Aufgaben und Lösungen. Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!

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1 ufgen und Lösungen 1. Runde 018 Üer Kommentre und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KRL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MTHEMTIK Kortrijer Strße 1, Bonn Postfh , 5313 Bonn Tel.: (0 8) , Fx: (0 8) info@undeswettewer-mthemti.de, Stnd: Mi 018

2 BWM 018 I ufge 1: Welhes ist die größte ntürlihe Zhl mit der Eigenshft, dss jede ihrer Ziffern ußer der ersten und der letzten leiner ist ls ds rithmetishe Mittel ihrer eiden Nhrziffern? nmerung: Die Rihtigeit des Ergenisses ist zu eweisen. Bemerung: In der ufgenstellung und in den Beweisen müsste immer formuliert sein, dss es sih um die Ziffern ei Drstellung im Dezimlsystem hndelt. Im Interesse einer esseren Lesreit wurde hieruf verzihtet. Bezeihnungen: Eine ntürlihe Zhl mit der Eigenshft, dss jede ihrer Ziffern ußer der ersten und der letzten leiner ist ls ds rithmetishe Mittel ihrer eiden Nhrziffern, nennen wir onvex. Die größte onvexe Zhl sei mit N ezeihnet. ntwort: Die gesuhte Zhl ist Beweis: Eine Zhl ist genu dnn onvex, wenn für elieige drei ufeinnder folgende ihrer Ziffern,, stets < gilt; dies ist wiederum äquivlent zu >, d.h. die Differenz zweier ufeinnder folgender Ziffern dieser Zhl dei ist immer "line Ziffer minus rehte Ziffer" gemeint wird von lins nh rehts immer leiner. Wie mn leiht mit Kopfrehnen estätigt, ht die Zhl ht Ziffern und ist onvex. Die Zhl N ht lso mindestens 9 Ziffern oder sie ht 8 Ziffern und ist niht leiner ls Zu jeder onvexen Zhl mit mehr ls zwei Ziffern, deren Dezimldrstellung niht mit Ziffer 9 eginnt, findet mn leiht eine größere onvexe Zhl, indem mn die erste Ziffer durh eine 9 ersetzt. Dnn ist die neu entstndene Zhl größer ls die ursprünglihe, und ds rithmetishe Mittel us erster und dritter Ziffer ist größer geworden, d.h. die neu entstndene Zhl ist eenflls onvex. Eenso nn mn die letzte Ziffer flls diese leiner ls 9 ist durh eine Ziffer 9 ersetzen und erhält eenflls eine größere und onvexe Zhl. Wir wissen lso, dss N mit einer Ziffer 9 eginnt und mit einer Ziffer 9 endet; weiter wissen wir, dss die gesuhte Zhl mindestens 8 Ziffern ht. Es ist lr, dss in der Dezimldrstellung einer onvexen Zhl mit mehr ls zwei Ziffern eine zwei Ziffern 9 ufeinnder folgen önnen, d.h. die zweite Ziffer der gesuhten Zhl und die vorletzte Ziffer sind leiner ls 9. Dmit hen die oen gennnten Differenzen zwishen ufeinnder folgenden Ziffern zunähst einen positiven Wert, werden dnn immer leiner und sind shließlih negtiv. Dmit werden von lins die Ziffern der Zhl zunähst leiner und irgendwnn wieder größer, woei es möglih ist, dss höhstens einml zwei gleihe Ziffern neeneinnderstehen önnen. Wir önnen somit die gesuhte Zhl shreien in der Form j mit 9 = 1 > >... > 1 < <... j = 9, dei ist + j die nzhl der Ziffern der gesuhten Zhl. Für die Differenzen ufeinnder folgender Ziffern gilt (1 ) ( 1 ) = = 9, nlog j 1 9 Die gesuhte Zhl nn niht neun oder mehr Ziffern esitzen, weil ndernflls mindestens vier der oen gennnten Differenzen positiv oder ndere vier negtiv wären. Dnn wäre er die fünfte Ziffer niht größer ls = 1, oder die letzte Ziffer größer ls = 10, ws eides niht sein nn. lso esitzt N höhstens ht Ziffern und die Differenzenfolge 3,, 1, 0, 1,, 3 erzeugt usgehend von der ersten Ziffer 9 die größte onvexe Zhl, nämlih Zhl

3 BWM 018 I. Beweis: Wie mn leiht mit Kopfrehnen estätigt, ht die Zhl ht Ziffern und ist onvex. Die Zhl N ht lso mindestens 9 Ziffern oder sie ht 8 Ziffern und ist niht leiner ls Ersetzt mn in einer onvexen Zhl mit mindestens 8 Ziffern, die niht mit Ziffer 9 eginnt, die erste Ziffer durh eine 9, so ist die neue Zhl größer und siher wieder onvex, weil < (+) / < (9+) /. Die Zhl N eginnt lso siher mit Ziffer 9. Eine Zhl ist genu dnn onvex, wenn für elieige drei ufeinnder folgende ihrer Ziffern,, stets < (+) / gilt; dies ist wiederum äquivlent zu + 1. Ist lso, so werden die Ziffern der Ziffer nh rehts immer größer. Die Drstellung der Zhl N enthält lso zuerst eine fllende Ziffernfolge und dnn eine steigende. Zu einer onvexen Zhl...d, ei der die Ziffern nh rehts immer leiner werden, etrhten wir die "nh rehts gespiegelte Zhl"...dd... Sie ht mehr Ziffern, ist lso siher größer, und sie ist siher onvex, d uh n der "Nhtstelle" die Konvexitätsedingung erfüllt ist: us d < folgt, dss uh d < (+d) /. Dies gilt uh umgeehrt: werden die Ziffern der onvexen Zhl d... nh rehts immer größer, so ist die nh lins gespiegelte Zhl...dd... eenflls onvex. Hierus folgt, dss die Drstellung der Zhl N symmetrish ist, d.h. von der Form...dd... Wäre nämlih die Folge der uf(zw. )steigenden Ziffern ürzer ls die der nderen, dnn ersetzt mn diese Folge durh die Spiegelung der nderen Folge und erhält so eine onvexe Zhl mit mehr Ziffern, lso eine größere Zhl. Und sind die Ziffernfolgen vershieden, dnn verfährt mn entsprehend: mn ersetzt diejenige Ziffernfolge, ei er zuerst eine leinere Ziffer uftuht, durh ds Spiegelild der nderen, denn uh so erhält mn eine größere Zhl. Zur Konstrution von N genügt es lso, von llen onvexen Zhlen mit fllender Ziffernfolge und erster Ziffer 9 die größte zu nehmen und dnn nh rehts zu spiegeln. Dei wählen wir ls folgende Ziffern systemtish lle möglihen, die die Bedingung + 1 erfüllen und hören uf, wenn die Differenz der Ziffern 1 ist, weil dnn die nähste Ziffer entweder gleih ist oder größer; wir die Ziffer 0 erreihen. lle nderen Zhlen lssen sih um weitere Ziffern ergänzen und so größer mhen. Wir erhlten die Zhlen 98, 97, 95, 943, 951, 950, 953, , 9410, 941, 943, 930, 9310, 93, 90, 91, 910. Die größte dieser Zhlen ist 943, durh Spiegelung erhlten wir shließlih N =

4 BWM 018 I ufge : Bestimme lle reellen Zhlen x, für die 0 x 18 x 18 0 = 1 gilt. Erläuterung: Für eine reelle Zhl z ezeihnet z die größte gnze Zhl, die leiner oder gleih z ist. nmerung: Die Rihtigeit des Ergenisses ist zu eweisen. ntwort: 1. Formulierung: Die Lösungsmenge dieser Gleihung ist L = ]8;[ ];[.. Formulierung: Für jede Zhl x mit 8 < x < und x ist die gegeene Gleihung erfüllt, für lle nderen Zhlen ist die Gleihung niht erfüllt. 1. Beweis: Sei = (x) := untersheiden 7 Fälle: x , dnn ht die gegeene Gleihung die Form = 1. Wir Fll1: < 0. Dnn ist uh 1 < 0 und somit 1 (1) + (1) =, jedes x mit (x) < 0 lso eine Lösung. Fll : = 0. Dnn ist 1 niht definiert, jedes x mit (x) = 0 lso eine Lösung. Fll 3: 0 < 1. Dnn ist 1 und > 1, jedes x mit 0 < (x) 1 lso eine Lösung. Fll 4: 1 < < 1. Dnn ist 1 < 1 <, d.h. 1 = = 1, jedes x mit 1 < (x) < 1 ist lso eine Lösung. Fll 5: = 1. Dnn ist 1 = 1, d.h. 1 = =, jedes x mit (x) = 1 ist lso eine Lösung. Fll : 1 < <. Dnn ist 1 < 1 < 1, d.h. 1 = = 1, jedes x mit 1 < (x) < ist lso eine Lösung. Fll 7:. Dnn ist 0 < 1 1, d.h > 1, jedes x mit (x) ist lso eine Lösung. Dmit gilt die gegeene Gleihung für genu diejenigen x, für die 1 < (x) < 1 (Fll 4) oder für die 1 < (x) < (Fll ). Diese x lssen sih nun leiht estimmen: Es ist 1 < (x) < 1 1 < x 18 0 < < x < < x <. Es ist 1 < (x) < 1 < x 18 0 < 0 18 < x < < x <. 4

5 BWM 018 I. Beweis: Die eiden Brühe in den Gußlmmern sind Bruh und Kehrruh. Hätte einer von eiden den Wert 0, dnn wäre der ndere niht definiert. lso nn einer den Wert 0 hen und entweder sind eide positiv oder eide negtiv. Weiter wissen wir, dss eide gnzzhlig sind. Die Zhl 1 nn niht ls Summe zweier negtiver Zhlen drgestellt werden, und ls Summe von zwei niht negtiven Zhlen nur in der Form oder Notwendigerweise gilt lso für jede Zhl x us der Lösungsmenge (mit zusätzliher rgumenttion önnte mn hier ein "entweder" einfügen): 0 x 18 = 1 und x 18 0 = 0 () oder 0 x 18 = 0 und x 18 0 = 1 (B). Offensihtlih sind er uh lle x, die wenigstens eine der eiden Bedingungen oder B erfüllen, Lösung der gegeenen Gleihung. Diese sind shnell ermittelt: Es gilt 0 x 18 = < 1 x 18 x 18 0 x 18 0 = 0 0 x 18 < 1 18 x <. 0 Bedingung () ist lso erfüllt für genu die Zhlen x mit 8 < x <. > 1 x > 8 und Weiter gilt (mn ehte, dss der Bruh in der ersten Gußlmmer den Wert 0 niht nnehmen nn): 0 x 18 = 0 0 < 0 < 1 x 18 x 18 0 x 18 0 = 1 1 x 18 < x <. 0 > 1 x > und d.h. Bedingung (B) ist genu für die Zhlen x erfüllt, für die < x <. Zusmmenfssend hen wir lso L = ]8;[ ];[. 5

6 BWM 018 I ufge 3: Im spitzwinligen Dreie B wird der Höhenshnittpunt mit H ezeihnet. Die Höhe von shneide die Seite B im Punt H und die Prllele zu B durh H shneide den Kreis mit Durhmesser H in den Punten P und Q. Entsprehend seien die Punte P und Q sowie P und Q festgelegt. Beweise, dss die sehs Punte P, Q, P, Q. P und Q uf einem gemeinsmen Kreis liegen. Bemerung: Üer die ufgenstellung hinus wird gezeigt, dss der Mittelpunt des gemeinsmen Kreises mit dem Höhenshnittpunt zusmmenfällt. 1. Beweis: Nh Konstrution liegt der Punt P uf dem Kreis mit Durhmesser H. Nh Stz des Thles ist dnn ds Dreie P H rehtwinlig ei P. D P H B und B H, ist uh P H H, d.h. P H ist Höhe im rehtwinligen Dreie P H uf die Hypotenuse H. lso gilt nh Höhenstz P Q PH = H HH. P H H Q Die Punte P und Q sind Shnittpunte eines Kreises und einer Gerden, die eide symmetrish ezüglih. der hse H liegen. lso liegen Q und P symmetrish ezüglih der hse H. Insesondere gilt QH = PH und somit uh P H B Q QH = H HH. nloge Üerlegungen usgehend von den Punten B zw. liefern die Gleihungen PH = BH HH = QH und Von hier önnen wir vershieden shließen: PH = H HH = QH. Vrinte 1: Weiter sind H und H eides rehtwinlige Dreiee mit gemeinsmer Hypotenuse, lso liegen die Punte H und H uf dem Thlesreis üer der Seite. lso erhlten wir nh Sehnenstz und nlogen Üerlegungen usgehend von den nderen Höhen ds Zwishenergenis H HH = H HH = BH HH. (*) Vrinte : Es ist BH = 90 = H B und HH = H H, lso sind die Dreiee H H und H H ähnlih; hierus folgt sofort H HH = H HH und mit nloger Shlussweise usgehend von den Dreieen H H und H HB erhält mn eenflls (*). Nh eiden Vrinten folgt PH = QH = PH = QH = PH = QH und hierus, dss H Mittelpunt eines Kreises ist, uf dem die Punte P, Q, P, Q, P und Q liegen. Ds ist die Behuptung. Bemerungen: Der Zusmmenhng (*) ist uh ls Höhenshnittstz ennt. us der Ttshe, dss Q x und P x symmetrish ezüglih der Höhe H x (x {,,}) liegen, nn mn shon vor dem Nhweis der Existenz des gesuhten Kreises folgern, dss sein Mittelpunt der Höhenshnittpunt des Dreies B sein muss.

7 BWM 018 I ufge 4: Im Rum sind sehs Punte gegeen, die prweise vershiedene Entfernungen voneinnder hen und von denen eine drei uf einer gemeinsmen Gerden liegen. Wir etrhten lle Dreiee mit Een in diesen Punten. Beweise, dss es unter diesen Dreieen eines git, dessen längste Seite zugleih ürzeste Seite in einem nderen dieser Dreiee ist. Bemerung: Die vorgestellten Beweise gelten lle uh dnn, wenn n jede Dreiesseite irgendeine "Entfernungszhl" ohne Berüsihtigung einer ttsählihen Relisierreit im Rum geshrieen wurde, d.h. ohne Berüsihtigung der Dreiesungleihung. Mir ist unennt, o die Verwendung dieser shärferen Vorussetzung uh eine shärfere ussge ermögliht. Bezeihnungen: Die sehs Punte seien mit,,..., ezeihnet. Weiter werden wir im Lufe der Untersuhung in estimmten Dreieen die ürzeste Seite rot fären. D eine zwei Verindungsstreen gleih lng sind, ist diese immer eindeutig estimmt. In jedem Dreie git es mindestens eine gefärte Seite, es nn vorommen, dss in einem Dreie mehrere Seiten gefärt sind und dss eine Seite mehrfh gefärt wird. Dmit önnen wir die Formulierung "eine Seite, die in mindestens einem Dreie die ürzeste Seite ist" ürzen zu "eine rote Seite". Wenn wir die Existenz eines Dreies mit drei gefärten Seiten nhgewiesen hen, sind wir fertig, weil dieses Dreie eine längste Seite ht, und diese ist weil gefärt in einem nderen Dreie ürzeste Seite. 1. Beweis: Wir fären zu Beginn in jedem der Dreiee die ürzeste Seite rot. Vom Punt gehen fünf Verindungsstreen zu den nderen Een us. Es önnen lso genu zwei Fälle uftreten: Fll 1: Drei oder mehr dieser Streen sind rot gefärt, o.b.d.. seien dies, und (in der Figur di gezeihnet). Ds Dreie ht eine ürzeste Seite, o.b.d.. sei dies. Dmit ht ds Dreie drei rot gefärte Seiten, ds wr zu zeigen. Fll : Niht Fll 1, d.h. es sind weniger ls drei Seiten rot gefärt. Dnn sind mindestens drei Seiten niht gefärt, o.b.d.. seien dies, und (in der Figur di gezeihnet). D jedes der Dreiee, und mindestens eine gefärte Seite ht und d eine der von usgehenden Seiten gefärt ist, müssen die Seiten, und lle gefärt sein, d.h. ds Dreie ht drei gefärte Seiten. Ds wr zu zeigen.. Beweis: Unter den Verindungsstreen git es genu eine Längste, o.b.d.. sei dies. Wir fären in jedem Dreie die ürzeste Seite rot. Es genügt die Existenz eines Dreies mit luter roten Seiten nhzuweisen, weil dnn die längste Seite in diesem Dreie rot und dmit gleihzeitig ürzeste Seite in einem nderen Dreie ist. In jedem der Dreiee j ( j =, 3, 4, 5 ) ist die längste Seite, lso ist genu eine der Seiten j oder j ürzeste Seite, lso rot gefärt. lso gehen von den Punten und insgesmt mindestens vier rote Streen us, unter denen vier die Endpunte,, und hen. O.B.d.. gehen von Ee mindestens zwei rote Streen us. Wir untersheiden zwei Fälle: Fll 1: Von der Een gehen genu zwei rote Streen us, o.b.d.. seien dies und. Dnn sind und eide niht gefärt, er und. Dmit nn Im Dreie nur gefärt sein, lso ist im Dreie jede Seite rot gefärt. Fll : Von der Ee gehen mindestens drei rot gefärte Streen us, o.b.d.., und. Die ürzeste Seite im Dreie wird gefärt, o.b.d... Dnn ist im Dreie jede Seite gefärt. 7

8 BWM 018 I genu = 15 Verindungsstreen, die genu 3. Beweis: Die gegeenen Punte seien mit,,..., ezeihnet. Unter den Punten git es = 0 Dreiee ilden; jede der Verindungs- 3 streen ist Seite in genu = 4 Dreieen. Wenn es drunter ein Dreie git, in dem jede der Seiten in wenigstens einem Dreie die ürzeste Seite ist, dnn ist die längste der drei Seiten dieses Dreies die längste in diesem Dreie und dmit die gesuhte Seite mit eiden Eigenshften. Unter der nnhme, dss es ein solhes Dreie git, werden wir nhweisen, dss von den 15 Verindungsstreen mindestens 8 die ürzeste Seite in wenigstens einem der 0 Dreiee sind, und dss eenso mindestens 8 der Verindungsstreen in mindestens einem der Dreiee die längste Seite. Weil 8 = 1 > 15, git es nh Shufhprinzip mindestens eine Stree, die sowohl ürzeste Seite in einem Dreie ls uh längste Seite in einem (nderen!) Dreie ist. Hierzu mrieren wir in jedem der 0 Dreiee die ürzeste Seite, d.h. wir verteilen 0 Mrierungen uf 15 Seiten, dei wird eine Seite mehr ls 4 Ml mriert. Mit x sei die nzhl der Seiten ezeihnet, die wenigstens eine Mrierung hen, dnn ist 4x 0, insesondere ist x 5. Nun zählen wir in jeder Ee i (i = 1,,..., ) die nzhl der von ihr usgehenden Streen, die wenigstens eine Mrierung esitzen, ihre nzhl sei i. D jede solhe Seite genu zwei Endpunte ht, gilt = x. i i1 Wenn zwei von der Ee r usgehende Streen r s und r t eide mindestens eine Mrierung hen, dnn nn nh nnhme die Stree s t niht ürzeste Stree im Dreie r s t sein. Sie nn lso us diesem Dreie eine Mrierung erhlten hen. Die Gesmtzhl solher Pre von, für jedes solhe Pr sint die Mximlzhl n Mrierungen für irgendeine Streen ist i i1 Stree um 1. Dmit önnen wir shärfer shätzen, es gilt 4x i 0 mit der Neenedingung = x. i i1 i1 Es leit zu zeigen, dss diese Gleihung für x = 5,, 7 niht erfüllt werden nn. Hierzu verwenden wir die shätzung i i 1: Für x erhlten wir den Widerspruh 0 4x i 4x i 1 i1 = 4x (x ) = x i1 Für x = 7 emeren wir noh, dss = x = 14, d.h. es git ein i 3. Für dieses i gilt dnn die i i1 shätzung i i, dies führt zum Widerspruh 0 4x i 4x i 1 i (14 5) = 19. i1 Der Beweis dfür, dss uh mindestens 8 der Verindungsstreen längste Seite in mindestens einem Dreie sind, erfolgt in völlig nloger Weise, indem mn ds Wort "ürzeste" durh ds Wort "längste" ersetzt. Bemerung: Den Fll x 5 önnen wir uh durh die erste Üerlegung im 4. Beweis usshließen. 8

9 BWM 018 I 4. Beweis: Wir werden nhweisen, dss es oder dss ein Dreie git, in dem jede Seite ürzeste (oder längste) Seite in irgendeinem Dreie ist. Dnn ist in diesem Dreie die längste (die ürzeste) Seite die gesuhte Seite; es 8 Seiten git, die in irgendeinem Dreie die ürzeste Seite sind. Dei werden wir nur Beweismethoden enützen, ei denen "ürzest" und "längst" vertusht werden önnen. Dnn git es uh 8 Seiten, die in irgendeinem Dreie die längste Seite sind. Weil 8 = 1 > 15, git es nh Shufhprinzip wenigstens eine Seite, die sowohl ürzeste Seite in einem Dreie ls uh längste in irgendeinem nderen Dreie ist. Wir wählen die Bezeihnung der Punte so, dss die längste ller Streen ist und die längste der Verindungsstreen unter den von und vershiedenen restlihen Punten. ngelehnt n die neenstehende Sizze, die uf ttsählihe Entfernungen eine Rüsiht nimmt, nennen wir die Streen, und die wgrehten Streen, die nderen sind shräge Streen. Zunähst fären wir lle Streen grün, später werden wir einige Streen, von denen wir wissen, dss sie in irgendeinem Dreie ürzeste Seite sind, rot umfären. Es genügt dnn zu zeigen, dss es ein rotes Dreie git oder dss wir ht Seiten rot einfären önnen. Hierzu etrhten wir die vier Dreiee mit Grundseite. Diese Stree ist die längste ller Streen, nn lso in einem Dreie ürzeste Seite sein. lso ist von den eiden Streen i und i (i =, 3, 4, 5) die ürzere die ürzeste Seite im Dreie i. nlog ist von den eiden Streen j und j (j = 3, 4) die ürzere die ürzeste Seite im Dreie j. Keine der etrhteten Streen ommt in zwei Dreieen vor, lso hen wir is jetzt durh Betrhten von sehs Dreieen unter den zwölf shrägen Streen genu sehs vershiedene gefunden, die in mindestens einem Dreie ürzeste Seite sind. Diese sehs Streen fären wir rot (eispielhft in der Figur, die roten Streen sind di gezeihnet). Es leit dnn noh zu zeigen, dss wir entweder noh zwei weitere grüne Streen uf rot umfären önnen, oder dss es ein rotes Dreie git, d.h. ein Dreie, in dem jede Seite ürzeste Seite wenigstes eines Dreies ist. In diesem Dreie ht die längste Seite die gesuhte Eigenshft. Wir wissen, dss die wgerehten Streen noh grün sind. Weiter wissen wir, dss von den eiden Streen und genu eine grün ist und die ndere rot. Gleihes gilt für die Streenpre und, und, und, und sowie und. O.B.d.. seien und grün (ndernflls vertushen wir die Bezeihnungen von und zw. von und ). Dnn sind und rot; und wenn ist rot ist, dnn sind im Dreie lle drei Seite rot und wir sind fertig. Für die restlihe Untersuhung gehen wir lso dvon us, dss die Stree grün ist und deswegen die Stree rot ist. Diese Sitution ist in neenstehender Figur drgestellt (rote Streen di durhgezogen, grüne Streen di gestrihelt, von den dünn gestrihelten Streen sind genu drei grün). Von gehen vier dünn gestrihelte Streen us, genu zwei dvon sind rot. Die dei möglihen vier Fälle werden in einer Flluntersheidung untersuht: 9

10 BWM 018 I In llen vier Fällen ehte mn, dss uh eine der eiden Seiten und rot ist. (In oiger Sizze sind eide Streen noh dünn gestrihelt.) Fll 1: und sind grün. Dnn sind und rot und in den Dreieen und lle Seiten grün. Wir fären in diesen eiden Dreieen die ürzeste Seite rot. Flls wir dei zwei weitere rote Streen erzeugt hen, sind wir fertig, weil wir ht vershiedene rote Streen nhgewiesen hen Flls niht, hen wir in eiden Dreieen die einzige gemeinsme Stree rot gefärt. Dnn edenen wir, dss uh und rot sind und dmit jede Seite im Dreie rot ist. Fll : und sind grün: D grün ist, ist rot, lso uh ds Dreie. Fll 3: und sind grün: Flls rot ist, ist ds Dreie rot; und flls grün ist, sind die Dreiee und grün. Sie hen eine gemeinsmen Seiten, lso önnen wir in eiden eine weitere Seite rot fären und hen so insgesmt ht rote Seiten. Fll 4: und sind grün: Flls rot ist, ist ds Dreie rot, und flls grün ist, sind die Dreiee und grün; und d sie eine gemeinsmen Seite hen, önnen wir in eiden eine weitere Seite rot fären und hen so insgesmt ht rote Seiten. Shließlih emeren wir noh, dss wir im vorliegenden Beweis üerll die Worte "ürzest" und "längst" vertushen önnen. 5. Beweis (eine Zeihnung möge mn ergänzen): Wir zeihnen zu den sehs Punten nheinnder die Verinungsstreen ein, und zwr in steigender Reihenfolge ihrer Länge, eginnend mit der Längsten. Wir hören uf zu zeihnen, wenn zum ersten Ml ein vollständiges Dreie entstnden ist (diese Sitution wird siher irgedwnn eintreten). Die Endpunte der zuletzt gezeihneten Stree ezeihnen wir mit und, den dritten Punt eines Dreies (evtl. önnen mit Einzeihnen der Stree mehrere Dreiee entstnden sein) mit. Nh Konstrution ist lso ürzeste Seite im Dreie und es git ein weiteres vollständig eingezeihnetes Dreie, ds niht die Stree enthält. Für die weitere Üerlegung untersheiden wir zwei Fälle: Fll 1: Es git einen weiteren Punt, für den zu diesem Zeitpunt weder die Stree noh eingezeihnet ist. Dnn sind diese eiden Streen ürzer ls. lso ist längste Seite im Dreie und ürzeste Seite im Dreie. Fll : Niht Fll 1, d.h. jeder der drei restlihen Punte, und ist zu diesem Zeitpunt mit wenigstens einem der Punte oder verunden. Nh Shufhprinzip ist einer der eiden Punte oder mit wenigstens zweien dieser Punte verunden, o.b.d.. sei mit und verunden. D is zu diesem Zeitpunt nur Dreiee mit Seite vollständig eingezeihnet sind, ist eine Seite des Dreies eingezeihnet, d.h. jede Seite dieses Dreies ist ürzer ls, und. Dmit ist die längste Seite im Dreie gleihzeitig ürzeste Seite im Dreie, ds sie mit der Ee ildet.. Beweis: Wir ezeihnen die Endpunte der htlängsten Stree mit und B, d.h. es sind genu sieen der 15 Verindungsstreen länger ls B, wir nennen sie "lng". Eenso gilt, dss genu sieen Verindungsstreen ürzer sind, diese nennen wir "urz". Ein Dreie, ds us luter urzen oder luter lngen Seiten esteht, heiße urz zw. lng. Die Lge der restlihen vier Punte sie seien mit, D, E und F ezeihnet lssifizieren wir dnh, o ihre Verindungsstreen zu zw. B urz oder lng sind und eshreien dies mit zwei 10

11 BWM 018 I "Koordinten" zw. l. Die Bezeihnung ( l) soll edeuten, dss die Stree urz, die Stree B lng ist. (Dies nn mn uh geometrish eshreien: liegt innerhl der Kugel um mit Rdius B, er ußerhl der Kugel um B mit Rdius B.) Es sei zunähst emert, dss es nur sieen urze und nur sieen lnge Streen git, d.h. dss unter den 1 Koordinten höhstens sieen Ml der Buhste uftreten nn, eenso der Buhste l höhstens sieen Ml. Es önnen lso niht lle vier restlihen Punte Koordinten ( ) hen, eensowenig lle die Koordinten (l l). Fll 1: Es git einen Punt mit den Koordinten ( ) und einen mit den Koordinten (l l), lso ( ) und D(l l). Dnn ist B ürzeste Seite im Dreie BD und gleihzeitig längste Seite im Dreie B. Fll : Es git zwei Punte mit den Koordinten ( l), lso ( l) und D( l). Flls D urz ist, dnn ist ds Dreie D urz und seine längste Seite ildet zusmmen mit dem Punt B ein Dreie, in dem diese Seite die ürzeste Seite ist; und flls D lng ist; dnn ist ds Dreie BD lng und seine ürzeste Seite die längste Seite in dem Dreie, die diese Seite zusmmen mit dem Punt ildet. Fll 3: Es git genu drei Punte mit den Koordinten (l l) und weder Fll 1 noh Fll tritt ein, lso (l l), D(l l), E(l,l) und o.b.d.. F(l ). Dnn ist die Koordinte l ereits sieen Ml vergeen, d.h. die sieen lngen Streen sind genu, D, E, F, B, BD, BE. Insesondere sind die Seiten des Dreies DE lle urz, dmit ist die längste dieser drei Seiten die längste Seite im Dreie DE und gleihzeitig die ürzeste Seite in dem Dreie, ds sie zusmmen mit dem Punt (oder uh B) ildet. Fll 4: Es git genu zwei Punte mit den Koordinten (l l) und weder Fll 1 noh Fll tritt ein, lso (l l), D(l l), o.b.d.. E( l) und F(l ) (flls E(l ) und F( l) vorliegt, vertushen wir im Folgenden die Bezeihnungen E und F). Dnn sind die sehs Streen, D, F, B, BD und BE lng, und d E und BF urz sind, ist genu eine der sehs Verindungsstreen unter den Punten, D, E und F lng und lle nderen urz. Diese Unterfälle untersuhen wir einzeln: Fll 4.1: D ist lng: Dnn ist ds Dreie D und insesondere seine ürzeste Seite lng, und d E, E und DE urz sind, ist die ürzeste Seite im Dreie D längste Seite im Dreie, ds diese Seite mit E ildet. Fll 4.: E ist lng: (der Fll "DF lng" nn nlog ehndelt werden, indem mn die Bezeihnungen mit B, mit D und E mit F vertusht): Dnn ist ds Dreie BE lng und für seine Seiten gilt: BE ist längste Seite im Dreie BE, die Seite E ist längste Seite im Dreie EF und B ist längste Seite im Dreie BF. Die ürzeste dieser drei Seiten ist die gesuhte. Fll 4.3: F ist lng (der Fll DE lng nlog): Dnn ist ds Dreie F lng und längste Seite im Dreie E, F ist längste Seite im Dreie EF und F ist längste Seite im Dreie Dreie EF. Die restlihe rgumenttion erfolgt wie im Fll 4.. Fll 4.4: EF ist lng: Ein Bli uf die Figur estätigt folgende Eigenshft: Jede urze Seite ist Seite eines Dreies mit zwei lngen Seiten, er jede urze Seite ist uh Seite eines urzen Dreies. Nun wählen wir von den urzen Seiten die längste: Sie ist dnn längste Seite in "ihrem" urzen Dreie und ürzeste Seite in dem Dreie, ds sie mit zwei lngen Seiten ildet. Fll 5: lle restlihen Fälle, d.h. es git höhstens einen Punt mit den Koordinten (l l) und niht Fll. Dnn git es mindestens zwei Punte mit Koordinten ( ). Nun vertushen wir die Koordinten und l sowie die Bezeihnungen urz und lng und führen den Beweis wie in den Fällen 1 is 4. E E D E D D B B D D B B B F F F Bemerung: Der Stz gilt für sehs oder mehr Punte im Rum, niht er für fünf Punte oder weniger. 11