Herleitung und Umstellung der allgemeinen Zinseszinsformel

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1 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl. Hrlung dr Znssznsforl Ggbn s n apal von, das zu Znssaz anglg wrd. Nach wls n Jahr wrdn d Znsn d apal zugschlagn. W hoch s das apal nach Jahrn? Jährlch Znsn wrdn rrchn, nd an dn Znssaz d apal zu Bgnn ds Jahrs ulplzr. Für das apal bragn d Znsn nach n Jahr. Wnn ds Znsn d apal zugschlagn wrdn, bräg das apal nach n Jahr () + ( + ) Dss apal s zuglch das Anfangskapal ds zwn Jahrs, und ds apal wrdn a End ds zwn Jahrs wdr d Znsn zugschlagn, sodass: (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Für das apal a End ds drn Jahrs, 3, gl nsprchnd: (3) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 3 Man sh, dass das apal sch n d Jahr d Fakor + vrhr und d Anzahl dr Fakorn gnau dr Anzahl dr Jahr nsprch. S n d Daur dr apalanlag vo Bgnn bs zur Rückzahlung, dann kann d Varabl all ganzzahlgn Wr von bs n annhn: (4) n { } Sz an n 3, dann s nach Glchung (3) offnschlch rchg: (5) ( ) n + n Nach Glchung () und (2) s Glchung (5) auch für n und n 2 bwsn, abr nch für n > 3. Wnn nun d Laufz dr apalanlag von n auf n + rhöh wrd, s n das Anfangskapal Zpunk n, und das Endkapal Zpunk n + rgb sch durch Addon dr auf n brchnn Znsn: (6) + ( + ) Glchung (5) n Glchung (6) ngsz: n+ n n n (7) ( ) n ( ) ( ) n D Erhöhung dr Laufz von n auf n + rhöh dn Eponnn von + bnfalls auf n +. Dr Zusanhang zwschn Glchung (6) und Glchung (7) sz knn bsn Wr für n voraus, nur dass n + gnau u größr s als n. Das s vdn. Da kann n n Glchung (5) d blbg naürlch Zahl sn. Glchung (5) gl so für all ganzzahlgn Laufzn von apalanlagn. Nun s s auch von Inrss, dn Wr nr apalanlag vor d End hrr Laufz n fszuslln. Für n bs apalanlag s n n onsan, sodass sch aus Glchung (5) für n n nzgr Wr rgb. Glchung (5) gl abr für dn ganzzahlgn Wr von n, und bn n solch Rh von Wrn bschrb. Da gl Glchung (5) für dn dr Wr von Glchung (4). Das hß, kann als unabhängg Varabl n Glchung (5) ngsz wrdn. D allgn Znssznsforl s dann n Funkon von : n+ - - zz3.doc

2 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl (8) ( ) + In dsr Funkon s, dr Wr dr apalanlag nschlßlch dr Znsn, d abhängg Varabl und, d s d Bgnn dr apalanlag vrsrchn Z, d unabhängg Varabl. Es sll sch nun d Frag, ob d Znssznsforl auch dfnr s für nch ganzzahlg Wr dr unabhänggn Varabln. Wrd zunächs dr Fall brach, so rgb Glchung (8) hr (9) ( ) + Ds s das rwar Ergbns: Wnn d Laufz nr apalanlag glch null s, vrändr sch hr Wr nch. Gl d Znssznsforl auch für Jahrsbruchl, also wa für,5 odr für,25, gl also d Forl für raonal Zahln? Tasächlch s d Funkon ( + ) n Eponnalfunkon, d + > übrall sg s. Das hß, d Funkon s für all rlln Zahln dfnr. Man kann also auch folgnd Wr nszn:,,,,, 6,6 usw Dsr Usand br d Ökonon Probl, nsbsondr das Probl dr unrährgn Vrznsung, das Probl unglch langr Mona, das Probl dr Schalahr, abr nch d Mahakr. 2. Usllung dr Znssznsforl nach d Anfangskapal D Znssznsforl wurd aus dr Fragsllung abgl, w sch n ggbns Anfangskapal vrhr, wnn d apal Znsn zugschlagn wrdn. Man sag, das apal wrd aufgzns. Brach an daggn das Endkapal als ggbn und sll d Znssznsforl nach d Anfangskapal u, sprch an vo Abznsn odr Dskonrn. U n Glchung (8) das Anfangskapal zu solrn, uss d Glchung nur durch ( + ) gl wrdn: ( ) ( ) + : + () ( + ) 3. Usllung dr Znssznsforl nach d Znssaz Wnn das Anfangskapal, d Laufz und das Endkapal ggbn snd, kann aus dsn Dan dr Znssaz rrchn wrdn. U d Znssznsforl nsprchnd uzuslln, wrd Glchung (8) zunächs durch gl: ( ) + : () ( ) + Hraus d. Wurzl gzogn und nach aufglös: (2) B Lösn dsr Glchung konkrn Dan uss an bdnkn, dass n solch Glchung Lösungn ha, d zu Tl ökonosch unsnng snd und dahr ausgschlossn wrdn üssn. Als Bspl hrfür s folgndr Fall brach: zz3.doc - 2 -

3 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl D zu lösnd Glchung s D Lösungn snd % 3 3% Man rknn auf dn rsn Blck, dass b n Wachsu ds apals von auf 4 n zw Jahrn nur dr posv Znssaz rchg sn kann, nch dr ngav davon abgshn, dass apalanlagn höchsns % hrs Wrs vrlrn könnn, wnn nch grad n Nachschusspflch bsh. Wnn also >, dann uss dr Znssaz, d Wachsusra ds apals, posv sn, ugkhrn Fall ngav. 4. Usllung dr Znssznsforl nach dr Laufz D Auflösung dr Znssznsforl nach dr Laufz s nch rval. D ahasch Ungübn s pfohln, sch vorhr ng Rgln ds Rchnns Ponzn zu vrggnwärgn. Zw Ponzn glchr Grundzahl wrdn nandr ulplzr, nd d Eponnn addr wrdn: (3) n n a a a + Zw Ponzn glchr Grundzahl wrdn durchnandr dvdr, nd d Eponnn vonnandr subrahr wrdn: (4) a a n a n En Ponz wrd ponzr, nd d Eponnn nandr ulplzr wrdn: (5) ( a ) n a n Aus nr Ponz wrd d n. Wurzl gzogn, nd dr Eponn durch n gl wrd: (6) n n a a Außrd s s nüzlch, dn Bgrff ds Logarhus zu knnn. Dr Logarhus nr Zahl a s dr Eponn, d d Bass b ds Logarhus ponzr wrdn uss, u ds Zahl zu rhaln: (7) b a (8) Logarhus von a zur Bass b Für d dkadschn Logarhn zur Bass schrb an log a. Ds n Glchung (7) ngsz: (9) log a a zz3.doc

4 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl Für d naürlchn Logarhn zur Bass (Eulrsch onsan) schrb an ln a, sodass (2) ln a a Mhlf dr Logarhn kann an Funkonn ds durch Glchung (7) dargslln Typs nach dr unabhänggn Varabln auflösn. D Ähnlchk dr nach aufzulösndn Glchung (7) und dr nach aufzulösndn Glchung () lg auf dr Hand. Bds snd Eponnalfunkonn, b dnn d unabhängg Varabl dn Eponnn darsll. Nach Glchung (9) kann an nun schrbn: (2) log ( + ) + log (22) log (23) D Glchungn (2), (22) und (23) n Glchung () ngsz: (24) log( + ) log log Unr Vrwndung dr Rchnrgln (4) und (5) rgb sch hraus (25) log ( + ) log log Da shn sch zw Ponzn glchr Grundzahl ggnübr, d nandr glch snd. Dann üssn auch d Eponnn nandr glch sn. Es gl also (26) log ( + ) log log Hraus folg (27) log log log ( + ) D glch Ablung kann auch dn naürlchn Logarhn durchgführ wrdn. Aus Glchung (2) folg für d Eln von Glchung (): (28) ln ( + ) + ln (29) ln (3) Glchungn (28), (29) und (3) n Glchung () ngsz: (3) (32) ln ( + ) ln ln ln ( + ) ln ln (33) ln( + ) ln ln (34) ln ln ln ( + ) zz3.doc

5 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl 5. Das Probl nch-ganzzahlgr Laufzn ährlchn Znssznsn ( ) Wnn auch d Znssznsfunkon + als Eponnalfunkon übrall sg s, so bruh hr Hrlung doch darauf, dass d Znsn auf das apal nklusv dr bshr aufglaufnn Znsn wls nach n Jahr zugschlagn wrdn. Znsn ragn also gnau nach n Jahr wdr Znsn. Wgn dr Sgk gl ds Funkon abr auch unrährgn Brch, und s sll sch d Frag, w d Präss dr ährlchn Znssznsn dann zu nrprrn s. Hrfür s folgnds Bspl brach:,,,5 Wlch Znsn falln an, wnn d apalanlag nach n halbn Jahr bnd wrd und dnnoch durch d Vrwndung dr Znssznsfunkon ( + ) ährlch Znssznsn unrsll wrdn? Dr apalbrag nach n halbn Jahr s D Znsn snd,5,5, 4,88,5 4,88, 4,88 Dsr Brag nsprch nch dn Erwarungn ns aufanns. Für dn aufann s klar, dass n Jahrsznssaz von % auf das halb Jahr grchn nn Znssaz von % / 2 5 % bdu. Wächs n apal n n Jahr von auf, so wächs s n n halbn Jahr grad auf 5 und nch auf 4,88. Dr Unrschd lg darn, ab wann Znsn wdr Znsn ragn, ab wann s Znssznsn gb. Für d allgn Znsforl ( + ) gl aufgrund hrr Hrlung r noch d Präss, dass Znsn rs nach n Jahr d apal zugschlagn wrdn und ab dann wdr Znsn ragn, abr nch vorhr. Nach n Jahr s dn Dan ds Bspls das apal gnau u % gsgn, dnn s gl, ( ) Wnn an d Znssznsfunkon + vrwnd, ha an da unrsll, dass Znsn ss gnau nach n Jahr wdr Znsn ragn. D Znsbrchnung rfolg nal Jahr nach Ablauf ns Jahrs. Das uss nun abr nch so sn. Man kann d Znsn auch nach n halbn Jahr, odr nach n Vrlahr, nach n Mona odr wlchr Zspann auch r brchnn. Man sh abr schon an d bhandln Bspl, dass d Enwcklung ds apals n andr s, wnn d Znsn n n andrn Rhyhus als nal pro Jahr d apal zugschlagn wrdn. Wnn Bspl d Znsn nach wls n halbn Jahr brchn wrdn, bräg ds apal nach d rsn halbn Jahr 5, und d Znsn hrauf für das zw halb Jahr snd wdru dr halb Jahrsznssaz, ulplzr bn ds apal, also % 5 5,25 2 Das apal nach n Jahr bräg b halbährlchr Znsbrchnung 5 + 5,25,25. Ggnübr d Anfangskapal von s das apal u,25 % gsgn, obwohl dr Jahrsznssaz nur % bräg. D Anzahl dr Znsbrchnungn pro Jahr, d hr 2 bräg, ha Enfluss auf d Enwcklung ds apals. Das bdu, dass d allgn Znssznsforl u nn Parar rwr wrdn uss, dr d Anzahl dr Znsbrchnungn pro Jahr angb zz3.doc

6 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl 6. Erwrung dr Znssznsforl S d Anzahl dr Znsbrchnungn pro Jahr. Wnn d Znsbrchnungn was vorausgsz wrd n rgläßgn Zabsändn rfolgn, bräg d Zspann von nr Znsbrchnung zur nächsn / Jahr. D Zspann zwschn zw aufnandrfolgndn Znsbrchnungn s als Znsprod odr auch Znssznsprod bzchn. Zl s s, d Znssznsforl u dn Parar zu rwrn. Dab wrd wrhn von Znssäzn ausggangn, d sch auf das Jahr bzhn. Das hß, rgndn Jahrsznssaz, ulplzr n apalbrag, gb ss d ährlch Vrändrung ds apals an. Wnn d Znsprod kürzr (odr auch längr) als n Jahr s, wrd dr Znssaz nsprchnd dr Prod ugrchn. Man kann dsn auf d Znsprod ugrchnn Znssaz dann nn prodnkonforn Znssaz nnnn. Bräg d Znsprod n halbs Jahr, wrd dr halb Jahrsznssaz vrwnd, b nr Prod von n Vrlahr n Vrl ds Jahrsznssazs, b nr Prod von n Mona n Zwölfl, und b nr Prod von / Jahrn und n Jahrsznssaz von s dr prodnkonfor Znssaz. A End nr dn Znsprod wrdn w r d Znsn für ds Prod d apal zugschlagn. Für das apal nach Jahrn gl also + + (35) Das Endkapal nach Jahrn s zuglch das Anfangskapal dr zwn Znsprod, sodass (36) Nach dr Znsprodn s das apal (37) A End dr Znsprod wrd das Anfangskapal dr wlgn Prod d Znssaz ulplzr und zu Endkapal dr Prod addr: Anfangskapal dr Prod + Anfangskapal dr Prod prodnkonforr Znssaz Aus dsr Su läss sch ss das Anfangskapal ausklarn: Anfangskapal dr Prod ( + prodnkonforr Znssaz) Das Anfangskapal wächs also n dr Znsprod d Fakor + prodnkonforr Znssaz, hr +. Dsr Fakor wrd auf das ursprünglch Anfangskapal so of angwnd, w Znsprodn vrsrchn snd. Das apal nach nr bsn Anzahl von Znsprodn s also (38) nach nr bsn Anzahl von Znsprodn + Anzahl dr Znsprodn Zwschn dr Anzahl dr vrsrchnn Znsprodn und dr Laufz bsh nun dr nfach Zusanhang, dass d Anzahl dr Znsprodn, ulplzr hrr Läng, d Laufz rgb: zz3.doc

7 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl (39) Anzahl dr Znsprodn Läng nr Znsprod Laufz Wrd d Z wrhn n Jahrn gssn und fndn pro Jahr n glchblbndn Zabsändn Znsbrchnungn sa, dann falln n n Zrau von Jahrn Znsbrchnungn an; das hß, d Anzahl dr Znsprodn s. Ds kann ohn Wrs n Glchung (38) ngsz wrdn. Mulplzr dr Läng nr Znsprod von rgb sch für d Laufz nach Znsprodn nsprchnd Glchung (39) Znsprodn s also nfach., w ds zu rwarn war. Das apal nach Da lau d u d Anzahl dr Znsbrchnungn pro Jahr rwr Znssznsforl (4) + Für gh ds Forl n d unr dr Vorausszung ährlchr Znssznsn abgl Znssznsforl [Glchung (8)] übr. Mhlf ds Parars könnn aus dr rwrn Znssznsforl all öglchn Vrznsungsforn abgl wrdn, w Folgndn gzg wrd. Es s zunächs dr Fall brach, dass währnd dr gsan Laufz nr apalanlag übrhaup kn Znssznsn brchn wrdn. In ds Fall fnd währnd dr ganzn Laufz nur n nzg Znsbrchnung sa sons würdn Znsn wdr Znsn ragn. Für d Anzahl dr Znsbrchnungn gl dann, dass ds glch sn uss: Hraus folg für dsn Fall (4) Ds n d Znssznsforl nach Glchung (4) ngsz: + + (42) + ( ) Ds s d Forl für d Aufznsung ns apals nfachr Vrznsung. Enfach Vrznsung hß, dass Znsn kn Znsn ragn. D Znsn wrdn für d gsa Laufz nur auf das Anfangskapal grchn und nals auf n u rgndwlch Znsn rhöhs Anfangskapal. D nfach Vrznsung läss sch also als Grnzfall dr Znssznsrchnung brachn, nd für rgndn Laufz nur nal Znsn brchn wrdn. D Grnz zur andrn S rrch an, wnn d Anzahl dr Znsbrchnungn pro Jahr rhöh wrd. Man kann d Znsn onalch, äglch, sündlch, d Mnu, d Skund brchnn n Obrgrnz für gb s nch. Dr Fall s dnkbar, und an uss sch fragn, w hoch das apal nach Jahrn dann s. Hrfür wrd dfnr (43) Ds n Glchung (4) ngsz: zz3.doc

8 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl (44) + Aus (43) folg (45) Glchung (45) n (44) ngsz: (46) + + Dr n Glchung (46) nhaln Ausdruck + wrd gsondr brach. Wnn ggn unndlch gh, dann gh nach Glchung (45) auch ggn unndlch, sofrn >, was voraus- gsz wrd. Dr Grnzwr von + für s d Eulrsch onsan : (47) l + Wrd n Glchung (46) dr Grnzübrgang durchgführ, gl also l + (48) Ds s d Forl für d sg Vrznsung. Das Anfangs- und das Endkapal könnn auch nchonär Größn sn; n ds Fall nnn an Glchung (48) d Forl ds sgn Wachsus, > als Wachsusra. 7. Usllung dr rwrn Znssznsforl nach d Anfangskapal U d rwr Znssznsforl gäß Glchung (4) nach d Anfangskapal uzuslln, uss nur durch + gl wrdn. Es rgb sch (49) + Für d sg Znssznsforl folg aus (48): (5) 8. Usllung dr rwrn Znssznsforl nach d Znssaz Aus Glchung (4) folg + zz3.doc - 8 -

9 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl + + (5) Für d sg Vrznsung folg aus (48) zunächs (52) U ds Glchung nach d Znssaz aufzulösn, uss an nur d Dfnon ns Logarhus rns nhn: Dr Logarhus nr Zahl s dr Eponn, d d Bass ds Logarhus ponzr wrdn uss, u ds Zahl zu rhaln. D Bass ds naürlchn Logarhus s. Nach Glchung (52) rgb, ponzr, dn Ausdruck Logarhus, d an. Also s dr naürlch rhäl, und an kann ohn Wrs schrbn (53) ln Ds Glchung nach aufglös: (54) ln 9. Usllung dr rwrn Znssznsforl nach dr Laufz D rwr Aufznsungsforl (4) wrd zunächs n folgnd For gbrach: (55) + D Bsandl + und wrdn als Ergbns ds naürlchn Logarhus ausgdrück, nd d Dfnon ds Logarhus angwnd wrd: (56) ln+ + (57) ln Glchungn (56) und (57) n (55) ngsz: zz3.doc

10 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl ln+ ln ln + ln ln+ ln (58) ln ln+ Es gl nun auch ln (59) ln (6) Dr Quon dr Glchungn (59) und (6) s ln ln Hraus folg ln ln (6) ln ln ln Glchung (6) n (58) ngsz rgb n alrnav Forulrung für d Laufz: ln ln (62) ln+ Für d sg Vrznsung folg aus (53) unlbar (63) ln odr (64) ln ln. Äquvaln Znssäz Es s nun von Inrss, d vrschdnn Forn dr Vrznsung nandr zu vrglchn. Dazu wrd wls n bs Vrznsungsfor als Ausgangspunk gwähl und dazu drng Znssaz dr übrgn Vrznsungsforn bs, dr von n ggbnn Anfangskapal b glchr Laufz zu slbn Endkapal führ. - - zz3.doc

11 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl Zur Unrschdung dr Znssäz wrdn ds nach dr Vrznsungsfor bnann, auf d s angwand wrdn. Es s Znssaz b nfachr Vrznsung Znssaz b ährlchr Vrznsung Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr s Znssaz b sgr Vrznsung Als Erss s dr Grnzfall dr Znssznsrchnung, d nfach Vrznsung, zu Ausgangspunk gwähl. M für dn Znssaz lau d Forl dr nfachn Vrznsung gäß Glchung (42): (65) ( + ) D übrgn Vrznsungsforn snd nach (8), (4) und (48) dn nsprchndn Znssäzn (66) ( + ) (67) + s (68) D Znssäz snd äquvaln, wnn s zu glchn Ergbns führn, das hß wnn (65) (66) (67) (68). Hrvon wrd zunächs dr Fall (65) (66) brach. ( ) ( ) ( + ) (69) + Das hß: Wnn n apal b nfachr Vrznsung d Znssaz vrzns wrd, üss dr Znssaz b ährlchr Vrznsung + bragn, u dasslb Endkapal zu rrchn. Dr Znssaz b ährlchr Vrznsung + s d Znssaz b nfachr Vrznsung äquvaln. Dr Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr, dr n ggbnn Znssaz b nfachr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (65) und (67): ( + ) (7) ( + ) Dr Znssaz b sgr Vrznsung, dr n ggbnn Znssaz b nfachr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (65) und (68): - - zz3.doc

12 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl ( ) + ( ) s s ln + + s (7) s ( + ) ln Dr Znssaz b nfachr Vrznsung, dr n ggbnn Znssaz b ährlchr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (66) und (65): ( ) ( ) + ( + ) ( + ) + + (72) ( ) + Dr Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr, dr n ggbnn Znssaz b ährlchr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (66) und (67): ( + ) + ( ) (73) ( + ) Dr Znssaz, dr b sgr Vrznsung n ggbnn Znssaz b ährlchr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (66) und (68): ( ) + s ( ) s + s + (74) s ln( + ) Dr Znssaz, dr b nfachr Vrznsung n ggbnn Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (67) und (65): ( ) zz3.doc

13 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl (75) + Dr Znssaz, dr b ährlchr Vrznsung n ggbnn Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (67) und (66): + + ( ) ( ) (76) + Dr Znssaz, dr b sgr Vrznsung n ggbnn Znssaz b -algr Vrznsung pro Jahr äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (67) und (68): + s + s + s (77) s ln + Dr Znssaz, dr b nfachr Vrznsung n ggbnn Znssaz b sgr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (68) und (65): ( ) + s s + s (78) s Dr Znssaz, dr b ährlchr Vrznsung n ggbnn Znssaz b sgr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (68) und (66): s ( ) ( ) s (79) Dr Znssaz, dr b -algr Vrznsung pro Jahr n ggbnn Znssaz b sgr Vrznsung äquvaln s, rgb sch aus dr Glchszung von (68) und (67): zz3.doc s s

14 Hrlung und Usllung dr allgnn Znssznsforl s + s + s + s + s (8) ( s ) zz3.doc