2 dv = 1. Einfaches quantenmechanisches Beispiel: Teilchen in Box = Energiezustände einer 1D-stehenden Welle = Elektron in 1D- Potentialtopf h nh

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1 1 Eiführug i di Atomphysik Matri zigt im rich dr Mikrophysik Wlligschaft. Nach drogli ist im Tilch i Wll zuzuord. Witrghd ord wir dr Matri i Wllfuktio zu: (x,y,z,t) Matri wird damit i Raum ud Zit bschrib, Mßbar ist ur istug = Strahlugsdicht. Für Wll ist dis I E, w E = Fldstärk. Nach Max or ist aalog Maß für mittlr Tilchzahldicht. i ur im Tilch soll als Wahrschilichkitsdicht itrprtirt wrd. Di Größ dv gibt di Wahrschilichkit a, das btrffd Tilch zur Zit t im Volumlmt dv=dxdydz zu fid. Di Ortsbstimmug rfolgt ach statistisch Gstz. Dshalb Normirug otwdig: dv = 1 tspricht Wahrschilichkit, das gsucht Tilch mit Gwisshit irgdwo zu fid. Erwi Schrödigr sucht vrallgmirt Glichug, di o.g. Wllfuktio gügt: h ( xt, ) h ( x, t) U( x, t) ( x, t) i 8 m x t Schrödigr Glichug Si ist Grudlag dr Quatmchaik. schribt Raum-Zitlichs Vrhalt dr Wllfuktio, di widrum di Eigschaft mikrophysikalischr Objkt statistisch bschribt. Di Schrödigrglichug hat aalog dutug für di Mikrophysik, wi Nwto sch Glichug für di klassisch Physik odr di Maxwll sch Glichug für Elktrodyamik. Eifachs quatmchaischs ispil: Tilch i ox = Ergizustäd ir 1D-sthd Wll = Elktro i 1D- Pottialtopf h h Sthd Wll für : ; 1,,... Impuls: p Ergi: E pm h 8 m schribug als zituabhägig Wllfuktio: : x,tx) F(t),

2 Asatz: ( x) 8 m U( x) ( x) x h x)= si(k x), mit k = / rgibt Eigwrt h U E 8m ud Eigfuktio : x)= si( x /) mit Schlussfolgrug 1.: Ergi ds Grudzustads >! folgt aus Uschärfrlatio : Ortsuschärf x = ; Impulsuschärf p x = p x - (-p x ) = p x Aus Uschärfrlatio x p x = h p x = h/ Gsamtrgi = ki.ergi: E 1 p h x m 8m.: Elktro hält sich i bstimmt rich ds Topfs lägr auf, als i adr. (x) bschribt Aufdhaltswahrschilichkit. Stärkst Diskotiuität bi =1, Tdz zur Glichvrtilug immt mit wachsdm zu..: Elktro ka aus dm Pottialtopf glag, ösug dr Schrödigrglichug für dlich-tif Pottialtopf führt zu klirr Ergi ud zur Ausdhug dr Wllfuktio außrhalb ds Topfs Di Wahrschilichkit, das Tilch außrhalb ds Topfs zu fid, immt mit zu! Tulffkt Trasmissioskoffizit durch arrir : Awdug : Rastr-Tul-Mikroskopi 8 mu ( E) T xp( ) h Ergizustäd ds Wassrstoffatoms ² Schrödigrglichug i Kuglkoordiat lös: mit 1 ² r² r² 1 ² r² ² 1 1 ² ta si ² ² Dr alli vo () abhägig Atil (Atil i Rud Klammr) tspricht dm Drhimpulsoprator l,zu dm Drhimpulsoprator ghört di Eigwrtglichug

3 ² Y ² l( l 1) für di ahimpulsquatzahl l=,1,, lm Y ml di z-kompot vo gügt dr Eigwrtglichug zyml lzylm mylm für magtisch Quatzahl m = -l,.,, +l. im m ösug sid Kuglflächfuktio l, m(, ) Cml Pl (cos) rgb s, p, d odr f-artig Wiklabhägigkit. libt kokrt ösug für radialabhägig Atil zu fid: Y ² 1 ² ² ER( r) Y (, ) r U ( r) R( r) Y (, ) m r r² mr² Di Wirkug ds Drhimpulsoprators ka durch si Eigwrt ² l( l 1) rstzt wrd. ösug für d Radialatil hägt vo dr Wahl ds radialabhägig Potzials U(r) ab. Üblichrwis kostruirt ma di Gsamtwllfuktio aus l l r / 1,, r) Y (, ) R ( ) mit ( ) C r ( r), l, m( l, m l r R l r u ( r) r, l l 1 wobi u(r) ² di Aufthaltswahrschilichkit i ir Kuglschal zwisch r ud r+dr, abr R(r) ² di Aufthaltswahrschilichkit im Volumlmt drd d bschribt. k m(r) sid assoziirt agurr Polymom. Im Atom wird Pottial U durch Coulomb-Wchslwirkug ds Elktros mit dm Atomkr (hir Proto) bschrib. Ur () 1 4 r r = Abstad Elktro-Proto. Stzt ma U(r) i radialabhägig Schrödigrglichug i, so rhält ma Eigwrt = Ergizustäd aalog dr ösug vo ohr: 4 m 1 E 8 h Di Eigfuktio = Wllfuktio ds Grudzustads (=1) hat di Form : R( r) Wahrschilichkitsdicht ist : 1 r / a a (ohrschr Radius) =.5 9m R a 1 ( r) a Radial Wahrschilichkitsdicht P(r+dr): P( r) R r / a 4 ( r)(4 r ) a r r / a zigt Maximum bi r = a, 9% Wahrschilichkit bi r=.7 a.

4 4 Ordug dr Ergiivaus im Wassrstoff: Grudzustad ggb durch QZ : =1, l=, m l =, m s = +.5 odr -.5 rstr agrgtr Zustad : =, l=, Wllfuktio: R 1 ( r) ( r / a ) 4 a R 1 ( r) ( r / a ) a 1 r r Pr () ( ) 8a a a r / a r / a ra / Wllfuktio für =, l=1, m l =-1,,+1 tlag dr x bzw. y-achs r / a / 1 1( x) x, 1 () z z ra, all Zustäd sid oh äußrs Magtfld uutrschidbar itgral Wahrschilichkitsdicht: () r ( ) 11(, r ) ( ) 1(, r ) ( ) 11(, r ) 1 / 1 4 / 1( r),... ( ) a r ra Pr 4a r ra ishrig rchug dr Ergiivaus ds Wassrstoffs gh davo aus, dass Elktro um ortsfst Kr rotirt, abr Elktro ud Proto rotir um ctr of mass rduzirt Mass (sih Mchaik) Für Wassrstoffatom: vrädrt idugsrgi, astll mm m mff m M m 1 M m m mff E 1 = V E 1 = V für Dutrium M=M proto +M utro E 1 =-1.6 V sichtbar als Doubltt dr Spktrallii vo E=.7%, im Itsitätsvrhältis vo 6:1 Etdckug ds Dutriums durch H.C.Ury 19, Noblpris für Chmi 194

5 5 Vollstädig ösug ds Wassrstoffproblms: rfordrt rücksichtigug vo 4 Quatzahl: Hauptquatzahl (Ergiivaus) Nbquatzahl l (ahdrhimpuls) magtisch QZ m l (Ausrichtug ds ahdrhimpulss) Spiquatzahl s (Eigdrhimpuls ds Elktros) Spi wird icht durch Schrödigrglichug bschrib, rst i Dirac schr QED!!! ahdrhimpuls: klassischs Aalogo is krisd Elktros, --> Vktor! i Quatmchaik ist ahdrhimpuls quatisirt, icht blibig Wrt vo sid möglich, sodr l( l 1 l =,1,,...(-1), ist ahdrhimpuls-qz = NQZ l= für =1. l=,l für =, d.h. s gibt zwi Wrt für krisds Elktro wirkt wi Stromschlif ud rzugt i magtischs Momt µ, klassisch µ = - (/m) i QM: mit = h/µ = µ = h/(4m) = J/T ohr schs Magto ach ohr sollt µ (H) bi =1 µ = µ si, das ist falsch!, QM : µ(h)=, wil l= für =1! Richtug vo : Vorzugsrichtug durch Alg is äußr Flds tlag z. ka icht blibig ag bzüglich z ahm, sodr: z = m l h/ m l ist magtisch Quatzahl, mit m l = -l,...,-.-1,,1,,...,l bschribt Richtugsquatlug vo. Für = ud l=1 ist m l = -1,,+1. Wikl zur z-achs: = arccos ( z /) = arccos (1+ 1/ l) -1/ = 45 Nachwis übr Zmaffkt ( spätr ) Str-Grlach Vrsuch (Otto Str ud Walthr Grlach 19) führt zum Nachwis ds Elktrospis. S z = m s h/ mit m s = +1/, -1/, äußrsts Ag-Elktro ist twdr spi-up odr spi-dow ausgrichtt Spi ist mit Schrödigr QM icht zu rklär. Er rgibt sich rst aus dr Dirac sch Quatlktrodyamik (QED) mag. Momt ifolg Spi µ s,z = - m s µ QED-->.19.. dopplt so ffktiv ist, wi das mag Momt ifolg ds ahdrhimpulss: µ l,z = - m l µ Spi ka durch äußrs Magtfld ausgrichtt, ud durch i Hochfrquzfld umgklappt wrd - Elktro-Paramagtisch Rsoaz EPR

6 6 Aufbau dr Atom ud Priodsystm rits Mosly schs Gstz lässt Systmatik dr Atomaordug rk. sih Ordugsprizip ist Krladugszahl Z, (icht di Masszahl A, -->Isotop) Aufbauprizip dr Atom ach - Quatzahl, l, m, s : Di Wassrstoff QZ kö gutzt wrd, um di Elktro is Atoms i Schal ud Subschal aufzutil uabhägig vo ihrr Zahl - Pauli Prizip : I im Villktroatom kö imals zwi odr mhr Elktro i durch (,l,m,s) ggb Quatzustad glichzitig bstz - Miimumrgi-Prizip: Es wrd immr di Ergizustäd vo ut ach ob bstzt. Für ggbs stigt E mit l. HQZ bstimmt Priod: NQZ l bstimmt Symmtri ds ahmomts l Symbol s p d f g... sharp, pricipal, diffus, fudamtal Notatio: =1, l = : 1s ; =4, l = : 4f - Jd Priod bgit mit Alkaliatom ud dt mit Edlgasatom (bsitzt sphärisch Symmtri) Zahl dr Zustäd pro Subschal ist :( l +1) damit: l = : ; l =1 : 6; l = : 1; l = : 14 Zahl dr Zustäd pro Priod: : =1 : ; =: +6=8; = : +6+1 = 18 - Elktrokofiguratio: l Zahl z.. i (Z=) : 1s s 1 F (Z=9) : 1s s p 5 N(Z=1) : 1s s p 6 Na(Z=11) : 1s s p 6 s 1 (H-ählich) (Edlgaskofiguratio) (H-ählich) - idugsstärk ädrt sich mit l. äußrsts Elktro H-ählichr Atom hab grigst idugsrgi = Ioisirugsrgi ; Edlgasatom di größt!!, immt absolut mit stigdm ab, wg Abschirmug dr Protoladug durch di ir Elktro - Für Villktrosystm ist Schrödigrglichug icht mhr dirkt lösbar. Wllfuktio sid icht mhr Wassrstoff- Fuktio sodr hr als Suprpositio wassrstoffählichr zu vrsth. Variatiosprizip: Ma variir Zahl ud Gstalt vo so lag, bis E miimal wird. --> E thori > E xakt z.. übr Hartr- Fock Asatz

7 7 Atomspktroskopi Dr Gsamtdrhimpuls is Elktros stzt sich aus ahdrhimpuls ud Spi zusamm J = + S Disr ist widrum icht dirkt mssbar. Ma ka ur d trag J ud J z mss. ud J = (j ( j+1)) 1/ h/, mit j = m l + m s > J z = m J h/ mit m J = (-j, -j+1,...,+j-1,+j) damit sid (j + 1) Eistllug rlativ zur z-achs möglich : sp. l =, m l =, m s = + ½ odr ½ j = ½ l =1, m l =1, m s = + ½ odr - ½ j = / ud 1/ l =, m l =, m s = + ½ odr - ½ j = 5/ ud / gilt für Eilktrosystm : H, i, Na... mssbar Elktrorgi ist vo j abhägig spktroskopischr Übrgag im Na-D: 1 ugpaarts Außlktro wird thrmisch (optisch) agrgt ud sprigt zurück: aus agrgtm Zustad: =, l =1 (p-zustad) Zustäd : j= / ud j=1/ i d Grudzustad : =, l = (s-zustad) 1 Zustad j=1/ Dahr : Spktrallii : Übrgag (Rücksprug vo p s) Doublttstruktur Elktroübrgäg ist typisch Erschiug dr Alkalispktr Grudzustad : l =, ud s = - ½ odr + ½ j= ½ agrgt Zustäd l > j = l + ½ Systmatik dr spktral Ergiivaus: (S+1) R j R = S ( l =), P ( l =1), D ( l =)... spktral Übrgäg güg Auswahlrgl = k - i, blibig gaz zahlig l = l k - l i = 1 j= j k - j i =,1 Mhrlktrospktr ( Zahl dr Valzlktro > 1) Gsamtdrhimpuls: J = + S Es trt vrschid Multipltts dr Spktrallii auf: sp.: Hlium (Z=) : bstht aus Sigultt S=, 1 S Parhlium aus Tripltt S=1, P Orthohlium rgibt zwi uabhägig Spktr : Itrkombiatiosvrbot! Nivaubzichug wi ob, w J=j, =l ; Auswahlrgl : = k - i, blibig gazzahlig = k - i = 1 J= J k - J i =,1 acht Möglichkit dr Dopplargug!! Wchslwirkug mit im äußr Magtfld

8 8 Utr Eifluss is äußr Magtflds wird Etartug dr J-Zustäd (Etartug = Uutrschidbarkit Ergizustäd hir bzüglich m J ) aufghob ud jds Nivau spaltt i (J+1) Zustäd auf Zmaffkt i obachtug skrcht zu (trasvrsalr ZE) rschi di ii, liar polarisirt. i obachtug paralll zu (logitudialr ZE) vrschwidt di Mittllii, währd di adr bid liks/rchts zirkular polarisirt sid. Normalr Zmaffkt : Für d Spzialfall S =,(Sigultts- rfordrt Valzlktro) misst ma ii: = µ /h = m ½ (/m), amorfrquz klassisch Dutug als Präzssiosbwgug is Krisls um di Rotatiosachs Ergiaufspaltug: E = m µ m = -,..., m = (-1,, 1) magtisch QZ Ergiivaus spalt i (+1) äquidistat Nivaus auf. Im Cd (Hörsallvrsuch) sid di Nivaus mit =, S= (Grudzustad) ud =, S= (agrgtr Zustad btiligt. Grudzustad spaltt i 5 Subivaus mit Abstad E(m J m (1-J) ) = µ Agrgtr Zustad i 7 Subivaus mit glichm Abstad ; Übrgäg zwisch = = Nivaus rgb iigrupp mit j 5 Übrgäg Sih H.N. Atom Abb. 8. Sit 9 Aomalr Zmaffkt : Gilt für all Nivaus mit S <> : Ergiaufspaltug: E E = g µ m J mit m J = -J,..., J m J = (,1) g - adfaktor, bschribt Projktio vo ud S auf Richtug vo J ( J 1) S( S 1) ( 1) g J ( J 1) acht : Im Normal Zmaffkt ist g =1 ud m J = m Im aormal Zmaffkt ist g <> 1 ud J = + S (-S Kopplug) sp. Na-D.ii: rgibt Sri: Im Zustad = Doubltt ; Grudzustad uf bid agrgt Zustäd sid i <> aufgspalt : Grudzustad --> S 1/ : g= ; m J = - ½, + ½, d.h. Nivaus E= ± µ Agrgt Zustäd : 1. P / : g = 4/ ud m J = -/, -1/, 1/, /, d.h. 4 Nivaus mit E = 4/ µ m J = (, /, -/,-) µ. P 1/ : g = /, ud m J = -1/, ½, d.h. Nivaus mit E = / µ m J = (1/, -1/) µ Spktroskopisch Übrgäg utr rücksichtigug m J = (-1,,+1): P / S 1/ 6 ii ; P 1/ S 1/ 4 ii sih Häsl & Numa. Atom Abb 8.6 Sit 5 Witr Aufspaltug : Hyprfistruktur Auch bi = ka ma Aufspaltug dr Nivaus bobacht ifolg dr WW zwisch dm rsultird ahmomt dr Elktro J ud dm rsultirdm Krspi

9 9 sih Krphysik ; Krspi I ist isotopabhägig: im Na-Isotop Na : Z=11, N=1 : I =/ WW ds Elktro- mit dm Krmomts : F = I + J S 1/ Nivau: F = / + 1/= ; / - 1/=1 ; Utrivaus E s P 1/ : F =, 1 Utrivaus; mit E p < E s P / : F = /+/,..,-/ =,,1, 4 Utrivaus Übrgagsrgl : F = -1,, 1 Hyprfistrukturübrgäg: P 1/ --> S 1/ : 4 mssbar =.m P / --> S 1/ : 6 =.1m i <> spalt dis Zustäd tsprchd dr Rgl ds aomal Zmaffkts auf. Pasch - ack- Effkt : -S- Kopplug gilt ur für kli Fldstärk vo, sost rgibt sich i adr Kopplug (j-j-kopplug ) ud di magtisch Aufspaltug ist für jd Zustad : E = µ ( m + m S ) Das hat zu Folg dass di P / ud P 1/ Zustäd im Na i isgsamt 5 Nivaus aufspalt ud ifolg dr Übrgagsrgl x ii bobachtt wrd. Elktro-Paramagtisch Rsoaz : Alg is kostat Magtflds führt zu (J+1) fachr Aufspaltug dr Ergiivaus. Glichzitig wird i HF Fld igspist, wlch i Ergi britstllt, di grad dr Diffrz dr durch das Magtfld iduzirt Nivauaufspaltug tspricht. I.Allg wird =cost. ud HF (E= h ist variabl : Rsoazabsorptio wird bobachtt, w di Ergi dr HF ik Ei Ek g ( mk mi ) glich dr Ergidiffrz zwir (-Fldiduzirtr) Subivaus tspricht. Ebso ka Ergi dr HF fst si ud = (Zit) variir. Mit ESR ka ma di atomar Struktur im Magtfld mss (Zahl dr ii ist abhägig vo Zahl dr Valzlktro) Stark Effkt : ählich wi magtisch Fldr (Zma) führt auch i lktrischs Fld zu ir Aufspaltug vo Ergizustäd. ---> Starkffkt Durch aglgts Fld wird Kuglsymmtri ds Systms gstört, (J+1)-fach Etartug tilwis aufghob. Dhimpulskompot E <> _ _ E liar Abhägigkit ur für schwach E ; für größr E quadratischr Effkt : Größ dr Aufspaltug: E = - m Dipol (E) E ~ E ; wil m Dipol = α E im H-Atom : aus s ud p Nivaus tsth im E-Fld j ii

10 1 Systmatik spktroskopischr Zustäd Elktrosystm aus Ei - Zwi- Mhr Elktro Na Mg Al 1.Grudzustad 1s,s,p 6,s 1 Na +,s Na +,s,p 1.agrgt Zustad. p 1 s 1 p 1 z.. s 1 p.fistruktur: S= s ; Zahl dr ii: S+1 (S ist positiv Zahl!) S = 1/, 1 1/, / -S Kopplug: P 1/, / 1 P 1 P 1/, / +S D /, 5/ P,1, 4 P 5/, /,... D 1,, 4.Hyprfistruktur --->sih 5.Magtfld= : Zahl dr Nivaus : J+1 P 1/ : 1 P 1 : P 1/ : P / : 4 P : 5 4 P 5/ : 6 6. Übrgagsrgl: m J =,1, l =1 P J -> S 1/ 1 P 1 -> 1 S 1 P J -> S 1/ = 1 <> 4, 6 4,6 P J -> S 1/ 4 P 5/ -> 4 S 1/ = 4 <> 9 1 Drhimpuls i dr Atomphysik Grll sid Drhimpuls quatisirt. Dr Impuls J is Rotators ist dr Mssug icht zugäglich, sodr ur si trag J J ( J 1) ud di Projktio ds Vktors J auf i Vorzugsachs, wahlwis z-achs J Z mk, wobi m i Quatzahl mit dm Wrtvorrat m= -J...+J ist. Daraus rgb sich (J+1) diskrt Eistllmöglichkit. Awdug : 1. ahdrhimpuls is Hülllktros wird durch ahdrhimpulsvktor l bschrib. Ergizustäd häg vo ud l ab. Mssbar sid l l( l 1), wobi l di Nbquatzahl mit dm Wrtvorrat l =,1,,..(-1) ist, ud di Projktio auf z- Achs l z mk, mit m als Quatzahl m = - l...+ l.m- Zahl dr möglich Projktio ds ahdrhimpulss auf di z-achs.. magtischs ahmomt lässt sich klassisch damit rklär, dass i lktrischr q Krisstrom i magtischs Momt dr Größ m hrvorruft. I QM ist m m quatisirt. m l mit m l( l 1), mit l =,1,..(-1), ud m z m k m mit m = - l,...,...+ l als magtisch Quatzahl. m bschribt di Zahl dr Eistllmöglichkit ds magtisch Momts i zug auf i äußrs Fld.

11 11. Elktrospi lässt sich ur QM bschrib: Eigdrhimpuls ds Elktros. trag ds Eigdrhimpulss s s( s 1) ud dss Projktio auf z-achs sid mssbar s m s k mit m s= - ½, + ½ als Spiquatzahl. 4. Magtischs Spimomt ist ms s( s 1) ud dss Projktio g msz Elktro. s s z m s, mit g s - gyromagtischs Vrhältis, g s = für fri 5. Gsamtdrhimpuls is Hülllktros j l s, mssbar sid dr trag j j( j 1) mit j l m als Gsamtdrhimpuls, ud di Projktio j z s m k mit m j =-j,...,+j als Gsamtdrhimpulsquatzahl., rgibt (j+1) j Eistllmöglichkit vo j auf di z-achs. 6. Gsamtdrhimpuls mhrrr Valzlktro J wird im Rahm dr -S Kopplug bschrib. J S l s,wobi sich jwils di ahdrhimpuls ud di Spis dr Valzlktro summir. -S Kopplug gilt für Atom idrigr Krladugszahl Da glt o.g. Rgl sowohl für das rsultird Gsamtbahmomt mit trag ( 1), mit Mk, M=-,.., + ud ds rsultirds magtischs ahmomt z M mit M ( 1) ud M M k ud M=-,...,+; z Als auch für Gsamtspi S S( S 1) ud dss magtisch Spimomt M S S( S 1) ud dr Projktio auf di z-achs. Daraus rsultirt Gsamtdrhimpuls für J mit J J ( J 1) mit J =+M s > ud J z M J k mit MJ = -J,...+J, als Zahl dr möglich Eistllwrt ds Gsamtbahdrhimpulss zur z-achs = (J+1). 7. Das magtisch Momt ds Gsamtdrhimpulss M J M M s bsitzt di Projktio M Jz g J ( J 1) cos( J, k) g M auf di Richtug ds magtisch Flds. J ( J 1) S( S 1) ( 1) g ist dr ad-faktor g ud M J ist magtisch J ( J 1) Quatzahl dr Valzlktro. J