Regressionsanalyse. Analyse der Residuen Feststellung der Größe Feststellung der Verlaufsform. Nichtlineare einfache Regression. Mehrfachregression
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- Hede Hartmann
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1 Rgrssosaalys Aalys dr Rsdu Fststllug dr Größ Fststllug dr Vrlaufsform Nchtlar fach Rgrsso Mhrfachrgrsso Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II Bblograf: Prof. Dr. Kück Uvrstät Rostock Statstk, Vorlsugsskrpt. Abschtt 8.3.3, ud Blymüllr / Ghlrt / Gülchr Vrlag Vahl 4 Statstk für Wrtschaftswssschaftlr Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II
2 Rsdu D Rsdu bzw. d Rstabwchug sd d Abwchug zwsch d bobachtt Wrt y ud d tsprchd Rgrssoswrt (thortsch Wrt y -Dach. P(, y y y : bobachttr Wrt ds abhägg Mrkmals y ŷ y ˆ f ( Rgrssosfukto ŷ f ( : Rgrsswrt,,..., Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 3 Rsdugschaft b dr Mthod dr klst Quadrat y P(, y y ˆ f ( y ŷ y : bobachttr Wrt ds abhägg Mrkmals ŷ,,..., f ( : Rgrsswrt ( y Mmum Für d übr dr Rgrssoskurv lgd Pukt st > Für d utr dr Rgrssoskurv lgd Pukt st < Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 4
3 Grafsch Darstllug dr Rsdu y y P(, y ŷ y ˆ f ( Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 5 Rsdualvaraz ud -stadardfhlr y ŷ y ˆ + s P(, y y y ˆ s f ( Rsdualvaraz ( y Rsdualstadardfhlr,,..., s s ( y D Mhrht dr y lgt m Tolraztrvall: Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II Tolraztrvall [ y ˆ s ; + s ] 6 3
4 Bzhug zwsch Rsdualvaraz ud Bstmmthtsmaß B SQE SQT SQT SQR SQT SQR SQT ( y ² ( y y² s ( y Rsdualvaraz Bstmmthtsmaß B s ( y y² J größr d Rsdu sd, um so klr st das Bstmmthtsmaß ud um so klr wrd dr Atl dr durch d Rgrssosfukto rklärt Gsamtstruug. Zw Schlussfolgrug lass sch daraus hrlt: Y wrd durch cht ausrchd rklärt Das Modll st zur Abbldug dr Bzhug cht ggt Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 7 Grafsch Aalys dr Rsdu ( y P(, y y ŷ I dsm Fall bstht Larr Zusammhag zwsch bd Mrkmal ud Y. f ( b + b Aus dm Struugsdagramm dr Rsdu rkt ma k systmatsch Vrlauf. Daraus folgt, dass d ausgwählt lar Fukto ggt st, um d Zusammhag zwsch d Mrkmal zu rklär. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II mt 8 4
5 Grafsch Aalys dr Rsdu ( ( ( Ma rkt aus dm Strudagramm (, Y quadratsch Zusammhag zwsch bd Mrkmal. Dsr Zusammhag lässt sch am bst mt dm quadratsch Asatz bschrb. Zg d Rsdu systmatsch Ablauf, da lgt d Ursach mst r Fhlspzfkato ds Modlls. Rsdu bm lar Asatz f ( b + b Rsdu bm quadratsch Asatz Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II y ˆ f b + b + b ( 3 9 Bspl: Abhäggkt zwsch Prs ud Lstug 4 Prs [EURO] f ( b + b y ˆ f ( b + b + b3 ² 8 6 f3( b + b Bobachtt Lar Quadratsch Epotll Rgrsso Lar Quadratsch Rsq (B,839,897 Lstug [PS] Epotal,859 Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 5
6 Bspl: Abhäggkt zwsch Prs ud Lstug. Grafsch Darstllug dr Rsdu I d dr Asätz st rkbar, dass d Varabltät dr Dat rcht utrschdlch st (Vrltzug dr Homoskdastztätsbdgug. Es st vtl. bssr, das Datmatral grupprt zu rgrssr. Für d Gruppbldug g sch Karossrart, PS-Klass,. Das führt zu mhrr zl Rgrssosfukto übr d Abhäggkt vo Prs ud Lstug. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II Bspl: Abhäggkt zwsch Prs ud Lstug. Hstogramm für d Vrtlug dr Rsdu (quadratschr Asatz Std.abw. 858,89 Mttl, N 5,, -5, -, -5, -, -5, -3, 5, 3, 5,, 5,, Rsdu PREIS-LEISTUNG quadratk Ma köt dsm Fall vo dr Normalvrtlug dr Rsdu ausgh. D Übrprüfug dsr Hypoths ka mt Apassugstst rfolg. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 6
7 Nchtlar Rgrssosfukto ( Zahlrch Zusammhags- ud Abhäggktsproblm sd chtlarr Natur. Dr Graph dr Rgrssosfukto st k Grad. Ma utrschdt dab folgd Fäll: Polyomal Rgrsso Quaslar Rgrsso Egtlch chtlar Rgrsso Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 3 Nchtlar Rgrssosfukto ( Potz- bzw. Epotfukto: b b Potzfukto Epotalfukto: b b Epotalfukto Y Y b b Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 4 7
8 Nchtlar Rgrssosfukto (3 Logarthmsch Fukto: Hyprbl- bzw. Ivrsfukto: ˆ y b + b l > b + b > Logarthmsch Fukto Hyprblfukto 6 Y Y b b Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 5 Nchtlar Rgrssosfukto (4 Ist d Rgrssosfukto st Polyom zwt Grads, so sprcht ma vo r quadratsch Rgrssosfukto. f b + b. + b 3. ² Ist d Rgrssosfukto st Polyom drtt Grads, so sprcht ma vo r kubsch Rgrssosfukto. f b + b. + b 3. ² + b 4. 3 Bd Asätz führ zu multpl Fukto! Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 6 8
9 Bspl: Abhäggkt zwsch Gburtsgwcht ud Körprgwcht dr Muttr chtlar Rgrsso Wlch Fukto st agmss? Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 7 Larsrug dr Potzfukto Potzfukto 5 Y 5 5 b b l l b + b l * * * y ˆ b + b * l l b l b * * b * b Durch d Awdug dr MKQ für d Paar (*, y* bstmmt ma d Rgrssoskoffzt b* ud b. Aus b* brcht ma durch d Awdug dr Epotalfukto (Khrfukto dr logarthmsch Fukto d Koffzt b Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 8 9
10 Larsrug dr Epotalfukto Epotalfukto Y b b * * l ˆ l b + b ˆ b + b y y * l * b l b b * b Durch d Awdug dr MKQ für d Paar (, y* bstmmt ma d Rgrssoskoffzt b* ud b. Aus b* brcht ma durch d Awdug dr Epotalfukto (Khrfukto dr logarthmsch Fukto d Koffzt b Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 9 Larsrug dr Logarthmsch Fukto ˆ + y * b b l b + b * l Logarthmsch Fukto 6 Y Durch Awdug dr MKQ für d Paar *, y bstmmt ma d Rgrssoskoffzt. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II
11 Larsrug dr Hyprblfukto b + b * y b + b ˆ * Hyprblfukto 5 Y Durch Awdug dr MKQ für d Paar *, y bstmmt ma d Rgrssoskoffzt. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II Bspl: Rgrssosfukto für d Abhäggkt ds Prss vo dr Lstug 3 Prs [DM] Bobachtt Lar Logarthmsch Ivrs Epot 388,9 f ( ,769 5,45,79, ,6 l,4 859,7-3 4 Epotll Rgrssosfukto Bstmmthtsmaß Lstug [PS] Epotal,859 Lar,839 Potz,867 Logarthmsch,677 Hyprbl,48 Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II
12 Efachrgrsso -Zusammfassug- Aufgab: Bstmmug r mathmatsch Fukto f, wlch d durchschttlch Tdz dr Abhäggkt dr Varabl Y vo dr Varabl möglchst gut bschrbt. Abhäggs Mrkmal Uabhäggs Mrkmal Y Y ˆ f ( Rgrssosfukto lar Efachrgrsso chtlar Rgrsso ˆ b + b y Larsrbar Ncht Larsrbar b ˆ b b y b l l b + b l l ˆ l b + b y Potzfukto Epotalfukto? b + b l b * + b Logarthmsch Fukto b + b b + b * Hyprblfukto Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 3 Abhäggs Mrkmal Rgrssad Y Uabhägg Mrkmal Rgrssor 3... k Aufgab: Bstmmug r mathmatsch Fukto f, wlch d durchschttlch Tdz dr Abhäggkt dr Varabl Y vo d Varabl,..., k möglchst gut bschrbt. Zur Ermttlug dr Rgrssosfukto sth zur Vrfügug k-dmsoal gordt Bobachtug (y,, 3,..., k mt,,...,. Yˆ f(,, K, 3 k Y ˆ b + b + b + K+ b 3 3 k k Mhrfachrgrsso -Aufgabstllug- Mhrfachrgrssosfukto Lar Mhrfachrgrsso Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 4
13 Bstmmug dr Koffzt b r lar Mhrfachrgrsso -Matrdarstllug- b + b b + b b + b Y ˆ b + b + b M b L+ b k + L + b k k k + L + b k k Yˆ Y Yˆ M M M Y b 3 3 M 3 L L M L M k k k 3 b b b b M 3 b k b Y ( ( b ( Y Y b Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk ( Y b ( Y Ib Rgrsso II 5 Lars multpls Bstmmthtsmaß Das lar multpl Bstmmthtsmaß gbt d Atl dr durch d lar Mhrfachrgrsso rklärt Struug a dr Gsamtstruug a: r Y 3... k SQE SQT ( y ( y y y ˆ b + b + b + K+ b 3 3 k k D postv Wurzl aus r² st dr Ausdruck ds lar multpl Korrlatoskoffzt. Es glt: r 3 Y K k Partlls lars Bstmmthtsmaß r Yk 3...( k r r Y 3... k Y 3...( k ry 3...( k Zusammhag zwsch dm Mrkmal y ud d Mrkmal, 3,, k Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 6 3
14 Lars partlls Bstmmthtsmaß Das lar partll Bstmmthtsmaß lautt: r Yk 3...( k r r Y 3... k Y 3...( k ry 3...( k Dr lar partll Korrlatoskoffzt st dr postv Wurzlausdruck ds lar partll Bstmmthtsmaßs. Es glt: ryk 3...( k Zusammhag zwsch Mrkmal y ud Mrkmal k m Esmbl dr Mrkmal, 3,, k-. D partll Bstmmtht batwortt d Frag, wlchm Maß d Bstmmtht durch dr rklärd Varabl bdgt st, w dr Efluss aus d übrg rklärd Varabl ausgschaltt wrd. Aalog dazu gbt dr partll Korrlatoskoffzt d Stärk ds Zusammhags zwsch zw Varabl utr dr Bdgug a, dass auch wtr Varabl d Problmstllug bzog wrd. Partll Korrlato bzw. partll Bstmmtht wrtt bvarat Zusammhag vo Mrkmal m Esmbl wtrr Mrkmal aus. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 7 Optmal Azahl dr rklärd Varabl Rgrssosfukto J größr d Azahl dr rklärd Varabl dr lar Mhrfachrgrsso st, um so größr wrd das lar multpl Bstmmthtsmaß. Abr: Um so höhr wrd auch dr rchrsch Aufwad ud auch dr Aufwad b dr Erfassug ud Pflg dr Dat! Ma soll dswg cht mhr rklärd Varabl das Modll bzh als otwdg. W kommt ma zu dsr optmal Azahl? Dsm Alg d Stratg zum Spzfzr multplr Modll, dm ma schrttws aufbaud (odr schrttws abbaud d rklärd Varabl das Modll bzht (hrausmmt. Das Krtrum für d Abbruch dr Schrttfolg st mmr das lar multpl Bstmmthtsmaß dr Fukto. E ützlchr Id st dab d Vrädrug ds Bstmmthtsmaßs um so ud sovl Proztpukt durch d Hzuahm (odr d Wgfall r rklärd Varabl. Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 8 4
15 Bspl: Mhrfachrgrsso zwsch Prs ud d tchsch Mrkmal Prs [EURO] Lstug [PS]? Hubraum [ccm] Bschlugug - Höchstgschw dgk Mrkmal. Schrtt. Schrtt 3. Schrtt 4. Schrtt Lstug 7,45 53,7 7,34 Ncht thalt Hubraum 8,676 8,989,58 6,494 Bschlugug 4,587 74,47 Ncht thalt Ncht thalt Vma -53,966 Ncht thalt Ncht thalt Ncht thalt Bstmmthtsmaß,9,9,89,88 Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 9 Polyomal Rgrssosfukto Abhäggs Mrkmal Uabhäggs Mrkmal Rgrssosfukto Y Y ˆ b + b + b ² 3 Quadratschr Ausdruck führt zu multplr Fukto! Larsrug Quadratsch Rgrsosfukto ˆ + y b + b b3 3 3 Y Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II b 3 b 5 b
16 Polyomal Rgrssosfukto Altr (Moat Höh (cm 77, 94,5 7, 6,,4 6,7 9, 9,9 3,4 3,8 3, Bspl: Höh vo wblch Rdr (aus Rasch, Vrdoor ach dm Altr, gmttlt Höh f quadratsch ( 8,76 +,7. -,5. ² f kubsch ( 77,43 + 3,6. -,63. ² +,43. ³ Prof. Kück / Dr. Rcabal Dlgado Lhrstuhl Statstk Rgrsso II 3 6
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