d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.

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Katharina Koch
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1 4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst ür s Hus vom Nkolus: Anzl n Grüstn Stz 4.. [Cyly] Es t n n vrsn Grüst ür n vollstänn Grpn K n (mt n Knotn. Bmrkun 4.. Vrsn utt r wrkl vrsn un nt ntsomorp. Bws. I: Prnzp r oppltn Azälun: In jr Mtrx st Summ r Zlnsummn l r Summ r Spltnsummn. Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 0 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Mnmlrüst Dnton 4.. Es s G = (V, E n zusmmnännr Grp mt nr Kntnwtsunkton w : E IR. F ür F E ßt s Gwt r Kntnmn F. w(f := F w( Es s H = (V, F n Gr üst von G. Dnn st w(h := w(f s Gwt s Grüsts H. S t(n, k Anzl r Bäum u V = {,..., n}, n nn r Knotn n Gr k t. Es wr n Forml ür t(n, k stmmt. Ds Erns rolt ur Ausummrn ür ll k. B s n Bum mt ( = k, C s n Bum mt ( = k. (B, C ßt vrwnts Pr w. C us B ntstt, nm n Knt {x, y} ntrnt un n Knt {, y} n üt wr. x y x y En Gr üst H von G ßt Mnmlrüst von G w. w(h w(h ür ll Gr üst H von G. Es sn B, B,..., B t(n,k B C Bäum mt ( = k un Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04

2 C, C,..., C t(n,k Bäum mt ( = k. D t(n, k t(n, k Mtrx A = ( j s nrt ur: { lls (B, C j := j vrwnts Pr 0 sonst Aus B knn j r n Kntn ntrnt wrn, usnommn k mt nzntn Kntn. In r -tn Zl von A stn so vl Ensn, w s vrwnt Pr (B, C t, lso nu (n (k = n k. Summ r Zlnsummn von A = t(n, k (n k. In r j-tn Splt von A stn so vl Ensn, w s vrwnt Pr (B, C j t. Es t lso nu (n n + + (n n k = (k (n Ensn n r j-tn Splt von A. Summ r Spltnsummn von A = t(n, k(k (n. Ds Prnzp r oppltn Azälun lrt zw. t(n, k (n k = t(n, k(k (n t(n, k = (n k t(n, k n k Ausn von t(n, n = rt s ur Inukton t(n, n = (n ( n Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 4 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 6 D n C j mt vrunnn Knotn sn y,..., y r. y y y4 Entrnt mn n r Kntn {, y r }, so ntstt n Grp mt zw ZHKs. V r s ZHK, y r ntält un n r := V r. C y F ür Anzl t(n llr Bäum rt s somt t(n = = = n t(n, n = n ( n (n = n ( n (n =0 = ((n + n = n n En vrwnts Pr (B, C j ntstt nu nn, wnn B = (C j \ {{, y r }} {{x, y r }} lt, wo x nr r n n r Knotn n V\({} V r st. Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 7

3 Brnun von Mnmlrüstn Lmm 4.. Es s G = (V, E n zusmmnännr Grp mt nr Kntnwtsunkton w : E IR. Wtrn s U V un 0 n Knt zwsn U un V \ U mt mnmlm Gwt. Dnn xstrt n Mnmlrüst ür G, s Knt 0 ntält. Bws. Flls n Mnmlr üst T 0 Knt 0 nt ntält, so nmn wr 0 zu T 0 un ntrnn n Knt, U un V \U vrnt. Wn r Mnmltätsnst von 0 rön wr mt nt s Gwt s Gr üsts. Alortmus 4.. [Prm] Es s G = (V, E n zusmmnännr Grp mt V = {,..., n} un Kntnwtsunkton w. Es lt w({, j} =, lls {, j} / E. Dr Alortmus rnt n Mnmlr üst n B. U := {}; or := to n o u ( := w({, }; wl U V o stmm Knotn u mt U (u = mn{ U (v : v V \ U}; (* stmm Knt := {x, u} mt w( = U (u un x U; (* B := B {}; U := U {u}; or ll v V \ U o U (v := mn{ U (v, w({u, v}; (** n Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 8 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 0 Dr Alortmus von Prm 4 v0= Wr nnn mt nm ln Knotn v,.. U := {v}. In nm Itrtonssrtt rnn wr ür ll v V \ U n Knotn w, r m nästn zu nm Knotn n U lt. Dsr Knotn w wr slktrt, ntsprnn Knt wr n n Bum unommn un w wr n U unommn. Ds stzn wr ort, s ll Knotn n U sn. Bspl 4.. Wr trtn n Grpn: Es rt s n sr Rnol: B = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04

4 Bspl 4.. m 4 4 l 7 0 k Dr Alortmus von Kruskl Bm Alortmus von Prm ut mn usn von nm Knotn n Bum sukzssv u. Bm Alortmus von Kruskl nnt mn stttssn mt n nzlnn Knotn. Ds stlln nn Wl r. 0 6 j Mn vrsut nun, s Wälr optml zu nm Bum zusmmnzustzn. 8 Hrzu sortrt mn zunäst ll Kntn ustn n rr Län. Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 4 Stz 4.. Alortmus 4. rnt n Mnmlrüst n Zt O( V. Bws. Es sn zw Dn zu wsn: Korrktt s Alortmus Wr zn nuktv: N jr Aus ürun von (* (zw. n (** t U (v ür ll v V \ U n Astn zu nm nästlnn Knotn u U n. Korrktt s Alortmus olt nn mt Lmm 4.. Tl. Luzt D omnrn Srtt nnrl r Wl-Sl: (* un (**. D Wl-Sl wr V -ml urlun. Srtt (* un (** könnn n O( V us ürt wrn. Mn nnt, n m mn k ürzst Knt n n Wl unmmt. Dr Wl t jtzt n ZHK wnr. In Itrton : Flls -t Knt zu nm Krs ürn w ür, vrwrt mn s. Anrnlls nmmt mn s n n Wl u, wour s wrum Anzl r ZHKs vrrnrt. Ds mt mn soln, s n uspnnnr Bum ntstnn st. Ds st nu nn r Fll, wnn mn n Kntn unommn t (vl. Stz.4 un Stz.. Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04

5 4 v0= Bspl 4.4. Wr trtn n Grpn: Es rt s n sr Rnol: B = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 6 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 8 Alortmus 4.. [Kruskl] m Alortmus von Prm. Vorrusstzunn, En- un Aus w B := ; ZHK := ; := 0; L := Lst r Kntn ustn sortrt n rr Län; or ll v V o ZHK := ZHK {{v}}; wl ZHK > o := + ; Es s {v, w} s -t Elmnt von L; v un w örn zu vrsnn Komponntn K un K n ZHK tn ZHK := (ZHK \ {K, K } {K K }; B := B {v, w}; n n Stz 4.4. Alortmus 4. rnt n Mnmlrüst n Zt O( E lo V. Bws. D Korrktt s Alortmus von Kruskl knn nuktv ur wrolt Anwnun von Lmm 4. zt wrn. Tl. Ztuwn: Dr omnrn Srtt st Sortrun. Dr Auwn zur Sortrun r Kntn st O( E lo E = O( E lo V = O( E lo V = O( E lo V F ür znt Vrnun r ZHKs un n vornnn Tst nutzt mn Dtnstrukturn ür s sonnnt Unon-Fn- Prolm. Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04 7 Enürun n Grpntor FH Bonn-Rn-S, WS 0/04

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