Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 8 G8. 1.

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1 Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 905 Eckental Die direkte Propotionalität: Zwei Größen und y heißen direkt proportional, wenn gilt: a) Dem n-fachen der einen Größe wird das n-fache der anderen Größe zugeordnet. b) Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. c) Der Quotient aus zwei zusammengehörigen Maßzahlen ist konstant (Quotientengleichheit). y k, bzw. y k Grundwissen Jahrgangsstufe: 8 G8. Proportionalität 0,7 l einer Flüssigkeit wiegen 560 g. Wie viel wiegen 0,75 l? (600 g) Ergänze die Wertetabelle so, dass sie zu einer direkten Proportionalität gehört und bestimme den Proportionalitätsfaktor k! - - y f(), 0-6,6 Die indirekte Proportionalität: Zwei Größen und y heißen indirekt proportional, wenn gilt: a) Dem n-fachen der einen Größe entspricht der n-te Teil der anderen Größe. b) Der Graph ist eine Hyperbel. c) Das Produkt aus zwei zusammengehörenden Maßzahlen ist konstant (Produktgleichheit). c y c, bzw. y Vervollständige die Tabellen so, dass sie jeweils zu einer indirekten Proportionalität gehören, finde eine anschauliche Bedeutung! Menge je Becher (ml) Anzahl der Becher Wassermenge pro s (in l) 0,5 0, 0, Zeitdauer (in min) Für Eperten: In einer Fabrik soll ein 36,75 m hoher Schornstein gemauert werden. Arbeiter mauern in 0 Stunden eine Höhe von 3,50 m. Wie viele Maurer werden benötigt, um den Kamin in 60 h fertig zu stellen? (7)

2 Funktionsbegriff: Der Zusammenhang zwischen zwei Größen und y lässt sich durch eine Zuordnung a y beschreiben. Wird jedem dabei genau ein y zugeordnet, nennt man die Zuordnung Funktion. Definitionsmenge D f : Menge, aus der die Werte von gewählt werden dürfen.. Funktionen Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) + ; D f Q Ergänze die Wertetabelle, zeichne den Graphen G f und gib die Wertemenge an! ,5 0 0,5 3 y f() Wertemenge W f : Menge der Werte, die sich durch Einsetzen der -Werte in die Funktion ergeben. Nullstelle: -Wert, für den gilt: f() 0 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: mit der -Achse: ( 0 /0) vgl. Nullstelle mit der y-achse: (0/y 0 ) W f [ ; [ Ein Kreis mit dem Radius r hat den Umfang U rπ den Flächeninhalt A r π 3. Umfang und Flächeninhalt des Kreises Wie viel Prozent des Flächeninhalts des großen Quadrates nimmt die gefärbte Fläche ein? Berechne die Umfangslänge der gefärbten Fläche! dabei ist π 3, die Kreiszahl 8 cm cm

3 . Lineare Funktionen Eine Funktion f : a m + t mit D f Q heißt lineare Funktion. Der Graph G f ist eine Gerade, m ist die Steigung, t ist der y Achsenabschnitt. Geradengleichung: y m + t y y es gilt: m je größer m ist, desto steiler ist die Gerade m > 0, die Gerade steigt m < 0, die Gerade fällt m 0, die Gerade ist parallel zur y Achse Geraden mit gleicher Steigung m sind parallel. Zur Ergänzung: falls m m, dann gilt: Die Geradeng und g sind senkrecht zueinander. Ein Punkt P ( P /y P ) liegt auf einer Geraden, falls f( P ) y P oberhalb, falls f( P ) < y P unterhalb, falls f( P ) > y P Schnittpunkte mit den Achsen: Mit -Achse: Setze y 0, d.h. 0 m + t Löse die Gleichung nach t auf S ( 0 /0) Mit y-achse: Setze 0, d.h. y m 0 + t S (0/t) Aufstellen einer Geradengleichung durch einen oder zwei Punkte: Bestimmung von m oder t, gegebenen Punkt in Gleichung einsetzen und nach fehlendem Parameter auflösen. Zeichne in ein Koordinatensystem die Geraden g, h und k ein. g: y 0,,5 h: y 3 k: y - + Bestimme m und t für g, h und k. g: m 0, t -,5 h: m 3 t - k: m - t Liegt C(- /- ) auf h? ja, denn 3 (- ) - - y C Liegt D ( 5 / 0,3) auf g? nein, denn 0, 5,5 0,5 > y D d.h. D liegt unterhalb von g Bestimme grafisch und rechnerisch die Schnittpunkte von g und k mit der - bzw. y-achse. g: S (,5/0) S (0/-,5) k: S (/0) S (0/ ) Bestimme die Gleichung der Geraden p, die parallel zu h und durch den Punkt F (/-5) verläuft! m 3; t t -8 y 3 8 Erstelle die Gleichung der Geraden A durch A(/), B(-3/) y y m ; ( ) + t t ( 3) y + 7 7

4 Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden: Geraden gleichsetzen, Gleichung nach auflösen, dann y bestimmen. l: y - + ; p: y 3 8 Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden l und p ,5; y - 0,5 S (,5/ - 0,5) 5. Lineare Gleichungssysteme Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen I. 3 + y 0 graphische und rechnerische Lösung II. y + 0 Graphisch : Beide Gleichungen nach y auflösen, Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen Graphisches Lösen. I. y -,5 + 0,5 II. y + S (-0,6/,) Rechnerisch: Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, einsetzen in die andere Gleichung, lösen der so erhaltenen Gleichung Additionsverfahren: Beide Gleichungen addieren, eine Variable sollte dabei wegfallen, sonst mit geeignetem Faktor zunächst multiplizieren. Anzahl der Lösungen: Genau eine Lösung die Geraden schneiden sich Keine Lösung die Geraden sind echt parallel Unendliche viele Lösungen die Geraden sind identisch, die Gleichungen unterscheiden sich nur durch einen Faktor Lösen mit dem Einsetzverfahren: I. y -,5 + 0,5 in II. II. (-,5 + 0,5) + 0,5 -,5-0,6 in I. y 0,9 + 0,5, IL {(-0,6/,)} Lösen mit dem Additionsverfahren: I. 3 + y 0 II. - y + 0 I. + II ,6 in I. -,8 +y - 0 y, IL {(-0,6/,)}

5 Anwendungsaufgaben Variablen festlegen Gleichungen aufstellen Gleichungen lösen Antwort Stefan hat 3000 zu einem Teil auf einem Sparkonto mit % Zinsen und den Rest auf einem Sparbuch mit 3,5% Zinsen angelegt. Am Ende des Jahres bekommt er insgesamt 78 Zinsen. Wie hat er sein Geld aufgeteilt? : Betrag Sparkonto y: Betrag Sparbuch I. + y 3000 II. 0,0 + 0,035y ; y 00 Er hat 800 auf dem Sparkonto und 00 auf dem Sparbuch angelegt. 6. Laplace-Wahrscheinlichkeiten Ein Eperiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, nennt man Bsp.: Zweimaliges Werfen eines Würfels Zufallseperiment. Den Ausgang des Eperiments nennt man Ergebnis. Ergebnismenge Ω : Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallseperiments. (man spricht auch vom Ergebnisraum Ω ) Mächtigkeit einer Menge (z.b. Ω ; A ): Anzahl der enthaltenen Elemente. a) Notieren der Augen: Ω a { (;); (;); (;3).; (6;6)} Ω 36 b) Notieren der Augensumme: Ω b { ; 3; ;.;}; Ω Ereignis A: Kein, ein oder mehrere Ergebnisse werden zu einem Ereignis A zusammengefasst. Besteht das Ereignis nur aus einem einzigen Ergebnis, so nennt man dies Elementarereignis. Gegenereignis A : Alle für ein Ereignis A ungünstige Ergebnisse. Das Gegenereignis A tritt ein, wenn A nicht eintritt. Es gilt: A + A Ω A: Gerade Augensumme A {; ; 6;..; } ; A 6 A : Ungerade Augensumme A {3; 5; 7;..; }; A 5

6 Sicheres Ereignis: Ein Ereignis, für das alle Ergebnisse des Zufallseperiments günstig sind. Es gilt: A Ω Unmögliches Ereignis: Ein Ereignis, das bei diesem Zufallseperiment nicht eintreten kann. A Es gilt: { } B: Augensumme kleiner als 3 B {; 3; ; ; } Ω C: Augensumme zweistellige Quadratzahl C { } Wahrscheinlichkeit: (vgl. 6. Klasse) Jedem Ereignis A wird eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen null und eins zugeordnet. Laplace-Eperiment: Ein Zufallseperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Hat ein Laplace-Eperiment n Ergebnisse, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis jeweils n. Bsp.: Werfen eines Würfels Ω {; ; 3; ; 5, 6}; Ω 6 P({}) 6 P({}) P({3}) P({}) P({5}) P({6}) Laplace-Wahrscheinlichkeit: Für Laplace-Eperimente gilt: Anzahl der für A günstigen Ergebnisse P( A) Anzahl der möglichen Ergebnisse A Ω A: Quadratzahl A {; } ; A P ( A) A Ω 6 3 Ist P (A) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A, so gilt für die des Gegenereignisses A : P( A) P( A) außerdem: P ( Ω) und P ({}) 0 Zählprinzip: Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m, m, m k verschiedenen Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt m m m k Möglichkeiten. Sandra hat für eine Party Hosen, 3 T-Shirts und Paar Schuhe zur Auswahl, wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat sie? 3, die Wahrscheinlichkeit, dass sie zufällig ein bestimmtes Outfit auswählt ist. Weitere Aufgaben:

7 Zur besseren Veranschaulichung und zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Eperimenten (z.b. zweimaliges Werfen) dient das Baumdiagramm. K K Z Z Z K ) Eine Münze wird zweimal geworfen. a) Gib den Ergebnisraum des Eperimentes an! b) Gib die Ergebnisse der folgenden Ereignisse als Menge an! E : Genau einmal Zahl E E : Zweimal Wappen E c) Gib jeweils das Gegenereignis in Worten an: E 3 : Keinmal Zahl E : Höchstens einmal Zahl E 5 : kein Wappen d) Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse E.E 5 aus den Aufgaben b und c ) Aus einer Urne mit roten, 3 grünen und einer blauen Kugel werden nacheinander drei Kugeln gezogen. Zeichne hierfür ein Baumdiagramm. 3) Bei welchem Eperiment handelt es sich um ein Laplace- Eperiment? Ziehen eines Gummibärchens aus einer Tüte mit verschiedenfarbigen Gummibärchen Werfen eines Würfels unter Beachtung ob die Zahl gerade oder ungerade ist Werfen zweier Würfel und Bestimmung der Summe der beiden geworfenen Augenzahlen ) Welches Ereignis ist wahrscheinlicher? Mit einem Würfel eine 6 zu werfen oder mit zwei Würfeln einen Pasch zu werfen.

8 7. Rechnen mit Bruchtermen Rechnen mit Bruchtermen Erweitern Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchsterms mit der gleichen Zahl bzw. mit dem gleichen Term multipliziert ( ) ; der linke Bruchterm wurde mit erweitert. Kürzen Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner eines Bruchterms durch die gleiche Zahl bzw. durch den gleichen Term dividiert. ( ) ; der linke Bruchterm wurde mit gekürzt. Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält Ungleichnamige Bruchterme müssen vor dem Addieren (Subtrahieren) auf den gleichen Nenner gebracht werden (meist durch Erweitern). Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man das Produkt ihrer Zähler durch das Produkt ihrer Nenner dividiert. Ein Bruchterm wird durch einen zweiten Bruchterm dividiert, indem man den ersten Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten multipliziert y y y y y ( 3) ( ) ( 3) 3 3 (ans Kürzen denken!!) ( ) ( + ) ( ) + + : +

9 Bruchgleichungen: Rechnerische Lösung:. Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Faktorisiere alle Nenner so weit wie möglich und kürze gegebenenfalls 3. Multipliziere die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner. Kürze so weit wie möglich (jetzt dürfen keine Brüche mehr auftauchen!!) 5. Löse diese neue Gleichung wie gewohnt 6. Bestimme die Lösungsmenge (gleiche mit der Definitionsmenge ab) 3 3 ID Q \{ } 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 IL { 6} ; ( ) Löse die Gleichung nach g auf! + bfg multipliziere mit dem Hauptnenner g b f bf + fg bg -fg sortieren und ausklammern bf g( b f ) : (b f) bf bf g ; g b f b f

10 8. Gebrochen-rationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen 3 z.b. Eine Funktion, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man f : a ; gebrochen rationale Funktion. Definitionslücken Alle Zahlen, für die der Nenner null wird, können nicht zur Definitionsmenge der Funktion gehören, man spricht von Definitionslücken. + k g: k a k + Bei g : gilt: somit ist Q ist eine Definitionslücke von g.. D \ { } Zur Ergänzung: Asymptoten Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig genau annähert, nennt man eine Asymptote des Funktionsgraphen. Senkrechte Asymptote: Gerade durch die Definitionslücke Waagrechte Asymptote: Der Graph nähert sich der Gerade y a Nullstellen Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion entsprechen den Nullstellen des Zählers. Wichtige Funktionen und ihre Graphen. f ( ), 0, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. f ( ),. 0, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. Die Gerade ist senkrechte Asymptote. + + y ist gleichbedeutend mit 0 y bzw. y + Für betragsmäßig große nähern sich die y-werte der Zahl. y ist somit waagrechte Asymptote. Die Nullstelle der Funktion liegt bei -. (Nullstelle des Zählers!) Graph der Funktion + : g : 3. f ( ) +, 0, G f entspricht dem. um nach oben verschoben.. f ( ), 3, G f entspricht dem. um 3 nach rechts verschoben. 3

11 9. Strahlensätze, Zentrische Streckung, Ähnlichkeit Strahlensätze (Berechnungen an V- und X-Figur) Werden zwei sich in Z schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so gilt:. Es verhalten sich je Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden. Berechne alle fehlenden Strecken! d 9 3 Z c a b a b c b d ; d a + b c + d 6 z y v. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die von Z aus gemessenen Abschnitte auf der einen Geraden. d Tipp: Gesuchte Strecke als Zähler! Z c a b y a a + b ; y y c + d c y 3 8 ; y,5 6 9 ;,5 8,5 v 9 ; v 3,5 z ; 9 7, z Zentrische Streckung: Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur maßstäblich verkleinert bzw. vergrößert. Man benötigt dazu ein Streckungszentrum Z und einen Streckungsfaktor k (k 0). Für einen Bildpunkt P zu einem Punkt P (P Z) gilt:. P liegt auf der von Z ausgehenden Halbgeraden durch P. ZP k ZP

12 Folgerungen bei der Zentrischen Streckung: Strecke und Bildstrecke sind zueinander parallel A B AB z.b.: [ ] [ ] Jede Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Originalstrecke z.b.: A B AB Entsprechende Winkel sind gleich groß, z.b.: α α Die Bildfigur hat den k -fachen Flächeninhalt der Originalfigur, z.b. A A A B C D ABCD Ähnlichkeit: Geht eine Figur F mittels einer zentrischen Streckung aus einer Figur G hervor, so nennt man beide zueinander ähnliche Figuren (F ~ G). Für ähnliche Figuren F und G gilt: Entsprechende Strecken haben das gleiche Längenverhältnis, a : a b : b c : c... k Entsprechende Winkel sind gleich groß. α α; β β; γ γ;... Sind die Seitenlängen der Figur G k-mal so lang wie die von F, so ist der Flächeninhalt von G k -mal so groß wie der von F. A G k A F Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Dreiecke sind bereits dann ähnlich, - wenn sie in zwei (und damit in allen drei) Winkeln übereinstimmen (WW-Satz) - oder wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S:S:S-Satz)

13 0. Potenzen mit ganzzahligen Eponenten Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für Produkte aus lauter gleichen Faktoren: n Definition: a a a... 3 a a n Faktoren a ist die Basis, n der Eponent Z.B.: Für a Q \ {0}; n IN gilt: a a ; 0 n a ; a n a Beachte: Klammern werden zuerst ausgerechnet. Innerhalb von Klammern oder, wenn Klammern fehlen, gilt: Potenzrechnung vor Punktrechnung; Punktrechnung vor Strichrechnung. Potenzgesetze: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Eponenten addiert (subtrahiert) p q p+ q ; p q p q : Zur Ergänzung: Potenzen mit gleichen Eponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen multipliziert (dividiert) und die Eponenten beibehält. Bsp.: ( b) 3 ( b) ( b) ( b) 7 7 ; ; ( 8c ) 8c ; ( 8 ) 5 c ; ( 3 ) ( 5 ) a aber: ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) n 0 7 a 5 9 n + n + n 5 ( a) ( ) ( a) ( a) n : z 6 : z z + n n + n ( n) 3+ 3n ( a) : ( a) ( a) ( a) z 9 ( 3a) a ( y) q q y q ; p p p : y mit, y Q \ {0}; p,q Z y 3 3 ( ) : 9 : 3 ( 9 : 3) 3 3 y : z y z Eine Potenz wird potenziert, indem man die Eponenten multipliziert und die Basis beibehält. p q pq ( ) Q \ {0}; p,q Z ( a ) a

14 Gleitkommadarstellung von großen und sehr kleinen Zahlen ,5 8600, 0 3, , , 0, 0 ( Sekunden seit dem Urknall),00 0, ,0 0 ( ursprüngliche Anzahl von Protonen in der Sonne) 57