11. STATISTIK Begriffsbestimmung. Statistik

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1 . STATISTIK.. Begrffsbestmmug De Statst st we auch de Wahrschelchetsrechug e Wssesgebet der sogeate Stochast. De Stochast a ma als de Lehre vo zufällge Vorgäge bzw. Eregsse beschrebe. Als zufällge Eregsse bezechet ma Vorgäge, dere Ausgäge cht geau vorhersagbar sd. Es st cht emal scher, ob de Eregsse etrete werde. Der Begrff zufällg m S der Stochast muß jedoch geau festgelegt werde. Ee zufällge Auswahl st ee Auswahl, be der jedes Elemet de gleche Chace hat, ausgewählt zu werde; d.h. ees der Elemete darf bevorzugt oder beachtelgt werde. Das Ergebs darf cht vo subjetve Edrüce des Auswählede abhäge. Bespele: - Es dürfe repräsetatve Umfrage Haushalte cht ur vormttags durchgeführt werde, da zu desem Zetput ur e bestmmter Persoeres (Berufstätge fehle) erfaßt würde. - Ee zufällge Auswahl aus eer Persoegruppe sollte cht aus de Persoe dret getroffe werde (sympathsches oder weger sympathsches Aussehe), soder z.b. durch Zuorde vo Nummer ud Zehe aus eer Ure getätgt werde. De Statst a u folgedermaße beschrebe werde: De Statst st de Gesamthet aller Methode zur Utersuchug vo Masseerscheuge ud umfaßt de Bereche beschrebede Statst ud beurtelede Statst

2 De beschrebede Statst hat de Aufgabe, Datemateral zu sammel, zu orde, überschtlch darzustelle ud daraus bestmmte Kezahle zu bereche. Weters solle aus dem gesammelte Datemateral eer möglchst umfagreche Stchprobe Wahrschelchete für de Gesamthet geschätzt werde. Somt st de beschrebede Statst ee Hlfswsseschaft der Wahrschelch-etsrechug. De beurtelede Statst hat de Aufgabe, mt Hlfe der Wahrschelchetsrechug abzuschätze, we gerechtfertgt e Rücschluß aus eer Stchprobe auf de Gesamthet st ( Teste vo Hypothese ). Somt st desem Fall de Wahrschelchetsrechug ee Hlfswsseschaft der beurtelede Statst. Im folgede Abschtt wrd ur auf de beschrebede Statst egegage... Methode der Statst (a) Erhebug ud Aufberetug vo Datemege I jeder statstsche Utersuchug muß ee große Zahl vo Date erhobe ud ausgewertet werde. Des a auf zwe Arte erfolge; ämlch eersets durch seudärstatstsche Erhebuge, d.h. Zurücgrefe auf berets vorhadee Date aus statstsche Jahrbücher, amtlche Statste, Fachlteratur, etc. oder aderersets durch prmärstatstsche Erhebuge, we z.b. eue Utersuchuge ötg sd. Bespele: - I eer Schule solle zur Durchführug vo Schlaglaufurse zetral de Ausrüstuge ageschafft werde. Um zu wsse, wevele Stüc pro Größe für de ächste Jahre geauft werde solle, wrd e Frageboge a alle 560 Schüler ausgegebe, dem ach Körpergröße ud Schuhummer gefragt wrd. - De durchschttlche Lebesdauer eer euetwcelte Glühbre soll bestmmt werde. Dazu werde 000 Glühbre eer Dauerbelastug uterzoge ud aus de gemessee Brezete de durchschttlche Lebesdauer errechet

3 - E eues Medamet gege Allerge soll auf de Mart gebracht werde. Um desse Wrsamet zu teste, wrd ee Gruppe vo 300 Allerger gezelt uterschedlche Dose hres Allerges ausgesetzt ud aschleßed de Wrug auf Augerötug ud Naseschlemhautschwellug mt ud ohe Medamet geau beobachtet ud aufgezechet. De Methode der Dateerhebug sd dabe: schrftlche oder müdlche Befragug; Expermet (Messug); Beobachtug. Aus jedem der obge Bespele öe u Aussage gewoe werde, de bestefalls so gut sd, we de Date, auf de se sch bezehe. Aus ugeaue Erhebuge sd ee svolle Aussage möglch. So müsse z.b. bem Glühbretest alle Lampe mt glecher Spaug ud Stromstäre versorgt werde. Alle Bespele st folgedes gemesam: I jeder Dateerhebug wrd ee Gesamthet vo Elemete auf e (oder mehrere) Mermal(e) x, (y,...) h utersucht. Bespele: Gesamthet : Mermal x (Varable) - Mege vo 560 Schüler 560 Körpergröße, Schuhummer - Mege vo 000 Glühbre 000 Bredauer - Mege vo 300 Allerger 300 Augerötug, Schlemhautschwellug (b) Orde der Date ud Ermttel vo Häufgete Zum Orde der Date muß zuächst festgestellt werde, ob das utersuchte Mermal x eer edlche Zahl (dsrete Varable) oder uedlche bzw. sehr große Zahl (otuerlche Varable) vo Mermalauspräguge (Varablewerte) vorommt. Am Beg des Dateordes steht das Orde der Date ach hrer Größe, sofer es sch um quattatve Date hadelt

4 Zusätzlch st es mest otwedg, ee Klasseetelug durchzuführe. Ee Klasseetelug st de Utertelug des Varablewertesberechs zueader elemetfremde Telbereche. E solcher Telberech wrd als Klasse bezechet. Be quattatve Date et ma de Dfferez zwsche größtem ud leste Wert eer Klasse de Klassebrete. Be Klasseeteluge müsse de ezele Klasse darüberhaus cht gleche Klassebrete aufwese. De Etelug elemetfremde Bereche eer Datemege bezechet ma als Klasseetelug. Bespele: - I der Befragug vo 560 Schüler eer Schule ach hre Schuhgröße trate de Größe 36 bs 46 auf. D.h. das Mermal Schuhgröße trat Auspräguge de Varablewerte x 36; x 37; x 3 38;..., x 46 auf ud somt eer edlche Azahl. - Be der Brezet vo Glühbre öe belebge Zete zwsche wege Mute ud über 5000 Stude auftrete, bs e Defet etrtt. Ma muß daher zuächst ee Mdestbredauer festlege, uter der alle Testglühbre als defet gelte ud daher für de Bewertug der Bredauer eer tate Glühbre cht Betracht omme ud aus der Wertug geomme werde. Für de verblebede Brezete, de de Statst aufgeomme werde, wrd es auch cht svoll se, jede Zet als egee Mermalsausprägug auszuwerte, soder ma wrd ee geegete Etelug (Klasseetelug) vorehme. Das Mermal Bredauer wrd m folgede mt x bezechet. Klasse 3000 Std. x < 300 Std. Klasse 300 Std. x < 3400 Std. Klasse Std. x < 3600 Std. Klasse Std. x < 3800 Std. Klasse Std. x < 4000 Std Klasse Std. x < 6000 Std

5 Somt hat ma de zuächst überaus zahlreche Zete (aber cht uedlch vele) auf 5 Klasse, d.h. 5 Varablewerte, reduzert. Zwecmäßgerwese wählt ma dazu ee ostate Klassebrete - her 00 Stude. Lege ach Auswertug der Meßergebsse vellecht de Klasse bs 5 ur och sehr wege Elemete (Glühbrebredauer), so öte dese zu eer Klasse mt x 5000 Std. zusammegefaßt werde. Auf dese uterschedlche Klassebrete muß jedoch eer graphsche Darstellug des Sachverhalts Rücscht geomme werde, um cht zu eer falsche Iterpretato des Ergebsses zu omme. - Der Grad der Augerötug vo utersuchte Allerger trtt otuerlch uedlch vele Rottöe (uedlche Varablewertazahl, also otuerlche Varable) auf ud a daher ur auf Grud der Meßgeauget der optsche Aalysegeräte Klasse egetelt werde, z.b. Klasse Klasse Klasse 3 Klasse 4 ee Rötug lechte Rötug mttlere Rötug stare Rötug D.h. de Varable x Augerötug trtt somt ur och 4 Varablewerte x, x, x 3, x 4 auf. Ist das Etele ud Orde der Date aus der sogeate Urlste abgeschlosse, a mt der Auszählug der ezele Date mt jewels eer bestmmte Mermalsausprägug x ( Ν, ; st de Azahl der verschedee Varablewerte des Mermals x) begoe werde. Dese Azahl wrd als absolute Häufget H bezechet. De Azahl der Elemete mt jewels der gleche Mermalsausprägug wrd als de absolute Häufget H bezechet. De Ermttlug der absolute Häufget a für de ezele Date oder aber auch für de ezele Klasse erfolge

6 Bespel: ad Bespel Schuhgröße x... Schuhgröße H... Schülerzahl x 36 6 H x H x H 3 x H 4 x H 5 x H 6 x H 7 x H 8 x H 9 x H 0 x 46 5 H sgesamt 560 Be desem Vorgag glt: De Summe aller absolute Häufgete muß de Azahl der Elemete der Gesamthet ergebe: H De absolute Häufget ees bestmmte Varablewertes st als allege Agabe ohe de Kets der Gesamtzahl cht aussageräftg, de 90 vo 00 sd sehr vele, 90 vo 000 sd relatv wege; daher sagt de Zahl 90 allee chts aus. Aus desem Grud wählt ma für de Agabe der Häufget eer Mermalsausprägug x üblcherwese de relatve Häufget h. De relatve Häufget beträgt: h H 0 h Häufg wrd de relatve Häufget auch Prozet vo der Gesamthet ausgedrüct: De relatve prozetuelle Häufget beträgt: h (%) H 00 0% h (%) 00% - 4 -

7 Bespele: - ad Bespel Schuhgröße H 6 h 0,007 $,07% H 45 h 0,0804 $ 8,04% H3 8 h3 0,464 $ 4,64% H4 98 h4 0,75 $ 7,50% H5 87 h5 0,554 $ 5,54% H6 84 h6 0,5 $ 5,00% H7 5 h7 0,09 $ 9,% H8 3 h8 0,04 $ 4,% H9 48 h9 0,0857 $ 8,57% H0 3 h0 0,0554 $ 5,54% H 5 h 0,0089 $ 0,89% h $ 00% - ad Bespel Bredauer Bredauer Stude x H h (%) x Klasse [3000;300) 7 0,007 $ 0,7% x Klasse [300;3400) 8 0,008 $ 0,8% x 3 Klasse 3 [3400;3600) 0,0 $,% x 4 K ,04 $ 4,% x 5 K ,065 $ 6,5% x 6 K ,096 $ 9,6% x 7 K ,04 $ 0,4% x 8 K ,73 $ 7,3% x 9 K ,05 $ 0,5% x 0 K ,43 $ 4,3% x K. 08 0,08 $ 0,8% x K. 7 0,07 $ 7,% x 3 K ,034 $ 3,4% x 4 K 4. 0,0 $,% x 5 Klasse 5 [5800;6000) 0 0,00 $,0% 5 H h $ 00%

8 - ad Bespel Allerger ohe Eahme des Medametes ach Eahme des Medametes Augerötug x H h $ h (%) H h $ h (%) x ee Rötug 3 0,0 $ % 4 0,4 $ 4% x lechte Rötug 0,04 $ 4% 0 0,34 $ 34% x 3 mttlere Rötug 9 0,43 $ 43% 96 0,3 $ 3% x 4 stare Rötug 56 0,5 $ 5% 60 0, $ 0% 300 $ 00% 300 $ 00% Abgesehe vo ugeaue Ruduge muß mmer gelte: h h (%) 00% (c) Graphsche Darstelluge De relatve Häufgete lasse sch verschedee Dagramme, sogeate Hstogramme, darstelle, um ee Überblc über de Häufgetsvertelug zu gewe. Stabdagramm Bespele: Azahl der Schüler mt der jewelge Schuhgröße H Schuhgröße

9 Augerötug ach Eahme des Medametes h (%) ee lechte mttlere stare Augerötug Kresdagramm Bespel: stare ee Augerötug ach Eahme des Medametes mttlere lechte Säuledagramm Bespel: Augerötug ach Eahme 00% 80% 60% 0 3 stare mttlere des Medametes 40% 0% 0% 34 4 lechte ee I alle Darstelluge sd de Höhe der Rechtece, Läge der Stäbe, Wel der Kresausschtte bzw. Höhe der Säuleabschtte proportoal zu de Häufgete. Läge ud Wel Hstogramme sd proportoal zu de Häufgete

10 Sd de Varablewerte x Klasse vo quattatve Date we m Bespel Bredauer ud wählt ma als graphsche Darstellug der Häufgete Rechtece, wobe de Rechtecsbrete maßstabsgetreu der Klassebrete etsprcht, so sd de Häufgete ur da proportoal zu de Rechtecshöhe, we de Klasse alle glech bret sd. Be uterschedlcher Klassebrete muß mmer beachtet werde, daß de Flächehalte der Rechtece eem Hstogramm proportoal zu de etsprechede Häufgete se müsse. Hstogramm be Klasseetelug Höhe Hä ufget Klassebrete Bespel: ad Bespel Bredauer De Klassebrete habe alle de gleche Brete, ämlch 00 Stude. Im Hstogramm sd de Höhe aller Rechtece also proportoal zu de Häufgete. Faßt ma de erste dre Klasse zusamme, also zu [3000;3600), zu sd deser eue Klasse mt der Klassebrete 600 u 6 Lampe ethalte. Im Hstogramm st de Höhe der eue Klasse jedoch cht 6 Ehete hoch ezuzeche, soder durch 3 zu dvdere, da de Klasse dremal so bret st. H H K K3 K5 K7 K9 K K3 K5 K K3 K5 K7 K9 K K3 Bredauer Bredauer Das zwete Hstogramm west aufgrud der Zusammefassug dreer Klasse ur mehr 3 Klasse auf. Im spezelle st de Klasse K ur 6 : 3 8,67 Ehete hoch gezechet. Wrd be der Darstellug Hstogramme de Klassebrete cht etspreched berücschtgt, so vermttel de Hstogramme ee falsche Edruc. Oftmals wrd des jedoch bewußt zur Mapulato des Betrachters verwedet

11 .3. Zetralmaße Mest versucht ma der Statst de Velzahl der aufgeommee Date durch ee Zahl zu ersetze, welche de gaze Lste möglchst gut repräsetert. Solche Zahle bezechet ma als Zetralmaße. Es gbt verschedee solche Zetralmaße: Mmum, Maxmum, Spawete, Modus, Meda, Quartle ud dverse Mttelwerte. Im folgede wrd zwsche dret ablesbare Zetralmaße, de ohe Berechug aus der Datemege ermttelt werde öe, ud de Mttelwerte, de sch erst ach Berechug ergebe, uterschede. (a) Dret ablesbare Zetralmaße Das Mmum m st ahelegeder Wese der leste Wert der Datemege, das Maxmum max etspreched der größte Wert der Datemege. Als Spawete S bezechet ma de Dfferez zwsche Maxmum ud Mmum. Der Modus oder Modalwert M st der Varablewert mt der größte Häufget. Er wrd da ee Lste gut repräsetere, we de Häufget des Modus vel größer als de Häufget der übrge Werte st ud außerdem de meste auftretede Varablewerte der Nähe des Modus lege. Der Meda oder Zetralwert Z st der der Mtte stehede Varablewert der der Größe ach geordete Lste der Varablewerte. Der Meda st also cht geeget als Zetralmaß für re qualtatve Varable (z.b. Haarfarbe vo Persoe). Zu Ermttlug muß ma zuächst alle Werte der Größe ach orde, wobe gleche Werte mehrmals hrer Häufget etspreched ageschrebe werde x x x 3... x. Da glt: Z x + x falls gerade bzw. Z x + + falls ugerade Be eer gerade Azahl vo Werte ergbt sch also der Meda aus dem Mttelwert der bede der Mtte stehede Werte. Be eer ugerade Azahl vo Werte st der Meda der der Mtte stehede Wert. Der Meda telt de Lste aller Werte zwe glech große Tele, ämlch de Mege der daruter-legede ud de der darüberlegede Werte. Machmal st es vo Iteresse, de Datelste cht ur zwe glech große Tele zu tele, soder ver Bereche, dee jewels glech vele Werte lege. De Greze deser Vertel sd durch de sogeate

12 Quartle gegebe. Der utere Quartl oder. Quartl Q st der Meda der. Hälfte der Werte; der obere Quartl oder 3. Quartl Q 3 st der Meda der. Hälfte der Werte. Bespel: Be eem Wettree vo 0 Läufer wurde folgede Zete gemesse (Lste geordeter aufstegeder Rehefolge). 9,s; 9,3s; 9,3s; 9,4s; 9,4s; 9,5s; 9,6s; 9,6s; 9,6s; 9,8s; 9,9s; 9,9s; 0,0s; 0,0s; 0,0s; 0,0s; 0,s; 0,s; 0,s; 0,3s. E Läufer mt der Zet 9,6s wll wsse, ob er m beste Vertel legt. Ermttel Se zusätzlch alle bsher beate Zetralmaße. I desem Fall sucht ma also de Quartle. Da 0 gerade st, st der Meda der Mttelwert zwsche 0. ud. Wert der Lste, also Z ½ (x 0 + x ) ½ (9,8 + 9,9) 9,85 Der. Quartl st der Meda der utere Hälfte, ud da u 0, st der. Quartl der Mttelwert zwsche 5. ud 6. Wert der Lste, also Q ½ (x 5 +x 6 ) ½ (9,4 + 9,5) 9,45 Der Läufer legt cht m beste Vertel. Der Läufer legt m zwete Vertel, d.h. der bessere Hälfte, aber cht m beste Vertel. Er st aber wesetlch besser als der Modus M 0,0s. Abschleßed de fehlede Zetralmaße: Q 3 ½ (x 5 + x 6 ) ½ (0,0 + 0,0) 0,0 m 9,; max 0,3; S,; M 0 Zu de bsherge Zetralmaße st azumere, daß e Wert allee de Datelste gut repräsetere a. Erst durch das Wsse mehrerer Zetralmaße a ma ee verefachte Überblc über de Datelste erhalte. Zur Repräsetato eer Datelste vo quattatve Date durch ee allege Wert verwedet de Statst mest ee der sogeate Mttelwerte. Da sch dese aus der Datelste erreche lasse ud daher jeder Wert der Datelste verwedet wrd, sd dese uglech repräsetatver als de bsherge Zetralmaße. Trotzdem muß lar blebe, daß e ezeler Wert ee Überblc über ee Datelste gebe a

13 (b) Mttelwerte Zur Repräsetato eer Datelste vo quattatve Date verwedet de Statst mest de arthmetsche Mttelwert x. De Mermalsauspräguge müsse durch Zahle agegebe se, welche cht ur Verschedeartget ud Ragordug ausdrüce, soder mt dere Hlfe auch Abstäde zwsche de Mermalsauspräguge agegebe werde öe. Ma et x x + x x x das arthmetsche Mttel der reelle Zahle x. Zur Berechug des arthmetsche Mttels werde also alle Wert addert ud dese Summe durch de Azahl der Werte dvdert. Sd de x cht alle verschede, soder trete mehrere gleche Date auf, so fertgt ma zuächst ee Häufgetstabelle a. Sd da x, x,..., x alle verschedee Varablewerte mt de absolute Häufgete H, H,..., H ud de relatve Häufgete h, h,..., h, da glt: x x H + x H x H x H bzw. x x H H H + x x x h + x h x h x h Das arthmetsche Mttel st vor allem da das geegete Zetralmaß, we es um Summebldug geht, de x st jee Zahl, für de glt: x x H + x H x H x Das arthmetsche Mttel st also jee Zahl, de ma -mal addere öte, um de gleche Summe aller tatsächlche Werte x, x, x 3,..., x zu erhalte. De Formel für de arthmetsche Mttelwert uter Berücschtgug der Häufgete der Varablewerte wrd auch gewogees arthmetsches Mttel der Varablewerte x, x, x 3,..., x mt de Gewchte h, h, h 3,..., h geat. Gewogees arthmetsches Mttel: x x H x h

14 Bespele: - ad Bespel Schuhgröße 560 Schuhgröße vo x 36 bs x 46 x x 40,38 - ad Bespel Bredauer 000 Bredauer vo Glühbre vo 3000 Stude bs 6000 Stude 5 Klasse egetelt. Zur Berechug des Mttelwertes ersetzt ma de ezele Klasse durch de Mttelwert der jewelge Klassegreze: x 000 ( ) x 46,8 Stude Es wrd daher svoll se, de mttlere Bredauer der Glühbre mt ca Stude azugebe. - ad Bespel Allerger 300 Augerötug mt Medamet 4 Klasse egetelt Um de Mttelwert zu bereche, ersetzt ma de qualtatve Werte der ezele Klasse durch Zahle z.b. x ; x ; x 3 3; x 4 4 x x,58; also bem Übergag vo der. zur 3. Klasse Im Schtt hatte de Patete mt Medameteeahme ee lechte bs mttlere Augerötug

15 Der Vollstädget halber se erwäht, daß es zur Mttelwertbldug cht ur de Möglchet des arthmetsche Mttels gbt, soder auch och das geometrsche Mttel ud das harmosche Mttel. I der Statst st jedoch mest das arthmetsche Mttel vo Bedeutug. De geometrsche Mttelwert $x beötgt ma zur Durchschttsberechug be expoetelle Wachstums- oder Abahmeprozesse. Ma et x$ x x... x das geometrsche Mttel der reelle Zahle x. Bespel: I eem Betreb wurde 5 aufeaderfolgede Jahre de Produtoszahle jewels um 5%; 35%; 05%; 5% ud 30% gestegert. We groß st de durchschttlche jährlche Stegerug? Ageomme ma berechet das arthmetsche Mttel aus de Stegeruge: x So müßte also ee durchschttlche Stegerug um 40% durch alle 5 Jahre dasselbe Resultat lefer, we de tatsächlche Stegeruge. Be eer Ausgagsproduto P 0 ergbt sch da: P (ach eem Jahr) P o + 5 P 0 Po,05 00 P (ach zwe Jahre) P + 35 P P,35 P o,05,35 usw. 00 ud letztedlch für P 5 P o,05,35,05,5,3 P o 4,7 Mt 40% jährlcher Stegerug erhält ma für P 5 P 0,40 5 P o 5,378, also e wesetlch größeres Edresultat. Der arthmetsche Mttelwert st daher cht zufredestelled. Ist p de gesuchte prozetuelle Stegerug, da muß gelte: P o,05,35,05,5,3 P o (+ p 00 )5 p , 35, 05, 5, 3, 00 p +, p 36, 4 De durchschttlche prozetuelle Stegerug durch alle 5 Jahre betrug 36,4%

16 De Werte x, x,..., x 5 sd also cht de Prozetzahle 5, 35, 05, 5 ud 30 soder de Wachstumsfatore,05;,35;,05;,5 ud,3. Bem arthmetsche Mttel ädert sch de Summe der Datelste cht, we ma de Mttelwert -mal astatt der ezele x addert. Etspreched ädert sch bem geometrsche Mttel das Produt cht, we ma de Mttelwert -mal astatt der ezele x multplzert. Der harmosche Mttelwert ~ x st mmer da azuwede, we de Varablewerte verehrt proportoal zu jeer Größe sd, de sch durch de Durchschttsbldug cht veräder darf. Ma et ~ x x x x das harmosche Mttel der reelle Zahle x. Bespel: E Refahrer fährt htereader 6 Rude mt folgede mttlere Geschwdgete: 90 m/h, 05 m/h, 85 m/h, 08 m/h 0 m/h ud 98 m/h. We groß st de mttlere Geschwdget für alle 6 Rude? De aufgewedete Gesamtzet darf sch durch Verwedug des Mttelwertes astatt der Ezelgeschwdgete cht äder. Es glt: t s (t... Zet, s... Weg, v... Geschwdget) v v st also verehrt proportoal zu t s s s s s s 6s v ~ ~ v v ~ 97, 5 m/h Mt eer Durchschttsgeschwdget vo 97,5 m/h über alle 6 Rude hätte der Refahrer deselbe Gesamtzet errecht. Oftmals wrd gerade be der Berechug der durchschttlche Geschwdget m Alltagslebe fehlerhaft vorgegage

17 .4. Streuugsmaße De Agabe ees Zetralmaßes allee besagt mest sehr weg über de vorlegede Datelste, we cht beat st, we star de ezele Werte der Lste vom Zetralmaß abweche bzw. um das Zetralmaß streue. Ee Möglchet, de Streuug vo Date auszudrüce, st de mttlere (absolute) Abwechug s * vom Zetralmaß. Ma versteht daruter de arthmetsche Mttelwert aller Absolutbeträge der Dffereze aller Lstewerte vom Zetralmaß (Zm). De Absolutbeträge sd ötg, da sch sost m Durchschtt egatve ud postve Abwechuge aufhebe würde. Ma et s * x Zm de mttlere absolute Abwechug der reelle Zahle x vo eem Zetralmaß Zm. Wählt ma als Zetralmaß de Mttelwert x, da glt : * x x + x x x x s x x Be x, x,..., x verschedee Varablewerte mt de absolute Häufgete H, H,..., H ud de relatve Häufgete h, h,... h ergbt sch da: s * H x x h x x Zur Berechug der absolute Abwechuge st das geegetste Zetralmaß cht das arthmetsche Mttel, soder der Meda, da für de Meda de mttlere Abwechug s * x Z de leste Wert errecht. Für de arthmetsche Mttelwert errecht de Summe der Quadrate der Abwechuge hre leste Wert. Dese Behauptug, we auch der Bewes st erst ach dem Kaptel Dfferetalrechug eschtg. Aus desem Grud st für de arthmetsche Mttelwert das geegete Streumaß der Mttelwert der Quadrate der Abwechuge. Ma et dese mttlere quadratsche Abwechug vom arthmetsche Mttel (emprsche) Varaz

18 Ma et V ( x x) bzw. ( ) ( ) V x x H x x h de emprsche Varaz der reelle Zahle x. Dese Formel läßt sch och verefache zu: V H x x h x x Steerscher Verschebugssatz Bewes: V ( ) ( )... ( ) x x H + x x H + + x x H ( ) ( )... ( ) x x x+ x H + x x x+ x H + + x x x+ x H + + x H x xh x H x H x xh x + x H x x x H x Aus der Varaz läßt sch durch Wurzelzehe de sogeate emprsche Stadardabwechug s eer Lste vo Werte mt dem arthmetsche Mttel x erreche. De emprsche Stadardabwechug s beträgt: s V ( x x) x x bzw. s V H( x x) H x x h x x De emprsche Stadardabwechug st das gebräuchlchste Streuugsmaß

19 Um Lste mteader vergleche zu öe, muß mmer das Streuugsmaß m Zusammehag mt dem Zetralmaß agegebe werde. Wll ma beurtele, be welcher Lste de Werte stärer streue, so geügt es ur da, de absolute mttlere Abwechuge bzw. de Stadardabwechuge der Lste mteader zu vergleche, we de Lste ugefähr deselbe Meda bzw. arthmetsche Mttelwert aufwese. De es st zum Bespel be eer mttlere Läge vo 0 m ee Abwechug vo mm sehr gerg; aber be eer mttlere Läge vo 0 mm wäre de Abwechug vo mm extrem groß. * s Streuuge öe daher ur verglche werde, we se durch de Varabltätsoeffzete v Z s bzw. durch de Varatosoeffzete v agegebe werde. I bede Fälle wrd üblcherwese de x Abwechug (s * bzw. s) Prozet vom Zetralmaß (Z bzw. x ) agegebe. * Ma et * s s de Varabltätsoeffzete ud v de Varatos- Z x oeffzete. v * Nachfolged solle für de Bespele Schuhgröße ud Bredauer de Streuugsmaße berechet werde. Bespele: - ad Bespel Schuhgröße x H H x Z H (x x ) , , , , , , , , , , ,0 Z 40 x 40, s *, ,50 s,

20 De Stadardabwechug läßt sch aufgrud der gegebee Häufgete lechter mt der etsprechede Formel bereche: s x H x ( ) , 38, 34 Nu lasse sch Varabltätsoeffzet ud Varatosoeffzet bereche. v 88 0, 047 4, 7% 40 *, 45, v 0, 060 6% 40, 37 Streuug um Z Streuug um x De durchschttlche Schuhgröße der Schüler beträgt 40,37 ± 6% bzw. de Schuhgröße lege mt ± 4,7% um de Größe 40. Welches Maß das aussageräftgste bzw. das svollste st, hägt przpell mmer vom orete Bespel ab. Im obge Fall st de Streuug um de Meda Z, der ja selbst ee Schuhgröße darstellt, scher de teressatere Aussage. - ad Bespel Bredauer Klassemtte x H H x Z x H 0 4 Klassemtte x H H x Z x H Z4500 x s * 437, ud s 365,95 v * 3% ud v 9,35% De mttlere Bredauer der Glühlampe beträgt also 4600 Stude ± 9,35%

21 .5. Zusammehäge zwsche Datemege (a) Regressosaalyse Be vele statstsche Erhebuge wrd de Gesamthet der Elemete auf mehrere Mermale x, y,... h utersucht, wobe m Aschluß cht ur de Auswertug der ezele Varable vo Bedeutug st, soder es wrd vo Iteresse se, Zusammehäge zwsche de ezele Varable zu utersuche. Zum Bespel wrd oft e Zusammehag hergestellt zwsche Körpergröße ud Körpermasse, zwsche Luftdruc ud Nederschlagsmege, zwsche Werbugsoste ud Umsatzstegerug, u.v.a. Bespel: ad Bespel Schuhgröße De Schüler wurde auch ach hrer Körpergröße befragt. Im folgede werde 0 solcher zusammehägeder Date herausgegrffe: x (Schuhummer) y (Körpergröße m) x (Schuhummer) y (Körpergröße m) 36,4 40,59 37,40 40,56 37,45 40,57 38,47 40,50 38,50 40,5 38,5 4,59 39,50 4,5 39,54 4,58 39,49 4,57 39,5 4,60 Z 39,5 Z,5 x 39,35 39,4 y,59,5 Aus de Date läßt sch e tedezeller Zusammehag eree; ämlch mt zuehmeder Größe der Schuhummer wrd auch de Körpergröße größer. Dese Tedez muß jedoch cht jedem Ezelfall stmme (z.b. 4/,5). Darüberhaus a auch ee Aussage über de Stäre deses Zusammehags gegebe werde. Besser als eer Tabelle läßt sch e evetueller Zusammehag eem Streudagramm eree. I eem solche Dagramm werde alle Wertepaare (x ;y ) als Pute P (x y ) dargestellt. Auf dese Wese etsteht ee Putwole, dere Schwerput durch S( x y ) gegebe st

22 ,6 Bespel: Streudagramm zum Bespel Schuhgröße / Körpergröße Körpergröße,55,5,45 S, Schuhgröße De Regressosaalyse versucht de Zusammehag zwsche zwe Varable durch ee Futo zu beschrebe. We gut deser Zusammehag tatsächlch gegebe st, wrd durch de Korrelatosaalyse ausgedrüct. Im efachste Fall a der Zusammehag durch ee leare Futo beschrebe werde. I desem Fall sprcht ma vo learer Regresso. Ma versucht be desem Verfahre, de Putewole durch ee Gerade verefacht darzustelle. Der Graph der leare Regressosfuto st also de sogeate Regressosgerade. De Regressosgerade muß de Schwerput der Putwole S( x / y ) ethalte ud soll möglchst ahe be de ezele Pute lege. Wll ma durch leare Regresso aus de x- Werte de y-werte äherugswese bereche, so müsse de Abstäde d Y y der tatsächlche Pute vo der. Regressosgerade y-rchtug möglchst gerg se. Ma mmt als Maß für dese Abwechug cht d, d, etc., da dese für jede Gerade durch S eader aufhebe würde (Vorzeche); auch de Beträge der Abwechuge führe zu Schwerg

23 ete bem Festlege der Regressosgerade. De üblche Methode st de Fehlerquadratmethode vo C.F. GAUSS ( ). De Methode der leste Quadrate verlagt, daß de Summe aller Abwechuge d +d d e Mmum ammt, we de Regressosgerade rchtg festgelegt wrd. Es se Y X + d de Regressosfuto, P (x y ) sd de tatsächlche Pute; auf der. Regressosgerade lege de Pute R (X x Y x + d). De Summe der Abstadsquadrate ergbt sch somt: ( ) ( ) Y y x + d y F(, d) De Werte für ud d solle u so bestmmt werde, daß F(,d) ee Mmalwert ammt. De geaue Berechug erfolgt mt de Mttel der Dfferetalrechug, a deser Stelle se ur das Ergebs ageführt. Für ergbt sch: Für d ergbt sch: xy x y x x y d x De. Regressosgerade lautet Y X + d mt x y x y ud d x x y x. Uter Awedug des Zusammehags y y ud x x lasse sch obge Ausdrüce och umforme: d y x. Des st glechzetg e Bewes dafür, daß der Schwerput S( x y ) auf der Regressosgerade legt. Auch das Ergebs für läßt sch uter Verwedug des Steersche Verschebugssatzes weter verefache

24 xy x y ( ) x x xy xy x x xy x xy x ( x x) ( y y) ( x x) s s xy x I desem Zusammehag bezechet ma s ( x x) ( y y) xy als Kovaraz vo x ud y ud s x ( x x) we bsher als Varaz vo x. Damt läßt sch agebe als Kovaraz vo x ud y. Varaz vo x Da de Abstäde d y-rchtug mmert wurde, stellt de. Regressosgerade u ee Möglchet zur Abschätzug vo y-werte aus gegebee x-werte dar. Ege Tascherecher mt statstsche Futoe sd der Lage, ach Egabe der Datelste x ud y de Zetralmaße, Streuugsmaße ud Koeffzete der Regressosgerade zu bereche. Für de hädsche Berechug geht ma we bsher mt Tabelle vor. Bespel: ad Bespel Schuhgröße / Körpergröße Welche Körpergröße hat e Schüler vorausschtlch mt Schuhgröße 39 bzw. 40? I desem Bespel soll u ee Körpergröße (y) abgeschätzt werde, we de Schuhummer des Schülers (x) beat st. Dazu werde zuächst de Koeffzete der. Regressosgerade errechet. x y x y x x 0 96, , , , d 0, Y 0,0886 X + 0,383 Nu wrd mt de Werte X 39 ud X 40 der Futo egesetzt, um de vorausschtlche Körpergröße Y zu erhalte. Für Schuhgröße 39 schätzt ma ee Körpergröße,508,5m. Für Schuhgröße 40 schätzt ma ee Körpergröße,537,54m

25 Besteht e Zusammehag zwsche de Varable x ud y, so a atürlch cht ur vo x auf y geschlosse werde, soder auch aus beate y-werte auf x. Dazu sollte da allerdgs ee Regressosgerade verwedet werde, für de de Summe der Quadrate der Abstäde der tatsächlche Pute vo der Regressosgerade x-rchtug möglchst le wrd. Des st da de. Regressosgerade. De gesuchte Regressosgerade für dese Fall lautet X * Y + d *. I desem Fall müsse de Abstäde d X x bzw. geauer de Summe dere Quadrate mmert werde. Daher muß also ( ) ( ) * * * * F (, d ) X x y + d x ee Mmalwert aehme. Völlg aalog zur. Regressosgerade ergbt sch: * xy x y y y xy y xy y s s xy y ud d * x y * * x y De. Regressosgerade lautet X * Y + d * mt * x y x y y y ud d * * x y. We de obge Formel zege, legt S( xy )auch auf der.regressosgerade. De zwete Regressosgerade erlaubt es u, für e Y e vorausschtlches X zu schätze

26 Bespel: ad Bespel Schuhgröße / Körpergröße Welche Schuhgröße hat e Schüler vorausschtlch mt Körpergröße,50 m bzw.,54 m? Für deses Bespel ergbt sch folgede. Regressosgerade: * 0 96, , , 08 ( 30, 38) 4, 877 d , 0 0 * *, X 4,877 Y +,568 Nu wrd mt de Werte Y,50 ud Y,54 der Futo egesetzt, um de vorausschtlche Schuhgröße X zu erhalte. Für Körpergröße,50 m a damt de Schuhgröße 38,87 39 abgeschätzt werde. Für Körpergröße,54 m a damt de Schuhgröße 39,87 40 abgeschätzt werde. Um bede Regressosgerade m selbe Koordatesystem ezuzeche ud mteader vergleche zu öe, st es güstger, be bede Gerade Y explzt auszudrüce: sxy sxy. Regressosgerade g : Y X+ d X+ y x s s * d s. Regressosgerade g : Y X X x * y y sy sy X+ y x * * s * s s xy x xy x xy Im Falle ees perfete leare Zusammehages zwsche de Varable x ud y müsse de bede Regressosgerade zusammefalle. Der ächste Abschtt beschäftgt sch geauer mt der Utersuchug des Zusammehags zwsche de bede Regressosgerade ud daher mt dem Zusammehag zwsche de bede Datelste. Dese Utersuchug bezechet ma als Korrelatosaalyse

27 (b) Korrelatosaalyse Nahelegederwese falle de Regressosgerade zusamme, we zwsche de Varable x ud y e perfeter learer Zusammehag besteht. Das bedeutet, daß ma de Regressosgerade mt eem Wert esetze a ud da de tatsächlche Wert, ud cht ur ee Schätzug, als Ergebs beommt. Darüberhaus bedeutet es auch, daß alle Wertepaare der Datelste auf eer Gerade lege. We de Gerade zusammefalle, heßt das, daß se auch de gleche Asteg habe. Es glt also: * ud somt * Im adere Extremfall, we also überhaupt e Zusammehag zwsche de Varable x ud y besteht, ergebe sch aufeader ormal stehede Regressosgerade. I desem Fall st sowohl 0 also auch * 0 ud es glt: * 0 I jedem adere Fall schleße de bede Regressosgerade ee sptze (ud ee stumpfe) Wel α e, der umso größer se wrd, je weger der tatsächlche Zusammehag lear st (0 <α<90 ). De Utersuchug, we gut u de leare Regresso dem tatsächlche Zusammehag agepaßt st, et ma Korrelatosaalyse. Das rechte Maß dafür st also der Wel α zwsche g ud g. Aus ta(α ) ud ta(α ) läßt sch α * ud α erreche. Da st arcta() α ud arcta α, wobe α der Wel zwsche g ud der x- * Achse ud α der Wel zwsche g ud der x-achse st. Es ergbt sch da der Wel zwsche de bede Gerade als α α α. Ee zwete Berechugsmethode uter Verwedug der Vetorrechug lefert folgedes: cos( α ) * * + * + + * Üblcherwese verzchtet ma jedoch auf de Berechug der Wel ud verwedet als Bestmmthetsmaß der Korrelato das Verhälts der Steguge der bede Regressosgerade