Triangulierung von Polygonen und das Museumsproblem
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- Gesche Eberhardt
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1 Motvton: Ds Msmsprolm n Msm soll r Kmrs ürwt wrn w vl Kmrs wrn nött? wo solln Kmrs pltzrt wrn? Trnlrn von Polyonn n s Msmsprolm (Ltrtr: Br t l., Kptl ) Ds Msmsprolm r Pln s Msms st n ns Polyon P n Kmr ntsprt nr Pnktltqll,.. n Kmr st n Pnkt k s st nn Pnkt p n nn wnn Strk kp nz m Innrn von P lt. w vl Kmrs müssn n P pltzrt wrn, mt jr Pnkt m Innrn von P sn wr? Ds Msmsprolm n konvxs Polyon knn mmr mt nr Kmr wt wrn s Prolm klnst Anzl von Kmrs z nm nn Polyon P z nn st NPswr wr rn ns, w vl Kmrs mmr srn, m n Polyon mt n Ekn z wn I P s n ns Polyon mt n Ekn zrl P n Stük, jwls mt nr Kmr wt wrn könnn l konvx Stük Drk Trnlrnn D. En Donl ns nn Polyons P st n on Strk zwsn zw Ekn von P, nz m Innrn von P lt D. En Trnlrn ns nn Polyons P st n Zrln von P n Drk wl von nr mxmln Mn von prws sjnktn Donln nzrt wr
2 Trnlrnn mxml Mn von sjnktn Donln mplzrt, ss kn Ekn m Rn ns Drks ln könnn z nm Polyon t s. ll. vrsn Trnlrnn! Frn ür Trnlrnn t s z jm nn Polyon n Trnlrn? w vl Drk rt mn, m n Polyon z trnlrn? Exstnz von Trnlrnn Stz: Z jm nn Polyon P t s n Trnlrn Bws: zn r Inkton ür n, ss js n Polyon P trnlrt wrn knn. Exstnz von Trnlrnn Stz: Z jm nn Polyon P t s n Trnlrn Bws: zn r Inkton ür n, ss js n Polyon P trnlrt wrn knn. I.A. (n=): Dnn st P n Drk. Exstnz von Trnlrnn Exstnz von Trnlrnn Stz: Z jm nn Polyon P t s n Trnlrn Bws: zn r Inkton ür n, ss js n Polyon P trnlrt wrn knn. I.S.: S P n ns Polyon mt n Ekn. Wr zn znäst, ss s n P n Donl t. S v lxorps klnst Ek von P n sow w z v jzntn Ekn von P. Fll.) D Strk w lt n P w st n Donl Stz: Z jm nn Polyon P t s n Trnlrn Bws: zn r Inkton ür n, ss js n Polyon P trnlrt wrn knn. I.S.: S P n ns Polyon mt n Ekn. Wr zn znäst, ss s n P n Donl t. S v lxorps klnst Ek von P n sow w z v jzntn Ekn von P. Fll.) D Strk w snt n Rn von P w st kn Donl. Dnn t s mnstns n Ek von P w or n m Drk vw. S v Ek von P n m Drk vw m wtstn von r Strk w ntrnt st. D Strk vv snt kn Knt von P; sonst ätt s nn Enpnkt nnrl von vw r wtr von w ntrnt wär ls v vv st n Donl.
3 Exstnz von Trnlrnn Stz: Z jm nn Polyon P t s n Trnlrn Bws: zn r Inkton ür n, ss js n Polyon P trnlrt wrn knn. I.S.: S P n ns Polyon mt n Ekn. In P t s n Donl. Ds zrlt P n zw Polyon L n R mt l zw. r Ekn, wo l<n n r<n. N I.V. knn js n Polyon mt n <nekn trnlrt wrn, lso s. L n R. Dmt knn P trnlrt wrn. Gröss von Trnlrnn Stz: J Trnlrn ns nn Polyons mt n Ekn stt s n Drkn. Bws: zn r Inkton ür n, ss j Trnlrn ns nn Polyons mt n Ekn s n Drkn stt I.A. (n=) Dnn st P n Drk, = I.S. S P n ns Polyon mt n Ekn n T n Trnlrn von P. S n Donl von P s T, P n zw Polyon L n R mt l zw. r Ekn zrlt, wo l<n n r<n. D Ekn von örn z L n R, lso n+=l+r. N I.V. t j Trnlrn von L zw. R l zw. r Drk. Dmt t T r (l)+(r)=n Drk. Zrük zm Msmsprolm Folrn: Js n Polyon P mt n Ekn knn mt n Kmrs wt wrn. z P t s n Trnlrn T mt n Drkn n Drk knn mt nr Kmr wt wrn Gt s ssr? I: wäl n Mn W von Ekn von P mt r Enst, ss js Drk s T mnstns n Ek n sr Mn t pltzr Wätr n Ekn s r Mn W Färn von Grpn D. En Färn ns Grpn G=(V,E) st n Fnkton jm Knotn s V n Fr zornt, mt r Enst, ss Enpnkt jr Knt s E ntrsl Frn n. D. S k>0 n ntürl Zl. En kfärn ns Grpn G=(V,E) st n Färn von G mt östns k Frn. Färrkt von Trnlrnn Stz: Dr Grp nr Trnlrn T ns nn Polyons P st ärr. Bws: (r Inkton ür n) I.A. (n=) Dnn st P n Drk n mt ärr I.S. S P n ns Polyon mt n Ekn n T n Trnlrn von P s =(,) n Donl s T zrlt T n zw Trnlrnn L n R nr Polyon mt j < n Ekn n.v. sn L n R ärr Ekn n von örn z L n R lls s Ekn ntr n Färnn von L n R vrsn Frn rltn n, müssn Frn von L ntsprn prmtrt wrn Wr zrük zm Msmsprolm Stz: Js n Polyon P mt n Ekn knn mt n/ Kmrs wt wrn. Bws: n n Färn nr Trnlrn von P wäl klnst Frklss ls Mn r Wätr klnst Frklss t östns n/ Elmnt Stz: Es t Polyon mt n Ekn, ür mn n/ Kmrs nött. Bws:
4 Trnlrn von Polyonn Zrl s Polyon n monoton Polyon Trnlr monotonn Polyon nzln Monoton Polyon D. En Polyon P sst monoton zül nr Grn l, wnn r Drsntt s Innrn von P mt jr Grn prlll z l st, zsmmnänn st. D. En Polyon P sst ymonoton, wnn s monoton zül r xas st. P sst strn ymonoton, wnn s n P kn orzontl Knt t. ymonoton nt ymonoton 0 Enstn ymonotonr Polyon Zrln n ymonoton Polyon wnn n Polyon P monoton zül nr Grn l st, nn st r Sntt s Innrn von P mt jr Grn prlll z l st, ntwr lr, or n Pnkt, or n Strk wnn mn s r lnkn (rtn) St ns ymonotonn Polyons P vom östn zm tstn Ekpnkt von P wt, so wt mn s mmr orzontl or n ntn (r n n on) wnn mn s nr St ns strn y monotonn Polyons vom östn zm tstn Ekpnkt wt, so wt mn s mmr n ntn wr ürstrn n Polyon P mt nr orzontln Gr l n trtn n Sntt r Grn l mt m Innrn von P sr Drsntt st n Mn von Intrvlln l n Ekn von P könnn Intrvll n ntstn (StrtEkn) vrswnn (EnEkn) vrsmlzn (MrEkn) n zw Tl zrlln (SpltEkn) (komntors) nvränrt ln (rlär Ekn) P l Klsskton von Ekn Crktrsrn ymonotonr Polyon En Ek p von P st n StrtEkw. Nrn ln ntrl von p n r nnr Wnkl p st < 0 EnEkw. Nrn ln orl von p n r nnr Wnkl p st < 0 MrEkw. Nrn ln orl von p n r nnr Wnkl p st > 0 SpltEkw. Nrn ln ntrl von p n r nnr Wnkl p st > 0 All nrn Ekn sn rlär Ekn P l Stz: En ns Polyon P st ymonoton w. s kn Splt n kn MrEkn t Bws: wr zn: P st nt ymonoton s t n Splt or MrEk s lso P nt ymonoton s t n orzontl Gr l rn Sntt mt P s mnstns zw Intrvlln stt trt s lnkst Intrvll pq mt lnkm Enpnkt p n rtm Enpnkt q rl von q s n Rn von P so, ss P lnks lt s r r rst Pnkt, r wr r Grn l lt
5 Crktrsrn ymonotonr Polyon Crktrsrn ymonotonr Polyon Fll : r p öst Ek r wr m W von q n r nt sn, mss n Splt Ek wsn sn p q r Splt Ek l Fll : r = p rl von q s n Rn von P so, ss P rts lt; s r r rst Pnkt, r wr r Grn l lt r p nsonstn P nr zw Snttpnkt mt l ätt tst Ek r wr m W von q n r nt sn, mss somt n MrEkwsn sn p=r q r Mr Ek l I zr Zrln n y monoton Polyon Bstn von SpltEkn Zrstör ll Splt n Mr Ekn von P rt Ekn von P von on n ntn ü von jr SpltEk n Donl n on n ü von jr MrEk n Donl n ntn n s Donln ürn s nt snn n vorm Lmm sn nzlnn Stük nn ymonoton Zl: ü von jr SpltEk s n Donl z nr Ek ür s n Swplnlortms: Ernspnkt: Ekn von P Ernstnstrktr: n y Koorntn sortrt Lst r Ernss rrt Swpln n SpltEk s, so wr Donl zr Ek Hlr() nüt (t mmr!); st Hlr() :=tst Ek m Polyonz zwsn, r lnkn Nrknt von s l, n v, r rtn Nrknt von s l s Hlr() v l Bstn von Mr Ekn Swplnstts Zl: ü von jr MrEk m n Donl z nr Ek ntr m n rrt Swpln n MrEk m lt: m wr z Hlr(), wo lnk Nrknt von m l st von m s knn mn mmr n Donl zr östn Ek p zwsn n v (r rtn Nrknt von s l) ntrl von m nün s Ek p st no nt knnt, wnn Swpln m rrt t s knn r lt spätr ntkt wrn: p st Ek, m ls Hlr() löst m p v l ntält Lst r Kntn von P Swplnsnn n P rr rtn St n, sortrt n xkoorntn r Snttpnkt ür j Knt nn Entr Hlr() rorrl Oprtonn Enün n Lösn von Kntn Fnn s lnkn Nrn Änrn r HlrInormton Implmntrn: Vrnt von lnrtn Sämn Lzt: O(lo n) ür ll Oprtonn 0
6 Ernslst Prortätswrtsln n Ekn s Polyons p Prortät nrt r ykoorntn; lr y Koornt ntst xkoornt (j klnr, sto rössr Prortät) ll Ernss stn m Ann s Alortms st rorrl Oprtonn Intlsrn Fnn n Entrnn s nästn Ernsss Implmntrn: MnHp Lzt: O(n) ür Intlsrn O(lon) ür Extrkton s nästn Ernsss Alortms En: P mt n Ekn n nr DCEL D As: En Zrln von P n ymonoton Polyon n D v, v,, v n s Folr Eknvon P (ornt n n Urzrsnn),,, n s Folr Kntnvon P mt =v v + Intlsr Ernstnstrktr EPS mt n Eknvon P Intlsr Swplntnstrktr SLS wleps nt lr st o Entrn Ek v mt r östn Prortät s EPS Bnls Ek rm Typ ntsprn Ernsnln Hlr von Kntn wrn änrt Donln wrn nüt B SpltEkn mmr Wnn r Hlr nr Knt s änrt n r lt Hlr n MrEkwr Dr Stts r Swpln wr änrt Bnln von StrtEkn HnlStrtVrtx(v ) Fü n SLS n Stz Hlr( )= v v Bnln von rlärn Ekn Bnln von Mr Ekn HnlRlrVrtx(v ) sinnr von P lt rts von v tn Hlr( ) st n MrEk tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS Fü n SLS n Stz Hlr( )= v ls S n SLS Knt lnks von v Hlr() stn MrEk tn Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Stz Hlr()= v v HnlMrVrtx(v ) Hlr( ) st n MrEk tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS S n SLS Knt lnks von v Hlr() stn MrEk tn Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Stz Hlr()= v = v Hlr( )
7 Bnln von SpltEkn Bnln von EnEkn HnlSpltVrtx(v ) HnlEnVrtx(v ) S n SLS Knt lnks von v Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Hlr( ) st n MrEk tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr()= v Fü n SLS n Hlr( ) Entrn s SLS Hlr( ) Stz Hlr( )= v = v v Bspl HnlStrtVrtx(v ) Fü n SLS n Stz Hlr( )= v 0 HnlStrtVrtx(v ) HnlMrVrtx( v ) Fü n SLS n Hlr( ) st n MrEktn Stz Hlr( )= v Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) stnmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr( )= v
8 HnlRlrVrtx(v ) s Innrvon P lt rtsvon v tn Hlr( ) st nmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS Fü n SLS n Stz Hlr( )= v ls S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) st nmrektn Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Stz Hlr()= v HnlRlrVrtx(v ) s Innrvon P lt rtsvon v tn Hlr( ) st nmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS Fü n SLS n Stz Hlr( )= v ls S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) st nmrektn Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Stz Hlr()= v HnlStrtVrtx(v ) HnlStrtVrtx(v ) Fü n SLS n Fü n SLS n Stz Hlr( )= v Stz Hlr( )= v HnlMrVrtx( v ) Hlr( ) st n MrEktn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) stnmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr( )= v HnlMrVrtx( v ) Hlr( ) st n MrEktn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) stnmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr( )= v
9 HnlSpltVrtx (v ) HnlEnVrtx(v ) S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) st n MrEktn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr( )= v Entrn s SLS Fü n SLS n Stz Hlr( )= v 0 HnlRlrVrtx(v ) s Innrvon P lt rtsvon v tn Hlr( ) st nmrek tn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS Fü n SLS n Stz Hlr( )= v ls S n SLS Knt lnks von v Hlr( ) st nmrektn Fü Donl zwsn v n Hlr() n D n Stz Hlr()= v HnlSpltVrtx (v ) S n SLS Knt lnks von v Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Stz Hlr( )= v Fü n SLS n Stz Hlr( )= v HnlEnVrtx(v ) HnlEnVrtx(v ) Hlr( ) st n MrEktn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Hlr( ) st n MrEktn Fü Donl zwsn v n Hlr( ) n D n Entrn s SLS Entrn s SLS
10 Bspl Korrktt Stz: r Alortms stt ll Mr n SpltEkn nütn Donln sn ült snn kn Kntn von P snn s nt Bws: r Alortms stt ll Mr n SpltEkn olt s vorn Ürlnn nütn Donln sn ült wr zn: wnn n n Donl nüt wr snt s kn Knt von P snt s kn r vorr nütn Donln Korrktt Korrktt nnommn Donl =pq wr n r Prozr HnlSpltVrtx(p) nüt s Knt lnks von p n v Knt rts von p n somt Hlr()=q s Q s Vrk, s r Kntn n v sow n orzontln Grn r p n q sränkt st; Hlr()=q, ntält Q kn Ekn von P snt kn Knt von P: nnommn, n Knt w snt Donl Ekn von w nt n Q ln könnn n s Ekn von P nt snn, mss w n orn or ntrn Rn von Q lnks von snn s stt m Wrspr z, ss r lnk Nr von p n q st q Q p q Q p w v v nnommn Donl =pq wr n r Prozr HnlSpltVrtx(p) nüt s Knt lnks von p n v Knt rts von p n somt Hlr()=q s Q s Vrk, s r Kntn n v sow n orzontln Grn r p n q sränkt st; Hlr()=q, ntält Q kn Ekn von P snt kn r vorr nütn Donln: j sr nüt Donl t n Enpnkt ür p n Q t s kn Ekn von P Q p q v Korrktt Anlys nlo zt mn, ss Donln n n Prozrn HnlStrtVrtx(), HnlEnVrtx(), HnlRlrVrtx(), n HnlMrVrtx() nüt wrn kn r Knt von P snn n kn r vorr nütn Donln snn Stz: Dr Alortms lät n O(n lo n) Zt Bws: Intlsrn r Ernstnstrktr: O(n) Bnln llr Ernss (on Mnplton von D): O(n lo n) s t n n Ernss n Erns knn n O(lo n) nlt wrn ntrnn s nästn Ernsss: O(lo n) O() Oprtonn SLS: O(lo n) Gsmtkostn ür Enün r Donln: O(n) pro Erns mxml Kntn n D nüt: O(Größ r klnrn Ftt) Kostn pro Donl j Donl trnnt n Ftt s wrn rn Kntn m Enün nr Donln nt wr rln wr östns no n Ml rln, wnn sn nürln Ftt r n wtr Donl trnnt wr 0
11 Trnlrn strn ymonotonr Polyon I rt Ekn von on n ntn (Ekn mt rsln ykoorntn von lnks n rts) spr n nm Stk Ekn rts ntkt, r no nt ür n Donl vrwnt wrn wnn n n Ek ntkt wr, nn ü von ort s so vl Donln w möl z n Ekn, m Stk ln n j Donl spltt n Drk vom Polyon n ntrnt n Ek vom Stk spltn Drk no nt trnlrt D Strktr r Ekn m Stk wr rltn oln Invrnt rt: s Stük F von P orl r ltztn (tstn) ntktn Ek s no nt trnlrt st (lso Ekn m Stk), lt nn Fnnl n St von F st n Polyonz, r mt Asnm r tstn Ek (= m orstn Elmnt m Stk) nr s Rlxkn (Wnkl m Polyonnnrn > º) stt nr St von F st Tl nr Knt Fnnl s Polyons (rn ntrr Enpnkt no Tlknt nt ntkt wr) spltn Drk Rlxkn ltzt ntkt Ek Brtn r nästn Ek:.Fll Brtn r nästn Ek:. Fll näst Ek n lt r nürlnn St r Rlxkn n st r ntr Enpnkt r Tlknt s Fnnl t s orr Enpnkt von = öst (n ltzt) Ek m Stk rn r FnnlStrktr könnn von n s z lln Rlxkn s t Donln nüt wrn n t Vornsws: s tst Rlxk = rsts Elmnt m Stk ntrn ll Rlxkn vom Stk n ü Donln nz (ssr z t) l n n n Stk Ekn m Stk ln wr nn Fnnl pop t n pop pop pop/ps ps Brtn r nästn Ek:. Fll Brtn r nästn Ek:. Fll näst Ek n lt r St r Rlxkn s tst Rlxk (= rsts Elmnt m Stk), s s s näst Elmnt m Stk rn r FnnlStrktr ln Rlxkn z nn von n s Donln nüt wrn könnn n (vt. lrs) Annsstük s Stks, nnn mt s von n knn n Donl z v nüt wrn, w. nv n Lnksknk st ( st vor v rtt Rlxk) v n s Vornsws: ntrn vom Stk soln no Rlxkn m Stk ln, prü, o von r orstn Ek m Stk n Donl z n nüt wrn knn lls j, ü s Donl n n ntrn orst Ek s m Stk l ltzt Rlxk ntrnt wr zrük n Stk l n n Stk v n s
12 Brtn r nästn Ek:. Fll Ekn m Stk ln wr nn Fnnl s pop/ps ps n pop/ps v pop pop s n pop ps Ürlk Alortms: Swplnvrrn Ernss : Enpnkt r Strkn Ernstnstrktr: n ykoorntn sortrt Lst r Ernss Stts r Swpln: Fol r Ekn orl r Swpln no nt ür n Donl vrwnt wrn, n ykoorntn sortrt (Fnnl) Dtnstrktr ür n Swplnstts Stk Alortms En: strn ymonotons Polyon P mt n Ekn n nr DCEL D As: Trnlrn von P n r DCEL D Vorvrrtn: Vrsmlzn lnkn n rtn Rn von P z nr n stnn ykoorntnsortrtn Fol,,, n von Ekn(woEkn mt rsln y Koorntn stn n xkoorntn sortrt wrn) Alortms L n n Stk S orj= to (n) ( j n top(s) sn vrsnn Stn von P) tn Entrn ll Ekn ss Fü n D Donln von j z lln ss löstn Ekn n (s ltzt) L j n j n Stk S ls Entrn orst Ek von S Entrn jwls orst Ek von S n ü n D Donl von j z rntrntn Ek n, soln s Donl nz n P lt L ltzt ss löst Ek n j n Stk S Fü n D Donln von n z lln Ekn n S n (s ltzt n rst) 0 Bspl Erns Stk Donln Erns Stk Donln
13 Donln Stk Erns, Donln Stk Erns, Donln Stk Erns, Donln Stk Erns, Donln Stk Erns Bspl, Donln Stk Erns
14 Anlys Dr Alortms lät n O(n) Zt Intlsrn rorrt O(n) Zt Sl rorrt O(n) Zt Lzt r Sl st proportonl zr Anzl r ps n pop Oprtonn m Stk n jm Drl r Sl wrn ötns zw Ekn n Stk lt Anzl r pop Oprtonn st östns so ross w Anzl r ps Oprtonn s Hnzün von Donln m ltztn Srtt rorrt O(n) Zt Trnlrn ymonotonr Polyon Dr Alortms nktonrt ür ymonoton Polyon mt orzontln Kntn 0
d Beweis. Knoten 1 den Grad k hat.
4 Bäum un Mnmlrüst Dnton 4.. Es n G = (V, E n zusmmnännr Grp. H = (V, E ßt Grüst von G w. wnn H n Bum st un E E lt. Bmrkun 4.. En Grüst st lso n zusmmnännr, zyklnrr, uspnnnr Untrrp von G. Bspl 4.. Gr üst
16. Minimale Spannbäume
Dnton.:. Mnml Spnnäum. En wttr unrttr Grp (G,w) st n unrttr Grp G=(V,E) zusmmn mt nr Gwtsunkton w :E R.. Ist H=(U,F), U V,F E, n Tlrp von G, so st s Gwt w(h) von H nrt ls ( ) = w( ) w H F SS 00 Mnml Spnnäum
1. Übung zu Computergraphik 3 Geometrie
1. Üung zu omputrgrpk Gomtr Jko ärz KOLNZ LNU ug 1: Frgzn Ggn: Mng zuällgr -Punkt ntsprn nzl zuällgr Frn Kgl znn Sptz u Punkt Hupts prlll zu z-s Sptz zgt zum trtr großr Rus un Hö Ortogrps Projkton Z-ur
Herzdrache. by Zoey
nltun No.0 y Zoy ttp://zoysprlntrwlt. s nltun st nt ür n Vrku stmmt. S ntält Tl vom Frülns- rn von prlntr.om rzr rt y zoys-prlntrwlt. Ersnuns-tum:.02. Zoys-Prlntrwlt. op Tl u nnst m Strn Srtt. rt m Zk
Das Minimum-Spanning-Tree Problem MST
Ds Mnmum-Spnnn-Tr Prolm MST D Prolmstllun Ds oln Bspl zt n spzll, r u typs Aunstllun mt rn Lösun wr uns sätn wolln: Gn sn n Punkt n r En zusmmn mt n prwsn Astänn. Wäl von n ( n ) Kntn zwsn n Punktn n Kntn
Querverweise Die Schülerinnen und Schüler verstehen und verwenden Begriffe und Symbole.
Frslrpln Mtmtk Komptnzuu. Form un Rum A Oprrn un Bnnnn. D Sülrnnn un Sülr vrstn un vrwnn Br un Symol. D Sülrnnn un Sülr... könnn untrsl Lnn un -vrläu uznn un ornn (z.b. kurz, ln, r, wllt Lnn). könnn Krs,
3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum
. Vktorn. Dfnton, Enhtsvktorn, Komponntn, Rchnrgln, Vktorrum Nn sklrn (Zhln mt Mßnht w Mss, Enrg, Druck usw.) wrdn n dr Physk vktorll Größn ("Pfl" mt Rchtung und Läng) vrwndt: Ortsvktor, Gschwndgkt, Vrschung,
Überblick. Grundideen MST Eigenschaft. MST Eigenschaft. Kap. 6.5: Minimale Spannbäume ff
0.0.009 Kap. 6.: Mnmal Spannäum Ürlk Proor Dr. Kartn Kln 6.: Mnmal Spannäum (MST) : Lrtul ür Alortm Ennrn, LS Fakultät ür Inormatk, TU Dortmun 0. VO. TEIL DAP SS 009. Jul 009 SS08 Grunn MST: Kürzt W n
Spektralbilder einer Oktav-Tonleiter in C-Dur
Spktrlbilr inr Oktv-Tonlitr in C-Dur (Zum Tm Tonlitr vl. u i Ausürunn zu Tonlitr Quint -- un i usürlin Txt zum lin Tm u r Sit Hörbispil - Tonlitr) ' (us Hörbispil Tonlitr Tl-8 5'57) Im Untrsi zu n Spktrlbilrn
4. Rechnen Sie mit Taschenrechner. (Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma!)
. Rnn S on Tsnrnr. ( ( ( ( [ ( ] [ ( ] [ ( ] [ ( ] (. Rnn S on Tsnrnr., (,, (,,, 0, (,. Rnn S on Tsnrnr. ( ( (, 0, ( ( ( ( ( ( ( (. Rnn S mt Tsnrnr. (Runn S u zw Stlln n m Komm!,,, 0,,0, 0,,,, 0,, (,,
Matrizenmultiplikation. Matrizenmultiplikation. Multiplikation nach Winograd. Multiplikation nach Winograd. Multiplikation nach Winograd
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Wie schön leuchtet der Morgenstern Johann Kuhnau ( ) 1.
Wi schön luchtt dr Mornstrn Johann Kuhnau (10-1) 1. Contuo Viola II Viola I Viol II Viol I Horn II Horn I Soprano lto nor Bass I voll Mor Mor Mor Mor n strn strn strn strn n n n Gnad Gnad Gnad Gnad voll
Aufgaben zu Kapitel 7
7.1 G W A B zu 7.1 zu 7.2 7.2 Ajznzmtrix: 000111 000111 000111 111000 111000 111000 G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung
Herr laß deinen Segen fließen
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Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 8 FS 15
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2 Mengen bzgl. Knoten r (Wurzel): A = {Knoten v mit ungerader Weglänge (r,v)} B = {Knoten v mit gerader Weglänge (r,v)}
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Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Übung 4: Lagenlayouts
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Die sieben Worte Jesu Christi am Kreuz Heinrich Schütz ( )
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Das Ziel ist das Ziel
l tn-wc Tl 2 Das Zl st das Zl (c) 2013 Kathrn Pohnk/ tn-wcl - Slbst-Coachng & Mhr / Das Zl st das Zl / 1 l tn-wc Inhalt Tl 1 1. Enltung 2. Im Rückwärtsgang 3. Schrtt 1 Tl 2 1. Prsonal-Kanban - was st dnn
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Die Schülerinnen und Schüler verstehen und verwenden Begriffe und Symbole.
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Chemische Bindung - Grundprinzipien der Valenztheorie
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Vorschlag (Endstand) für Normentext zur Berechnung der Lüftungswärmeverluste in EN 12831 (deutsch)
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Lektion 14 Test. Obwohl Herr Stuber gern in der Stadt arbeiten / er einen Bauernhof haben möchten
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Bispil: Niht X jr j js jn jm Arzt möht Notrzt sin. Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn
Lektion 14 Test Lösungen
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Lektion 11 Test. 2 Modalverben: Präsens oder Präteritum? Was ist richtig? Kreuzen Sie an.
Lktion 11 Tst Lktion 11 Grmmtik 1 Prätritum r Molvrn: Eränzn Si. Bispil: Ih immr Stätrisn (mhn wolln). Ih _wollt immr Stätrisn _mhn_. Als Kin ih Tirplr (wrn wolln). u im Zoo i Bärn (üttrn ürn)? Von 2009
Erläuterungen zu Leitlinien zum Umgang mit Markt- und Gegenparteirisikopositionen in der Standardformel
Erläutrungn zu Ltlnn zum Umgang mt Markt- und Ggnpartrskopostonn n dr Standardforml D nachfolgndn Ausführungn n dutschr Sprach solln d EIOPA- Ltlnn rläutrn. Währnd d Ltlnn auf Vranlassung von EIOPA n alln
http://hdl.handle.net/2027/uc1.b5045265 http://www.hathitrust.org/access_use#pd-us-google
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Notenblätter. Christof Fankhauser Hofmattstrasse 41a 4950 Huttwil 062 /
Ntnblättr hrf Fnkhusr Hfmttstrss 41 4950 Huttwl 062 / 965 43 16 ml@chrffnkhusrch wwwfnkhusrchrfch O fröhlch ( Nr 2 und 11) trdtnll, us Szln Q \ \ #! ch #! O O O fröh fröh fröh l l l ch ch s s s l l l Q
KLEINSPANNUNGS-STECKVORRICHTUNGEN
265 KLEINSPANNUNGS-STECKVORRICHTUNGEN Wnstos ür Durgngsvrrtung großzüggr Anslussru rusnrr Stosnnstz rltrt s Anslßn rrs Untrtl (180 ) opt Buor Mult-Grp Klvrsruung t Sägzngwn un Fststllsru Bwgung Kl wr vor
Inhalt. Beschreibung von DNA- Sequenzen als Markov-Ketten. DNA-Sequenz. Markov-Ketten. X: Stochastische Sequenz. P(X): Wahrscheinlichkeit der Sequenz
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Hartfolien- Verpackungen öffnen
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Das dine&shine KOnzept für Anlässe mit nachhaltiger Wirkung
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Franziskusmesse. 1. Von Gott gerufen. Eingangslied. Text: Raymund Weber Musik: Klaus Wallrath 2012/13. q. = 72
Franzskusmss 1. Von Gott grun Tromt I (ad lb.) q. = 7 8 m Engangsld Txt: Raym Wbr Musk: Klaus Wallrath 01/1 Tromt II (ad lb.) 8 m Posaun I (ad lb.) 8 m Posaun II (ad lb.) 8 m Chor unsono q. = 7 8 m (SA)
Aufgabe 4: 7-Segmentanzeige
Au : 7-Smntnzi G. Kmnitz, C. Gismnn, TU Clusthl, Institut ür Inormtik 7. Juni 25 Di Vrsuhsurupp ht in -stlli 7-Smnt-Anzi mit vrunnn Kthonsinln un minsmr Ano j Zir, so ss zu jm Zitpunkt nur in Zir nzit
7.3.4 Minimale Spannbäume Ungerichteter, zusammenhängender Graph G = (V,E) mit Kantenkosten w : E -> Double. w(e) = min Warum Forderung "ohne Zyklen"?
Algorithmn u Grphn 7.. Miniml Spnnäum Ungrihttr, zummnhängnr Grph G = (V,E) mit Kntnkotn w : E -> Doul Guht: Kntnmng E' E, i ll Knotn x V vrint, rn Gwihtumm miniml it un i kriri it. G' = (V, E') mit G'
Kannst du ein großes A bezahlen? Spiele mit Zahlen und Buchstaben. Dr. H. Schneider, Wien. Buchstabenrätsel mit zwei Vorgaben
Spil mit Zhln un Buhstn Einzlmtril 87 Klss 6 is 8 S Knnst u in großs A zhln? Spil mit Zhln un Buhstn Dr. H. Shnir, Win M Buhstnrätsl mit zwi Vorgn Brhn i Blknsumm nhn von zwi Vorgn! Di Zhln, 2,, 4 un sin
Benennung. Nennmaß. Nullinie. lstmab. Grenzmaß Höchstmaß. Mindestmaß. PaBmaB. GrenzabmaB Oberes Grenzabmaß Unteres GrenzabmaB Maßtoleranz
Maßtleranzen A=0 A: G-N Au = Gr-N f = G-G, f = A-Äi + Au=0 Ubermaß Passung mit Ubergangstleranzf eld System,, Einheitsbhrung " maß System,, Einheitswelle,, Benennung Nennmaß Nullinie lstmab Grenzmaß Höchstmaß
Wie in der letzten Vorlesung besprochen, ergibt die Differenz zwischen den Standardbildungsenthalpien
Vorlsung 0 Spnnungsnrgi dr Cyclolkn Wi in dr ltztn Vorlsung bsprochn, rgibt di Diffrnz zwischn dn Stndrdbildungsnthlpin dr Cyclolkn C n n und dm n-fchn Bitrg für di C - Gruppn [n (-0.) kj mol - ] di Ringspnnung.
Musterlösung - Aufgabenblatt 4. Aufgabe 1
Murlöung - Augnl 4 Aug ) Au Üungl 3 hn wir ür n ggnn Grphn G gzig, ν(g) = 9 gil, inm wir olgn Mhing M von mximlr Krinliä nggn hn: g h i j 3 4 6 7 8 9 0 E gil lo, nh König Mhing-Thorm u r Vorlung, uh τ(g)
Vektoralgebra. André Röthlisberger, Nuria Rothfuchs, Andrej Metlar, Patrick Reinhard D-MATL SS
Vktol ndé Röthls, Nu Rothfuhs, ndj Mtl, Ptk Rnhd D-MTL SS-07 0.05.07. D ffn Vktoum und d Eukldsh Vktoum, Bss, Sklpodukt. Ws st n Vkto? Zln zw. Spltnmtzn wdn unt ndm ls Zln zw. Spltnvkton zhnt. Ds Vkton
6.1 Was sind binäre Suchbäume?
6 inär Suchäum 6.1 Ws sin inär Suchäum? Suchäum (inry srch trs) sin tnstrukturn, i vil Oprtionn uf ynmischn Mnn ffiint untrstütn. ispil sin: Srch(K, k): Such in lmnt von K mit Schlüssl k Insrt(K, ): Fü
Cylon BACnet Router. Datenblatt
Dtnltt Cyln BACnt Rut CBR CBR/MOD CBR/MODx D Cyln BACnt Rut vnn js l BACnt- MS/TP-Ntzwk mt nm BACnt/IP-Ntzwk un funn uf Wunsch ls Mus-Gtwy. Rutn: BACnt IP nch BACnt MS/TP Optnl mt Mus RTU Mst. BBMD Suppt
ACO Selbstbau. Mehr Raum durch Licht ACO Nebenraumfenster
ACO Selbstbau 2 Mehr Raum durch Licht ACO Nebenraumfenster ACO Nebenraumfenster mit Dreh/Kippflügel 2 D i e h o c h w e r t i g e n N e b e n r a Ku em lfl e nr rs ät ue mr e m i t h ö h e r w e r t i
Angelika Resl. 2. Klasse Volksschule. i r. c i. e n. m h
Anglka Rsl 2. Klass Volkssul N t s n g d l r B r b s m n o Klara att gstrn großs P auf dm Splplatz. Abr Tobas zgt r, dass r n wrkl gutr Frund st. Erzäl, was passrt st! 2 3 I dnk, ut wrd dn Gswstrn zur
2D-NMR-Spektroskopie
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Schaltungstechnik 1 Erstelldatum: 12. Februar Eigenschaften. Umpolung. Widerstände. Leitwerte R 1.
Shaltnsthnk www.stdm.d Erstlldatm: 2. Frar 25 Shaltnsthnk Krhhoffstz Anwndarkt Konzntrrthtshypoths mss rfüllt sn: d
Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung
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Für Wachstumsprozesse, die nach dem logistischen Wachstumsmodell ablaufen, gilt: (1)
Dr Arnlf Schönli, Logistischs Wchstm in dr Prxis Logistischs Wchstm in dr Prxis Für Wchstmsrozss, di nch dm logistischn Wchstmsmodll lfn, gilt: ( ( t ( Drin sind (t zw di Polionn z dn Zitnktn t zw t, nd
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Tag der letzten Fachprüfung des Rigorosums: 15. Dezember 1999. Univ.-Prof. Dr. Peter Kleinschmidt
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Produktive Aufgaben mit magischen Quadraten
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1 or-2. 1 or-3. Abbildung 1: Verschaltung von fünf ODER Gattern
Grunlgn igitlthnik - Augn Til 4 - Lösung Aug 1 i in Ailung 1 rgstllt Shltung ist us Or Gttrn ugut. Js isr Gttr ht in Vrzögrungszit von t p = 5ns. i Vrzögrung ist ür stign un lln Signl glih (t plh = t phl
4-Personen Großraumzelt
4-Prsonn Großrumzlt Montnltun Inlt Enltun... 2 Bstmmunsmäß Vrwndun... 2 Tns Dtn... 2 Srtsnws... 2 Rnun & Plnws... 3 Entsorun... 3 Grnt... 4 Grntdnunn... 4 Invrkrrnr... 4 Srvdrss... 4 Inlt... 5 Auu... 5
2. Večerní les rozvázal zvonky
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Wärmebrücken bei Gebäudemodernisierungen. Ratgeber für Baufachleute
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