,,,,} mt = Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

15 7. Zufallsvarable ud Vertelugsfutoe Bsher habe wr de Ausgag ees Zufallseermets Zufallseregs verbal beschrebe. Im folgede wolle wr e Zufallseregs mathematsch mt Hlfe eer Varable, de verschedee Werte aehme a, beschrebe. Defto 7-: e Zufallsvarable st ee Abbldug : de mt der geschaft, dass für jedes Itervall I de Telmege = { : {} I} vo zum regsfeld S gehört. Besel: Werfe eer Müze trtt e, we Wae obe, trtt e, we Zahl obe Zufallsvarable =, = Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- Zwe Würfel werde geworfe regsraum: = {,,,,,,6,,,.,6,6} Zufallsvarable se defert als de Augesumme, z.b. {,5} = {7}, {,4} = {7}, {,,,4,4,6} = {,6,}. regsraum für : = {,,4,,} I desem regsraum sd de lemetareregsse cht mehr glechwahrschelch, de für A muss gelte P A = { : {} A} A P z.b. P {} = {,} = /6, P {} = {,,,} = /8, usw. em Zufallseregs S wurde see Wahrschelchet zugeordet. wrd u vermöge durch ee Zufallsvarable beschrebe. Ordet ma jedem Itervall I de Wahrschelchet da- Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

16 für zu, dass de zur Beschrebug des ermets egeführte Zufallsvarable zu deser Mege gehört, so lefert dese wahrschelchetstheoretsche Charaterserug der Zufallsvarable ee svolle Modellerug des ermets. Defto 7-: s se ee Zufallsvarable. Da heßt F : mt F P, ] { : } Vertelugsfuto Wahrschelchetsvertelug vo. See, mt ud = { : {} }, F = { : {} }, G = { : < {} } mt, F, G S Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7- da glt F G G F G, F F. De gesuchte Wahrschelchet st somt edeutg durch de Vertelugsfuto F bestmmt. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4 da G Satz 7-6: geschafte der Vertelugsfuto Ist F Vertelugsfuto eer Zufallsvarable, so glt F für alle lm F =, lm F = F st ee mootoe chtfallede Futo, d.h. F +h F für jedes h ud alle 4 F st rechtsetg stetg, d.h. lm h + F +h = F

17 Defto 7-4: e Zufallsvarable heßt dsret, we se ur edlch oder abzählbar uedlch vele Werte aehme a. e dsret vertelte Zufallsvarable wrd durch hre möglche Werte ud de Wahrschelchete = = Zähldchte geezechet, wobe = se muss. Für de Vertelugsfuto glt F Treefuto. Besel: Dre uabhägge Schüsse auf ee Schebe mt der jewelge Trefferwahrschelchet /. s se e Modell für de zufällge Trefferzahl ach dre Schüsse. Möglche Werte vo : =, =, =, 4 = Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-5,,, 4 vgl. Besel auf S Somt ergbt sch de Vertelugsfuto zu F Defto 7-5: e Zufallsvarable heßt stetg, we es ee tegrerbare Futo f gbt, so dass sch de Vertelugsfuto für der Form F f d darstelle lässt. f heßt da Dchtefuto vo. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-6

18 Amerug: De Dchtefuto st ee chtegatve Futo, d.h. f, de Vertelugsfuto F st stetg, ud es glt F f für alle Stetgetsstelle vo f. s folgt ud damt P F F f d F F f d. Be eer stetge Zufallvarable glt da lm h h h h lm f ' d' Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus rwartugswert ud Varaz Wchtge Iformatoe über ee Vertelug, we auch der Regel ee vollstädge Beschrebug, lefer bestmme Kewerte Vertelugsarameter. Defto 7-6: Ist ee dsrete Zufallsvarable mt de Werte ud der Zähldchte, da heßt rwartugswert vo, falls. Ist ee stetge Zufallsvarable mt der Dchtefuto f, da heßt f d rwartugswert vo, falls f d. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-8

19 Defto 7-7: Ist ee Zufallsvarable, da heßt Var Varaz vo, Var Stadardabwechug vo, we der agegebee rwartugswert estert. Im dsrete Fall berechet sch Var gemäß Var j j j j Im stetge Fall erhält ma etsreched Var f d f d f d. j j. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-9 Besel: Dre uabhägge Schüsse auf ee Schebe mt der jewelge Trefferwahrschelchet /. s se e Modell für de zufällge Trefferzahl ach Schüsse. Möglche Werte vo sd =, =, =, 4 = mt,,, 4 vgl. Besel auf S Für de rwartugswert erhält ma 4 ud für de Varaz Var j j j j 8 4 Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-8 j j 8 8 4

20 Bestzt ee Zufallsvarable de rwartugswert = ud de Varaz Var =, so lässt sch mttels Y g ee stadardserte Zufallsvarable Y zuorde, für dere rwartugswert Y g ud dere Varaz glt. Var Y Y Y Y Y Y Var Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Besele für Vertelugsfutoe 7.5. Null-s-Vertelug Zufallsvarable mt eer Null-s-Vertelug ege sch zur Modellerug vo Zufallseermete mt ur zwe möglche rgebsse Beroull-ermete, z.b. bem Werfe eer Müze. falls A etrtt Zufallsvarable : falls A etrtt Bestzt das regs A de Wahrschelch, so glt = =, = =. Der rwartugswert eer Null-s-vertelte Zufallsvarable lautet = + =. Für de Varaz vo erhält ma Var = = =. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-

21 Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Bomalvertelug Wr führe =,, voeader uabhägge Beroull-ermete durch ud setze voraus, dass de Wahrschelchet des tretes vo A be jedem ermet glech st, d.h. A = mt < <. Ausgehed vo desem ermeterschema utersuche wr de Zufallsvarable = zufällge Azahl der ermete, vo sgesamt ermete, be dee A etrtt De Zufallsvarable bestzt de Werteberech {,,,}. Für belebge =,, ud < < ergbt sch de Zähldchte vo zu P ud de Vertelugsfuto zu Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4 P F. Offeschtlch glt. F Für de rwartugswert ud de Varaz erhalte wr

22 ud Var Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Bomalzähldchte.9 Bomalvertelugsfuto = = F Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-6

23 7.5. Posso-Vertelug Ist bomalvertelt mt ud, ud st groß ud le mt >, so a de Bomalvertelug äherugswese durch de Posso-Vertelug ersetzt werde. Aus,, folgt de!!!!!!! e e e. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-7 De Vertelugsfuto lautet F! Für de rwartugswert ud de Varaz erhalte wr e e e e!!!! ud Var e! e! e e! e! Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-8

24 .8 Posso-Zähldchte Posso-Vertelugsfuto.7.9 = =.4. F Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Hyergeometrsche Vertelug Werde aus eer Ure mt M schwarze ud N M rote Kugel Kugel mt zurüclege gezoge, so st de Wahrschelchet, be eem Zug ee schwarze Kugel zu zehe, mmer M/N = ud ee rote N M/N =. De Wahrschelchet, dass vo gezogee Kugel schwarz sd, bestmmt sch ach dem Modell der Bomalvertelug zu Wrd das gleche ermet ohe Zurüclege durchgeführt, so ergbt sch dagege M N M Azahl der güstge Fälle P. Azahl der möglch Fälle N Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4

25 Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4 De Vertelugsfuto lautet. N M N M P F Für de rwartugswert ud de Varaz erhalte wr M N N M N M ud. Var N N N M N M M N N M N M Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus Rechtecvertelug s gelte a < b. e stetge Zufallsvarable mt der Dchtefuto, a b f b a heßt rechtecvertelt glechvertelt, wobe M de Idatorfuto der Mege M bezechet, d.h. sost,, M M De Vertelugsfuto der rechtecvertelte Zufallsvarable a we folgt ausgedrüct werde. b b a a b a a d a b d f F b a, ], [,, ' ' ' ',

26 Für de rwartugswert ud de Varaz erhalte wr ud Var b a b a b a f a b 4 d b a b a b a b a b a b a b a d a b a b d 4 b a a b b a 4 b a e rechtecvertelte Zufallsvarable R, wrd häufg zur Modellerug der zufällge Nullhase ees Sussgals verwedet. Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-4 Rechtecdchtefuto Rechtecvertelugsfuto a =, b =.8.8 f.6 F Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-44

27 7.5.6 oetalvertelug e stetge Zufallsvarable bestzt ee oetalvertelug, we hre Dchtefuto durch f e [, gegebe st. De Vertelugsfuto berechet sch heraus zu F f ' d' e ' d' e ' [, ' d' e. Für de rwartugswert ud de Varaz erhalte wr ud f d [, e d Var d Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-45 e. De oetalvertelug fdet Awedug be der Lebesdauer vo techsche Bautele ud Systeme, z.b. vo Glühlame..9 oetaldchtefuto oetalvertelugsfuto = f F Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-46

28 7.5.7 Normalvertelug Als ormalvertelt öe wr Zufallsvarable asehe, de durch Überlagerug eer große Zahl vo flüsse etstehe, wobe jede ezele flussgröße ur ee m Verhälts zur Gesamtsumme ubedeutede Betrag lefert, z.b. we be der tstehug vo Messfehler. e stetge Zufallsvarable heßt ormalvertel mt de Parameter ud >, Kurzschrebwese N,, we hre Dchte- ud Vertelugsfuto durch ud F gegebe sd. f e f ' d' e Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-47 ' d' Der rwartugswert ud de Varaz vo N, lautet ud Var f d e d f d e d Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-48

29 .45 Normalvertelugsdchtefuto.4 Normalvertelugsfuto =, =.5..8 f.5. F Hochschule Breme Höhere Mathemat 4 / Prof. Dr.-Ig. Deter Kraus 7-49