fast freie Elektronen: Elektronen im Metall

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Elizabeth Hertz
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1 fast fri lktro: lktro im Mtall a Kristallgittr gibt Größ dr ihitszll vor Priodizität ifluss ds Kristallpottials auf lktrobwgug vrachlässigt: V() = lktro fast fri, ki Wchslwirkug utriadr, Paulivrbot gilt abr rgiivaus bis zu Frmirgi gfüllt ( Tilchs ) Ablitug dr igschaft ds lktrogass Kristallatom: lagsam, harmoisch Bwgug um Ruhlag L fast fri lktro: lktro im Mtall limiatio ds iflusss dr Obrfläch priodisch Radbdigug: () = (L) Quatisirug: k L ml L L L y z Frmirgi liar Abmssug ds Fstkörprs shr groß rgtischr Abstad zwisch bachbart Zustäd vrschwidd kli k

2 3 Dimsio: Radbdigug: ik iky y ikzz ( r) A y z k, ky, kz L L L y z 3-dimsioals Gittr möglichr k-vktor Volum ir Gittrzll: k k y k z = () 3 /L L y L z = () 3 /V Bispil: i D k y k k y A = k /4 N = A/k k y k großs Volum (ralr Kristall): biah kotiuirlich Vrtilug vo k-vktor rgi: y z m L k y N = 6 k N k k k ma ma y k k k k y y 5 57

3 k y N = 634 k N k k k ma ma y k k k k y y 68.3 Viltilchsystm: lktrogas Nährug: Wchslwirkug ik zwisch lktro wird idvrachlässigt (icht wchslwirkds lktrogas) Pauli-Prizip: zwi lktro (Frmio) kö imals d slb Zustad bstz lktro/rgi (Spi!) Zustad: charaktrisirt durch i kompltt Satz vo Quatzahl (hir: Wllvktor k, Spiprojktio m s ) k ( ) Azahl a lktro mit Impuls < k : N / 3 V Grudzustad ds lktrogass: All Zustäd bgid vom tift tifst sid iddopplt ltbstzt tt Dfiitio iti ds Frmi-Impulss : k z k F bstzt Zustäd k V 3 F 3 k y füll Kugl mit Radius k F k

4 Zustadsdicht: Azahl dr Zustäd pro Volum ud rgi: 4 k k 3 N ( ) / V km D( ) c V k k V m Gsamtrgi ud mittlr rgi pro lktro: F 5/ D ( ) d c F 5 3 F N 5 3/ N D ( ) d c 3 F F Bgrzug ds Systms i 3 Dimsio: z.b.: D ( quatum wll ) Zustadsdicht 4 k N d ( ) d ; y z L m L L i, i, Quatum Dots; Sprigr (998)

5 ifluss dr Tmpratur N i / T kt T < T T = T > : ( TN, ) i mit / F Ni N i fällt irhalb vo ~kt vo ( i F )/ kt F auf ab i Stuffuktio (T = ) ist gut Nährug für Mtall: typisch Wrt für Austrittsarbit ud Frmirgi: 5 - V kt kt V 6 K F Wärmkapazität ds lktrogass: rgiitrvall dr bitragd lktro kt 3 kt ( T ) kt N F cost. rgi pro Tilch (Glichvrtilugssatz dr Thrmodyamik) Atil dr lktro irhalb kt Gsamtzahl dr lktro C ( ) T V T vollstädig Lösug (oh Bwis): kt CV Nk F

6 Plasmaoszillatio -dimsioals lktrogas: + - Atomrümpf durch positiv Hitrgrudladug rstzt: jllium -Modll lktrischs Fld (für SI-ihit: 4 / ): div 4 d d 4 4 Kraft: ( ) 4 F m harmoischr Oszillator 4 4 Plasmofrquz dt m m d p Raktio (rspos) dr lktro auf tr Fldr Dilktrizitätsfuktio (q =,): optisch Dat Al (Gittr: kfz) m kg m /s 34 /(45 pm) 9.6 C 8.85 As/Vm 3 9. kg 3 Plasmo p p 5.8 V m Mssug: p = 5 V

7 Gittrschwigug i Kristall Bstimmug ds Pottials rud um Glichgwichtspositio: IMMR harmoisch, hir: shr gut Nährug V V V ( i ) V ( i ) ( i i ) ( i i )( j j ) i i i, j i j Glichgwichtspositio i j Hamiltofuktio: H ( ) m a i i i ij i j i i, j Trasformatio auf Normalkoordiat : Hq ( ) m q q i i i i i i ifachsts Bispil: gkopplt Pdl gkopplts DG-Systm i Variabl, odr: tkopplt DGs für igschwigug ( = ud = - )

8 Harmoischr Oszillator V( )~ Hamiltofuktio: H p p m C m m Schrödigrglichug: m ( ) ( ) m m Variabltrasformatio: u ; d ( u ) u ( u ) ( u ) du otwdig: (u) rfüllt atürlich atürlich Radbdigug u lim ( ) u (u) bschribt gbud Zustad (ormirbar) Skizz ds Lösugswgs: aus Radbdigug Asatz: u ( u) Af( u) ; f( u) a u ma Bstimmug dr a durch Koffizitvrglich: a a ; a grad Parität a ( ) ( ) a ; a ugrad Parität ma fstglgt durch Bdigug a ma Hrmitpolyom Normalisirug i ( u ) H ( u ) / m u /

9 igfuktio ds harmoisch Oszillators (u) u Grudzustadsrgi Ubstimmthitsrlatio: rwartugswrt: t Folg dr Ubstimmthitsrlatio p 4 p p p, ( ) ( ) m * u d u du m m m p 4 rwartugswrt für Grudzustadsrgi: p m p m H mi m m 8 p

10 Vrglich dr klassisch ud quatmchaisch Aufthaltswahrschilichkit Limit klas ssischs klassisch Wahrschilichkit Awdug auf Gittrschwigug Hamiltofuktio: Hq ( ) m q q i i i i i i istimodll: Oszillatior mit idtischr Frquz mittlrr Argugsgrad dr Oszillator Azahl vo Phoo (Quasitilch dr Gittrschwigug) hoh Tmpratur Glichvrtilugssatz: jdr Frihitsgrad mit quadratischm Trm i dr Hamiltofuktio i trägt i = kt/ zur total rgi bi kt CV k cost T V (Dulog-Ptit)

11 Abschätzug bi tif Tmpratur: i i Boltzma: tropi S kl Wahl ds rgiullpukts Azahl möglichr Zustäd: Vrtilug vo Kugl auf Töpf (3 N )! (3 N )! S kb 3 N l l ( )!! (3 N)!! S k 3 N Tmpratur l T / kt Wärmkapazität: C V / kt T für T / kt T T k für T istimodll: Dbymodll: CV CV T 3 isti i Modll k Dulog-Ptit T Glichvrtilugssatz

12 Wärmkapazität vo Kristall für T (Dbymodll): 3 CV AT BT lktro Gittrschwigug g Bstimmug dr Koffizit im primt: CV T AT B Astig A B

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