Epizykel-Theorie bei Kopernikus, Al-Tusi und Ptolemäus. Edzard Salow

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1 pzyl-hor Koprus, Al-us ud Ptolmäus dzard Salow Kurz vor m od m ahr 543 vröfftlht Nolaus Koprus Hauptwr 'D rvolutous' [3], ar sho 3 ahr frühr hatt r d Grudlag s hloztrsh Systms dr l Shrft 'Commtarolus' [] darglgt. Dar wrd auh das otv für Utrsuhug dutlh. s war ämlh ht so, dass r sh a Ugaugt dr Vorhrsag dr Platah ah dm 4 ahr lag wtghd uagfoht odll vo Claudus Ptolmäus a. s 75. Chr. stört. Auh sht s fast so, als wär s ht Hauptalg gws, d hm at Id ds Arstarh vo Samos ür d ztral Roll dr So wdr aufzugrf. Ihm gg s vlmhr um d mathmatsh Aspt dr Rüführug omplzrtr Bwgug auf fah. Im rst Asatz vo [] hßt s: 'Usr Vorfahr ahm am Hmml groß Zahl vo Sphär a, um d shtar Bwgug dr Plat durh das Przp dr Rglmäßgt zu rlär. D s fad s völlg asurd, dass Hmmlsörpr sh ht mt ostatr Gshwdgt auf r prft Krsah wg müsst. S sah, dass s möglh st, jd Bwgug s Körprs durh Komato rglmäßgr Bwgug zu rzug.' Ds st d Ltd dr pzyl-hor, d vo Apollous vo Prg 6 v.chr. s 9 v. Chr. für d Platah twlt wurd. S war Grudlag dr Astroom ds Altrtums ud ds ttlaltrs uropa ud m vordrm Ort. Apollous rlärt rfolgrh d Shlfwgug dr äußr Plat ars, uptr ud Satur. W ämlh dr Ortsvtor dr rd ud dr ds ars m hloztrsh Koordatsystm st, da st dr Ortsvtor ds ars m goztrsh Systm. Nmmt ma für d Plat ährugsws glhförmg Krswgug um d So a, so rgt sh r Bshrug m Koordatsystm, dss Ursprug m rdmttlput lgt, Ürlagrug zwr Krswgug, d allrdgs ht r lg. Da Koprus dss vo Apollous agomm Bwgugsmodll mt m hloztrsh Systm ürflüssg maht, rstaut s zuähst, warum r so ahdrülh auf dr Komato rglmäßgr Krswgug stad. ah Autor ha Koprus das Bharr auf dr pzyl-hor als Ausdru r allzu rüwärts gwadt Haltug vorgworf. So shrt Arthur Kostlr 'h Slpwalrs' [7], III,,4: 'Nur osrvatvr sh w Koprus ot auf d Vrsuh vrfall, zw uvrträglh hor zu vrsöh, ämlh d Dotr dr arstotlsh Phys ud dr ptolmäsh Rad-Gomtr auf dr St ud dr ds soztrrt Uvrsums auf dr adr.' Hr wrd d ragfähgt dr pzyl- hor m Rahm dr ompl Fourr-Aalys ürsh. Das soll m Folgd dargstllt wrd. Adrs als dr at pzyl-hor shrät ma sh dr Fourr-Aalys omplwrtgr Futo auf d Ürlagrug vo glhförmg Krswgug t dr Form t ω, d d Wlgshwdgt gazzahlg Vlfah r Kostat ω d. W atürlh Zahl ud ompl Zahl,,,...,

2 gg d, wr d Futo q ωt : t, R t omplwrtgs trgoomtrshs Polyom zur Wlgshwdgt ω. Aus dm Appromatossatz vo Sto-Wrstrass folgt da Satz sh z.b. [4]. s s p sttg Futo vo dr g R dr rll Zahl d g C dr ompl Zahl mt dr Prod gg. Zu jdm δ > gt s da trgoomtrshs Polyom zur Wlgshwdgt ω, so dass glt: p t q t < δ für all t R. d sttg Kurv p lässt sh dmah durh Ürlagrug vo glhförmg Krswgug dr Form t ωt lg gut appromr. W q trgoomtrshs Polyom st, so st dr Koffzt dr ttlwrt vo q m Prodtrvall [,], da für dr ttlwrt jdr glhförmg Krswgug t t ω, t [, ] glh Null st. D Koffzt mt gazzahlgm rg sh als ttlwrt dr Futo t q Dfto: p s w Satz gg. Da hßt Koffzt zu p. ωt t, t [, ]. Das motvrt d folgd ω t p t dt -tr Fourr- s wär wüshswrt, dass ma sh Satz auf Fourr-Koffzt shrä öt. Ldr st das ht all sttg Futo p möglh. s glt ar Satz sh z.b. []: W p sttg ud stüws sttg dffrzrar Futo mt dr Prod vo R C st, da ovrgrt d Folg dr trgoomtrsh Polyom q ωt : t mt Fourr-Koffzt ud ω glhmäßg gg p. Platah st ah dm. plrsh Gstz Vrahlässgug ds störd flusss adrr Plat llps r durh d tt dr So, d m Brput dr llps stht. D Kplr-Bwgug lässt sh durh Futo dr Form p : t os t t, t [, ] darstll. Da d d Symmtrahs dr llps Koordatahs, d groß Halahs hat d Läg, d l d Läg, ud d umrsh ztrztät st. Dr Wl zwsh großr Halahs ud dm Ortvtor ds Plat wrd als 'ztrsh Aomal' zht. D Bzhug t zwsh ud dr sogat 'mttlr Aomal' ω t stllt d Kplr- Glhug hr. S folgt aus dm. plrsh Gstz. Ist Ztput t gg ud damt auh, so a ma durh Bstmmug vo aus dsr Glhug d Ort s Plat rh, w ma d Lag dr Symmtrahs dr llps t. D Fourr-Koffzt dr Kplr-Bwgug p lass sh ah dr Susttuto t folgdrmaß darstll:

3 os d mt. I Aldug wrd für Kplr-Bwgug auf r llps mt dr umrsh 5 ztrztät,5 d Platort für aht äqudstat Ztput t s t m 6 6 Ztastad durh l Krs agzgt, wo d So m rht Brput stht. D Pfl mt d Nummr,, -, ud 3 g durh hr Läg ud Rhtug d ωt Btrag ud das Argumt dr ompl Zahl wdr. Zur Zt t d all Pfl zu ah rhts grhtt. D Sptz ds Pflzugs wadrt auf dr pzyl-kurv t qt, d sh rgt, w sh d Pfl mt dr Wlgshwdgt ω drh. I d Darstllug dr pzylthor wrd ülhrws d Pfl durh Krs rstzt, für wlh d Pfl Radus-Vtor d. Dr größt Krs, dr zur Nummr, wrd als Dfrt zht, d adr als pzyl. A. Aldug zgt, dass d Appromato dr Kplr-Bwgug p durh q so shlht st, dass d So S außrhal dr pzyl-kurv lgt. B d Plat usrr So st wg dr lr ztrztät dr Fhlr wstlh lr. Nmmt ma m ars,934 d füf Pfl mt d Nummr,, -, ud 3, da trägt dr Awhugswl vo qt zu pt vo dr rd aus gsh mamal 3' 4''. Nmmt ma oh d Pfl mt dr Nummr 4 hzu, shrumpft dr mamal Wl auf 9''. Ds Appromato hätt auh d Gaugtsmaßstä vo Kplr gügt. D r stzt dr Vrwrtug dr Boahtugsdat vo yho Brah mamal Fhlr vo Bogmut voraus. Aldug maht dutlh, dass d Sptz ds Pfls zur Nummr gau dr tt zwsh dm vo dr So ht stzt Brput Z- ud dr llpsmtt lgt. Dsr Put L gt d ttlwrt dr Kplr-Bwgug a; ma a h als d 'Shwrput dr Bwgug' ash. D Fourr-Koffzt dr Kplr-Bwgug lass sh mt Hlf dr Bssl-Futo. Art darstll. Nah dr ao-agr-idttät d d Wrt d Fourr- 3

4 4 Koffzt dr Futo. Also st d ud d d d. D aylor-twlug dr Bssl-Futo mt st!!, ud für < st. Satz 3 vgl. z.b. [9]: Für d Fourr-Koffzt dr Kplr-Bwgug glt: ud für. Bws: D Susttuto rgt os os d. Für folgt dr Satz umttlar durh Ausmultplzr. Für wrd partll tgrrt: os os d os d. Damt rrht ma os d d d os d [ ] q..d.

5 rstzt ma durh d Bomaltwlug ν,5 ν vrahlässgt -Potz mt pot größr als, so d ah Satz 3 ur folgd Koffzt zu rüshtg: 3 3 W ma ur -Potz s zur Ordug mmt ud d Koordatursprug d So vrlgt, rhält ma d Futo 3 K, mt K, als Appromato dr Kplr-Bwgug. Dss odll wurd vo Koprus vrwdt ud sho vor hm m 3. ahrhudrt vo d Astroom uayyad al-d al-urd? - 66 ud Nasr al-d al-us -74 am Osrvatorum aragha m Nordwst ds hutg Ira []. s hat d glh Bwgugsshwrput w d Kplr-Bwgug ud w ds für > gau Symmtrahs, Apsdl gat, d durh d soähst Put Prhl ud d sofrst Put Aphl dr Platah ght. D Ürlagrug K vo Krswgug hatt Koprus dr ltug vo [] m S, ud r hat s [3], V,4 dtallrt ausgführt. r utzt dss Bwgugsmodll für d Lägwgug dr Plat, d sh wg ds ur l Wls zwsh Platah ud rdah m wstlh dadurh rgt, dass ma d Platah srht auf d rdah projzrt. Für d ztrztät rht r aus g ssug m Satur d Wrt,57 [3],V,6; modrr sswrt:,56 ud m uptr d Wrt,46 [3],V,; modrr Wrt:,49. Allrdgs wählt r hr ht d Somttlput S als Ursprug, sodr d Atfous Z dr rdah, also d Brput dr Kplr-llps, dm d So ht stht. Ds rwürdgt hat d Plat Satur ud uptr wg hrr groß Bah aum fluss, wohl ar m ars. Hr rrht r d Bwgugsfuto,46,5 [3],V,9, wo dr hutg sswrt dr ztrztät,93 st. Für d rdah utzt Koprus w Ptolmäus adrs Bwgugsmodll, das ursprüglh vo Hpparh 9- v.chr stammt. I dr hloztrsh Umdutug dss odlls wrd d Bwgug dr rd um d So durh shr. Da ha wr adrs als Koprus d Somtt als Koordatursprug gwählt, ar d Zahl,33 aus [3],III,6 üromm. Dr rm mt dr dopplt Wlgshwdgt fhlt hr.,33 st Nährugswrt für d dopplt ztrztät dr rdah hutgr Wrt:,67. D rd shrt dmah glhförmg Krswgug um d Atfous Z. Dr Shwrput dsr Bwgug st also wdr dr ttlput dr llps, oh dr Shwrput dr Kplr- Bwgug. I dsm Zusammhag st mrswrt, dass dr damaszr Astroom I al-shatr d Soah ah [], S.39 m goztrsh Systm durh d Futo,77,4 shr. Das shr groß Vrhälts,9,7 zwsh größtr ud lstr tfrug dr So vo dr rd hutg, Wrt:,34 sollt vrmtlh Größutrshd dr Sosh rlär. ν ν ud, 33 5

6 I Atraht dr atsah, dass Koprus durh d Whsl zum hloztrsh Koordatsystm d Bahshrug dr äußr Plat vo dr rdwgug aoppl ot, st s mrwürdg, dass r m Bwgugsmodll für d Plat Vus ud rur glhförmg Krswgug mt r Umlaufzt vo gau m hal ahr vrwdt. Hr ommt drt dr rm K, ω t zum rag, wo zw. ω d ztrztät zw. d mttlr Wlgshwdgt dr rd d, ud t d st m Prhldurhgag dr rd vrgag Zt st. Um ds ahzuvollzh, st dr Whsl goztrshs Koordatsystm voll. W d -Ahs hr paralll zur Apsdl dr rdah glgt wrd ud ma d Nährug durh d Futo K utzt, rgt sh d Bwgugsfuto V δ t K, ωt av K V, ωv t t a st das Vrhälts dr groß Halahs vo Vus ud rd udδ d Dffrz dr Prhlläg. t st d Zt s Prhldurhgags dr Vus. D ztrztät V dr Vus mt dm modr sswrt,6 st so l, dass dr Wrt mt d Boahtugsmöglht vo Koprus ht vo Null utrshd wrd ot. D Futo passt zu dr vo Koprus utzt Bwgugsfuto ω t ω t ωv t t t,46,4,79. S rgt sh, w ma d Dat [3], V,3, d dort mt dm Atfous Z dr rdah als Ztrum dargstllt d, 3 goztrshs Systm umrht. Dr Wrt,46 tsprht hutgr Wrt:,5, ud,4 tsprht.. D Futo K,ω t, d Koprus für d rdah ht utzt hat, st also vrstt dr Bshrug dr Vusah thalt. Dr Wrt,79 für a V [3], V, wrd hut zu,73 gmss. Zwar st Koprus mt dm Bwgugsmodll dr Vus ht wrlh Bshrug m hloztrsh Systm glug, s gt sh ar für Progos. Ählh gut Ürstmmug w dr Vus fdt ma dm Plat rur ht, da r wg dr Näh zur So sodrs shlht zu oaht st. Koprus w auh ortalsh Astroom vor hm zog sh all hr Utrsuhug auf d hor vo Claudus Ptolmäus [], d shr gut Voraussag für d Platah rmöglht, ar da Krsah mt ht ostat Wlgshwdgt vorausstzt. Dara ahm ma Astoß, da ds dm sho vo Arstotls formulrt Postulat dr Rüführug allr Bwgug auf fahst Grudform wdrsprah. Auh Ptolmäus slst hatt ds Grudsatz azptrt [],III,3, mssahtt h da ar stllshwgd. Ptolmäus shr d Bwgug dr äußr Plat ars, uptr ud Satur m goztrsh Systm durh d Ürlagrug t D t t vo zw Df Bwgug mt rsförmg Bah auf grgfügg ggadr ggt, wo dr größr Krs Dfrt ud dr lr pzyl gat wurd. D st dr ostat ttlput ds Dfrtrss. Nur d pzylwgug t t st da glhförmg, ud zwar wrd davo ausggag, dass dr Vtor p t stts paralll st zum Radusvtor OS dr rsförmg agomm Soah mt m ttlput O, dr ht mt dm rdmttlput F ürstmmt. D Bwgug t D t rsht ur da als glhförmg, w ma s vo dm Put Ä aus trahtt, dr durh p p Df 6

7 Spglug vom rdmttlput F a D tstht. Ä wrd Äquat odr Ausglhput gat. Dadurh dass Koprus d Ursprug ds Koordatsystms d Atfous Z dr rdah vrrüt, fl dr rm p t wg, so dass d Platwgug ah Ptolmäus durh d fahr Futo t D t shr wrd ot. Ds Umdutug Df ds ptolmäsh Bwgugsmodlls st Aldug für,5 dargstllt. S zgt d Krs um D, auf dm sh dr Plat P mt dr Umlaufzt so wgt, dass dr Wl t m Ausglhput Ä zur Zt t durh d mttlr Aomal gg st. Dr Radus ds Krss s. D ztrztät st hr d tfrug ds Puts D vo Z ud vo Ä. Dr ztrsh Aomal dr Kplr-Glhug tsprht hr dr Wl D. Dr Wl DPÄ wrd durh stmmt. W ma d Sussatz auf das Dr DPÄ awdt, folgt, also ar. Lgt ma d Ursprug ds Koordatsystms d Put D ud mmt als Bahradus d ar Läght, so st d Futo dr Ptolmäus-Bwgug. Ds shrt d Platah ssr als d Koprus-Bwgug. Vo dr rd aus gsh trägt m ars d mamal Awhug zwsh dr Kplr-Bwgug ud dr Ptolmäus-Bwgug 34 Bogmut, d zwsh dr Kplr-Bwgug ud dr Koprus-Bwgug ar 5 Bogmut. D Glhug ar rga so gut Nährug für d ztrsh Aomal, dass Kplr [6] mt dsr vo hm so gat 'stllvrtrtd P Hypoths' d arsah rh ud als llps r ot. Da stzt Kplr adrs als Koprus d So slst auf d Apsdl durh Ä ud W D, allrdgs ht m glh Astad vo D w Ä [6], 6. Aus Aldug wrd lar, dass dr ttlwrt dr Bwgug ah dm Ptolmäus-odll durh d ttlput L ds Krss durh Ä Ä Q L D Z R ud D mt dm Radus gg st. D dr ttlput W zwsh P ud dm Platort Q zur mttlr Aomal lgt auf dr ttlsrht vo PQ ud darum auf dm Krs um L. A. Dsr ttlput W wgt sh glhmäßg wahsdm Wl mt ostatr Gshwdgt auf dm Krs wtr, so dass dr ttlwrt dsr Bwgug L st. Folglh st -,5 dr ullt Fourr-Koffzt dr Ptolmäus-Bwgug. 7

8 Auh dr Fourr-Koffzt lässt sh aus dr Aldug als. s s R ämlh dr Shttput dr Paralll durh Q zu DZ. Da gt d Wl RDP a. W P Krs durhläuft, wgt sh R spglldlh zu Q. Da dr ttlwrt vo Q dr glh st w dr vo P, lgt dr ttlwrt vo R spglldlh zu L. Darum st,5 w dr Kplr-Bwgug. Dr hstorsh rst Wg zur rstzug dr Ptolmäus-Bwgug durh Ürlagrug vo glhförmg Krswgug stzt jdoh adrs a. Nasr al-d al-us utrsuht, w sh dr Put P auf dr Grad ÄP mt wahsdr mttlrr Aomal wgt [5]. r appromrt ds Bwgug durh Kous-Shwgug ud shr s als Ürlagrug zwr Krswgug mt d Wlgshwdgt ω ud - ω, d darum auh als us-paar zht wrd. Wr folg dsm Gdagag m Bws vo Satz 4: Für d Fourr-Koffzt dr Ptolmäus-Bwgug mt gradzahlg glt:, ud sost. Für d Fourr-Koffzt mt ugradzahlg,5 ν ν ν Bws: ± ν mt ν Dass d Rh zur Darstllug dr Koffzt ±ν ovrgrt, folgt wg < < aus dm Quottrtrum. D Läg dr Str ÄP Aldug rgt sh auf Grud ds rhtwlg Drs ÄWD zu os darum adrs als o auh durh Nah Nasr al-d al-us wrd glt: auh für > 9. D Ptolmäus-Bwgug lässt sh os shr. os durh rstzt. Statt w us durh zu rstz, twl wr d Wurzl r Bomalrh: t Hlf vo vo Krswgug darstll:,5 a ma auh als Ürlagrug w w w w w w w s s w w s s I dsr ltzt Summ stmm für ν d Koffzt vo ür. s. für s ν ud s - ν

9 W ma dr Summ Summad mt dr Potz z,5 ν zu ν ν s s s s d d zusammfasst ud d Grzürgag,5 ν ν z durhführt, rgt sh d ν. Dr tsprhd Wrt darum 4. ν ν d stmmt damt ür. Für d Ptolmäus-Bwgug rgt sh ν dν ν. Daraus folgt d Bhauptug vo Satz W ma Potz vo mt pot größr als vrahlässgt, rhält ma für d Ptolmäus-Bwgug d Fourr-Koffzt 4 3 Vrglh mt d tsprhd Koffzt Kplr ud Koprus maht plausl, dass d Appromato mt dm Ptolmäus-odll twas ssr war als d ah dm Koprus-odll. Bmrswrtrws stmm ar all dr odll rstr Nährug ür. [] Ama, H., shr,., Aalyss II, Brhäusr Vrlag 6 [] Coprus, Nolas, Commtarolus : hr Copra ratss, Otago Boos, Nw Yor 97 [3] Coprus, Nolas, O th Rvolutos, h oh Hops Uvrsty Prss, Baltmor 97 [4] Kaallo, W., führug d Aalyss II, Sptrum Aadmshr Vrlag 997 [5] Kdy,.S., Lat dval Platary hory, Iss, Vol. 57, No.3, h Uvrsty of Chago Prss 966 [6] Kplr, ohas, Nu Astroom, R.Oldourg Vrlag, üh 99 [7] Kostlr, Arthur, h Slpwalrs, Pgu Boos, Lodo 959 [] Sala, Gorg, Ara Astroomy, Nw Yor Uvrsty Prss, Nw Yor 994 [9] Stumpf, K., Hmmlsmha, Bd., VB Dutshr Vrlag dr Wssshaft, Brl 973 [] oomr, G.., Ptolmy`s Almagst, Prto Uvrsty Prss, Prto 99 9