16. Minimale Spannbäume

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Catharina Fürst
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1 Dnton.:. Mnml Spnnäum. En wttr unrttr Grp (G,w) st n unrttr Grp G=(V,E) zusmmn mt nr Gwtsunkton w :E R.. Ist H=(U,F), U V,F E, n Tlrp von G, so st s Gwt w(h) von H nrt ls ( ) = w( ) w H F SS 00

2 Mnml Spnnäum - Dnton Dnton.:. En Tlrp H ns unrttn Grpn G sst Spnnum von G, wnn H n Bum u n Knotn von G st.. En Spnnum S ns wttn unrttn Grpn G sst mnmlr Spnnum von G, wnn S mnmls Gwt untr lln Spnnäumn von G stzt. SS 00

3 Illustrton von mnmln Spnnäumn () 3 3 Grp G=(V,E) Spnnum ür G (mnml) 3 3 Spnnum ür G (mnml) Spnnum ür G (nt mnml) SS 00 3

4 Illustrton von mnmln Spnnäumn () 0 SS 00

5 SS 00 Brnun mnmlr Spnnäum Zl: Gn n wttr unrttr Grp (G,w), G=(V,E). Wolln znt nn mnmln Spnnum von (G,w) nn. Vornsws: Erwtrn sukzssv n Kntnmn A E zu nm mnmln Spnnum. Zu Bnn A = { }.. Erstzn n jm Srtt A ur {( u,v )} wo ( u,v) n A-sr Knt st. 3. Soln s A = V Dnton.3: (,v) {( u,v )} A, u sst A-sr, wnn mt A u A zu nm mnmln Spnnum rwtrt wrn knn. 5

6 Gnrsr MST-Alortmus ( G,w ) Gnr MST A { } wl A st no kn Spnnum 3 o Fn n A - sr Knt A A { ( u,v) } 5 rturn A ( u,v) SS 00

7 Sntt n Grpn Dnton.:. En Sntt (C,V-C) n nm Grpn G=(V,E) st n Prtton r Knotnmn V s Grpn.. En Knt von G kruzt nn Sntt (C,V-C), wnn n Knotn r Knt n C un r nr Knotn n V-C lt. 3. En Sntt (C,V-C) st mt nr Tlmn A E vrträl, wnn kn Elmnt von A n Sntt kruzt.. En (C,V-C) kruzn Knt sst lt, wnn s n Knt mnmln Gwts untr n (C,V-C) kruznn Kntn st. SS 00

8 Sntt n nm Grpn () S V-S 0 S V-S Snttkntn SS 00

9 Crktrsrun srr Kntn Stz.5: S (G,w), G=(V,E) n wttr unrttr Grp. D Kntnmn A E s n nm mnmln Spnnum von (G,w) ntltn. Wtr s (C,V-C) n mt A vrträlr Sntt un ( u,v) s n lt (C,V-C) kruzn Knt. Dnn st ( u,v) n A-sr Knt. Korollr.: S (G,w), G=(V,E), n wttr unrttr Grp. D Kntnmn A E s n nm mnmln Spnnum von (G,w) ntltn. Ist ( u,v) n Knt mnmln Gwts, n Zusmmnnskomponnt C von G A = ( V,A) mt m Rst s Grpn G A vrnt, nn st ( u,v) n A-sr Knt. SS 00

10 Bws s Stzs - Illustrton x p y u Knotn n C Kntn n A v SS 00 0

11 Alortmus von Prm - I Zu jm Ztpunkt s Alortmus stt r Grp G A = ( V,A) us nm Bum T A un nr Mn von solrtn Knotn I A. En Knt mnmln Gwts, nn Knotn n I A mt T A vrnt, wr zu A nzuüt. D Knotn n I A sn n nm mn-hp ornsrt. D st r Slüssl ky[v] ns Knotn v IA n ur s mnml Gwt nr Knt, v mt T A vrnt. SS 00

12 Alortmus von Prm - Psuoo ( G,w,r ) Pr m MST or ll v V o ky[ v] 3 π[ v] NIL ky[ r] 0 5 Q Bul - Mn - Hp( V) wl Q { } o u Extrt - Mn Q or ll v Aj o v Q 0 tn π ky ( ) [ u] w ( u,v ) < ky [ v ] [ v] u [ v ] w ( u,v ) Hp - Drs - Ky( Q,v,ky[ v] ) SS 00

13 Hp-Drs-Ky Hp-Drs-Ky (,v,ky[ v] ) Slüssl von v ur nun Wrt ky [ v] H rstzt ktulln. D muss r nu Slüssl klnr ls r lt Slüssl sn. Knn nm Hp mt n Elmntn n Zt O ( lo( n) ) usürt wrn. SS 00 3

14 Alortmus von Prm Illustrton () 0 0 SS 00

15 Alortmus von Prm Illustrton () 0 0 SS 00 5

16 Alortmus von Prm Illustrton (3) 0 0 SS 00

17 Alortmus von Prm Illustrton () 0 0 SS 00

18 Alortmus von Prm Illustrton (5) 0 SS 00

19 Alortmus von Prm Luzt Zl pro Durlu O ( lo( V )), wr V -ml urlun. Zln - pro Durlu O ( lo( V )) (ür Hp- Drs-Ky). Zln - E -ml urlun, Größ llr Ajznzlstn zusmmn nu E. Stz.: Dr Alortmus von Prm rnt n Zt O ( V lo( V ) + E lo( V )) nn mnmln Spnnum ns wttn unrttn Grpn (G,w), G=(V,E). Mt Fon-Hps Vrssrun u O ( V lo( V ) + E ) möl. SS 00

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d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat. 4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst