Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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1 Wahrschelchketsrechug ud Statstk ) Grudbegrffe der Statstk. Eletug Statstsche Methode dee zur Beurtelug vo Messuge oder Zähluge, kurz Beobachtuge geat, we se us m täglche Lebe velfach begege. Aufgabe der beschrebede Statstk st es, umersche Ergebsse eer Utersuchug (z.b. eer Messrehe oder Umfrage) zu sammel ud so zweckmäßg aufzuberete, dass se mt adere Ergebsse verglechbar st. E wesetlches Problem der Statstk besteht dar, vo eer Auswahl aus eer Grudgesamthet, eer sogeate Stchprobe, auf de Grudgesamthet selbst zu schleße. De beurtelede Statstk ermöglcht mt Hlfe der Wahrschelchketsrechug, Schlüsse aus de Resultate der beschrebede Statstk zu zehe. Im Idealfall erstreckt sch ee statstsche Erhebug auf alle Idvdue der zu utersuchede Grudgesamthet. Nu st aber aus Kostegrüde de wegste Fälle de Utersuchug ees bestmmte Merkmals be alle Merkmalsträger möglch. Mestes wrd ma sch mt der Utersuchug eer repräsetatve Stchprobe zufrede gebe müsse.. Absolute ud relatve Häufgkete Be der Durchführug eer statstsche Erhebug werde zuächst alle Eregsse eer sogeate Urlste otert, bevor se aufberetet werde. De Azahl der verschedee Merkmalsauspräguge zählt ma ach der durchgeführte Erhebug zusamme. De Azahl der Stchprobewerte vo e ud derselbe Merkmalsausprägug et ma absolute Häufgket deser Merkmalsausprägug. h a Bespel: Wr betrachte 6 verschedee Produkte. Es solle de Verbräuche der Materale ermttelt werde. Dazu regstrert ma über ee gewsse Zetraum z.b. e halbes Jahr de Lageretahme. I der achfolgede Tabelle sd de mege- ud wertmäßge Verbräuche (absolute Häufgkete) aufgelstet. h a

2 Spalte Spalte Spalte3 Spalte4 Spalte5 Materal Verbrauch Stk. Wert % Verbrauch % Wert A ,8,37 B ,06,37 C ,8 37, D ,4 8,4 E 00 00, 8,4 F 75 6,5,,8 Materal: Verbrauch Wert: Merkmalsträger Merkmal Merkmal De absolute Häufgkete, de de Zahlewerte etspreche, sd de Merkmalsauspräguge. h a Das Verhälts der absolute Häufgket ees Stchprobewertes (Merkmalsausprägug) zu dem Gesamtumfag der Stchprobe et ma relatve Häufgket. h r ha Multplzert ma de Zahlewert der relatve Häufgket mt 00%, so ergbt sch de prozetuale Darstellug der relatve Häufgket. ha h p 00% De Summe aller relatve Häufgkete eer statstsche Erhebug st glech. Ee Statstk soll dem Betrachter auch ee optsche Iformato über de Date gebe. Deswege verwedet ma auch Dagramme, sogeate Hstogramme. Des ka se, z.b. e Stabdagramm, Säuledagramm oder Kresdagramm. Bespel: efüge

3 .3 Statstsche Kezahle Modalwert, Meda ud Mttelwert Der Modalwert (mode) st der am häufgste vorkommede Wert. Zum Medawert (meda) oder auch Zetralwert gehört de Häufgketssumme 0,5 bzw.50% Zum utere ud obere Quartl gehöre de Häufgketssumme 5 bzw. 50% Das arthmetsche Mttel x ergbt sch aus der Dvso der Summe aller Stchprobewerte durch de Stchprobeumfag. x x x Be der Grudgesamthet wrd der Mttelwert mt bezechet. De mttlere quadratsche Abwechug s² gbt e Maß für de Vertelug der ezele Stchprobewerte um hre arthmetsche Mttelwert x s x x s wrd Stadardabwechug oder Varaz geat. Bezoge auf de Grudgesamthet (populato) sprcht ma vo x Aufgabe : Zege Se, dass de Stadardabwechug auch geschrebe werde ka als x De Spawete R (rage) st de Dfferez zwsche dem größte ud dem kleste Wert erhalb der Stchprobe. R x x. max m Be der Berechug werde ur zwe Werte der Stchprobe berückschtgt. Etwage Fehler be der Bestmmug deser zwe Werte ud Ausreßer mache sch stark bemerkbar. 3

4 Aufgabe : De folgede Date sd der Umfag Meter vo eer Probe vo Bäume eem Wald:,,8 3,5 0,8,9 0,6 4,6 0,7,7 a) Bestmme Se de Meda de utere ud obere Quartle. b) Nach eem Jahr hat der Umfag ees jede Baumes um 5% zugeomme. Bestmme Se de eue Meda ud de Quartle. c) Bestmme Se de Mttelwert ud de Stadardabwechug. Welche Bezechug wähle Se? d) Warum st der Modalwert (mode) kee geegete Größe, um de Durchschttswert zu bestmme? Lösuge: Aufgabe : x x x x x x Aufgabe : 0,6 0,7 0,8,7,8,9, 3,5 4,6 Meda st der 5. Wert (9+)/, m=,8 Der Berech zwsche der utere Quartle ud der obere Quartle wrd als terquartle rage bezechet Q Q ud deckt 50% aller Beobachtuge ab. Q 0,75 0,8 0,7 / Q,8 3,5, / 3 3 R = 4,6-0,6 =4 terquartle Rage = Q3Q, 05 5% Wachstum heßt Meda wächst auch um 5% 5% vo,8 sd 0,09; daraus folgt dass der Meda,089 st. Der Iterquartle Rage wächst um 0,05. Daraus folgt, dass er ach eem Jahr de Wert,55,5 st. Als Bezechug wählt ma s ud x. x,97 ud s=,33. Der Mode st kee geegete Größe um de Durchschttswert zu bestmme, da de Beobachtugsrehe sehr spärlch st ud jeder Wert mt der Frequez vorkommt. 4

5 .) Begrffe )Wahrschelchket (Probablty) Der Begrff Wahrschelchket st der Mathematk aus dem umgagssprachlche Begrff wahrschelch abgeletet. Wer wahrschelch sagt, drückt damt aus, dass er cht scher st, ob e Eregs etrtt oder cht. Zel der Wahrschelchketsrechug st es, de Grad der Uscherhet oder Scherhet auf e quattatves Maß zurückzuführe ud damt zu reche. Ee belebg oft reproduzerbare Vorgag ee wr Expermet(tral). E Expermet ka verschedee Ausgäge (outcomes) habe. Der Ausgag ees Expermets st cht mt Scherhet vorhersehbar. E derartges Expermet heßt Zufallsexpermet. De paarwese verschedee Ausgäge des Zufallsexpermetes werde Elemetareregsse (evets) geat. De Mege aller Elemetareregsse wrd Eregsraum geat. Der Eregsraum R ees Zufallsexpermetes besteht aus der Mege der Ausgäge A,A, A mt de Egeschafte: ) Jedes Elemet A R stellt ee möglche Ausgag des Expermetes dar: ) Jedem Ausgag des Zufallsexpermetes st geau e Elemet aus R zugeordet. Bespel: Das dremalge Würfel wrd als e Expermet ud cht als Wederholug des Expermetes emal Würfel agesehe. De Wahrschelchket wrd auf eer Skala vo 0 bs gemesse. O repräsetert de Umöglchket, repräsetert de Scherhet. P A 0 umöglches Eregs P A scheres Eregs 5

6 .) Glechwahrschelche Eregsse (equally lkely outcomes) Der Eregsraum R ees Zufallsexpermetes soll aus glechmöglche Elemetareregsse bestehe. Dejege Telmege, de dem Eregs A etsprcht, besteht aus r Elemetareregsse. Als Wahrschelchket P A Zufallsexpermets bezechet ma de Zahl für das Etrete des Eregsses A be der Durchführug ees P Bespel: We groß st de Wahrschelchket mt eem Würfel ee gerade Zahl zu werfe? r=3, = 6 Pgerade 3 6 Aufgabe: Im Spel Scrabble hat Charle de Buchstabe B,E, H, Q,S ud T. Eer der Buchstabe fällt versehetlch auf de Bode. We groß st de Wahrschelchket, dass es der Buchstabe a) Q b) B, E, oder S c) cht E st? A r.3) Relatve Häufgket Häufg ka ma cht vo glechwahrschelche Elemetareregsse ees Expermetes ausgehe. Bespel: We Klara auf ee Bus wartet, muss se etweder weger als 5 Mute oder 5 oder mehr Mute warte. Dese zwe Ausgäge sd cht ubedgt glechwahrschelch. Um her vo Wahrschelchkete spreche zu köe, muss ma das Expermet (auf de Bus warte) häufg durchführe. Defto: Ma führt Expermete uter gleche Bedguge durch. r Expermete r führe zu dem Eregs A. Der Ausdruck hr heßt relatve Häufgket. De relatve Häufgket st ee emprsch bestmmte Größe ud st cht zu verwechsel mt der klasssche Defto der Wahrschelchket. Veräder sch de Werte der relatve Häufgkete be Vergrößerug der Zahl der durchgeführte Expermete praktsch cht mehr, da ka ma für geüged großes de relatve Häufgkete (relatve frequecy) auch als Wahrschelchket terpretere. r Pr 6

7 .4 sch gegesetg ausschleßede Eregsse (dsjukte Eregsse) Bespel: I eem Kartespel ka ma ee Karte zehe de Kreuz, Pk, Herz, oder Karo st, aber cht mehreres glechzetg. Kreuz, Pk, Herz ud Karo sd sch gegesetg ausschleßede Eregsse. Addtostheorem: We A ud B sch gegesetg ausschleßede Eregsse sd, da st de Wahrschelchket, dass A oder B als Ausgag ees Expermetes auftrtt, de Summe der ezele Wahrschelchkete für de Eregsse A ud B. PA B PA PB uter der Voraussetzug, dass AB Bespel: De Wahrschelchket etweder Pk, Kreuz ud Herz zu zehe st 0,5 +0,5 +0,5 = 0,75. Uter eem Komplemetäreregs wrd verstade. A Da etweder A oder A etrete muss, glt: c A wrd das Nchtetrete des Eregsses A P A A Da A ud A dsjukte Eregsse sd, glt: oder PA PA P A P A P A A Aufgabe: I eer Kate befde sch 35 Besucher, davo sd über 50 Jahre alt, 5 sd zwsche 30 ud 50 Jahre alt ud 5 sd zwsche 5 ud 9 Jahre alt. Ermttel Se de Wahrschelchket dafür, dass der ächste Gast der bedet wrd, a) 30 Jahre oder älter st b) 5 Jahre oder älter c) uter 5 Jahre d) 50 Jahre oder jüger. 7

8 .5) uabhägge Eregsse ( depedet evets) We de Wahrschelchket des Auftretes des Eregsses A cht beeflusst wrd vo dem Auftrete des Eregsses B, da sd de Eregsse A ud B statstsch uabhägg voeader. Allgeme: We de Wahrschelchket des Auftretes ees Eregsses aus der Gruppe A,A A A cht beeflusst wrd vo dem Auftrete ees Eregsses aus der Gruppe B,B, B B, da sd de Eregsse A, statstsch uabhägg vo de Eregsse B j, j m. Bespel: Ee gerade Zahl zu werfe mt eem rote Würfel st uabhägg davo ee ugerade Zahl mt eem blaue Würfel zu werfe. De Wahrschelchket, ee mt bede Würfel zu werfe st We A ud B voeader uabhägge Eregsse sd, da glt: PA B PA PB. Aufgabe: ) Bestmme Se de Wahrschelchket dafür, dass ma de Augezahl ver erhält, we zwe Würfel geworfe werde. ) De Wahrschelchket, dass de Arufe be der Bahauskuft beatwortet werde, beträgt 0.7. We dre Arufe getätgt werde, we groß st de Wahrschelchket, a) dass alle dre beatwortet werde b) geau zwe beatwortet werde?.6) Pfaddagramme (tree dagrams) Aufgabe 3) Ee Müze wrd dremal geworfe. Bestmme Se de Wahrschelchket dafür, dass de Rücksete(Zahl) 0,, oder dremal geworfe wrd? Aufgabe 4) Löse Se Aufgabe mt Hlfe ees Baumdagrammes. 8

9 .7) bedgte Wahrschelchket (codtoal probablty) Eführugsbespel: I eem Raum befde sch 5 Leute. Mälch weblch Brlleträger 4 5 Ke Brlleträger 5 Ee Perso wrd zufällg ausgewählt. F se das Eregs dafür, dass de Perso weblch st. G beschrebe das Eregs, dass de Perso Brlleträger st. 9 9 Persoe sd Brlleträger, daraus folgt: PG vo de Brlleträger sd mälch PG M vo de Brlleträger sd weblch PG F 6 Das Eregs G wrd davo beeflusst, ob das Eregs F egetrete st oder cht. F ud G sd cht uabhägg voeader. P A B beschrebt de Wahrschelchket, dass das Eregs A etrtt, we das Eregs B stattfdet. Zwe Eregsse heße uabhägg, we PA PA B. Multplkatosgesetz: Es glt: Zwe Eregsse A ud B sd uabhägg, we glt: P A B P A P B Oder allgemeer ausgedrückt: P A B P B P A B Uter bedgter Wahrschelchket (codtoal probablty) ees Eregsses A be egetreteem Eregs B versteht ma: PA B PA B P B 9

10 Bespel: De Studete m erste Jahr der Studerchtug Naturwsseschafte belege och optoal ee Sprachkurs. De Auftelug auf de Sprachkurse ach Geschlecht st der folgede Tabelle erschtlch: Frazössch Deutsch Russsch Gesamt Mälch Weblch 7 30 Gesamt E Studet wrd wllkürlch ausgewählt: M beschrebe das Eregs, das der Studet mälch st. R beschrebe das Eregs, dass der Studet Russsch studert. Bestmme Se: a) PM b) PR c) PM R d) PM R e) PM R f) PR M g) PM h) PR ) PR M j) PR M k) PM R l) PM R 0

11 Lösug: a) Vo sgesamt 70 Studete sd 40 mälch: b) vo sgesamt 70 Studete lere Russsch P M 0, P R 0, c) Es gbt sgesamt Russsch-Studete, vo dee 4 mälch sd. 4 PM R d) Vo sgesamt 70 Studete sd 4 mälch ud studere glechzetg russsch. 4 PM R 70 e) Es gbt sgesamt = 47 Studete de etweder Russsch studere oder 47 mälch sd oder bedes. PM R 0, f) Es gbt 40 mälche Studete vo dee 4 Russsch studere. 4 PR M 0,35 40 g) Es gbt 30 Studete, de cht mälch sd PM 0, h) Isgesamt studere 49 Studete ke russsch. 49 P R 0,7 70 ) Vo de 30 weblche ( cht mälche )Studete studere 7 russsch. 7 PR M 0,33 30 j) Vo 40 mälche Studete studere 7+9 = 6 ke russsch. 6 PR M 0, k) Es gbt 7 Studete, de cht mälch sd ud glechzetg russsch studere. 7 PM R 0, 70 l) Es gbt sgesamt = 63 Studete, de etweder mälch sd oder cht russsch studere oder bedes. 63 PM R 0,9 70

12 Test ) Vo Kompoete sd dre defekt. We vo Kompoete zufällg ausgewählt werde, bestmme Se de Wahrschelchket, dass a) bede defekt sd b) geau ee defekt st. ) Wa glt: PR Q PR PQ? 3) Wa glt: PST PS PT? 4) E Studet wrd wllkürlch aus eer Klasse ausgewählt. R bezeche das Eregs, dass der Studet weblch st. Beschrebe Se das Komplemetäreregs. 5) I eer Straßebah befde sch 5 mälche ud 0 weblche Fahrgäste. 0 der mälche ud 6 der weblche Fahrgäste sd über 5 Jahre alt. E Fahrkartekotrolleur wählt ee Fahrgast zufällg aus. A beschrebe das Eregs, dass der Fahrgast weblch st, B bezeche das Eregs, dass de Perso über 5 st. Bestmme Se PA PB Verfzere Se, dass PA B PB PA B. P A B PA B PA B Warum glt desem Fall cht: PA B PA PB?. 6) De Wahrschelchket für de Ausgag ees Fußballspeles st 0,4 be eem Hemseg 0,5 be eem Auswärtsseg 0,35 für e uetschede. We dre Spele gespelt werde ud de Ausgäge uabhägg voeader sd, bestmme Se de Wahrschelchket a) dass dre Hemsege etrete b) geau e Hemseg c) e Hemseg, e Auswärtsseg ud e uetschede.

13 Lösuge a) Pst defekt te defekt Pst defekt P te defekt st defekt 3 Pst defekt 0, P st ok 0,75 4 Nach dem erste Zug sd ur och Tele übrg, vo dee e Tel ausgewählt werde ka, welches defekt st. P te defekt st defekt Pst defekt te defekt P st defekt P te defekt st defekt 0, b) Es gbt zwe Ausgäge, de das Eregs geau e Tel st defekt realsere. 3 9 Pst defekt te ok Pst defekt P te ok st defekt 0, Pst ok tedefekt Pst ok Ptedefekt st ok 0,0455 De bede Ausgäge sd uabhägg voeader, deswege dürfe de Wahrschelchkete addert werde. P ok defekt 0, 409 ) R ud Q sd uabhägge Eregsse 3) De Eregsse S ud T schleße sch gegesetg aus. 4) Der Studet st mälch, R 5) ; ; ; ; ; P B P A B P A B A ud B schleße sch cht gegesetg aus. 6) a) 0,064 b) 0,43 c) 0, 3

14 3) Wahrschelchketsverteluge 3. Allgeme Der Ausgag A ees Expermetes wrd durch de Zufallsvarable X mt der Wahrschelchket P beschrebe. A X P Bespel Würfel De Zufallsvarable sd,, 3, 4, 5 ud 6. De Wahrschelchket ee zu würfel, st PX Rechteckvertelug Betrachtet ma be eem Würfel mehrere Würfe htereader ud stellt de Ergebsse Form eer Vertelug dar, so ergbt sch ee sogeate Rechteckvertelug. Se etsteht, we alle Ausgäge mt der gleche Wahrschelchket auftrete. Px x 4

15 3.3 Dreeckvertelug Verwedet ma be eem Wurf zwe Würfel, so erhöht sch de möglche Augezahlsumme ud es etsteht aus der sogeate Rechteckvertelug ee Dreeckvertelug. Der Ausgag x = 5 ka durch 4 Eregsse realsert werde.. Würfel.Würfel Summe De Wahrschelchketsvertelug st als Tabelle ud als Graph dargestellt. Zufallsvarable x Wahrschelchket P(x) /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 0 3/36 /36 /36 5

16 0,800 P(x) 0,600 0,400 0,00 0,000 0,0800 0,0600 0,0400 0,000 0,

17 3.4 De Bomalvertelug 3.4. Eführug De Bomalvertelug erlaubt für de Zufallsvarable zwe möglche Ausgäge. Wr betrachte dazu och emal das Bespel Wurf eer Müze. 0,5 K KKK K 0,5 0,5 Z KKZ K 0,5 0,5 0,5 K KZK Z 0,5 Z KZZ 0,5 0,5 K ZKK K 0,5 0,5 Z ZKZ Z 0,5 0,5 K ZZK Z 0,5 Z ZZZ 7

18 Nach dre Versuche (Würfe) sd folgede Ausgäge möglch: 3 mal Kopf mal Kopf mal Kopf 0 mal Kopf (0 mal Zahl) ( mal Zahl ) ( mal Zahl) ( 3 mal Zahl ) KKK KKZ KZZ ZZZ KZK ZKZ ZKK ZZK Möglchket 3 Möglchkete 3 Möglchkete Möglchket Des wrd we folgt dargestellt: Px Px Px 3 8 Px Wäre de Müze cht symmetrsch, das heßt Kopf würde z.b. ur mt der Wahrschelchket 0,5 geworfe, da würde das Baumdagramm folgedermaße aussehe: 8

19 0,5 K KKK K 0,5 0,75 Z KKZ K 0,5 0,75 0,5 K KZK Z 0,75 Z KZZ ,75 0,5 K ZKK K 0,5 0,75 Z ZKZ Z 0,75 0,5 K ZZK Z 0,75 Z ZZZ

20 Px Px Px Px De wesetlche Egeschafte der Bomalvertelug Ee feste Azahl vo Versuche Es gbt mmer ur zwe möglche Ausgäge pro Versuch De Wahrschelchket für ee Ausgag ädert sch cht pro Versuch. De Versuche sd uabhägg voeader. De Buchstabe ud p sd de sogeate Parameter der Bomalvertelug. repräsetert de Azahl der Versuche. p beschrebt de Wahrschelchket für ee bestmmte Ausgag. Für ee Zufallsvarable x, durch de Bomalvertelug beschrebe wrd, glt: x B,p. I de vorherge Bespele war: x B3, ud x B3, 4 0

21 3.4.3 Pascal sches Dreeck Wr betrachte ochmal de bede Expermete Werfe Kopf oder Zahl. Be dre Expermete gbt es geau ee Möglchket, das Ergebs KKK zu realsere, es gbt dre Möglchkete, das Ergebs zwemal Kopf zu realsere, ebeso dre Möglchkete, emal Kopf zu realsere ud geau ee Möglchket ke ezges Mal Kopf zu realsere. Erhöhe wr de Azahl der Versuche, so erhöhe wr auch de Kombatosmöglchkete. Für = 4 gbt es 4 Permutatoe; davo sd ege Permutatoe glech. KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ KZKK KZKZ ZKZZ KKZK KZZK KZKZ ZKKK ZKKZ ZZZK ZKZK ZZKK N! Azahl Permutatoe = N P N! N! N m! 4! KKKK 4!0! 4! KKZZ 6!! 4! KKKZ 4 3!! 4! KZZZ 4 3!! 4! ZZZZ 4!

22 Ma erket dese Zahle das Pascal sche Dreeck weder. =0 = = 3 3 = = 4 Des sd de Bomalkoeffzete r. De Wahrschelchket be 3 Versuche -mal Kopf zu zehe (-mal Erfolg) ud -mal ee Zahl zu zehe (ke Erfolg) st somt gegebe durch 3 Px 3Pkopf P zahl Weteres Bespel: I eem Gefäß befde sch sehr vele rote ud weße Kugel. Der Bruchtel der rote Kugel beträgt p, der der weße Kugel beträgt q=-p. Kugel werde bld gezoge. (Im Gefäß müsse sehr vele Kugel se, damt sch bem Zehe de Atele cht merklch äder, oder jede Kugel wrd ezel gezoge ud da weder zurückgelegt.) Ee Realserug vo r-mal rot, (-r)-mal weß, hat also de Wahrschelchket r r r P p q Nu ka deses Eregs aber auf uterschedlche Wese realsert werde, je achdem welcher Rehefolge de Kugel gezoge werde. Außerdem gbt es Zehuge, de e aderes Eregs darstelle, we z.b. kee rote Kugel gezoge wrd. Wr deke us de Kugel jewels ebeeader gelegt. R davo solle rot se, d.h. auf Plätze (Elemete) legt e Muster vo r rote Kugel. Also hadelt es sch um de Kombato vo r Elemete aus vorhadee Elemete, wobe de Rehefolge glechgültg st. De Azahl deser Kombatoe st da! r r! r!

23 3.4.4 Formel der Bomalvertelug De Wahrschelchket für das Eregs X= r-mal Erfolg, (-r) mal ke Erfolg alle Realseruge, st de Summe der Wahrschelchkete für jede Realserug, da se sch gegesetg ausschleße, also st P X r p p r r r Bespel: We ee Müze achtmal geworfe wrd, we groß st de Wahrschelchket, dass weger als 4mal Kopf geworfe wrd? Px 4 Px 0 Px Px Px Px 4 0, Bespel : E Golfer übt auf eer Drvg Rage. Se Zel st es, de Ball 0 m a de Fahe zu schlage. De Wahrschelchket, des mt jedem Schlag zu erreche, st e Drttel. We er 0 Bälle abschlägt, we groß st de Wahrschelchket, a) 5-mal oder weger se Zel zu erreche? b) 7-mal oder häufger Erfolg zu habe? c) geau 6mal Erfolg zu habe? d) zwsche 4 ud 8-mal klusve Erfolg zu habe? Lösug: Es st = 0, p = 0,3. P x 5 0, 464 a) P b) x 7 Px 6 0, 6080 P c) x 6 Px 6 Px 5 0, , 464 0, Px 6 0,3 0,7 0,96 6 P d) 4 x 8 Px 8 Px 3 0,8867 0,07 0,

24 Bespel Der Atel fehlerhafter Ehete der Grudgesamthet beträgt p=8%. We groß st de Wahrschelchket be eer Stchprobe vo =50 a) Geau x = fehlerhafte Ehete zu fde? b) Bs zu x = fehlerhafte Ehete zu fde, d.h. x = 0 oder x = fehlerhafte Ehete zu fde? I userem Bespel st = 50, r =, p =0,08 ud q = 0,9 P X p q r r r ,08 0,9 500,08 0,0683 0, P X P X st de Wahrschelchket, geau e fehlerhaftes Tel zu fde Der Mttelwert ud de Varaz be der Bomalvertelug Bespel: Es werde 0 Tschtesspele durchgeführt. We vele Spele wrd der Geger gewe, we de Wahrschelchket e Füftel pro Spel st gege dch zu gewe? Atwort: 0 5 Der Mttelwert der Bomalvertelug st De Varaz st p p p Im obge Bespel st de Varaz 4 0,6 5 5 Aufgabe : Ee Autowerkstatt hat a eem Tag acht Afrage für e Gutachte. Der Bestzer der Werkstatt hat über de Jahre herausgefude, dass de Wahrschelchket 0.5 st, dass de Schätzug akzeptert wrd. Bereche Se de Wahrschelchket, dass vo acht Gutachte geau zwe akzeptert werde mehr als de Hälfte abgeleht werde. Bestmme Se de Mttelwert ud de Stadardabwechug der akzepterte Gutachte. 4

25 Aufgabe : Be der Herstellug vo Nägel etspreche 8% aller Tele cht de Aforderuge. Ee Probe vo 40 Tele wrd aus eer große Charge ausgewählt. We vele Tele etspreche m Durchschtt cht de Aforderuge? We groß st de Varaz? Lösuge: Aufgabe : X B8,0.5 PX PX PX 0,8948 0,657 0, 376 P X 3 0, ,5, Mttelwert 80,50,85,00 Stadardabwechug Aufgabe 3: Expermet: I eer Tasche befde sch schwarze, weße ud rote Kugel. Es werde acheader 0 Kugel gezoge, de jewels weder zurückgelgt werde. De Farbe jeder gezogee Kugel wrd otert. Expermet: Deses Expermet st ee Wederholug des erste, de Tasche ethält aber ur schwarze ud weße Kugel. Expermet3: Deses Expermet st ee Wederholug des zwete Expermetes; de Kugel wurde aber ach jedem Zug cht zurückgelegt. Erkläre Se be jedem Expermet, ob es sch um ee Bomalvertelug hadelt oder cht. 5

26 3.5 Allgeme: de Wahrschelchketsvertelug eer dskrete Zufallsvarable 3.5. Vertelugsfukto De Wahrschelchketsvertelug eer dskrete Zufallsvarable X lässt sch durch de Wahrschelchketsfukto f x p für x x 0 für x x oder durch de zugehörge Vertelugsfukto F x P X x f x x x vollstädg beschrebe( Wert x ammt). p st de Wahrschelchket dafür, dass de Zufallsvarable X de De Wahrschelchketsfukto f(x) ud de Vertelugsfukto F(x) bestze de folgede Egeschafte: a) f x 0 b) f x st ormert, d.h. f x c) Fx st ee mooto wachsede Fukto mt 0 F x d) De Wahrschelchket dafür, dass de dskrete Zufallsvarable X ee Wert zwsche Bespel ) a (ausschleßlch) ud b (eschleßlch) ammt, berechet sch we folgt: Pa X b Fb Fa De Wahrschelchket, de Golfball m Umkres vo 0 m a de Fahe zu schlage, war Px 0,3. Be 0 Vorgäge berechet sch de Wahrschelchket 4 bs acht-mal Erfolg zu habe durch: P4 x 8 Px 8 Px 3 F(8) F(3) 0,8867 0,07 0,

27 Bespel ) Wurf ees homogee Würfels Betrachtet ma be eem Würfel mehrere Würfe htereader ud stellt de Ergebsse Form eer Vertelug dar, so ergbt sch ee sogeate Rechteckvertelug. Se etsteht, we alle Ausgäge mt der gleche Wahrschelchket auftrete. Px x Fx / x 7

28 Bespel 3: Be eem Wurf mt zwe uterschedbare homogee Würfel besteht de Ergebsmege, geat, aus sgesamt 36 glechwahrschelche Elemetareregsse (geordete Augepaare). 0,800 0,600 0,400 0,00 0,000 0,0800 0,0600 0,0400 0,000 P(x) 0, Dagram für F(x) efüge 8

29 3.5. Erwartugswert eer dskrete Zufallsvarable Uter dem Erwartugswert E(X) eer dskrete Zufallsvarable X mt der Wahrschelchketsfukto f(x) =P(x) versteht ma de Größe x f x E X Bespel: Bem Wurf ees homogee Würfels st de dskrete Zufallsvarable X = erzelte Augezahl glechvertelt. Se bestzt de folgede Erwartugswert: 6 E X xf x , Erwartugswert eer Fukto Defto: X se ee dskrete Zufallsvarable mt der Wahrschelchkets- bzw. Z g X Dchtefukto f (x) ud E Z E g X g x f x st der Erwartugswert der Fukto Z gx ee vo X abhägge Fukto.. Bespel: Gegebe se ee dskrete Zufallsvarable X mt der folgede Vertelugsfukto x 3 4 f x /8 3/8 3/8 /8 Der Erwartugswert der vo X abhägge Fukto Z = X² st da EZ E X x f x

30 3.5.4 Mttelwert, Varaz ud Stadardabwechug eer dskrete Zufallsvarable Gegebe se de dskrete Zufallsvarable X mt der Wahrschelchketsfukto f(x). Mttelwert: EX x f x Varaz: Var X x f x Stadardabwechug: Var X De Varaz st der Erwartugswert der Zufallsvarable (Fukto) Z X durch de de mttlere quadratsche Abwechug vom Mttelwert E X x f x Es glt mmer, beschrebe wrd. 0. De Varaz st e Maß für de Streuug der ezele Werte x um de Mttelwert. Ist de Varaz kle, lege de meste Werte der Nähe vom Mttelwert. Größere Abwechuge vom Mttelwert trete ur mt gerge Wahrschelchkete auf. De Stadardabwechug wrd auch als Streumaß verwedet. Se hat de Vortel, dass se de gleche Dmeso we de Zufallsvarable bestzt. Se beschrebt de durchschttlche, mttlere Abwechug vo der Zufallsvarable. Zur Berechug der Varaz wrd auch häufg folgede Formel verwedet: E X E X X E X E x E E X E X 30

31 Bespel: Wr würfel mt zwe homogee Würfel X P(X) Der Mttelwert der Vertelug st gegebe durch 5 E X x f x Der Mttelwert fällt her erwartugsgemäß mt dem Symmetrezetrum x 7 der Vertelug zusamme. Be oftmalger Wederholug deses Würfelexpermetes erwarte wr daher ee durchschttlche Augesumme vo 7. Für de Varaz erhalte wr: Var X x f x , De Stadardabwechug berechet sch da zu 5,83,4 Wr bereche de Stadardabwechug ach der folgede Formel E X Aufgabe : De Vertelugstabelle eer dskrete Vertelug st gegebe durch x - - f x Welche Erwartugswert bestzt de Vertelug? Bereche Se de Erwartugswert der vo X abhägge Fukto Z g(x) 5X Aufgabe : I eer Leferug vo 0 Glühbre befde sch zwe defekte. We vele defekte Glühbre ka ma m Mttel eer Stchprobe vom Umfag = 3 erwarte, de der ageleferte Ware zu Kotrollzwecke etomme wrd? X= Azahl der der Stchprobe ethaltee defekte Glühbre. 3

32 Lösuge: Aufgabe : EX E Z 5E X Aufgabe : x 0 f x E X 5 3

33 3. 6 Wahrschelchketsvertelug eer stetge Zufallsvarable 3.6 Vertelugsfukto Be eer stetge Zufallsvarable X mt dem Deftosberech Vertelugsfukto FX durch e Itegral beschrebe: X wrd de x F X P X x f u du Der Itegrad heßt Wahrschelchketsdchtefukto oder efach ur Dchtefukto der stetge Vertelug. Graph: Wahrschelchketsdchtefukto Graph: Vertelugsfukto f x 0 Es glt: a) 0 F x b) P x f x dx c) b d) Pa x b f x dx Fb Fa e) F x f (x) a Bespele: X se ee stetge Zufallsvarable mt der Wahrschelchketsfukto (Dchtefukto) f x 0,0x 0 x 0 ; 0 x f x sost F x f u du u du u x x 0,0 0,0 0 für x 0 F x 0, 0 x für 0 x 0 für x 0 0 x 0 33

34 f(x) 0, 0 x F (x) 0 x 34

35 Bespel: De Lebesdauer T ees bestmmte elektrosche Bauelemetes se ee expoetalvertelte Zufallsgröße mt der Dchtefukto 0 t 0 für t c e t 0 0, f t ) We heßt de zugehörge Vertelugsfukto Ft? De Kostate c wrd aus der Normerugsbedgug bestmmt: 0, t 0, t f t dt ce dt c 0e 0c 0 0 0, 0, f t e t Daraus ergbt sch für de Vertelugsfukto für t 0 t t 0, u 0, u t 0, t 0, 0, 0 F t f u du e du e e 0 0 Wr wolle u de Atel der Bauelemete bestmme, dere Lebesdauer de Wert t = 0 überstegt. De gesuchte Wahrschelchket PT 0 etsprcht der schrafferte Fläche der Wahrschelchketsfukto f t. 0, 0 35

36 0 0 0 P T P T P T F 0 F F 0 e e 0,368 Nach t = 0 sd och 36,8 % aller elektrosche Bauelemete fuktostüchtg Der Erwartugswert eer stetge Zufallsvarable Der Erwartugswert eer stetge Zufallsvarable X mt der Dchtefukto f (x) st defert durch E ( X ) mt E X x f x dx Bespel: De Lebesdauer T ees bestmmte elektrosche Bauelemetes ka guter Näherug als expoetalvertelte Zufallsvarable mt der Dchtefukto f t 0 t 0 für t e t 0 beschrebe werde. De mttlere Lebesdauer st da durch de Erwartugswert E (T) gegebe. t E T t f t dt t e dt 0 t t t e t e

37 3.6.3 Mttelwert, Varaz ud Stadardabwechug eer stetge Zufallsvarable Für de stetge Zufallsvarable X mt der Dchtefukto f ( x ) glt: Mttelwert µ E X x f x dx Varaz Var X x f x dx Stadardabwechug Var X Bespel: Wr betrachte och emal e elektrosches Bauelemet mt der Lebsdauer T. T se ee expoetelle Zufallsgröße mr der Dchtefukto f t 0 t 0 für. t e t 0 Der Erwartugwert oder Mttelwert ber Zufallsvarable T wurd berets m letzte Abschtt ermttelt mt ET Für de Varaz habe wr gezegt, dass de folgede Formel glt: E X E X t E T t f t dt t e dt 0 t t e t ET De Stadardabwechug der expoetalvertelte Zufallsvarable T beträgt somt. 37

38 3.6.4 Mttelwert ud Varaz eer leare Fukto X se ee stetge oder dskrete Zufallsvarable mt x Var X x. Für de vo X lear abhägge Fukto Z mt Z g X a X b ergebe sch da de etsprechede Kewerte zu z E X E Z E a x b a E x b E a b. De Varaz bereche wr ach der Formel z E Z z E Z z Für de Erwartugwert vo Z² erhalte wr x ud der Varaz x E Z E ax b E a X abx b a E X abe X b E E Z a E X ab b Dese Ausdruck setze wr jetzt de Formel für de Varaz e: x x x x x x z z x x E Z a E X ab b a b a E X ab b a ab b a E X a a E X a Bespel: De Zufallsvarable X mt dem Mttelwert x wrd lear trasformert de Zufallsvarable Z durch ud der Varaz x Z X X z a x b 0 z x a De durchgeführte Trasformato heßt Stadardserug oder Stadardtrasformato, de Zufallsvarable Z st de zu X gehörge stadardserte Zufallsvarable. 38

39 Aufgabe: ) De Dchtevertelug eer stetge Vertelug st ax x 0 x f x für 0 für alle übrge a) Bestmme Se de Parameter a. b) We lautet de zugehörge Vertelugsfukto? c) Bereche Se de Wahrschelchket, dass de Zufallsvarable X ee Wert kleer oder glech ammt. d) Bereche Se de Mttelwert ud de Varaz der stetg vertelte Zufallsvarable X. ) De Lebesdauer T ees bestmmte elektrosche Bauelemets geüge eer Expoetalvertelug mt der Dchtefukto f t 0. 0 t 0 für t e t 0 We groß st de Wahrschelchket dafür, dass e Bauelemet mdestes bs zum Zetpukt t fuktostüchtg blebt? 3) De stetge Zufallsvarable X geüge eer Expoetalvertelug mt der x Dchtefukto f x e,x 0; 0 folgede vo X abhägge Fuktoe. Z e X Z X. Bestmme Se de Mttelwert der 39

40 Lösuge: Aufgabe a) Durch Normerug der Dchtefukto folgt x b) F x u udu 8x 3x 5 P X 6 c) d) E X 0 e) 0 x x dx E X Aufgabe / t 0 0,8647 P T e dt Aufgabe 3 x z z f xdx e dx x z z f xdx x e dx 3 a 4. 40

41 4 Normalvertelug De Stadard- Normalvertelug wrd beschrebe durch P z e z Se hat de Mttelwert 0 ud ee Stadardabwechug vo. De allgemee Formel für de Normalvertelug st P z e Egeschafte: z ) Der Mttelwert µ st der häufgste Wert. ) Das Maxmum legt be µ. 3) De Normalvertelug legt symmetrsch zum Maxmum µ. 4) De Wahrschelchket mmt rechts ud lks vom Mttelwert symmetrsch ab. 5) Dabe geht de zuächst kovex verlaufede Abahme am Wedepukt ee kokav verlaufede über. ( Glockekurve ) 6) Der Abstad des Wedepuktes vom Mttelwert µ etsprcht der Stadardabwechug σ der Vertelug. 7) De Vertelug st durch µ ud σ edeutg beschrebe. Ihre Werte fde sch eschlägge Werke tabellert. 8) Der Parameter σ bestmmt de spezelle Gestalt der Normalvertelug. Ist σ kle, so st de Kurve hoch ud schmal be scharf ausgeprägtem Maxmum. Je größer σ, desto flacher ud breter st der Kurveverlauf. Dabe blebt de Fläche uter der Kurve kostat. 9) De Normalvertelug st ee Wahrschelchketsvertelug. Se muss de Normerugsbedguge geüge- de Summe über alle Wahrschelchkete muss se. f xdx 4

42 4

43 Ee ormalvertelte Zufallsvarable X mt de Parameter µ ud σ lässt sch stets mt Hlfe der X Varabletrasformato Z de Stadardormalvertelte Zufallsvarable Z überführe. Das uegetlche Itegral der Vertelugsfukto st jedoch cht elemetar lösbar. De Werte deser Fukto müsse daher mt spezelle Näherugsmethode berechet werde. Mestes verwedet ma Tabelle, um de beötgte Fuktoswerte zu bereche. Der Gebrauch vo Tabelle efüge, De Stadardormalvertelug ud de Normalvertelug m allgemee Bespel: Ee Messgröße se ormalvertelt mt dem Mttelwert µ = 8 ud der Stadardabwechug σ =. We vele Messwerte sd da kleer als 7? Atwort: 6% 43

44 44

45 4. Modellbldug mt der Normalvertelug Das Gewcht eer Packug Butter m Supermarkt ka durch ee Normalvertelug mt eem Mttelwert vo 50 g ud eer Stadardabwechug vo 7,5 g modellert werde. Das Wort modellert mplzert, dass das Gewcht cht exakt durch ee Normalvertelug beschrebe wrd. Berechuge, de aber ee Normalvertelug zugrude lege, werde Atworte gebe, de sehr ahe a der Realtät sd. We wr z.b. de Normalvertelug beutze, um de Atel der Packuge ermttel möchte, de weger als 50g wege, da wrd de Atwort sehr ahe a dem tatsächlche Atel lege, der weger als 50 g wegt. Das Wort Modell bedeutet desem Zusammehag folgedes: ) Ma ka emals geüged Date ermttel, um zu bewese, dass de Gewchtsdate exakt durch ee bestmmte Vertelug beschrebe werde, das heßt ohe de gergste Abwechug. ) De theoretsche Normalvertelug hat kee Greze. Das bedeutet, dass es theoretsch möglch st, dass de Packuge Butter jede möglche Wert aehme köe, auch egatve Werte. 3) Praktsch st des sehr uwahrschelch, da für ee Normalvertelug mt eem Mttelwert ud der Stadardabwechug der Mttelwert mt eer Wahrschelchket vo 68% dem Berech zwsche legt 95,5% dem Berech zwsche legt 99,7% dem Berech zwsche 3 legt. I dem Bespel der Butterpackuge würde ma 99,7% dem Berech zwsche ,5 erwarte, d.h. zwsche 7,5g ud 7,5g. Theoretsch wäre es auch möglch ee Packug zu fde, de 80 g wegt, also außerhalb des agegebee Bereches. De st jedoch so uwahrschelch ud deser Fall wrklch auftrete sollte, legt das de Vermutug ahe dass das Modell falsch st. 4. Bezechug De Schrebwese, X N bedeutet, dass de Varable X ormalvertelt st mt eem Mttelwert ud der Stadardabwechug. X N (7.0;6) bedeutet, dass de Varable X ormalvertelt st mt dem Mttelwert 7 ud der Stadardabwechug 4,0. 45

46 4.3 Mttelwert ud Stadardabwechug eer Stchprobe ( cetral lmt theorem) Bespel: Ee Bäckere backt Brote mt eem Durchschttsgewcht vo 900g ud eer Stadardabwechug vo 0 g. E Kotrolleur wählt 4 Brote zufällg aus ud wegt se. Es st sehr uwahrschelch, dass das mttlere Gewcht der Stchprobe exakt 900g ergbt. De Stchprobe ergbt e mttleres Gewcht vo 906 g. Ee zwete Kotrolle ergbt e mttleres Gewcht vo 893 g. De Stchprobe köe ubegrezt wederholt werde ud das Durchschttsgewcht ermttelt werde. Der Mttelwert der Stchprobe wrd varere ud auch eer Vertelug folge. ( Vertelug des Mttelwertes der Stchprobe) Wr betrachte ee zufällge Stchrobe der Größe eer Vertelug (Normalvertelug) mt dem Mttelwert ud der Stadardabwechug. Für de Mttelwert der Stchprobe x glt: ) Mttelwert ud der Stadardabwechug ) Der Mttelwert st ormalvertelt vorausgesetzt, dass hreched groß st. Je größer, desto besser st de Approxmato.. Bespel: Wr betrachte ee Stchprobe mt =00, vo eer Vertelug mt dem Mttelwert 75, kg, Stadardabwechug 8,5 kg. Der Mttelwert der Stchprobe st da ormalvertelt mt dem Mttelwert 75, kg ud der 8,5 Stadardabwechug vo 0,85 kg. 00 Je größer de Probe, desto kleer wrd de Stadardabwechug der Stchprobe. (Bld) 46

47 Aufgabe ud Lösuge ) Warum werde de Tabelle eer Stadardormalvertelug egatve z Werte cht tabellert? ) Gegebe se ee Stadard-Normalvertelug. Fde Se de z-wert, der mt eer Wahrschelchket vo a) 0,06 b) 0,9 überschrtte wrd. 3) Ee Normalvertelug hat ee Mttelwert vo ud ee Stadardabwechug vo 4. Fde de Wahrschelchket, dass de Varable a) de Wert 0 überschretet b) kleer als 5 st c) zwsche 4 ud 6 legt d) zwsche 8 ud 5 legt. 4) 47

48 ) De Vertelug st symmetrsch um de Mttelwert 0. ) a),555 ) -,405 P= 0,94 (Z=,5548) P=0,9 (Z=,405) 3) a) 0,69 b) 0,040 c) 0,50 d) 0,65 X Z a) P( X 0,5) P( X 0,5) 0, 69 b) P( X 7 / 4) P( X,75) 0, ,95994=0,04006 c) P( X ) P( X 0,5) 0,8434 0, ,4988 0,50 d) P( X 3 / 4) P( X 0,75) 0,77337 P( X ) P( X ) 0,8434 0,5866 0, ,5866=0,647 4) 0 5) Der Mttelwert eer große Stchprobe st ormalvertelt 6) a) 0,309 b) 9,5 Stadardserug 0 z 0 P0,5 0,6946 P X 0,6946 0, ) Es st umöglch, dass Mäuse egatve Gewchte habe köe. Ee Normalvertelug würde ee ee ftesmal klee aber vo Null verschedee Wahrschelchket gebe, dass ee eugeboree Maus e egatves Gewcht hat. 48

49 Korrelato ud Regresso Wr betrachte u e Paar vo (Zufalls)varable X ud Y. Wr wolle utersuche, ob ee Abhäggket (leare) zwsche de bede Größe besteht ud we ma de Zusammehag bzw. de Wechselwrkug zwsche de Größe beschrebe ka. Bespel: )Be eer bestmmte Stahlsorte teressert ma sch z.b. dafür, ob zwsche dem Kohlestoffgehalt X ud der Zugfestgket Y e Zusammehag besteht, d.h. de bede Zustadsvarable korrelert sd. ) Zwsche der Drehzahl X ud der Lestug Y ees Motors besteht e bestmmter Zusammehag, d.h. de bede Größe sd korrelert. Darstellug des Zusammehags durch e Streuuugsdagramm (Puktwolke) Postve, egatve oder gar kee Korrelato, quadratsche Korrelato Blder! Defto: Es see x, x, x de Werte eer Messrehe für ee Varable X ud y, y, y de Werte eer Messrehe (Stchprobe) der Varable Y: Es st x x y y Mttelwerte xx s xx x x S x x yy s yy y y S y y sxy x x y y S x x y y xy emprsche Kovaraz r S S xx xy S yy r s xx s xy s yy Korrelatoskoeffzet Zege Se, dass der Korrelatoskoeffzet auch we folgt dargestellt werde ka: 49

50 s x y x y xy S x y xy x y r x y x y x x y y r x y x x y x y y Es glt mmer r r= +, alle Puktpaare lege auf eer Gerade (postve Korrelato) r= -, alle Puktpaare lege auf eer Gerade mt egatver Korrelato r =0 kee leare Korrelato erkebar Bespel: x y

51 Regressosgerade : y a x b Methode der kleste Quadrate: S xy y y x x S xx xy xy y y x x x x b y a x 5

52 Testklausur Wahrschelchketsrechug ud Statstk ) Im Rahme der Gesudhetsvorsorge werde 50 Juge zufällg ausgewählt ud befragt, ob se leber abehme, zuehme oder hr Gewcht halte möchte. We Deutschlad der Atel der Juge, de zuehme möchte 5 % beträgt, we groß st de Wahrschelchket, dass der Stchprobe A) 4 oder weger Juge zuehme möchte B) 4 oder mehr zuehme möchte. ) Der Bestzer eer Tageszetug plat de Überahme ees Fußballclubs. Vele Ahäger ud Förderer des Clubs schrebe a de Bestzer ud bezehe zu der Überahme Stellug. Vo alle Brefe sd 90 % gege de Überahme, 4% sd eutral ud 6% befürworte de Kauf. a) We zwe Brefe zufällg gezoge werde, bestmme se de Wahrschelchket, dass ) bede gege de Kauf votere. ) eer gege de Kauf st ud der adere eutral st. De Wahrschelchket, dass e Bref veröffetlcht wrd beträgt 0,0 we er gege de Kauf st 0,4 we er eutral st 0,65 we er für de Kauf st. Bestmme Se de Wahrschelchket, dass e zufällg ausgewählter Bref a) gege de Kauf st ud veröffetlcht wrd b) veröffetlcht wrd. 3) De Läge vo Dorsche, de vo eem Fschkutter gefage werde, köe als Stchprobe eer Normalvertelug mt eem Mttelwert vo 74 cm mt eer Stadardabwechug vo 0 cm agesehe werde. Bestmme Se de Wahrschelchket dafür, ) ) dass e zufällg ausgewählter Dorsch ee Läge zwsche 70 cm ud 75 cm hat. dass de mttlere Läge vo 90 zufällg ausgewählte Dorsche größer als 73 cm st. 4) Welche Mttelwert ud welche Varaz bestzt ee stetg vertelte Zufallsvarable X mt der Dchtefukto f x ax x 0 x 5

53 Lösuge: a) Px 4 0, bompdf (50, 0.5, 4) b) P P X 3 0,954 a) P P x ke Kauf P x ke Kauf 0,9 0,9 0,8 ) P P x ke Kauf P x eutral P x eutral P x ke Kauf 0,90, 04 0, 040,9 0,36 0,36 0, 7 b ) P P x ke Kauf P x Veröffetlchug 0,9 0,0 0,009 ) P 0,9 0,0 0,040,4 0,650,06 0, a) Normalcdf 70,75,74,0 0,95 0, ,34458 x z 0, 4 P0, 4 0, , z x , Pz P0, 0, x , , ) N 0, P z0,95 0,8894 0,89 4) a x x dx a x x dx E X x x dx 5 E X