(Nicht)-Planarität. (Nicht)-Planarität. - Mit und ohne Einbettungsconstraints - Optimales Kanteneinfügen. Zusammenfassung von Montag

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Wolfgang Waltz
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Optimals Katifüg Zusammfassug vo Motag - Mit ud oh Eibttugscostraits - Karst Kli Vorlsug Automatischs Zich vo Graph W 07/08-08.

E(G,C) Plaaritätstst mit Nbbdigug tstt c- Plaarität für (G,C) Liarzit TU Dortmud, Fakultät für Iformatik,Ls11 Algorithm Egirig 2 (Nicht)-Plaarität Wir hab toll Plaaritätststs! Eifach ud i Liarzit!

1 Optimals Katifüg Zusammfassug vo Motag - Mit ud oh Eibttugscostraits - Karst Kli Vorlsug Automatischs Zich vo Graph W 07/ Jauar 2008 Eischräkug dr Eibttug durch dri grudlgd Costraits: Groupig, Mirror, Oritd Eibttugscostraits a Kot: Baum vo Costraits c-plaar Eibttug ud c-plaarität für (G,C) Trasformatio i c-expasio E(G,C) Plaaritätstst mit Nbbdigug tstt c- Plaarität für (G,C) Liarzit TU Dortmud, Fakultät für Iformatik,Ls11 Algorithm Egirig 2 (Nicht)-Plaarität Wir hab toll Plaaritätststs! Eifach ud i Liarzit! Wir hab toll Zichvrfahr für plaar Graph! Was ist, w i Graph icht plaar ist? Wichtigs ästhtischs Kritrium: Kruzug Wir würd d Graph gr mit miimalr Azahl Kruzug zich! 3 4 (Nicht)-Plaarität Plaarisirug Wir hab toll Plaaritätststs! Eifach ud i Liarzit! Wir hab toll Zichvrfahr für plaar Graph! Was ist, w i Graph icht plaar ist? Wichtigs ästhtischs Kritrium: Kruzug Wir würd d Graph gr mit miimalr Azahl Kruzug zich! Kruzugsmiimirug ist NP-schwr Bsts huristischs Vrfahr drzit: Plaarisirug Plaarisirugsasatz: Lösch kli Zahl vo Kat, so dass dr Tilgraph plaar ist (Problm ds max. plaar ubgraphs) Füg itrativ Kat utr Miimirug vo Kruzug hizu (Dummykot rhalt Plaarität) Wir rhalt i plaar Graph, d wir zich kö. Di Dummykot ds Graph wrd zu Kruzug i dr Zichug. Wir btracht hir ur das Eifüg vo Kat 5 6

2 Plaarisirug Eifach Id für Eifüg vo =(v,w) i Graph G: Fixir Eibttug vo G Brch Dualgraph Erwitr Dualgraph um v,w Brch kürzst Wg vo v ach w Läg tspricht Azahl dr Kruzug Katifüg Durch u,v augmtirtr dualr Graph Eifügpfad für u Kat u v Pfadlägo Eibttug abhägig! 7 Plaarr Graph für ächst Kat odr Zichug Optimizig ovr all mbddigs i liar tim: [Gutwgr, Mutzl, Wiskirchr `05] Optimalr Eifügpfad Das Problm Dfiitio: Optimalr Eifügpfad i G zshg. plaarr Graph ud u,v icht-adjazt Kot i G. Ei Eifügpfad p= 1,..., k für u ud v i Eibttug Π vo G hißt optimalr Eifügpfad für u ud v i G, w s ki kürzr Eifügpfad für u ud v i ir blibig Eibttug vo G gibt. Eigab: Plaarr Graph G mit zusätzlichr Kat Ausgab: Kruzugsmiimal Zichug, bi dr all Kruzug auf lig Altrativ: Fid kombiatorisch Eibttug vo G, i di kruzugsmiimal igfügt wrd ka Vil Problm, di übr all Eibttug optimir sid NP-schwr. Diss icht! 9 10 Optimals Katifüg 3-Zusammhagskompot Warum ist Kruzugsmiimirug da NP-schwr? Rihfolg bi mhrr Kat lbst bi Eifüg ur ir Kat muss Optimalität für Kruzugsmiimirug icht rricht wrd! Nicht all Kruzug müss auf ir Kat lig, d.h. G muss icht zwigd plaar gzicht si f a d h c b i o g Wir butz PQR-Bäum, um all Eibttug aufzuzähl k l j p m 11 12

3 3-Zusammhagskompot h L L k l m m a b c d A d d B f h C h D h I h j h I K K j j h J j i F E G j H j g o p PQR-Baum L K J I G H A B C D Baum T(G) E 6 F 7 P R 13 R 1 P 2 3 P 4 5 P 8 P 6 R 9 7 PQR-Baum PQR Baum PQR Baum P µ a d c b µ ist dr prtit Kot vo Kat 1 i R P Q Q R Q Q Q Q Q d 1 Ei Baumkot, dr d Graphkot v im klto thält, hißt Allokatioskot vo v PQR Baum Optimals Katifüg R P P Q Q R Q Q Q Q Q Wir woll u ud v vrbid Wir woll dabi übr all Eibttug optimir Dazu kö wir Eibttug dr kltos im PQR- Baum T butz falls G 2-zusammhägd u ud v lig im klto vo Allokatioskot,µ k xpasio( 1 ) xpasio + ( 1 ) = xpasio( 1 ) 1 1 Dr Expasiosgraph xpasio() ir kltokat wird iduzirt durch di Kat vo G i Q-Kot ds Utrbaums ihrs prtit Kots

4 Eifügpfad PQR-Baum T ds Graphs u u v u Optimals Katifüg Wir woll u ud v vrbid Wir woll dabi übr all Eibttug optimir Dazu kö wir Eibttug dr kltos im PQR- Baum T butz falls G 2-zusammhägd u ud v lig im klto vo Allokatioskot,µ k Wir lauf tlag ds kürzst Pfads im PQR- Baum ud travrsir d Graph Kürzstr Pfad zwisch Allokatioskot Allokatioskot vo u Allokatioskot vo v Kürzstr Wg Travrsirug Kürzstr Wg Travrsirug µ k Allokatioskot vo v Lokal Eifügpfad: Fid kürzst Eifügpfad zwisch Rprästat vo u ud v i kltos dr Kot - ud P-Kot: Ki Kruzug! µ i Lokal Eifügpfad: Fid kürzst Eifügpfad zwisch Rprästat vo u ud v i kltos dr Kot µ i R-Kot: plitt Rprästat u klto Allokatioskot vo u 21 Erstz Kat durch Expasiosgraph Brch Eibttug ud kürzst Wg?? 22 Off Frag Wlch Kost hab kltokat? Wlch Eibttug dr Expasiosgraph? Wi brch wir kürzst Wg??? Kost vo kltokat Dfiitio: Travrsirugskost Für kltokat si Π Eibttug vo xpasio + () bzw. ds Dualgraphs Π*, f 1 ud f 2 durch gtrt Facs ud P(Π*,) dr kürzst Wg zwisch ih, dr icht * butzt. Di Travrsirugskost c() sid dfiirt als Lägo P(Π*,). * f 1 * f 2 * xpasio + () P(Π*,) 23 24

5 Kost vo kltokat Lmma: i µ i Kot i T ud Kat i sklto(µ). Di Läg ds Pfads P(Π*,) ist uabhägig vo dr Eibttug Π vo xpasio + (). Bwis: Iduktio übr di Höh h ds Utrbaums T am prtit Kot γ vo : h=1: γ ist Q-Kot, xpasio + () Kris zwir Kat mit ir izig Eibttug, lgth(p(π*,)) = 1 Kost vo kltokat Bwis (Fortstzug): h>1: Wurzl γ vo T ist, P odr R Kot. i di virtull Kato µ i sklto(γ). -Kot: Travrsirugskost Kost vo kltokat Bwis (Fortstzug): f 1 f 2 h>1: Wurzl γ vo T ist, P odr R Kot. i di virtull Kato µ i sklto(γ). -Kot: klto ist i Kris ud Lägo P(Π*,) ist Miimum dr Läg für Kriskat, ach IV uabhägig vo Π. P-Kot: Travrsirugskost Kost vo kltokat Bwis (Fortstzug): f 1 f 2 29 h>1: Wurzl γ vo T ist, P odr R Kot. i di virtull Kato µ i sklto(γ). -Kot: klto ist i Kris ud Lägo P(Π*,) ist Miimum dr Läg für Kriskat, ach IV uabhägig vo Π. P-Kot: klto aus paralll Kat, 1,..., l, ud Lägo P(Π*,) ist di umm dr Läg P(Π* i, i ), uabhägig vo Π. R-Kot: klto ist 3-zus. plaarr Graph mit zwi piglibttug, Lägo P(Π*,) dshalb uabhägig vo Π. 30

6 Travrsirugskost Travrsirugskost sid uabhägig vo Eibttug Blibig Eibttug brch ud kürzst Pfad mit BF brch. Das ght i Liarzit. Kürzstr Wg Travrsirug µ i µ k Kokatir lokal Eifügpfad dr R-Kot zu optimalm Eifügpfad p 31 Brchug ir Eibttug aus p: plitt Kat i i p durch Kot w i Füg Kat zwisch u,w 1,...,.w l,v i Brch blibig Eibttug (Graph plaar) Mach plitt rückgägig 32 Erwitrug für zshgd. Graph Katifüg Wir butz d Block-Vrtx Baum Dfiitio: Block-Vrtx Baum i G=(V,E) ud B Mg dr Blöcko G. Da ist dr Graph (V B, { (v,b) v b }) dr Block-Vrtx GraphBvo G. Dr Rprästat is Kot v i Block b ist twdr v w v b odr dr rst Kot auf dm idutig Pfad vo b ach v i B. Graph G, Kot u,v Kostruir Block-vrtx Baum B vo G Bstimm Pfad u,b 1,c 1,...,B k-1,c k-1,b k,v vo u ach v i B for i:=1,...,k do i x i ud y i Rprästat vo u ud v i B i p i := OPTIMALBLOCKEINFÜGEN(B i, x i,y i ) rtur p1+...+pk Kombiatio vo Tilpfad Ltzt Kat i Eifügpfad zwisch u ud y i-1 Katifüg mit Eibttugscostraits G <i Bi y i-1 =x i Erst Kat i Eifügpfad zwisch x i ud v 35 36

7 Katifüg mit Eibttugscostraits Expasio für u u Nutz c-expasio für Katrihfolg Expasioskat icht kruz c-eifügpfad oc v Expasio für v Eifügpfad PQR-Baum dr c-expasio u u v Kürzstr Pfad Kürzstr Wg Travrsirug c-plaars Katifüg pigl stht für ubgraph P i-1 aus µ i-1 µ k Lokalr Eifügpfad?? µ i P i-1 w u Partillr Eifügpfad klto vo Kot µ i 39 Bishr: Eifügpfad i P i-1 bkat, bi Bdarf (Vrlass ach rchts/liks) spigl. 40 c-plaars Katifüg Lokal Eifügpfad stht für ubgraph P i-1 aus µ i-1 Vrlass P i-1 Vrlass P i p lr P i-1 w p rr Partillr Eifügpfad klto vo Kot µ i p rl Jtzt mit c:pigl icht rlaubt! Bid Pfad kö Til ds optimal Eifügpfads si! Ki lokal Etschidug mhr möglich!! 41 p ll Zwi Wg um P i-1 zu vrlass, zwi Wg für P i um i zu lauf Also vir möglich Eifügpfad für µ i : p ll,p lr,p rl,p rr 42

8 Lokal Eifügpfad: P-Kot Lokal Eifügpfad: -Kot p lr Witrhi ki Kruzug ötig, abr wir wiss di Richtug icht Kürzstr Wg Travrsirug Brchug ds optimal Eifügpfads µ i µ k A Kot µ i (,P,R-Kot): 1. Brch Läg dr Eifügpfad di ach rchts/liks lauf: λ r,λ l 2. pichr i wlch Richtug µ i-1 vrlass wird: s i l,si r {r, l} A Kot µ k brch Pfad rückwärts aus gspichrt Wrt (Hir gilt λ r =λ l, da all Facs um v rlaubt). s k := l for i := k dowto 1 do p i := p i si µ i-1 3. pichr lokal Eifügpfad dr bim Vrlass ach rchts/liks butzt wird p i l, p i r s i-1 := s i si d for rtur p p k λ r := mi(λ r + p rr,λ l + p lr ) c-plaars Katifüg Zusammfassug Brcht i optimal c-eifügpfad für Kot u ud v i Block B i Zit O( E ): PQR-Baum BF auf Tilgraph vo G+virtull Kat Ka licht für zshgd. Graph rwitrt wrd wi im icht-costrait Fall auch Kruzugsoptimals Eifüg ir izl Kat i Liarzit Nutzt PQR-Bäum Brchug lokalr Eifügpfad ud Kokatatio Auch für c i Liarzit möglich, abr umstädlichr 47 48

9 WANTED: Diplomad für Etwicklug rud um di Embddig Costraits Fid vo c-plaar Utrgraph Umstzug is Plaarisirugsvrfahrs mit c Implmtirug i OGDF Erwitrug... 49

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