r = 2 y p = 1 und z p = 1 P(3; 1; 1) bzw. PS linear abhängig ist. 7 PS ist Höhe der Pyramide 14

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1 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5 P Gomtri A(5;-;), B(;5;-) C(-;7;), D(-;;), S(;;5). Zichug: (Usichtbr Kt: AD, DS, CD ) A, B, C, D sid Eckpukt is Prlllogrmms, w j wi dr Vktor AB, BC, CD, DA prlll bw. tiprlll, d.h. lir bhägig sid. (A, B, C ud D lig i ir Eb, wil lut Aufgbstllug di Pyrmid di Grudfläch ABCD bsitt.) 6 6 AB 6 BC CD 6 DA Ergbis: AB CD ud BC DA ABCD ist i Prlllogrmm Für i Rchtck ist i rchtr Iwikl otwdig: DAB 9 ABi AD 6 ABiAD 6 i + 4 DAB 9 ABCD ist ki Rchtck Flächihlt: 6 6 F AB AD Dr Flächihlt ds Prlllogrmms bträgt 6 6 FE. P(; y p ; p ) uf AC g(ac): r' + r r, r R P g(ac): 5 yp + r p r y p ud p P(; ; ) D P i dr Eb E(ABCD) ligt, ist PS di Höh dr Pyrmid, w PS E( ABCD) bw. PS lir bhägig ist PS 7 AB AD 6 PS ( AB AD) PS ist Höh dr Pyrmid vo ( AB AD)

2 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5. Q(; y q ; q ) h(bc): Q h(bc): s 6 yq 5 + s q s R s Q(; 6; ) P Alysis f ( ) R,.. Ski: f().. P(4; ) f( ) f '( ) Astig dr Tgt: f '(4) Sktglichug durch O(; ): y Schittstll dr Skt mit f(): ( ) ; Flächihlt: F f( ) g( ) d d Dr Flächihlt bträgt 4, FE.

3 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5. Sitläg: ( ) Flächihlt: (A ) A+ A N,.. A 4 Es hdlt sich um i gomtrisch Zhlfolg mit dm Quotit q. Epliit Bildugsvorschrift: A A q 4 4 < 5 5 A < 5 A >,5 Für N, gilt 5 < 5 A. A <.. S ist i gomtrisch Rih mit dm Quotit A lim S A q. D < kovrgirt di Rih. Si ht d di Summ P Stochstik p P(Nbwirkug),6 ZG X Ahl dr Fäll mit urwüscht Nbwirkug.. EX p 5,6 PX PX PX PX 5 49 ( > ) ( ) ( ) ( ),94 5,6,94, Es sid Fäll urwüschtr Nbwirkug bi dr Awdug ds Mdikmts 5 Ptit u rwrt. Mhr ls i Fll urwüschtr Nbwirkug tritt bi 5 Ptit mit ir Whrschilichkit vo % uf. X ist B ;,6 -vrtilt. P( X ) >,5 P( X ) >,5 P( X ) <,5,94 <,5 l,5 > l,94 >, Bi Ptit übrschritt di Whrschilichkit für ds Auftrt midsts is Flls urwüschtr Nbwirkug rstmls 5%.

4 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 4 vo 5. Rchtssitigr Sigifiktst H : p,4 H : p >,4 H whr X ist B ;,4 vrtilt Ablhugsbrich: A { kr; kr + ;...;} Sigifikivu: α, 5 P( X kr ) α P( X kr ) α P( X kr ) α B ;;...; k,95 ;,4 ({ r }) Tbll Biomilvrtilug: ({ }) ({ }) B ;,4 ;;...;6,96 B ;,4 ;;...;7,955 kr 7 r A ;9;...; Tsttschidug: 7 A H k icht sigifikt bglht wrd. M k uf Grud dr Stichprob icht mit ir Irrtumswhrschilichkit vo 5% schliß, dss bi mhr ls 4% llr Fäll urwüscht Nbwirkug uftrt. k { } A4 Alysis f ( ) R, -, R, 4. Schittpukt mit Absisschs: + +, ± S ( + ;) S ( ;) Für > istir ki Schittpukt mit dr Absisschs. Für istirt gu i Schittpukt mit dr Absisschs: S ( ; ) Für < istir di wi ggb Schittpukt mit dr Absisschs. Dr Nr vo f () wird, w ist. Ds ist ur für d lut Dfiitio usgschloss Fll dr Fll. Schittpukt mit Orditchs: f () S y ; Vrhlt im Udlich: lim lim lim ± + + f ± ± ± + ± + + Asymptot: Polsymptot: Witr Asymptot: ( + + ) :( + ) + + witr Asymptot: y

5 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 5 vo 5 4. Ablitug: f ( ) f '( ) ( + ) ( + ) f ''( ) Etrmpukt: f '( ) ( + ) ud -, ± 4 4+ ± E ( ± + ) ( ± ) E f ''( ± ) ± ± Für R, > bsitt G wi lokl Etrmpukt (i Mimum- ud i Miimumpukt). Asost ht G ki Etrmpukt. Wdpukt: f ''( ) ( + ) ist lut Dfiitio usgschloss G bsitt ki Wdpukt. 4. G G - G - G

6 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 6 vo f + ( ) S + ; S y ; + F f d d + + d d l( + ) + c + mit c R + F f d + + l l l l l Dr Flächihlt bträgt l FE,7FE. 4.5 A(-; ), B(; ), C(; f ()) > - f ( ) Di Pukt A ud B lig uf dr Absisschs. Dr Pukt C ht dislb -Koordit wi B. Es hdlt sich um i rchtwikligs Drick mit d Ktht AB ud BC. + + F( ) AB BC + f( ) F '( ) + Flächihlt ds Dricks: F''( ) > Miimum F'( ) + Für - ist dr Flächihlt ds Dricks miiml. (Dr miiml Flächihlt bträgt FE.) A5 Alysis 5. f ( ) l R, > 5.. Dfiitiosbrich: R, > Schittpukt mit dr Absisschs: f ( ) l ( ) l tfällt ( > ) l l S ; Ablitug: f ( ) l f '( ) l + f ''( ) Etrmpukt: f '( ) l + l E f ''( E) f ''( ) > Miimum f ( ) P ; Mi

7 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 7 vo 5 Ski: G G 5.. Prtill Itgrtio: u v'( d ) u v u'( ) vd u l v u'( ) v'( ) l d l d l + c 4 c R Flächihlt: S ( ;) l l l 4 F f d d ( ) ( ; ) f( ) l l P f '( ) l f '( ) y m+ Tgt: + Norml: m m t + t: m : y y +

8 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5 5. Zuordug g ist. Ablitug vo h k ist. Ablitug vo f Bgrüdug h ht d Stll -; ud lokl Etrmpukt. Dort muss di. Ablitug Null wrd. Di Fuktio g rfüllt dis Bdigug. Wdr di Fuktio f och k hb ll dis Stll Nullstll. f ht wisch - ud -, bi - ud wisch ud lokl Etrmpukt. Hir lig uch di Nullstll dr Fuktio k. Ki dr Fuktio g ud h ht ll dis Stll Nullstll. Ki Fuktio k Ablitugsfuktio vo g si, d wdr f och k och h hb Nullstll bi - ud, wo wi Etrmpukt vo g lig. Ki Fuktio k Ablitugsfuktio vo k si, d wdr f och g och h hb Nullstll bi - ud, wo wi Etrmpukt vo k lig. Dhr blibt di ob ggb Zuordug di iig möglich. A6 Gomtri A(6; ; ), B(6; ; ), C(; ; ), D(; ; ), E(; ; 5), F(; ; 5) G(; -; 9), H(; ; 4) 6. Zichug: 6. Grd g(gh): g(gh): + r r R Eb ABFE: 6 4 AB AE Normlvktor dr Eb ABFE: 5 4 A ABFE: 56 Ebglichug E(ABFE):

9 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 9 vo 5 Schittpukt g ud Eb ABFE: ( r) 5 r r S S ;4; r 5 Schittwikl: Altrtiv Rchug: cos( α 5 6 ) siγ α,4 β α 69, 6 Schittwikl: γ 9 β, 4 γ,4 6. Grd h: h(ab): 6 + s s R Eihitsvktor skrcht u d Richtugsvktor dr Grd: ud ud Abstd dr Grd g ud h: Abstd: d ( ) Dr Abstd wisch d Grd g ud h bträgt 9 9 LE Eb ε k : k + y 4 k R C ε k : k + 4 whr Aussg für ll k R F ε k : k + 4 whr Aussg für ll k R Mittlpukt dr Strck AB : 6 6 M + 4 M(6; 4; ) Eb ε k : k k Di Eb ε : + y 4 vrläuft durch d Mittlpukt dr Strck AB.

10 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo P(6; y p ; ) AB Volum dr Pyrmid PBCF: VE V ( PB PC) PF V PB PC PF y y y y y y p 5 p p p p 5 ( p) ( y p ) ( y p ) 5 y p 6 y p Für di Wrt y p 6 ud y p bträgt ds Volum dr Pyrmid PBCF gu VE. B4 Alysis 4 f ( ) + b + c + d + IV P Mi (; -) P W (6; f(6)) Wdtgt bi w 6 mit m f ( ) 4. Ablitug: f '( ) 4 + b + c + d f ''( ) 6b c IV + + f '''( ) 4+ 6b f ( ) 4 (I): P Mi (; -) f () (II): f '() d (III): P W (6; f(6)) f ''(6) 4+ 6b+ c 6+ b+ c (IV): Wdtgt bi w 6 mit m f '(6) 64+ b+ c+ d IV (V): f ( ) 4 (V) i (III) c 7 b (II), (V) i (IV) 9b c 9 f b ( b) b+ b b c 7 ( ) c 9 4. Ablitug: f '( ) 6 + f ''( ) + f '''( ) Etrmpukt: 6 ( 6) + f ''() > Miimum f '( ) E, 6± f ''(6) E E f '''(6) 6 > 6 ist ki Etrmstll. Es gibt ur i Etrmpukt ( ; ) P. Mi E

11 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5 Wdpukt: f ( ) 46 Ski: f ''( ) + + W, W 4± 6 4± W 6 f '''(6) 6 > (kokv kov) f (6) 46 P W (6; 46) W f '''() 6 < (kov kokv) f () 4 P W (; 4) f() F 46 f( ) d d Dr Flächihlt bträgt FE. 6 f( ) Nwto-Vrfhr: f( ) f '( ) 7 5 f () f '(),7,66 4,66 f '( ) 6 + Ei Nullstll ligt bi,7. B5 Alysis f ( ) R, R, 5. Ablitug: f '( ) f ''( ) + f '''( ) +

12 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5 Etrmpukt: ' f ( ) ( ) f ''() ( + ) < Mimum f () PM ( ; ) Wdpukt: f ''( ) ( + ) ( + ) W f '''() > Wdpukt kokv kov () P ; 5. f W Wdtgt: P ; f '() y m+ 5. W + Schittpukt mit d Koorditchs: 4 4 t : y + 4 ( + 4) + ( + 4) ( + 4) S 4 S ( 4;) ( 4) ys + 4 S ( ; 4 y ) Mittlpukt dr Strck M S 5.4 SS : M ( ; y ) y M M ym y S M ( ; ) PW ( ; ) E f mit > f Gmism Nullstll vo f ud f : Flächihlt A(): A( ) f ( ) f ( ) d d d d d d Prtill Itgrtio: u v'( d ) u v u'( ) vd u v u'( ) v'( ) d + d ( + ) + c c R Flächihlt A(): ( ) A( ) d ( ) ( ) + + ( ) ( ) (Für > ist dr Ausdruck irhlb dr Btrgsich immr positiv.) d

13 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit vo 5 ( ) lim A lim lim wil: ( ) + + ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( )( ) ( ) lim lim (Rgl ch DE L Hospitl) (Zählr ud Nr vo strb gg ) B6 Gomtri A(5; ; -), B(-; ; ), C(; ; 4) ε(abc) g: t mit t R Normlvktor vo ε(abc): AB AC 5 44 Koorditglichug dr Eb ε(abc) + y+ d C ε(abc) + 4 d d ε(abc): + y+ Schittpukt mit d Koorditchs: S S : 5 S S y : S S : 5 Zichug: S ( 5;;) y S ( ;; ) S ; ;5

14 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 4 vo 5 6. A(5; ; -), B b (-; b-; b+4), C(; ; 4) Grd h(ac): h(ac): r 5 mit r R B b h: 5 4 b + r b r r b r b 5 5 b r + b Widrspruch! Es gibt ki Zhl b, so dss di Pukt A, B b ud C uf ir Grd lig. 6. ε(abc): + y+ g: 4 + t mit t R Schittpukt ε(abc) mit g: t+ 4+ t + + t 9t 6.4 t S ( ; ; ) Hsssch Normlform vo ε: + y+ P(5; ; 4) Q(; -4; -) ligt uf dr Grd g ud ist ki Pukt dr Eb ε. Q si ds Spiglbild ds Pukts Q dr Eb ε. Q ligt d uf dr Grd g. Q ht dslb Abstd vo dr Eb ε, wi dr Pukt Q vo ε ud ligt uf dr Grd k, di skrcht u ε durch Q vrläuft. Vorichbhfttr Abstd ds Pukts Q(; -4; -) vo ε: 4+ d 6 Grd k durch Q skrcht u ε: k: 4 + t' t R Dr Pukt Q muss vo ε d vorichbhftt Abstd d 6 bsit ud uf dr Grd k lig: Q ' Q' + yq' + Q' 6 ud yq ' 4 t' + Q ' ' t t' + + ' t 6 9' t 6 t ' 4 Q ';;6

15 Lösug Abitur Listugskurs Mthmtik Sit 5 vo 5 Di Grd g ght durch di Pukt S ( ; ; ) ud ';;6 g : 6 + r' 4 Q : r R g : + s' s R P g? 5 + s ' s ' s ' s ' s ' 4 + s ' s ' Dr Pukt P(5; ; 4) ligt uf dr Grd g.