Im folgenden werden zeitkontinuierliche Signale x(t) betrachtet, für die das Fourier- Integral X( j ω ) existiert:

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1 95 4. Fourir-Itgral Im folgd wrd zitkotiuirlich Sigal x(t) btrachtt, für di das Fourir- Itgral ( j ω ) xistirt: j ω t ( jω) x( t) dt (4.) ( j ω ) wird auch als Fourirtrasformirt vo x(t) bzicht. Di i (4.) vorkommd komplx Expotialfuktio stllt d Kr disr Itgraltrasformatio dar. Wil i ihr di (Kris-)Frquz ω als uabhägigr Paramtr - s wird ach t itgrirt! - stts i Vrbidug mit j auftritt, wird di Fourirtrasformirt als Fuktio vo jω gschrib. ( jω) ist i.a. komplxwrtig, d.h. s gilt { } { } ( jω) R ( jω) + j Im ( jω) ' " ( jω) + j ( jω) j j arg ( ) ( j ω) ω. (4.) Vo bsodrr Bdutug für di o.g. Awdugsgbit ist das Btragsspktrum ( jω ), das auch Amplituddichtspktrum ds Sigals x(t) hißt. ϕ ( jω) arg ( jω) lifrt das Phasspktrum. I d Awdug hbt ma häufig d Charaktr vo (4.) als rasformatio vom Zitbrich i d Frquzbrich hrvor ud butzt abkürzd für di rasformatiosvorschrift (4.) di folgd Schribwis: { } ( jω ) F x( t) (4.3) Auch das folgd Korrspodzzich ist gbräuchlich: ( jω) x( t). (4.4) Es rhbt sich u di Frag: Für wlch Sigal x(t) xistir das Fourir-Itgral bzw. xistirt di Fourirtrasformatio? Hir gilt di sog. Dirichltsch Bdigug: Das Fourir-Itgral (4.) xistirt gwiß da, w di Bdigug x( t) dt < (4.5) rfüllt ist, d.h. w das Sigal x(t) absolut itgrirbar ist. Um i Vorstllug vo dr Brchug ir Fourir-rasformirt für i Sigal zu bkomm, soll zuächst das Bispil is Rchtckimpulss bhadlt wrd. Da i dr Dfiitiosglichug (4.) das Itgral für t i auszuwrt ist, sid Sigal, di auch i t< xistir, problmlos mit dr Fourirtrasfor-

2 96 matio zu bhadl. Dr Rchtckimpuls im jtzt folgd rst Bispil ist i Sigal, das für t< icht Null ist. Bispil: Rchtckimpuls x( t) < t < t < t < Di Existzbdigug (4.5) ist rfüllt. ω ( jω) dt jω j ω j j ω t j ω j ( ω ) ω j ω j ω j ω si ω si ω ω sog. "Spaltfuktio" si x si x x ( jω) si ω. I dism Bispil ist ( jω ) ki komplxwrtig Fuktio, sodr i rll Fuktio vo ω. Di Darstllug vo ( jω ) übr ω lifrt das Amplituddichtspktrum ds Rchtckimpulss (Bild 4.).

3 97 Bild 4.: Amplituddichtspktrum ds Rchtckimpulss Für i Vilzahl vo Sigal x(t), di i d o.g. Awdug vorkomm, sid di Fourirtrasformirt ( jω ) bzw. di tsprchd bildlich Darstllug ds Amplituddichtspktrums ( jω ) übr ω rmittlt word ud i Form vo Korrspodztafl i dr Litratur zu fid (z.b. i [], [7]). D.h. ma muß das Fourir-Itgral (4.) xplizit ur slt slbst ausrch, sodr ma sucht das Ergbis aus Korrspodztafl hraus. Solch Korrspodztafl kö sowohl i dr Wis Ggb x(t) Gsucht ( jω ) als auch umgkhrt Ggb ( jω ) Gsucht x(t) butzt wrd. Zu ltztrm Vorgh ghört offbar di zu (4.3) ghörd Rücktrasformatio, gaur di ivrs Fourirtrasformatio { } x( t) F ( jω ), (4.6) wobi dr Expot - bim Zich dr Fourirtrasformatio symbolisch di ivrs odr Rücktrasformatio kzicht. Hitr disr Umkhropratio (4.6) stht das folgd Umkhritgral dr Fourirtrasformatio j ω t x( t) ( jω) d ω, π (4.7) dss umittlbar Auswrtug abr icht ifach ist. Wi igags hrvorghob wurd, bstht di groß igiurtchisch Bdutug dr Fourirtrasformatio dari, daß ( jω ) als spktral Zusammstzug ds Sigals x(t) aschaulich gdutt wrd ka. Um dis für blibig ichtpriodisch Sigal x(t) vrsth zu kö, ist s zwckmäßig ud rfordrlich, zuächst i Rückbld auf di aus dr Mathmatik bkat Fourir- Rih-Darstllug priodischr Sigal vorzuhm. Bi disr Rückbld

4 98 ght s icht darum, di mathmatisch Ablitug bzw. di mathmatisch Bgrüdug dr Fourir-Rih-Darstllug ir priodisch (Zit-)Fuktio im izl zu widrhol, sodr di Itrprtatio dr Ergbiss als spktral Zrlgug is priodisch Sigals hrauszustll, d.h. das Vrstädis für di Bschribug is Sigals im Frquzbrich, d.h. durch si Spktrum, grll vorzubrit bzw. zu schaff. Dazu wird ausggag vo folgdr, bispilhaft gwähltr priodischr Zitfuktio (Sigal) x(t): (rll) Fourir-Rih: A x( t) + cos( ) + si( ) ( A ω t B ω t ) (rll) Fourir-Koffizit: A x( t) dt A B x( t) cos ( ω t) dt x( t) si ( ω t) dt,,

5 99 f Priod (Prioddaur) Frquz ω π Krisfrquz odr A x( t) + C si ( ω t + ) (4.9) mit C A + B,, arc C A ta. A B Mit cos( ω t) si( ω t) j ω t j ω t + j ω t j ω t j Übrgag zur Expotialdarstllug (komplx Form) dr Fourir-Rih: A A B x t j ω t j t j t j t ( ) + ( ω + ω ) + ( ω ) j A j ω t + ( A jb ) + ( A + jb ) j ωt (4.) x( t) j ω t i.a. komplx!

6 ud - sid (für dslb Idx ) kojugirt komplx: arg arg Dutug dr Expotialdarstllug dr Fourir-Rhih jωt x( t) priodischs Sigal im Zitbrich Übrlagrug (udlich Summ) vo harmoisch Baustischwigug dr diskrt Frquz (dargstllt i dr Expottialform) mit dr jwilig (komplx) Amplitud spktral Darstllug is priodisch Sigal Darstllug is priodisch Sigals x(t) im Frquzbrich Als dirkt Brchugsvorschrift für di komplx Fourir-Koffizit aus dm priodisch Sigal x(t) rgibt sich ach lägrr Zwischrchug j ω t x( t) dt, ±, ±,... (4.)

7 Zusammhag mit d ob i dr rll Fourir-Rih auftrtd rll C : C C, arg, C A. Di Fourir-Rih odr zigt: rll Form komplx Expotialform Priodisch Sigal kö i i Summ vo harmoisch Fuktio zrlgt wrd. Di harmoisch Fuktio hab di Frquz ω,,,..., di gazzahlig Vilfach dr Frquz ω ds zu zrlgd priodisch Sigals x(t) sid. Wichtig ist isbsodr di Amplitud, mit dr di harmoisch Baustifuktio mit dr Frquz ω am Aufbau vo x(t) btiligt ist. Ma bzicht dahr für als das Amplitudspktrum vo x(t). I dr bildlich Darstllug übr ω bstht s aus diskrt π Spktrallii im Abstad ω. Di Höh jdr Spktrallii gibt a, mit wlchr Amplitud di zughörig harmoisch Baustischwigug dr Frquz ω am Aufbau vo x(t) btiligt ist.

8 Für obigs Bispil fidt ma a dt a : j ω t a a dt jω j ω t a si π π j π a si π π

9 3 Bild 4.: Diskrts Amplitudspktrum dr Rchtckschwigug J größr di Prioddaur bi kostat ghaltr (Rchtck-)Pulsbrit ist, um so klir wird ω π, d.h. um so mhr vrklirt sich dr Abstad dr Spktallii ω ω d.h. di Spktrallii wrd immr dichtr ud glichzitig wrd di Amplitud immr klir. Im Grzübrgag wird i aivr Dutug aus im priodisch Sigal i ichtpriodischs (im Bispil: Aus dr priodisch Folg vo Rchtckimpuls wird i Rchtckimpuls) Bim Übrgag vom priodisch zum ichtpriodisch Sigal wird aus dm diskrt Liispktrum i kotiuirlichs Spktrum: Das hißt zur Darstllug ichtpriodischr Sigal rich harmoisch Fuktio, dr Krisfrquz ω gazzahlig Vilfach ir Grudfrquz ω darstll, icht mhr aus; s sid all Frquz ω otwdig. Da für di Bträg dr komplx Amplitud immr klir wrd (gg Null strb), wurd dazu übrggag, mit ( jω ) f ω π

10 4 astll vo zu rch. Di so igführt Größ ( jω ) ka als auf di Frquz f bzog komplx Amplitud itrprtirt wrd. Mit (4.) folgt als Brchugsvorschrift für ( jω ) ( ω ) j ω t j x( t) dt, ±, ±, (4.) ud di Expotialdarstllug (komplx Form) (4.) dr Fourir-Rih für das priodisch Sigal x(t) ght übr i x t j j ω t ( ) ( ω ), ω π j ω t ( jω ), (4.3) j ω t x( t) ( jω ) ω. π Für ght dr Abstad ω ω dr Spktrallii i d diffrtill Abstad dω übr ω π ω dω ud di diskrt Frquz ω i i kotiuirlich Frquz ω ω ω. W ma i (4.) das Itgratiositrvall dr Läg vo bis wählt, so tstht daraus im Grzübrgag jωt ( jω) x( t) dt (4.4) ud aus (4.3) folgt jωt x( t) x( jω) dω, π (4.5)

11 5 was als Frquzbrichsdarstllug ds i dism Grzübrgag tstad zu dkd ichtpriodisch Sigals x(t) zu dut ist. Aus dr Summ dr udlich dicht ligd Spktrallii tstht i Amplituddicht. Faßt ma i (4.5) das Itgral als stilisirts Summzich auf, so stllt (4.5) i Zrlgug vo x(t) i Elmtarsigal d ( jω) ω π jωt dar: - x(t) d ( jω) ω π jωt auf i diffrtill kli Frquzbrich bzog (komplx) Amplitud Spktralatil (harmoisch Fuktio) dr Frquz ω Bi (j ω) hadlt s sich also um i (komplx) Amplituddicht! Im Ggsatz dazu bschrib di Koffizit bzw. C dr Fourirzrlgug (4.) bzw. (4.9) is priodisch Sigals di absolut (komplx) Amplitud ir izl, diskrt harmoisch Schwigug dr Frquz ω. Durch dis huristisch Übrlgug zum Grzübrgag is priodisch Sigals i i ichtpriodischs hat ma di aschaulich Vorstllug dr Zrlgug is Sigals x(t) i harmoisch Baustisigal auch auf ichtpriodisch Sigal übrtrag kö. Dabi wurd di bid Forml (4.4), (4.5) für i solch Spktraldarstllug bzw. Frquzbrichsbschribug is ichtpriodisch Sigals gfud, di gau dr Dfiitio dr Fourirtrasformatio tsprch: (4.4) stimmt mit dr Fourirtrasformatio, d.h. dm Fourir-Itgral (4.) übri ud (4.5) mit dm Fourir-Umkhritgral (4.7). Di Forml dr Fourirtrasformatio (4.) (4.7) sid mathmatisch xakt bgrüdt. Durch si wrd di Fuktio x(t) ud (jω) iadr iidutig zugordt, vorausgstzt für x(t) xistirt das Fourir-Itgral (4.). Di obig huristisch Übrlgug hab zu dr aschaulich Itrprtatio dr durch di Fourirtrasformatio rhalt komplxwrtig Fuktio (jω) als komplx Amplituddicht is Sigals x(t) gführt bzw. hab i solch Itrprtatio rkbar ud vrstädlich gmacht.

12 6 Mit dr Fourirtrasformatio rfolgt also i Übrgag vo dr Bschribug is Sigals im Zitbrich als Zitfuktio x(t) zu ir Bschribug im Frquzbrich durch di komplxwrtig Fuktio (jω) dr Variabl ω mit < ω <. ( jω ) stllt das Spktrum ds Sigals x(t) dar. Diss gibt a, mit wlchr Itsität di i x(t) thalt Spktralatil am Aufbau vo x(t) btiligt sid. Jds kotiuirlich Sigal x(t) ka also auch im Frquzbrich vollstädig bschrib wrd. Für jds ichtpriodisch kotiuirlich Sigal x(t), für das das Fourir-Itgral xistirt, wird disr Übrgag i d Frquzbrich iidutig durch di Fourirtrasformatio vollzog: { } ( jω) F x( t) x( t) dt { ω } jωt jωt x( t) F ( j ) ( jω) dω. π Das Amplituddichtspktrum ( jω ) ist i kotiuirlich Fuktio vo ω. Es komm i.a. all Frquz ω vor. Aus dm Vrlauf vo ( jω ) übr ω ka ma rsh, mit wlchr Itsität di izl Spktralkompot am Aufbau (dr Zusammstzug) vo x(t) btiligt sid. Für d ob als Bispil zur Brchug dr Fourirtrasformatio bhadlt imalig Rchtckimpuls rgab sich das i Bild 4. dargstllt Amplituddichtspktrum. Diss zigt: Am Aufbau ds Rchtckimpulss sid isbsodr di idrfrqut harmoisch Schwigug (Spktralkompot) stärkr btiligt als di hochfrqut; icht btiligt sid ur di Schwigug mit d Frquz ω π, π,, bi d di Spaltfuktio Nulldurchgäg hat. Wi ma siht, hrrsch di Schwigug mit Frquz ω < π dutlich im Spktrum ds Rchtckimpulss vor. Außrdm rkt ma: W di Impulsbrit, also, klir wird, so wird das Frquzbad π ω britr ud glichzitig di Höh ds Spktrums klir. Ud umgkhrt führt i Vrgrößrug dr Impulsbrit zu im schmal Frquzbad ω mit größrr Höh. π Dis ist i allgmi gültig Fststllug: Zu im Sigal mit kurzr Daur im Zitbrich ghört i brits Frquzbad ud umgkhrt. Bsodrs drastisch wird dis Rziprozität zwisch Zit ud Frquz, w ma d Dltaimpuls x( t) δ ( t ) btrachtt. Das Fourir-Itgral für d δ -Impuls

13 7 j t j ω ( ω) δ ( ) t dt F δ ( t) (4.6) { } ka jdoch auf klassischm Wg icht ausgwrtt wrd, da δ ( t ) wi i.3 rläutrt, ki im Si dr Aalysis i üblichr Wis dfiirt bzw. dfiirbar Fuktio ist. Mit dr Ausbldigschaft (.5) dr Dltafuktio rhält ma jdoch aus (4.6) F { t } δ ( ), (4.7) d dr bi t auftrtd δ-impuls δ(t) bldt aus jωt d Wrt hraus. D.h. di Fourirtrasformirt ds δ-impulss, dr im Zitbrich das absolut schmalst Sigal ist, ist kostat glich Eis: ( jω) F{ δ ( t) }. Als Amplituddichtspktrum gdutt hißt das: Für all Frquz ω immt dis (rll) Spktralfuktio d Wrt i; s sid also all Spktralatil mit dr glich Itsität am Aufbau vo δ(t) btiligt! Bild 4.3 zigt diss Spktrum vo δ(t). Bild 4.3: Zur spktral Darstllug vo δ(t) Es gibt ki ral vorkommds odr tchisch rzugbars Sigal, das i spktral Zusammstzug hat, di durch i kostat Amplituddicht übr d gsamt, udlich Frquzbrich < ω < gkzicht ist. D.h. auch im Frquzbrich wird di Abormität vo δ(t) dutlich! rotzdm stllt δ(t) für vil Übrlgug i dr liar Systmthori auch i dr Frquzbrichsbtrachtug i ützlich Abstraktio dar. Abschlißd zum Fourir-Itgral soll och auf iig Sigal x(t) iggag wrd, di i dr Awdug häufig vorkomm, abr icht absolut itgrirbar sid ud damit di Dirichltsch Bdigug (4.5) icht rfüll. Es sid dis all Listugssigal (sih.6) ud utr dis bsodrs das Glichspaugssigal x( t) k cost für all t (4.8)

14 8 di Eihitssprugfuktio, di i Schaltvorgag i t symbolisirt für t < x( t) σ( t) für t >. (4.9) Di Existz dr Fourirtrasformirt ist damit rst imal icht gsichrt, d dis Sigal rfüll (4.5) icht. Würd ma trotzdm vrsuch, für dis Sigal (4.8), (4.9) das Fourir-Itgral (4.) auf hrkömmlich Wis auszuwrt, so stößt ma sofort auf Schwirigkit, da di Itgral mit ormalr Itgralrchug icht lösbar sid. Z.B. führt das Fourir-Itgral für (4.8) auf j F{ k} jωt ( ω) k dt.? (4.) Erst mit Hilf dr Distributiothori (s. z.b. []) fidt ma für das Itgral jωt dt π δ ( ω), (4.) so daß für das Spktrum ds Glichspaugssigals aus (4.) folgt ( jω) F{ k} π k δ ( ω). (4.) Diss stllt im Spktralbrich i δ-impuls bi ω mit dr Itsität π k dar. Bild 4.4 vrdutlicht dis spktral Darstllug ds Glichspaugssigals Bild 4.4: Zur spktral Darstllug ds Glichspaugssigals I ählichr Wis ka ma di Fourirtrasformirt für di Eihitssprugfuktio gwi: F { σ t } π δ ( ω) ( ) +. (4.3) jω

15 9 Dis Spktralfuktio hat bi - ω δ ( ω ) mit wachsd Frquz ω Darstllug: i -Atil dr Itsität π ud immt > wi mooto ab. Bild 4.5 zigt di spktral ω Bild 4.5: Zur spktral Darstllug dr Eihitssprugfuktio Wi ma aus dm astädig il ds Spktrums timmt, sid am Aufbau dr Eihitssprugfuktio harmoisch Schwigug mit idrig Frquz domiird btiligt. Für di Fourirtrasformatio glt i Rih vo Rchrgl, di für di Awdug ausgsproch ützlich sid. Di wichtigst Eigschaft ud Rchrgl dr Fourirtrasformatio soll u gat wrd. Im Prizip ka ma dis aus dr Dfiitiosglichug (4.) hrlit bzw. mit (4.) bwis. Dis wird im folgd ur agdutt, da im wstlich di Awdugssit itrssirt.