Zeichen und Abkürzungen. Weitere Zeichen und Abkürzungen. Relationen zwischen Zahlen bzw. Größen. Zeichen / Abkürzungen für spezielle Mengen

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1 Zeichen und Abkürzungen Zeichen / Abkürzungen für spezielle Mengen N Menge der ntürlichen Zhlen (einschließlich Null) N* Menge der ntürlichen Zhlen usschließlich Null Z Menge der gnzen Zhlen Q Menge der rtionlen Zhlen Q > Menge der rtionlen Zhlen, die größer ls sind Q + Menge der positiven rtionlen Zhlen Q Menge der negtiven rtionlen Zhlen R Menge der reellen Zhlen C Menge der kompleen Zhlen 0/, { } leere Menge G Grundmenge D Definitionsmenge L Lösungsmenge W Wertemenge Schreibweisen bei Mengen A {; ; 5; 7} ufzählende Schreibweise einer Menge B { N < 0} beschreibende Drstellungen { < 0} N einer Menge A ist Element von A 0 B 0 ist nicht Element von B Reltionen zwischen Mengen M N M gleich N (M und N hben dieselben Elemente) M 7 N M ist Teilmenge von N M 8 N M ist Obermenge von N M N M ist nicht Teilmenge von N Verknüpfungen von Mengen M N Vereinigungsmenge von M und N M N Schnittmenge von M und N M \ N Restmenge M ohne N N Komplement von N bezüglich M, flls N 7 M (N M \ N) M N Produktmenge von M und N Logische Zeichen und (Konjunktor) oder (Adjunktor/Disjunktor) wenn so (Subjunktor) genu dnn, wenn (Bijunktor) nicht (Negtor) us folgt (Folgerungspfeil) äquivlent zu (Äquivlenzpfeil, Äquivlentor) äquivlent (bezüglich D) zu (D) / nicht äquivlent zu Reltionen zwischen Zhlen bzw. Größen b b < b > b b ^ b < b b gleich b ungleich b kleiner ls b größer ls b kleiner oder gleich b größer oder gleich b ungefähr gleich b entspricht b Weitere Zeichen und Abkürzungen Betrg von b c d zweireihige Determinnte b c b c dreireihige Determinnte b c : oder wv dividiert durch e,7888 Euler sche Zhl e (Bsis der ntürlichen Logrithmen) f : f (), D Funktion f () Funktionsgleichung f () Funktionsterm f () Funktionsvorschrift f () Funktionswert n der Stelle 67 0 Grd Minuten (Altgrd) HN Huptnenner i imginäre Einheit [; b] bgeschlossenes Intervll von bis b ( und b eingeschlossen) ] ; b [ offenes Intervll von bis b ( und b usgeschlossen) log b () Logrithmus von zur Bsis b lg dekdischer Logrithmus (Bsis 0) ln ntürlicher Logrithmus (Bsis e) oder wu ml minus ( ) geordnetes Zhlenpr; Punkt mit der Abszisse und der Ordinte, proportionl π,596 Pi (Kreiszhl) + plus b Potenz mit der Bsis und dem Eponenten AB b Strecke TR Tschenrechner ( ) geordnetes Zhlentripel f u Umkehrfunktion zu f R u Umkehrreltion zu R unendlich minus unendlich : b Verhältnis zu b EF Qudrtwurzel us n EF n-te Wurzel us z die zu z konjugiert komplee Zhl

2 . Multipliktion und Division Die Multipliktion ist wie die Addition und die Subtrktion eine innere Verknüpfung in Q. Für die Multipliktion gelten die folgenden Gesetze:. b b für lle, b Q (Kommuttivgesetz der Multipliktion). ( b) c (b c) für lle, b, c Q (Assozitivgesetz der Multipliktion) Vernschulichung des Assozitivgesetzes der Multipliktion für, b, c Q + : Ds Volumen eines Quders lässt sich wie folgt berechnen: V Grundfläche Höhe. Dbei knn jede Fläche ls Grundfläche gewählt werden. V ( b) c (b c) Abb.. Höhe Grundfläche Höhe Grundfläche Für die Multipliktion gelten ebenflls ds llgemeine Assozitiv- und ds llgemeine Kommuttivgesetz: Bei der Multipliktion dürfen Klmmern weggelssen Merkstzwerden. Bei der Multipliktion drf die Reihenfolge der Fktoren vertuscht werden. Für die Multipliktion gelten die folgenden Rechenregeln:. Ds Produkt zweier positiver Zhlen ist positiv.. Ds Produkt einer negtiven und einer positiven Zhl ist negtiv.. Ds Produkt zweier negtiver Zhlen ist positiv.. ; ( ) 5. ( b) ( b); ( ) b ( b); ( ) ( b) b Die Division lässt sich in der folgenden Weise uf die Multipliktion zurückführen (b 0): : b b b ist die Gegenzhl (ds inverse Element) zu b bezüglich der Multipliktion. Sttt Gegenzhl zu b bezüglich der Multipliktion sgt mn uch, b ist der Kehrwert von b. Z.B. ist der Kehrwert von. Für ds Bilden von Kehrwerten gelten die folgenden Regeln:. > 0 > 0 (in Worten: der Kehrwert einer positiven Zhl ist positiv) Abb..

3 Beispiel: > 0 > 0. < 0 < 0 Abb... > b > 0 < b Abb..5. < b < 0 > b Abb > 0 > b > b Abb..7 Beispiel: < 0 < 0 Beispiel: > > 0 < Beispiel: 5 < < 0 > 5 Beispiel: > 0 > > Die Division ist die Umkehropertion zur Mulitpliktion: ( b) : b für lle ℚ und lle b ℚ\ {0}. Bechten Sie, dss für die Division weder ds Kommuttivgesetz noch ds Assozitivgesetz gilt. Beispiele : 6 ; ber 6 : 0,5. ( : ) : :,5; ber : ( : ) : 6. Außer den erwähnten Regeln für die Addition und die Multipliktion gelten noch die beiden sog. Verteilungs- oder Distributivgesetze : (b + c) b + c und ( + b) c c + b c für lle, b, c ℚ. Vernschulichung des ersten Distributivgesetzes für, b, c ℚ+ : Der Flächeninhlt des Rechtecks mit den Seitenlängen und (b + c) beträgt (b + c). Dieser Flächen inhlt ergibt sich uch, wenn mn die Flächeninhlte der beiden Rechtecke (mit den Seitenlängen und b bzw. und c) ddiert: b + c. Abb..8 Bei der Anwendung der beiden Distributivgesetze von links nch rechts spricht mn uch von Ausmultiplizieren, bei der Anwendung von rechts nch links von Ausklmmern. Beispiele (b + c) b + c ( + ) (Ausmultiplizieren) (Ausklmmern) Aus den Distributivgesetzen (und nderen bereits gennnten Rechenregeln) ergeben sich weitere Regeln für ds Rechnen mit Klmmern :. (b c) b c Herleitung: (b c) [b + ( c)] b + ( c) b + [ ( c)] b c Algebr_technische_Berufe.indb :8:59

4 6 Funktionen 6. Funktionen und Reltionen Bei einem Testfhrzeug wurde gemessen, wie hoch der Benzinverbruch uf jeweils 00 km für verschiedene Geschwindigkeiten ist. Die Ergebnisse sind in einer Tbelle festgehlten. Wertetbelle: Geschwindigkeit in km/h Verbruch in l/00 km 5,9 5, 5,7 6, 7, 8,0 8,9 0,,,8 Lesen Sie: Bei einer gleich bleibenden Geschwindigkeit von 0 km/h ht ds Testfhrzeug 5,9 l uf 00 km verbrucht. Die Abhängigkeit zwischen Geschwindigkeit und Verbruch des Fhrzeugs knn in einer grphischen Drstellung vernschulicht werden. Abb. 6. Schubild: In wgerechter Richtung trgen wir die Geschwindigkeiten ein, senkrecht dzu den Verbruch. Für jede der in der Tbelle ngegebenen Messungen zeichnen wir einen Punkt. Die Punkte dürfen wir nicht einfch gerdlinig verbinden; denn den Messungen ist nicht zu entnehmen, wie sich der Verbruch zwischen den ngegebenen Geschwindigkeiten ändert. Wir können es bestenflls vermuten. Ttsächlich ergibt sich bei zhlreichen Einzelmessungen ungefähr die eingezeichnete Kurve, lso keine gerdlinige Verbindung zwischen den Punkten. Solche Abhängigkeiten zwischen zwei Größen nennt mn in der Mthemtik Funktionen. Erhält mn den funktionlen Zusmmenhng ufgrund von Untersuchungen oder Messreihen, spricht mn von empirischen Funktionen (Erfhrungsfunktionen). Funktionen lssen sich in nhezu llen Lebensbereichen feststellen, dher ist ihre genue Untersuchung sehr wichtig. Um Funktionen llgemein beschreiben oder drstellen zu können, bezeichnet mn eine der beiden Größen gewöhnlich mit, die ndere mit. Für die grphische Drstellung wird in der Mthemtik meistens ds krtesische Koordintensstem gewählt: Auf zwei sich rechtwinklig schneidenden Gerden (Achsen) trägt mn in wgerechter Richtung die -Werte, in dzu senkrechter Richtung die -Werte b. Die wgerechte Achse bezeichnet mn dher meist ls -Achse (oder: Abszissenchse ), die dzu senkrechte Achse ls -Achse (oder: Ordintenchse ), beide zusmmen ls Koordintenchsen. (Mnchml spricht mn uch von der. Achse und der. Achse.) Der Achsenschnittpunkt erhält die Bezeichnung Ursprung des Koordintensstems. In dem Koordintensstem wird jedem Zhlenpr ( ) (wichtig: zuerst, dnn!) eindeutig ein Punkt der Zeichenebene zugeordnet. 98

5 Beispiel Für und finden wir den entsprechenden Punkt P ( ), indem wir vom Ursprung us zuerst Einheiten in (positiver) -Richtung, dnn Einheiten in (positiver) Richtung gehen. Die Zhl wird die -Koordinte (oder: Abszisse), die Zhl die Koordinte (oder: Ordinte) des Punktes P gennnt. Abb. 6. Bemerkungen:. Beim krtesischen Koordintensstem werden die Zhlen uf beiden Achsen vom Ursprung us in gleichen Abständen bgetrgen. Für besondere Zwecke verwendet mn uch ndere Einteilungen, z. B. uf einer Achse eine sog. logrithmische Einteilung wie beim hlb logrithmischen Ppier (vgl. Abschnitt.).. Bei Anwendungen hben wir es mit unterschiedlichen Größen zu tun, deren Mßzhlen wir in möglichst sinnvoller Weise uf den jeweiligen Achsen btrgen. In unserem eingngs beschriebenen Beispiel etw sind uf der. Achse Geschwindigkeiten, uf der. Achse Verbruchswerte bgetrgen. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit ist dbei ein Ausschnitt des Koordintensstems gewählt worden, in dem der Ursprung gr nicht enthlten ist.. Ein Koordintensstem wird uch ls Bezugsknten bei der Bemßung in Zeichnungen oder der Festlegung von Hdrnten verwendet. In nderen technischen Bereichen werden uch ndere Koordinten benutzt, z. B. Polrkoordinten in der Luft- und Schifffhrt. Durch ein krtesisches Koordintensstem wird die Ebene in sog. Qudrnten eingeteilt, die mn, von rechts oben nfngend, entgegen dem Uhrzeigersinn (im mthemtisch positiven Sinne) beziffert. Eine funktionle Abhängigkeit knn durch einzelne (Mess-)Werte oder uch durch eine für lle geltende Vorschrift gegeben sein. Beispiel Jeder Zhl wird ihre Hälfte zugeordnet ( 0,5, gesprochen: wird zugeordnet 0,5, kürzer: Pfeil 0,5 ); oder: ist die Hälfte von ( 0,5 ). Abb. 6. Zunächst trgen wir einige (einfche) Zhlen für und ihre Funktionswerte in eine Werte tbelle ein. Zu den erhltenen Zhlenpren zeichnen wir dnn die entsprechenden Punkte in ein Koordintensstem. Wertetbelle: 0 0 0,5,5 0,5,5 Algebr_technische_Berufe.indb 99 Koordintensstem (Schubild): Zhlenpr ( ) (0 0) ( 0,5) ( ) (,5) ( ) ( 0,5) ( ) (,5) ( ) Abb :9:57

6 6. Linere Funktionen ( m ) m Rundsthl mit einem Durchmesser von 8 mm ht eine Msse von etw kg. Die Msse des Rundsthls soll ls Funktion der Länge drgestellt werden. Wir stellen zuerst eine Wertetbelle uf: Länge in m Msse in kg Die entsprechenden Zhlenpre werden ls Punkte in ein Koordintensstem eingetrgen (uf der -Achse die Längenmße, uf der -Achse die Mssenmße). Alle Punkte liegen uf einer Gerden. Ds Verhältnis von Msse zu Länge ist immer gleich: kg kg 6 kg kg, m m m m d. h. die Msse ist proportionl zur Länge. Die Mßzhl der Msse ist dbei jeweils ds Doppelte Abb. 6. der Mßzhl der zugehörigen Länge. Dher können wir die Punkte gerdlinig verbinden. An dem gezeichneten Grphen können wir jetzt z. B. direkt blesen (vgl. Abb. 6.): Ein Stb von,5 m Länge besitzt eine Msse von 7 kg. Oder: Ein Stb mit der Msse kg ht eine Länge von 6,5 m. Isteine m ; Größe proportionl zu einer zweiten Größe, so gilt: kg m heißt uch Proportionlitätsfktor im obigen Beispiel ist m. m Wir können schreiben: m Beispiel Funktionsgleichung einer Gerden, die durch den Ursprung verläuft (Ursprungsgerde). Zeichnen Sie den Grphen der Gerden mit der Funktionsgleichung,. Zuerst stellen wir eine Wertetbelle uf, etw in der folgenden Weise: 0 0,,,6,8,,,6,8, stellen, wiederum, 6 Wir fest:, ; lso ist proportionl zu mit dem Proportionlitätsfktor,. Alle Punkte ( ) des zugehörigen Grphen liegen uf einer Gerden durch den Ursprung. Dher würde es genügen, in der Wertetbelle nur zwei Punkte zu bestimmen; denn durch zwei verschiedene Punkte ist eine Gerde bereits eindeutig festgelegt. Der Einfchheit hlber wählen wir die Punkte mit den -Koordinten 0 bzw. (siehe Ksten in der Wertetbelle). (Zum suberen Zeichnen einer Gerden ist es llerdings günstiger, zwei ihrer Punkte zu verbinden, die nicht so nhe beieinnder liegen.) 06 Algebr_technische_Berufe.indb :0:0

7 Den Quotienten bezeichnet mn ls die Steigung m der Gerden. Die Gerde mit der Gleichung, ht lso die Steigung,. Hinweis: tn ( ) An der Stelle ist der Funktionswert gleich der Steigung:,,. Somit hben wir ußer dem Ursprung (0 0) schnell einen zweiten Punkt P (,) gefunden. Ds rot eingezeichnete Dreieck nennt mn uch Steigungsdreieck. Es knn in jeden nderen Punkt der Gerden verschoben werden es gibt immer die Steigung der Gerden n. Abb. 6. Merkstz Der Grph einer Funktion mit der Funktionsgleichung m ist eine Gerde durch den Ursprung mit der Steigung m. Die Gerde zu m können wir schnell zeichnen, indem wir vom Ursprung us ds Steigungsdreieck ntrgen: um in -Richtung, um m in -Richtung. Die Gerde verläuft dnn durch die beiden Punkte (0 0) und ( m). Für die Koordinten eines beliebigen Punktes ( ) m m (proder Gerden gilt: portionle Zuordnung). Abb. 6. Wir erhlten insgesmt: Alle Gerden mit einer Gleichung der Form m bilden ein Gerdenbüschel mit dem Ursprung ls Schnittpunkt. Je größer die Steigung ist (m > 0 wchsend), um so steiler verläuft die Gerde nch (rechts) oben. Für m 0 ( 0) erhält mn die -Achse. Je kleiner die Steigung ist (m < 0 fllend), um so steiler verläuft die Gerde nch (rechts) unten. Abb. 6. m > 0: Gerde steigt (von links unten nch rechts oben). m 0: Gerde ist die -Achse. m < 0: Gerde fällt (von links oben nch rechts unten). Algebr_technische_Berufe.indb :0:0