Definition 5.1. Unter einer Partition oder Zerlegung Z des Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge von Punkten x 0, x 1,..., x n mit.

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1 5 Integrtion Unser nächstes Ziel besteht drin, einer krummlinig begrenzten Fläche eine Flächenmßzhl zuzuordnen. Dbei wollen wir uns der Einfchheit hlber uf solche Flächen zunächst einschränken, die durch die x-achse, zwei zur y-achse prllele Gerden durch die Punkte (, 0) und (b, 0) mit < b und den Grphen einer beschränkten, uf dem Intervll [, b] definierten, dort nichtnegtiven Funktion f eingeschlossen werden. Ist dnn I b(f) die Flächenmßzhl einer solchen Fläche (oder Ib eine Inhltsfunktion), so ist es sinnvoll, die folgenden Forderungen zu stellen: ) I(f) c = I(f) b + Ib c (f) für < b < c. b) Aus f(x) y 0 t für x b folgt I b (f) y 0(b ) t(b ). Wir werden die zu betrchtende Fläche durch Rechtecke usschöpfen bzw. einschließen und die Flächenmßzhl (unter gewissen Vorussetzungen n f) ls Grenzwert dieser Ausschöpfungen bzw. Einschließungen definieren. Um dies präziser fssen zu können, benötigen wir einige Begriffe, die wir im Folgenden zusmmenstellen. Zunächst wenden wir uns dbei dem sog. Drboux -Integrl zu Ober- und Unter-Integrl Definition 5.. Unter einer Prtition oder Zerlegung Z des Intervlls [, b] verstehen wir eine endliche Menge von Punkten x 0, x,..., x n mit = x 0 < x <... < x n < x n = b. Zu beschränktem f : [, b] R definieren wir für k n die Größen und m k := M k := inf f(x) x k x x k sup x k x x k f(x) bzgl. der Zerlegung Z. Dmit bilden wir die Untersumme und die Obersumme vgl. S. 5 U(f, Z) := O(f, Z) := m k (x k x k ) M k (x k x k ).

2 50 Definition 5.. Die Prtition Z heißt eine Verfeinerung der Prtition Z (von [, b]), wenn Z Z gilt. Sind Z und Z zwei Prtitionen, so heißt Z = Z Z ihre gemeinsme Verfeinerung. Hilfsstz 5.3. Seien f B[, b] = B([, b], R) und Z eine Verfeinerung der Zerlegung Z. Dnn gilt: ) U(f, Z ) U(f, Z), O(f, Z ) O(f, Z), lso b) O(f, Z ) U(f, Z ) O(f, Z) U(f, Z). c) Sind Z und Z zwei (beliebige) Zerlegungen, so gilt U(f, Z ) O(f, Z ). Beweis: Zu ): Angenommen, Z enthlte genu einen Punkt x mehr ls Z = {x 0, x,..., x n }, und zwr sei x j < x < x j. Setzen wir und w := w := so erhlten wir wegen w m j und w m j : inf f(x) x j x x inf f(x), x x x j U(f, Z ) U(f, Z) = w (x x j ) + w (x j x ) m j (x j x j ) = (w m j )(x x j ) + (w m j )(x j x ) 0. Enthält Z jedoch p > Punkte mehr ls Z, so wiederhole mn diesen Gednkengng p-ml. Der Beweis für die Obersummen verläuft nlog. b): folgt direkt us ). c): Ist Z die gemeinsme Verfeinerung von Z und Z, so folgt us ): U(f, Z ) U(f, Z) O(f, Z) O(f, Z ). Definition 5.4. Für f B[, b] nennen wir ds untere und b f(x)dx := sup Z f(x)dx := inf Z ds obere Drboux-Integrl von f uf [, b]. U(f, Z) O(f, Z)

3 5 f B[, b] heißt D-integrierbr (Drboux-integrierbr) uf [, b], wenn ds untere und ds obere Drboux-Integrl von f übereinstimmen. Wir schreiben für den gemeinsmen Wert: D- f(x)dx. Jen Gston Drboux wurde m in Nimes geboren. Er studierte b 86 n der Ecole Normle, promovierte dort 866 und kehrte nch einigen Jhren der Lehrtätigkeit n Schulen 87 n die Ecole Normle zurück. 88 wurde er dort ls Professor für höhere Geometrie Nchfolger von M. Chsles. Die Huptleistungen von Drboux liegen uf dem Gebiet der Differentilgeometrie. Er lieferte ber uch wichtige Beiträge zur Integrtion prtieller Diffferentilgleichungen und zur Theorie reeller Funktionen mit dem Drbouxschen Integrl. Drboux verstrb m in Pris. Stz 5.5. Für jedes f B[, b] gilt: ) f(x)dx b f(x)dx. b) f ist genu dnn D-integrierbr uf [, b], wenn es zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z mit O(f, Z) U(f, Z) < ε gibt. Beweis: Zu ): Aus Hilfsstz 5.3 c) folgt zunächst bei fester Zerlegung Z sup U(f, Z) = f(x)dx O(f, Z ). Z Nch nschließender Infimumbildung über lle Z folgt f(x)dx inf O(f, Z ) = b f(x)dx. Z Zu b): > : Sei f Drboux-integrierbr mit J := existieren gemäß Definition 5.4 Zerlegungen Z und Z mit b f(x)dx = J ε < U(f, Z ) und O(f, Z ) < J + ε. f(x)dx. Zu ε > 0

4 5 Ist Z = Z Z, so liefert Hilfsstz 5.3 ): O(f, Z) O(f, Z ) < J + ε < U(f, Z ) + ε U(f, Z) + ε, lso O(f, Z) U(f, Z) < ε. < : Sei Z eine Zerlegung mit O(f, Z) U(f, Z) < ε. Teil ) liefert U(f, Z) lso 0 b f(x)dx f(x)dx D dies für jedes ε > 0 gilt, folgt die Behuptung. b f(x)dx O(f, Z), f(x)dx < ε. Beispiel 5.6. Ist f : [, b] R eine Treppenfunktion, d.h. existieren = x 0 <... < x n = b mit f(x) = c k für x k < x < x k und k n, so ist f Drboux-integrierbr und D- f(x)dx = c k (x k x k ). Beweis: Sei ε > 0 so klein, dss mit y k := x k + ε und y k := x k ε gilt ( ) x 0 < y 0 < y < x < y <... < y n < y n < x n. Für diese Zerlegung Z von [, b] und S := sup f(x), s := inf f(x) gilt dnn x b x b O(f, Z) c k (y k y k ) + n ε S Entsprechend erhält mn = U(f, Z) c k (x k x k ) ε c k + n ε S c k (x k x k ) + n ε (S s). c k (x k x k ) n ε (S s).

5 53 Sei ε > 0 gegeben. Wähle 0 < ε ε n(s s) + und so klein, dss ( ) gilt. Dnn gilt für die ngegebene Zerlegung Z O(f, Z) < c k (x k x k ) + ε, lso Ebenso lso Mit 5.5.) folgt die Behuptung. f(x)dx < c k (x k x k ) + ε. U(f, Z) > c k (x k x k ) ε, b f(x)dx > c k (x k x k ) ε. Umgekehrt können wir die Unter- bzw. Obersumme zu einer Zerlegung Z bei gegebenem f B[, b] uch ls D-Integrl zu einer Treppenfunktion uffssen. Unter Berücksichtigung von Stz 5.5 erhlten wir dnn: Stz 5.7. f B[, b] ist genu dnn D-integrierbr uf [, b], wenn zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen ϕ und ψ existieren mit ϕ f ψ und D- ψ(x)dx D- ϕ(x)dx < ε. Beweis: > : Nch Stz 5.5 existiert zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z mit O(f, Z) U(f, Z) = M k (x k x k ) m k (x k x k ) < ε. Definieren wir ψ : [, b] R durch ψ() = f() und ψ(x) = M k für x ]x k, x k ] sowie k n und weiter ϕ B[, b] durch ϕ() = f() sowie ϕ(x) = m k für x ]x k, x k ]

6 54 und k n, so gilt gemäß Beispiel 5.6 O(f, Z) = D- ψ(x)dx und U(f, Z) = D- ϕ(x)dx. < : Aus ϕ(x) f(x) ψ(x) für lle x [, b] folgt direkt us Definition 5. und 5.4: b b ϕ(x)dx f(x)dx sowie f(x)dx ψ(x)dx. Stz 5.5 ) liefert dnn, dss für jedes ε > 0 wegen ψ(x)dx = D- ψ(x)dx gilt: f(x)dx b f(x)dx < ε. b ϕ(x)dx = D- ϕ(x)dx und Als Anwendung von Stz 5.7 erhlten wir sofort eine Klsse D-integrierbrer Funktionen uf dem kompkten Intervll [, b]; zuvor schreiben wir ein pr Eigenschften des Drboux-Integrls uf. Stz 5.8. Es seien f, g B[, b] D-integrierbr und c R. ) Dnn sind uch f + g und c f uf [, b] D-integrierbr, und es gilt: sowie (Die Abbildung ist liner.) D- (f + g)(x)dx = D- D- b) Gilt f g uf [, b], so ist (cf)(x)dx = c f(x)dx + D- ( D- {f B[, b] f D-integrierbr} f D- D- f(x)dx D- ) f(x)dx. g(x)dx. g(x)dx f(x)dx R

7 55 Beweis: Zu ): Ist Z eine beliebige Zerlegung von [, b], so gilt: ( ) U(f, Z) + U(g, Z) U(f + g, Z) O(f + g, Z) O(f, Z) + O(g, Z). Wir zeigen mit Hilfe von Stz 5.5 die D-Integrierbrkeit von f + g. Zu ε > 0 existieren Zerlegungen Z und Z mit O(f, Z ) U(f, Z ) < ε und O(g, Z ) U(g, Z ) < ε. Ist Z = Z Z, so bleiben diese Ungleichungen bestehen, und es folgt nch ( ): Also ist f + g D-integrierbr. Wir erhlten ferner für diese Zerlegung O(f + g, Z) U(f + g, Z) < ε. und Also liefert ( ) O(f, Z) < D- O(g, Z) < D- f(x)dx + ε g(x)dx + ε. D- (f + g)(x)dx O(f + g, Z) < D- d ε > 0 beliebig vorgegeben wr, folgt D- (f + g)(x)dx D- f(x)dx + D- f(x)dx + D- Entsprechend folgt durch Betrchtung der Untersummen: D- (f + g)(x)dx D- f(x)dx + D- g(x)dx. g(x)dx. Aus den beiden letzten Ungleichungen folgt die behuptete Gleichheit. Der Beweis der Homogenität des D-Integrls ist eine Übungsufgbe. g(x)dx + ε; Zu b): Wegen U(f, Z) U(g, Z) und O(f, Z) O(g, Z) für eine beliebige Zerlegung Z, folgt die Behuptung direkt us der Definition des D-Integrls. Stz 5.9. Jede stetige Funktion f : [, b] R ist D-integrierbr. Beweis: Nch Stz 3.68 existieren zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen ϕ und ψ mit

8 56 ) ϕ(x) f(x) ψ(x) für lle x [, b] und b) ψ(x) ϕ(x) Drus folgt nch Stz 5.8 und Beispiel 5.6 ε b für lle x [, b] D- ψ(x)dx D- Stz 5.7 liefert die Behuptung. ϕ(x)dx = D- ε (ψ(x) ϕ(x))dx D- dx = ε. b 5. Ds Riemnn 3 -Integrl Vielfch wird ein nderer Zugng zu dem gestellten Problem - eine Inhltsfunktion zu definieren - gewählt. Dbei wird nur eine Rechtecksumme zur Definition des Integrls von f über dem Intervll [, b] benötigt n Stelle der beiden Summen O(f, Z) und U(f, Z). Zuvor einige Abkürzungen: Definition 5.0. Ist Z = {x 0, x,..., x n } eine Zerlegung von [, b], so heißt Z := mx (x k x k ) ds k n Feinheitsmß von Z. Ist nun eine Folge Z j := {x (j) 0, x (j),..., x (j) n j } von Zerlegungen des Intervlls [, b] gegeben mit lim Z j = 0, so heißt (Z j ) j eine Zerlegungsnullfolge. Drüberhinus wird jedes n j -Tupel η j := (η (j),..., η n (j) j j ) mit η (j) k [x (j) k, x(j) k ] für k =,..., n j Zwischenvektor für Z j gennnt. Hiermit definieren wir die Rechtecksumme (Riemnn- Summe) n j S(f, Z j, η j ) := f(η (j) k )(x(j) k x (j) k ) für ein f B[, b]. (Ist f stetig, so nimmt f uf jedem Teilintervll [x (j) k, x(j) k ] Supremum und Infimum n; lso sind dnn die Ober- bzw. Untersumme spezielle Riemnnsummen.) Definition 5.. f B[, b] heißt R-integrierbr (Riemnn-integrierbr) uf [, b], wenn für jede Zerlegungsnullfolge (Z j ) j und jede Whl der Zwischenvektoren η j für Z j die Riemnn- Summenfolge (S(f, Z j, η j )) j konvergiert. 3 vgl. S. 44

9 57 Diesen (gemeinsmen) Grenzwert nennt mn ds Riemnn-Integrl von f über [, b], und wir schreiben für diesen Grenzwert R- f(x)dx. Als direkte Folgerung erhlten wir Stz 5.. f B[, b] ist genu dnn R-integrierbr uf [, b], wenn ein S R und zu jedem ε > 0 ein δ > 0 derrt existieren, dss für jede Zerlegung Z mit Z < δ und für jede Whl des Zwischenvektors η für Z gilt S(f, Z, η) S < ε. Dnn ist S = R- f(x)dx. Beweis: < : Wir zeigen, dss für jede Zerlegungsnullfolge (Z j ) j und jede Whl der Zwischenvektoren η j gilt lim j S(f, Z j, η j ) = S. Zum Nchweis dieser Eigenschft sei ε > 0 beliebig vorgegeben; dnn existiert nch Vorussetzung dzu ein δ > 0 und zu diesem ein j 0 (δ) mit Z j < δ für lle j j 0 (δ) und S(f, Z j, η j ) S < ε. > : Es existiere ein ε 0 > 0 derrt, dss es zu jedem δ > 0 eine Zerlegung Z δ der Feinheit Z δ < δ und einen Zwischenvektor η δ gebe mit der Eigenschft S(f, Z δ, η δ ) R- f(x)dx ε 0. Dnn betrchten wir zu δ n = die Zerlegungsnullfolge (Z n ) n und die Zwischenvektoren n η. Dbei ist Z eine Zerlegung der Feinheit < und η n n n ein Zwischenvektor derrt, dss n gilt. Dmit konvergiert S(f, Z n S(f, Z, η ) R- n n, η n f(x)dx ε 0 ) nicht gegen R- f(x)dx. Widerspruch Als nächstes zeigen wir, dss ds Riemnn- und Drboux-Integrl übereinstimmen. Stz 5.3. f B[, b] ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn f Drboux-integrierbr ist, und es gilt D- f(x)dx = R- f(x)dx. Aus diesem Grunde sprechen wir in Zukunft nur noch von integrierbren Funktionen und bezeichnen ihr Integrl mit f(x)dx.

10 58 Beweis: > : Nch Stz 5. existiert zu ε > 0 ein δ > 0 so, dss für jede Riemnn- Summe S(f, Z, η) mit Z < δ und beliebigem Zwischenvektor η gilt: (Dbei sei S = R- S ε < S(f, Z, η) < S + ε f(x)dx.) D η ein beliebiger Zwischenvektor zu Z ist, folgt drus S ε U(f, Z) O(f, Z) S + ε, lso S ε b f(x)dx f(x)dx S + ε. < : Nch Stz 5.5 existiert zu beliebigem ε > 0 eine Zerlegung Z von [, b] mit O(f, Z ) U(f, Z ) < ε 3. Z hbe p + Punkte, es sei Ω := sup f(x) inf f(x). x b x b Zwischenbehuptung: Für jede Zerlegung Z mit gilt Z < δ := ε 3p Ω + O(f, Z) U(f, Z) < ε. Beweis: Zu einer solchen Zerlegung Z betrchte Z = Z Z; dnn ist O(f, Z) U(f, Z) = [O(f, Z) O(f, Z )]+[O(f, Z ) U(f, Z )]+[U(f, Z ) U(f, Z)]. D Z eine Verfeinerung von Z ist, folgt us Hilfsstz 5.3 b): O(f, Z ) U(f, Z ) < ε 3. Um den ersten und letzten Summnden bzuschätzen, untersuchen wir Z genuer. Ist [x k, x k ] ein Teilintervll von Z, ds durch die Punkte z <... < z q von Z weiter unterteilt wird, gilt mit z 0 := x k und z q := x k sup f(x)(z q z 0 ) z 0 x z q = Ω l= q l= sup f(x)(z l z l ) z l x z l q ( sup f(x) sup f(x))(z l z l ) z 0 x z q z l x z l q l= (z l z l ) = Ω(x k x k ) Ω δ < ε 3p.

11 59 D höchstens p der Teilintervlle [x k, x k ] durch die p ïnnerenteilpunkte von Z weiter unterteilt werden, erhlten wir O(f, Z) O(f, Z ) (p ) ε 3p < ε 3 und entsprechend Also folgt U(f, Z ) U(f, Z) < ε 3. O(f, Z) U(f, Z) < ε. Wir beweisen nun die Riemnn-Integrierbrkeit von f, indem wir die Chrkterisierung us Stz 5. verwenden. Sei Z eine Zerlegung mit Z < δ und S(f, Z, η) irgendeine zu Z und f gehörende Riemnn-Summe; dnn folgt wegen U(f, Z) S(f, Z, η) O(f, Z) und sofort U(f, Z) D- S(f, Z, η) D- f(x)dx O(f, Z) f(x)dx < ε. Stz 5.4. Es seien f, g B[, b] integrierbr, dnn gilt: ) Die Funktionen und sind ebenflls integrierbr. f + : [, b] x f : [, b] x { f(x), flls f(x) > 0 0, sonst { f(x), flls f(x) < 0 0, sonst b) Für jedes p [, [ ist uch f p integrierbr. (Dbei ist f p definiert durch f p (x) := f(x) p für x [, b].) c) f g ist integrierbr.

12 60 Beweis: Zu ): Zu ε > 0 existieren Treppenfunktionen ϕ und ψ mit ϕ f ψ und (ψ ϕ)(x)dx < ε. Dnn sind uch ϕ + und ψ + Treppenfunktionen, und es gilt ϕ + f + ψ + sowie (ψ + ϕ + )(x)dx (ψ ϕ)(x)dx < ε. (. Fll : Ist nämlich ϕ(x) > 0, so folgt ϕ + (x) = ϕ(x) und ψ + (x) = ψ(x) und dmit (ψ + ϕ + )(x) = (ψ ϕ)(x).. Fll : Ist dgegen ϕ(x) 0, so folgt ϕ + (x) = 0 und (ψ ϕ)(x) mx(ψ(x), 0) = ψ + (x) = ψ + (x) ϕ + (x). Also ist insgesmt ψ + ϕ + ψ ϕ.) Dmit ist f + integrierbr. Die Integrierbrkeit von f wird nlog gezeigt. Zu b): Nch Teil ) und Stz 5.8 ist mit f uch f = f + + f integrierbr. Ist ferner f f(x) M für lle x [, b], so ist mit f uch integrierbr. Also können wir M + o.b.d.a. 0 f vorussetzen. Zu ε > 0 gibt es dnn Treppenfunktionen ϕ und ψ mit 0 ϕ f ψ und (ψ ϕ)(x)dx < ε p. Dnn sind uch ϕ p und ψ p Treppenfunktionen mit ϕ p f p ψ p. Wegen y p y p 0 = pz p (y y 0 ) (Mittelwertstz der Differentilrechnung!) erhlten wir: ψ p ϕ p p(ψ ϕ) und deshlb (ψ p ϕ p )(x)dx p (ψ ϕ)(x)dx < ε. Zu c): Wegen f g = 4 [(f + g) (f g) ] folgt die Behuptung us Stz 5.8 und b). Stz 5.5. (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien f, g B[, b] integrierbr mit g 0 oder g 0. Dnn existiert ein µ [inf f, sup f] mit (fg)(x)dx = µ g(x)dx. Ist f stetig, so gibt es nch dem Zwischenwertstz ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = µ. Ist speziell g = π 0, so folgt: f(x)dx = µ (b ). Beweis: Sei zunächst g 0, m := inf f und M := sup f; dnn gilt mg f g Mg, lso m g(x)dx (fg)(x)dx M g(x)dx. Drus folgt die Behuptung. Entsprechend wird der Fll g 0 behndelt.

13 6 Stz 5.6. (Dreiecksungleichung für Integrle) Für jedes integrierbre f B[, b] gilt f(x)dx f(x) dx. Beweis: Mit f ist uch f integrierbr; wegen f f f folgt us Stz 5.8: f(x) dx f(x)dx f(x) dx, lso die Behuptung. Wir wollen nun zu der Eingngs gestellten Aufgbe der Flächenmßzhlbestimmung zurückkehren. Als Vorbereitung dient Stz 5.7. Es seien < b < c und f : [, c] R eine Funktion. f ist genu dnn integrierbr uf [, c], wenn f uf [, b] und uf [b, c] integrierbr ist, und es gilt dnn: c f(x)dx = f(x)dx + c b f(x)dx. Beweis: > : O.B.d.A. knn mn Zerlegungen Z mit b Z betrchten. < : ist trivil. Die Formel ist ebenflls klr. Definition 5.8. Wir setzen f(x)dx = 0 sowie f(x)dx = b f(x)dx flls b < ist. Dnn gilt die Formel us Stz 5.7 für beliebige, b, c, flls f nur in dem Intervll [min(, b, c), mx(, b, c)] integrierbr ist. Ist nun f B[, b] integrierbr und nichtnegtiv, so setzen wir I b (f) := f(x)dx. Dnn liefert Stz 5.7 gerde die zu Beginn dieses Prgrphen geforderte Eigenschft ) für eine Flächenmßzhlfunktion.

14 6 Die Bedingung b) folgt us den bewiesenen Sätzen uf folgende Weise: I b (f) y 0(b ) = = f(x)dx y 0 dx (f(x) y 0 )dx flls f(x) y 0 t für lle x b gilt. f(x) y 0 dx tdx = t(b ), Beispiel 5.9. Wir wollen der Fläche B = {(x, y) 0 x, 0 y x } eine Flächenmßzhl zuordnen. D π ls stetige Funktion uf [0, ] integrierbr und nichtnegtiv ist, gilt gemäß Definition 5.8 für diese Zhl I 0(π ) = 0 x dx. Dieses Integrl berechnen wir, indem wir für eine geeignete Zerlegungsnullfolge den Grenzwert der Riemnn-Summe usrechnen für eine bestimmte Zwischenvektorfolge. Bei äquidistnter Unterteilung erhlten wir, wenn wir den Funktionswert m rechten Eckpunkt der Teilintervlle nehmen: lso S ( π, I 0(π ) = lim n (0, n, n,..., ), ( n, )) n,..., = ( ) k n n, ( ) k n n = lim n n 3 6 n(n + )(n + ) = 3. An diesem einfchen Beispiel wird schon klr, wie kompliziert die Berechnung der Integrle uf diesem Wege ist. 5.3 Integrtion und Differentition Stz 5.0. Sei f B[, b] integrierbr uf [, b]; wir setzen für x [, b] F (x) := x f(t)dt. Dnn ist F stetig uf [, b]. Ist drüber hinus f stetig in x 0 [, b], so ist F differenzierbr in x 0 mit F (x 0 ) = f(x 0 ).

15 63 Beweis: Sei f(t) M für lle t b; dnn gilt für x < y b F (y) F (x) = y x f(t)dt M(y x). Ist nun ε > 0 gegeben, so gilt für x, y [, b] mit x y < Also ist F stetig. ε stets F (y) F (x) < ε. M + Ist nun f stetig in x 0, so wähle zu ε > 0 ein δ > 0 derrt, dss für lle t [, b] mit t x 0 < δ folgt f(t) f(x 0 ) < ε. Für lle t [, b] mit x 0 < t < x 0 + δ gilt dnn F (t) F (x 0 ) f(x 0 ) t t x 0 = (f(u) f(x 0 ))du t x 0 x 0 t x 0 t x 0 f(u) f(x 0 ) du t x 0 ε (t x 0 ) = ε. Entsprechend schätzt mn für t [, b] mit x 0 δ < t < x 0 b. Also ist F (x 0 ) = f(x 0 ). Dieser Schverhlt gibt Anlss zu folgender Definition 5.. Es sei I = X von der in Abschnitt 3.7 ngegebenen Form und f : I R eine Abbildung. F : I R heißt Stmmfunktion oder unbestimmtes Integrl von f in I, wenn für lle x I gilt: F (x) = f(x). Stz 5.. Ist F eine Stmmfunktion zu f uf I, so ist {F + cπ 0 Stmmfunktionen von f in I. c R} die Gesmtheit ller Beweis: Mit F ist uch F +cπ 0 eine Stmmfunktion zu f. Ist umgekehrt F 0 eine beliebige Stmmfunktion von f, so gilt gemäß Definition: (F 0 F ) (x) = 0 für lle x I. Gemäß Folgerung 4.5 ist dnn F 0 F konstnt. Stz 5.3. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f B[, b] integrierbr und F eine Stmmfunktion zu f, so gilt f(x)dx = F (b) F () =: F (x). b

16 64 Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben und Z eine Zerlegung von [, b] mit O(f, Z) U(f, Z) < ε. Dnn gilt für jede Riemnn-Summe zu dieser Zerlegung Z S(f, Z, η) f(x)dx < ε. Nch dem Mittelwertstz 4.4 gibt es nun Punkte t k [x k, x k ] für k n mit F (x k ) F (x k ) = f(t k )(x k x k ). Dmit ist S(f, Z, (t,..., t n )) = = f(t k )(x k x k ) = (F (x k ) F (x k )) = F (b) F (). Nch Stz 5.0 besitzt jede uf [, b] stetige Funktion dort eine Stmmfunktion, und mit Hilfe irgendeiner Stmmfunktion F zu f lässt sich dnn nch Stz 5.3 ds Integrl f(x)dx = F (b) F () berechnen. In Anlogie zu dem Integrlzeichen von f uch f(x)dx schreiben wir für Stmmfunktionen und meinen dmit irgendeine Stmmfunktionen zu f. Aufgrund von Stz 5. ist die Schreibweise f(x)dx = F (x) + c weit verbreitet. Mit den Ableitungen der in 3 und 4 betrchteten Funktionen folgen: Beispiele 5.4. x r dx = r + xr+ für r, dx = ln x uf einem Intervll, ds 0 nicht enthält, x e x dx = e x, sin x dx = cos x,

17 65 cos x dx = sin x, sinh x dx = cosh x, cosh x dx = sinh x, dx = Arcsin x für x <, x dx = Arctn x, + x cos x dx = tn x für x < π, sin dx = cot x für 0 < x < π, x dx = rsinh x, + x dx = rtnh x für x <, x k x k dx = k=0 k=0 k k + xk+, und dmit z.b. ( x + 3x ) dx = x x + x 3 = 4. Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung von Stmmfunktionen bietet Stz 5.5. (Prtielle Integrtion) Es seien F und G uf [, b] differenzierbre Funktionen, und es seien F = f und G = g integrierbr uf [, b]. Dnn gilt F (x)g(x)dx = F (x)g(x) b f(x)g(x)dx. Beweis: Mit H = F G liefert Stz 5.3 wegen H = F g + fg die Behuptung.

18 66 Beispiele 5.6. Für 0 < < b gilt mit g = π 0 und F = ln Für beliebige, b R gilt ln x dx = ln x dx = x ln x b = x ln x b x b sin x dx = sin x cos x b + = sin x cos x b + x x dx = x(ln x ) b. = (x sin x cos x) b in Form einer Stmmfunktion lso sin x dx = x sin x cos x cos x dx ( sin x) dx sin x dx, und dmit sin x dx = (x sin x cos x). Als Umkehrung der Kettenregel erhlten wir Stz 5.7. (Substitutionsregel) Es seien I ein Intervll gemäß Abschnitt 3.7, f : I R stetig und ϕ : [, b] R stetig differenzierbr mit ϕ([, b]) I. Dnn gilt f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. Ist ϕ injektiv (z.b. ϕ (t) 0 für lle t ], b[ ), so gilt für lle α, β ϕ([, b]): β α f(x)dx = ϕ (β) ϕ (α) f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Beweis: Ist F eine Stmmfunktion von f uf I, so gilt nch der Kettenregel für die Funktion F ϕ : [, b] R: (F ϕ) (t) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t).

19 67 Drus folgt mit dem Huptstz 5.3 f(ϕ(t))ϕ (t)dt = (F ϕ)(b) (F ϕ)() = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. Beispiele 5.8. ) Ist ϕ : [, b] R stetig differenzierbr mit ϕ(t) 0 für lle t [, b], so gilt mit f(x) = x ϕ(b) ϕ (t) ϕ(t) dt = dx ϕ() x = ln x ϕ(b) ϕ() = ln ϕ(t) b. b) Für 0 < α < β sei ds Integrl β für α t β, dnn ist wegen der Injektivität von ϕ β α e x dx = = α β α [ e x dx zu berechnen. Wir setzen x = ϕ(t) = t e t t dt te t β α β α e t dt = e t β (t ) = e x ( x ) β α α. ] 5.4 Integrtion rtionler Funktionen Wir gehen von einer rtionlen Funktion D x R(x) = P (x) Q(x) R mit Polynomen P und Q sowie D = {x R Q(x) 0} us. Ist Grd P Grd Q (lso R unecht rtionl ), lässt sich R durch Polynomdivision in der Form R(x) = P (x) + P (x) Q(x)

20 68 mit Polynomen P, P drstellen, wobei Grd P < Grd Q ist (P /Q ist echt rtionl ). Zu P knn gemäß Beispiel 5.4 eine Stmmfunktion berechnet werden. Um für P /Q eine Stmmfunktion zu finden, stellen wir eine Prtilbruchzerlegung von P /Q her. Dzu benötigen wir die Nullstellen von Q. In diesem Zusmmenhng hlten wir die folgenden Sätze fest: Stz 5.9. (Fundmentlstz der Algebr) ) Ist Q = k π k mit k C und n 0 ein Polynom vom exkten Grd n, so k=0 lässt sich Q mit Hilfe seiner verschiedenen Nullstellen z,..., z m in der Form Q(z) = n m µ= (z z µ ) νµ, z C, drstellen, wobei die ν µ N eindeutig bestimmt sind mit Vielfchheit der Nullstelle z µ.) m ν µ = n. ( ν µ heißt µ= b) Sind lle Koeffizienten k von Q reell mit n 0, so ist mit z µ stets uch z µ eine Nullstelle von Q. Fssen wir die Produkte mit z µ und z µ zusmmen, so erhlten wir für x R die Drstellung Q(x) = n mit k j und m l N sowie s (x x j ) k j j= s k j + j= r (x + A l x + B l ) m l l= r m l = n, l= dbei sind x,..., x s die verschiedenen reellen Nullstellen von Q, keines der unter sich verschiedenen Polynome x x + A l x + B l mit A l, B l R ht eine reelle Nullstelle. Stz (Prtilbruchzerlegung) Gegeben sei eine rtionle Funktion P /Q mit reellen Polynomen P und Q, es gelte Grd P < Grd Q. Ht Q die Drstellung us Stz 5.9 b), so lässt sich P /Q in folgender Form zerlegen: n P (x) Q(x) = k s j j= ν= A jν r (x x j ) + ν m l l= µ= B lµ x + C lµ (x + A l x + B l ) µ. Die Berechnung der Koeffizienten A jν, B lµ und C lµ ist uf (mindestens) drei Arten möglich:

21 69 i) durch Koeffizientenvergleich, ii) durch Einsetzen spezieller Werte, iii) durch die Grenzwertmethode. Wir werden diese drei Verfhren n Beispielen erläutern. Beispiele 5.3. ) Sei R(x) = x + x + 3 (x ) (x + ) ; dnn erhlten wir gemäß Stz 5.30 die Prtilbruchzerlegung ( ) R(x) = A x + A (x ) + A x + + A (x + ), nch Multipliktion mit dem Huptnenner N(x) folgt für lle x R (!) ( ) R(x)N(x) = A (x )(x+) +A (x+) +A (x ) (x+)+a (x ). Zum Koeffizientenvergleich wird usmultipliziert x +x+3 = A (x 3 +x x )+A (x +x+)+a (x 3 x x+)+a (x x+), es ist lso A + A = 0 A + A A + A = A + A A A = A + A + A + A = 3 Der Guß-Algorithmus, ngewndt uf die erweiterte Koeffizientenmtrix des obigen Gleichungssystems mit den Unbeknnten A, A, A, A, liefert die Dreiecksgestlt: und dmit A =, A = A = 3, A =. Durch Einsetzen von vier verschiedenen Werten (besonders zu empfehlen sind die Nullstellen des Nenners von R) in ( ) erhlten wir ebenflls vier Gleichungen mit vier Unbeknnten und dnn nch dem Guß-Algorithmus wieder die obige Lösung.

22 70 Um die Grenzwertmethode nzuwenden, multipliziere mn ( ) mit (x ), d.h. [ x + x + 3 = A (x + ) + (x ) A x + A x + + A ], (x + ) und hierus folgt x + x + 3 A = lim = 3 x (x + ). Entsprechend folgt x + x + 3 A = lim = x (x ). A Durch Substitution der Terme (x ) und A von R(x) erhlten wir (x + ) und hierus sowie b) Sei nun gilt R (x) = (x )(x + ) = A x + A x + A = lim x x + = A = lim x x =. R(x) = x x 3 3x + 4x ; x 3 3x + 4x = (x )(x ( + i))(x ( i)) Dmit lutet die Prtilbruchzerlegung = (x )(x x + ). lso gilt R(x) = A x + B x + C x x + ; x = A (x x + ) + (B x + C )(x ) = (A + B )x + ( A B + C )x + A C. Koeffizientenvergleich liefert A + B = 0 A B + C = Als Lösung erhlten wir A C = A =, B =, C = 0.

23 7 Gemäß Stz 5.30 knn lso die Integrtion (echt) rtionler Funktionen uf die Integrtion einiger einfcher Funktionen zurückgeführt werden; es gilt A i) dx = A ln x x j, x x j A ii) (x x j ) dx = A ν ν + (x x j) ν+ für ν >, Bx + C iii) (x + αx + β) dx = B x + α dx dx + (C Bα) k (x + αx + β) k (x + αx + β), k wobei x + αx + β > 0 ist für lle x R. Zunächst gilt x + α x + αx + β dx = ln(x + αx + β) und x + α (x + αx + β) dx = k k + (x + αx + β) k+ für k >. dx Es bleibt noch ds Integrl (x + αx + β) zu bestimmen. Wegen k x + αx + β > 0 für x R folgt ( ) x + αx + β = (β α ) x + α + β α mit β α > 0. Wir substituieren x = ϕ(t) = t β α α d.h. t = x + α β α ; dnn gilt: dx = (x + αx + β) k β α dt = K ((β α )(t + )) k dt (t + ) k. Für ds verbleibende Integrl lässt sich eine Rekursionsformel herleiten, es gilt für k > : dt dt I k := = (t + ) k (t + ) k t (t + ) dt k = I k t t dt (t + ) k (prtielle Integrtion) = ( t I k ( k + ) (t + ) k+ ) dt ( k + ) (t + ) k = ( + ) I k t ( k + ) ( k + ) (t + ) k+.

24 7 Beginn der Rekursion ist I = dt t + = rctn t. Beispiele 5.3. ) Gemäß Beispiel 5.3 ) gilt: x + x + 3 (x ) (x + ) dx = dx x + 3 dx (x ) + dx x + + = ln x 3 x + ln x + x + = ln x + x x + x. b) Für ds Beispiel us 5.3 b) folgt x x 3 3x + 4x dx = dx x + xdx x x + = ln x + x x x + dx + = ln x + ln(x x + ) + dx (x ) + dt t + = ln x + ln(x x + ) + rctn(x ). dx (x + ) (t = x ) Bemerkung Ist R eine echt rtionle Funktion und besitzt R die Prtilbruchzerlegung us Stz 5.30 mit n =, so ht R(x)dx nch unseren Überlegungen eine Drstellung P (x) Q(x) dx = P (x) Q(x) + r + l= s K j ln x x j j= M l ln(x + A l x + B l ) + N l rctn x + A l B l A l 4 mit unbestimmten Konstnten K,..., K s, M,..., M r, N,..., N r. Ferner ist Q(x) = s (x x j ) k j j= r (x + A l x + B l ) m l l=

25 73 und Grd P Grd Q =: g. Setzen wir mit unbestimmten Koeffizienten D 0,..., D g g P = D i π i, i=0 ergibt Differentition und nschließender Koeffizientenvergleich dnn uch die Lösung. Beispiel Betrchte x (x + x + ) dx; dnn ist s = 0, r =, m =, Grd Q =, lso g =. Mche deshlb den Anstz x (x + x + ) dx = D 0 + D x x + x + + M ln(x + x + ) + N rctn x +. 3 Differentition und Koeffizientenvergleich ergibt: D 0 = D =, M = 0 und N = Rtionle Funktionen von trigonometrischen Grundfunktionen und Wurzelfunktionen Im Folgenden bezeichne R, R, R immer eine rtionle Funktion, teilweise in Vriblen, d.h. z.b.: m νµ x ν y µ R(x, y) = ν=0 µ=0 k κ=0 λ=0 ; νµ, b κλ, x, y R. l b κλ x κ y λ Beispiel R(e x )dx für 0. Substituiere t = e x, d.h. x = g(t) = ln t und g (t) = ; dnn ist t R(e x )dx = R(t) dt =: R (t)dt. t Beispiel R(sin x, cos x)dx.

26 Substituiere t = tn x für x < π, d.h. x = g(t) = rctn t und g (t) = ; dnn ist + t 74 sin x = sin x cos x = tn x cos x = tn x + tn x = t + t und Also ist cos x = cos x = + tn x = + t = t + t. R(sin x, cos x)dx = ( t R + t, ) t + t dt. + t Beispiel R ( ) x + b x, k cx + d dx mit d bc 0. x + b Substituiere t = k cx + d, d.h. x = g(t) = dtk b ct und k g (t) =: R (t); dnn ist ( ) x + b R x, k dx = R(g(t), t) R (t)dt cx + d = R (t)dt. Beispiel I := R(x, x + bx + c)dx mit 0 und 4c b 0. Substituiere x = g(t) = 4c b t b =: D t b.

27 75 Dnn ist g (t) = D und ( I = R = = = R (t, R (t, Dt b, [ (D t b b Dt + 4 D t + 4c b 4 R (t, ) ±t ± dt. 4c b 4 ) dt ( 4c b t + 4 ) ( + b Dt b ) ] ) + c D dt ) ) 4 dt 4c b Also werden wir uf die drei Fälle t +, t und t + geführt ( t ergibt einen negtiven Rdiknden!).. Fll: R (t, t + )dt Substituiere t = g(z) = sinh z, d.h. g (z) = cosh z; dnn ergibt sich R (t, t + )dt = R (sinh z, cosh z) cosh z dz. Wegen cosh z = ez + e z führt dieses Integrl zu Beispiel bzw. sinh z = ez e z. Fll: R (t, t + )dt Die Substitution t = g(z) = sin z führt für z < π/ zu R (sin z, cos z) cos z dz, lso zu Beispiel Fll: R (t, t )dt Die Substitution t = g(z) = cosh z, d.h. g (z) = sinh z für t > und t = g(z) = cosh z für t < führt zu R (± cosh z, sinh z) ± sinh z dz und dmit zu Beispiel 5.35.

28 76 Ist z.b. R (t, t + ) = dt t + = sinh z + cosh z dz =, so erhlten wir gemäß obigem Rezept: t + dz = z = Arsinh t = ln(t + t + ). 5.6 Uneigentliche Integrle Der Begriff des Integrls in den Abschnitten 5. bzw. 5. beruht im Wesentlichen uf zwei Vorussetzungen: Erstens ist der Integrtionsbereich [, b] beschränkt und zweitens ist die zu integrierende Funktion beschränkt. In gewissen Fällen knn uf diese Vorussetzungen verzichtet werden; dnn gelngt mn zu den sog. uneigentlichen Integrlen. Wir betrchten drei Fälle: (i) Eine Integrtionsgrenze ist unendlich. (ii) Der Integrnd ist n einer Integrtionsgrenze nicht definiert. (iii) Beide Integrtionsgrenzen sind kritisch. Definition Es sei f : [, [ R über jedem Intervll [, b] mit b > integrierbr. Existiert der Grenzwert so heißt ds Integrl lim b f(x)dx konvergent, f(x)dx := lim f(x)dx, b f(x)dx. Existiert der Grenzwert nicht, so heißt ds uneigentliche Integrl Existiert lim b f(x)dx divergent. f(x) dx, so heißt ds uneigentliche Integrl bsolut konvergent. Anlog definiert mn im Fll f : ], b] R ds uneigentliche Integrl f(x)dx. Beispiel konvergiert genu dnn, wenn s > ist. dx x s

29 77 Beweis: Es gilt für beliebiges b > : dx x = s b s s s für s ln b für s = Durch Grenzübergng b ergibt sich sofort die Behuptung. Zwischen uneigentlichen Integrlen und Reihen besteht ein enger Zusmmenhng. Stz 5.4. (Integrlkriterium für unendliche Reihen) Ist für ein n 0 N die Funktion f : [n 0, [ R nichtnegtiv und monoton fllend, so konvergiert ds uneigentliche Integrl f(x)dx genu dnn, wenn die Reihe f(k) n 0 k=n 0 konvergiert. Beweis: Aus f(k) f(x) f(k ) für k x k folgt lso ( ) f(k) N k=n 0 + k k f(k) f(x)dx f(k ), N n 0 f(x)dx N k=n 0 f(k) für lle N > n 0. (Als monotone Funktion ist f uf jedem Intervll [n 0, R] mit R > n 0 nch Stz 5.5 integrierbr. Dzu betrchten wir zu vorgegebenem ε > 0 eine äqidistnte Zerlegung x k = n 0 + k R n 0 k = 0,..., n ; n für die dnn bei hinreichend großem n O(f, Z) U(f, Z) = (f(x k ) f(x k ) R n 0 = R n 0 (f(n 0 ) f(r)) < ε n n gilt.) > : Ist n 0 konvergent. < : Ist t n 0 gilt: f(x)dx konvergent, so ist nch ( ) die Reihe k=n 0 f(k) beschränkt, lso k=n 0 f(k) konvergent, so folgt us ( ), dss mit einer Konstnten K > 0 für lle t n 0 f(x)dx K. Die Funktion F (t) := t n 0 f(x)dx

30 78 ist lso monoton wchsend und beschränkt. Sei s = sup t n 0 F (t) und ε > 0. Dnn existiert ein t 0 R mit s ε < F (t 0 ) s, lso gilt für lle t t 0 s ε < F (t) s, dher ist s = lim t F (t). Beispiel 5.4. Wir untersuchen n=3 n ln(n) 3 uf Konvergenz; zunächst ist f : [3, [ x x ln x monoton wchsend, lso g = monoton fllend, und wir erhlten f dx b x ln x = lim dx b 3 x ln x = lim ln(ln b x) b 3 = lim b ln(ln b) ln(ln 3) =. Also divergiert die obige Reihe. (vgl. Beispiel.4) Definition Es sei f : ], b] R eine Funktion, die über jedem Teilintervll [ + ε, b] mit 0 < ε < b integrierbr ist. Existiert der Grenzwert so heißt ds Integrl lim ε 0 +ε f(x)dx, f(x)dx konvergent und mn setzt f(x)dx = lim f(x)dx. ε 0 +ε Existiert der Grenzwert nicht, so heißt ds Integrl divergent. Anlog definiert mn ds Integrl Beispiele f(x)dx für bei b nicht definiertem f. ) Für α gilt 0 x α dx = lim ε 0+ = ε α + x α dx = lim ε 0+ α + ( εα+ ) für α > für α <.

31 79 Für α = erhält mn Also konvergiert ds Intgrl b) Es ist 0 dx x = lim ln ε 0+ ε = lim ln ε =. ε 0+ 0 x α dx genu für α >. 0 dx x ε dx = lim = lim (Arcsin ( ε) Arcsin 0) ε 0+ 0 x ε 0+ = Arcsin = π. Wir wollen nun uf den vorne erwähnten Teil iii) näher eingehen: Definition Sei f : ], b[ R mit R { }, b R { } eine Funktion, die uf jedem Intervll [α, β] ], b[ integrierbr ist, und ferner sei c [, b] beliebig. Existieren die uneigentlichen Integrle c c f(x)dx = lim f(x)dx ε 0+ +ε und so heißt ds Integrl c f(x)dx = lim ε 0+ ε c f(x)dx, f(x)dx konvergent, und wir setzen f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Im Fll = bzw. b = fordern wir ntürlich die Existenz von c f(x)dx bzw. c f(x)dx. Wie mn sich leicht überlegt, ist diese Definition von der Whl des Punktes c ], b[ unbhängig. Beispiele ) Nch Beispiel 5.40 und 5.44 ) ist 0 dx x s für jedes s R divergent.

32 80 b) Es ist dx 0 = lim + x R R = lim R dx R + x + lim R 0 dx + x Arctn ( R) + lim R Arctn R = π + π = π. Stz und Definition Für jedes x > 0 konvergiert ds uneigentliche Integrl 0 e t t x dt =: Γ(x). Die ddurch definierte Funktion Γ : ]0, [ R heißt Gmm-Funktion. Beweis: Wir betrchten die beiden Integrle I := e t t x dt und I := 0 e t t x dt. α) Für x ist I ein eigentliches Integrl, und für 0 < x < und 0 < t gilt e t t x t x. Dmit ist e t t x dt ε und Beispiel 5.44 ) liefert die Konvergenz von I. ε t x dt für 0 < ε <, β) Wegen lim e t t x = 0 existiert ein t 0 > 0 mit e t t x für lle t t 0 ; dmit t ist ( ) e t t x = e t e t t x e t für lle t t 0. D ds uneigentliche Integrl ds uneigentliche Integrl t 0 e t dt konvergiert, konvergiert uch t 0 e t t x dt und dmit I. Stz Für lle x > 0 gilt die Funktionlgleichung der Gmm-Funktion: x Γ(x) = Γ(x + ); es gilt Γ() = und Γ(n + ) = n! für lle n N 0.

33 8 Beweis: Prtielle Integrtion liefert lso R ε e t t x dt = t x e t R R + x t x e t dt ε ε R = R x e R + ε x e ε + x t x e t dt, ε R Γ(x + ) = ε 0+ lim e t t x dt R ε = lim R Rx e R + lim ε 0+ εx e ε + x lim ε 0+ R = x Γ(x). R ε t x e t dt Ferner ist R Γ() = lim e t dt = lim ( R 0 R e R ) =. Durch Induktion nch n folgt drus der Zusmmenhng zur Fkultät. Stz Die Gmm-Funktion ist logrithmisch konvex, d.h. ln Γ ist konvex, d.h. Γ(λx + ( λ)y) Γ(x) λ Γ(y) λ für lle x, y > 0 und lle 0 < λ <. Ferner gilt für jedes x > 0: n! n x Γ(x) = lim n x(x + )... (x + n). Beweis: Seien x, y > 0 und 0 < λ < ; wir setzen p := und q :=. Dnn gilt λ λ p + =, p, q >. Für die Funktionen f, g : ]0, [ R mit q f(t) := t x p e t y p, g(t) := t q ergibt sich mit der Hölderschen Ungleichung für Integrle, die wir us der Hölderschen Ungleichung für endliche Summen (vgl. Folgerung 4.3) ddurch erhlten, dss wir diese Ungleichung uf die Riemnn-Summenfolge nwenden, für jedes ε > 0 und R > ε: e t q d.h. R ε R ε ( R f(t)g(t)dt ( R t x p + y q e t dt ε ε ) ( f(t) p p R ) dt g(t) q q dt, ε ) ( t x e t p R ) dt t y e t q dt. ε

34 8 Grenzübergng ε 0+ und R ergibt ( x Γ p + y ) Γ(x) p Γ(y) q. q Dmit ist die. Behuptung bewiesen. Die Grenzwertbeziehung zeigen wir zunächst für 0 < x <. Wegen n + x = ( x)n + x(n + ) folgt us der logrithmischen Konvexität und der Funktionlgleichung für die Gmm- Funktion: Entsprechend folgt us die Ungleichung Γ(n + x) Γ(n) x Γ(n + ) x = Γ(n) x n x Γ(n) x = (n )!n x. n + = x(n + x) + ( x)(n + + x) n! = Γ(n + ) Γ(n + x) x Γ(n + + x) x = Γ(n + x)(n + x) x. Kombintion beider Ungleichungen ergibt d.h. Wegen folgt n (x) := n!(n + x) x Γ(n + x) (n )! n x, n!(n + x) x (x + n )... (x + )x Γ(x) (n )!n x (x + n )... (x + )x =: b n(x). Γ(x) = lim n n b n (x) lim n n (x) = lim (n + x)n x n n(n + x) = x (n )!n x (x + n )... (x + )x = lim n denn es ist lim n n + x Für x >, etw x = m + y mit m N und y ]0, ], folgt dnn: n!n x (x + n)... (x + )x, =. Für x = ist die Grenzwertbeziehung trivilerweise richtig. Γ(x) = Γ(m + y) = (m + y )... (y + )y Γ(y) n!n y = (m + y )... y lim n y(y + )... (y + n) = lim n n!n y (y + m)... (y + n) lim n n m (y + n + )... (y + n + m) = lim n n!n y+m (y + m)... ((y + m) + n) = lim n n!n x x(x + )... (x + n).

35 Wllissches Produkt und Stirling sche Formel Wir eweisen zur Vorbereitung für ds Wllissche Produkt eine Rekursionsformel für sin m xdx =: I m (x), die uch für sich gesehen eine interessnte Beziehung liefert. Eine entsprechende Formel läßt sich uch für cos m xdx beweisen. Stz Es gilt für lle m : mit I m (x) = m cos x sinm x + m m I m (x) I 0 (x) = x und I (x) = cos x. Beweis: Prtielle Integrtion liefert I m (x) = sin m x ( sin x)dx = cos x sin m x + (m ) cos x sin m x dx = cos x sin m x + (m )I m (x) (m )I m (x). Stz 5.5. (Wllissches 4 Produkt) Es gilt π = 4n 4n n= Beweis: Wir erhlten us Stz 5.50 folgende Rekursionsformel für die bestimmten Intgrle nämlich Drus folgt A n = A m := π 0 sin m x dx, A m = m m A m mit A 0 = π (n )(n 3)... 3 n(n )... 4 und A =. ( π n = ) k π k 4 vgl. S. 84

36 84 und A n+ = n(n )... 4 n (n + )(n ) = k k +. Wegen sin n+ x sin n+ x sin n x für x [ 0, π ] gilt A n+ A n+ A n. Also folgt us uch Nun ist ber A n+ A n = A n+ lim n A n n = lim n n + n + = A n+ lim =. n A n (k) (k + )(k ) π = π n 4k 4k. John Wllis wurde m in Ashford (Englnd) geboren. Er studierte in Cmbridge Philosophie und Theologie, wurde 640 Mgister rtium und verdiente sich seinen Lebensunterhlt ls privter Anstltsgeistlicher in London. Mit c. 30 Jhren begnn er, sich utodidktisch zum Mthemtiker zu bilden. Bereits 649 erhielt er in Oxford eine Professur für Geometrie, die er bis zu seinem Tod m innehtte. Wllis gilt ls die erste große mthemtische Autorität in Englnd. Die wichtigsten Ergebnisse erzielte er uf dem Gebiet der Infinitesimlrechnung; er förderte ber uch die Geometrie und die Algebr. Als Vorbereitung zur Stirling schen Formel benötigen wir Stz 5.5. (Trpez-Regel) Sei f : [0, ] R zweiml stetig differenzierbr; dnn existiert ein z [0, ] derrt, dss gilt: f(x)dx = (f(0) + f()) f (z). 0 Beweis: Wir setzen ϕ(x) := x( x); dnn ist ϕ 0 uf [0, ] mit ϕ (x) = x und ϕ (x) =. Zweimlige prtielle Integrtion und Anwendung des Mittelwertstzes der

37 85 Integrlrechnung liefert: f(x)dx = 0 0 ϕ (x)f(x)dx = ϕ (x)f(x) + 0 = (f(0) + f()) + ϕ(x)f (x) 0 = (f(0) + f()) f (z) 0 0 ϕ(x)dx. 0 ϕ (x)f (x)dx ϕ(x)f (x)dx Stz (Stirling sche 5 Formel) Es gilt lim n n! n n e n πn =. Beweis: Die Trpez-Regel liefert wegen z k [k, k + ] mit d dx ln x = x für jedes k N einen Punkt k+ Summtion über k =,..., n ergibt k ln x dx = (ln k + ln(k + )) +. zk n ln x dx = ln k ln n + n. z k Nch Beispiel 5.6 ist mit n ln x dx = n ln n n +, lso ln k = ( n + ) ln n n + γ n γ n := n. z k Anwendung der Exponentilfunktion liefert mit c n = e γn : n! = n n+ e n c n. 5 Jmes Stirling wurde 69 in Grden (Stirlingshire/Schottlnd) geboren. Nch dem Studium in Glsgow und 7 76 in Oxford weilte er uch einige Zeit in Venedig. 76 wurde er Mitglied der Londoner Royl Society und wr b 735 Geschäftsführer bei einer Schottischen Bergbugesellschft. Stirling verstrb m in Edingburgh.

38 86 Wegen 0 < z k lso uch Es ist existiert der Grenzwert k γ := lim n γ n = c n = (n!) e n c n n n+ c := lim n c n = e γ., z k (n)n+ e n (n)! und Nun liefert ds Wllissche Produkt: ( 4n π = 4n mit n= = (n!) n(n) n (n)!n n n = n (n!) n(n)! lim n ) c n c n = c c = c. = lim n ( n 4... n (n ) n + = n + = n + ) 4k (k )(k + ) 4... (n) (n ) n n (n!), (n)! lso und dmit Drus folgt die Behuptung. π = lim n n (n!) (n)! n + n (n!) = lim n n (n)! c = π. Als weitere Anwendung liefert ds Wllissche Produkt: Stz (Guß sches Fehlerintegrl) Es gilt e x dx = π = Γ ( ).

39 87 Beweis: Die Substitution x = t liefert für ε > 0 und R > ε: R ε e x dx = Grenzübergng ε 0+ und R 0 ergibt R ε t e t dt ) 0 e x dx = Γ ( und dmit Nun ist nch Stz 5.49: ( ) Γ = lim n lso d.h. ( + Γ e x dx = n! n ) (... n + ( ) = lim n = lim n Γ 0 ) = lim n n n + n e x dx = Γ n ( ( ) = π. k k 4 ( ). ) ( 4k 4k = π = π, n! n ) (... n ) ( ), n + Crl Friedrich Guß wurde m in Brunschweig geboren. D er in sozil beengten Verhältnissen ufwuchs, ber schon in frühen Jhren verständnisvolle Lehrer htte, ermöglichte ihm die finnzielle Unterstützung des Herzogs von Brunschweig den Besuch des Gymnsiums, des Brunschweiger Collegium Crolinum und der Göttinger Universität. Dort studierte er Mthemtik. Bis zum Tod des Herzogs im Jhre 807 konnte Guß ohne weitere Verpflichtungen wissenschftlich rbeiten. 807 nhm Guß eine Berufung ls Professor der Astronomie und Direktor der Sternwrte n die Universität Göttingen n. Dort blieb er bis zu seinem Tod m

40 Ds Riemnn 6 -Stieltjes 7 -Integrl U.. us physiklischen Gründen ist folgende Modifiktion des in 5. eingeführten Riemnn schen Integrlbegriffs nützlich. Definition Es seien f, α B[, b]; mit den Bezeichnungen us Definition 5.0 bilden wir die Riemnn- Stieltjes-Summe n j S α (f, Z j, n j ) := f(η (j) k )(α(x(j) k ) α(x(j) k )) (für f bzgl. α). f heißt uf [, b] bzgl. α Riemnn-Stieltjes-integrierbr (RS-integrierbr), wenn für jede Zerlegungsnullfolge (Z j ) j und jede Whl der Zwischenvektoren η j für Z j die Folge (S α (f, Z j, η j )) j der Riemnn-Stieltjes-Summen konvergiert. Den (gemeinsmen) Grenzwert nennt mn Riemnn-Stieltjes-Integrl (RS-Integrl) von f über [, b] bzgl. des Integrtors α; wir schreiben f(x)dα(x), fdα(x) oder fdα. Ferner sei R α [, b] := { f B[, b] f bzgl. α über [, b] RS-integrierbr}; ist α = π = id [,b], so schreiben wir sttt R π [, b] kurz R[, b]. Thoms Jen Stieltjes wurde m in Zwolle (Niederlnde) geboren. Er studierte bis 877 n der Technischen Hochschule Delft, wr dnch m Observtorium in Leiden, wurde 883 Professor n der Universität Groningen, hbilitierte sich 886 in Pris und wurde 886 Professor n der Universität Toulouse. 894 führte er in einer Arbeit über Kettenbrüche die ls Stieltjes-Integrl beknnte Verllgemeinerung des Riemnn- Integrls ein. Am verstrb Stieltjes in Toulouse. Ohne Schwierigkeiten beweist mn Stz R α [, b] ist ein Untervektorrum von B[, b]; und es gilt: 6 vgl. S vgl. S. 88 (f + g)dα = fdα + gdα

41 89 sowie cf dx = c für lle f, g R α [, b] und lle c R. Ist f bzgl. α und bzgl. β RS-integrierbr, so uch bzgl. α + β und bzgl. cα für lle c R, und es gilt: fdα sowie fd(α + β) = fdα + fd(cα) = c fdα. fdβ Stz Ist f R α [, b], so gilt uch α R f [, b], und es ist fdα + αdf = f α b. Beweis: Sei Z = { x 0, x,..., x n } eine Zerlegung von [, b] und η = (η,..., η n ) ein zugehöriger Zwischenvektor. Mit η 0 := und η n+ := b erhlten wir mittels Abelscher prtieller Summtion (Stz.5): α(η k )[f(x k ) f(x k )] = (f(x k ) f(x 0 ))(α(η k ) α(η k+ )) + (f(b) f())α(b) k=0 = = f(x k )(α(η k+ ) α(η k )) + f() k=0 +(f(b) f())α(b) = (α(η k+ ) α(η k )) k=0 f(x k )(α(η k+ ) α(η k )) k=0 +f()(α(b) α()) + (f(b) f())α(b) f(x k )(α(η k+ ) α(η k )) + (f(b)α(b) f()α()) k=0 Die verschiedenen unter den Punkten η 0, η,..., η n+ definieren eine Zerlegung Z von [, b]; dnn ist die Summe f(x n )(α(η k+ ) α(η k )) eine RS-Summe für fdα bzgl. k=0 dieser Zerlegung Z. Für die Feinheiten dieser Zerlegungen gilt wegen x k η k x k η k+ x k+ : Z Z.

42 90 Mit (Z j ) j ist lso uch (Z j) j eine Zerlegungsnullfolge; nch Vorussetzung gilt dnn lim j n j f(x (j) k )(α(η(j) k+ ) α(η(j) k )) = fdα, k=0 lso lim j n j α(η (j) k )(f(x(j) k ) f(x(j) k )) = fdα + fα ] b. Beim Riemnn-Integrl ergb sich ufgrund der Monotonie des Integrls die wichtige, für lle f B[, b] gültige Abschätzung f(x)dx f (b ). Beim RS-Integrl erhlten wir für eine RS-Summe bzgl. α die Abschätzung S α (f, z, η) f α(x k ) α(x k ). Wir zeichnen die α us, für die die rechts stehende Summe für lle Zerlegungen Z beschränkt bleibt. Definition g : [, b] R heißt von beschränkter Vrition uf [, b], wenn es eine Konstnte K > 0 gibt derrt, dss für lle Zerlegungen Z von [, b] gilt: V (g, Z) := g(x k ) g(x k ) K In diesem Fll schreiben wir V b (g) := sup{ V (g, Z) Z} und nennen diese Größe die (totle) Vrition von g uf [, b]. Ferner sei BV [, b] := {g : [, b] R g von beschränkter Vrition uf [, b]}. Als Folgerung erhlten wir us dieser Definition: Stz BV [, b] ist eine Unterlgebr von B[, b].

43 9 Beweis: Ist g BV [, b], so gilt für jedes x [, b] lso g(x) g() + g(b) g(x) V b (g), g(x) g() V b (g) und dmit wegen g(x) g() g(x) g() uch g(x) g() + V b (g), d.h. g B[, b]. Ist c R, so ist mit g BV [, b] uch cg BV [, b], und es gilt V b b (cg) = c V (g). Die Dreiecksungleichung liefert, dss mit g, h BV [, b] uch g + h in BV [, b] liegt mit Ferner gilt V b b (g + h) V (g) + V b (h). g(x k )h(x k ) g(x k )h(x k ) = g(x k ) [h(x k ) h(x k )] + h(x k ) [g(x k ) g(x k )], worus für jede Zerlegung Z von [, b] folgt: g(x k )h(x k ) g(x k )h(x k ) g V b (h) + h V b (g). Also ist mit g, h uch gh Element von BV [, b]. Ferner gilt Stz Eine Funktion g : [, b] R ist genu dnn von beschränkter Vrition uf [, b], wenn g ls Differenz zweier monoton wchsender Funktionen drgestellt werden knn. Beweis: Sei c ], b[; ist g BV [, b], so ist g := g [,c] BV [, c] und g := g [c,b] BV [c, b]. Für eine beliebige Zerlegung Z von [, b] erhlten wir durch Verfeinerung die Zerlegung Z = Z {c} und die Zerlegungen Z = Z [, c] von [, c] bzw. Z = Z [c, b] von [c, b]. Dnn gilt worus V (g, Z) V (g, Z ) = V (g, Z ) + V (g, Z ) V c (g ) + V b c (g ), V b c (g) = sup{v (g, Z) Z Zerlegung von [, b]} V (g) + V c b (g) folgt. Für beliebige Zerlegungen Z von [, c] und Z von [c, b] ist Z Z eine Zerlegung von [, b], und es gilt V (g, Z ) + V (g, Z ) V (g, Z Z ) V b (g) ;

44 9 drus folgt Also gilt insgesmt V c (g) + V b c (g) V b (g). V c (g) + V b c (g) = V b (g). > Sei nun g BV [, b]; wir definieren V : [, b] R durch { 0 für x = V (x) = V x(g) für x ], b]. Für x, y [, b] mit x < y ergibt sich dmit Setzen wir T := V g, so folgt für x < y V (x) V (x) + Vx y (g) = V y (g) = V (y). T (y) T (x) = V (y) V (x) [g(y) g(x)] = Vx y (g) [g(y) g(x)] 0 wegen g(y) g(x) g(y) g(x) V y x (g). < Ist g monoton wchsend, so gilt für jede Zerlegung Z von [, b] g(x k ) g(x k ) = g(x k ) g(x k ) = g(b) g(), lso g BV [, b] mit V b (g) = g(b) g(). Stz 5.59 liefert dnn für die Differenz zweier monoton wchsender Funktionen g und g, dss g g BV [, b] gilt. Im Zusmmenhng mit dem RS-Integrl erhlten wir Stz 5.6. Ist α BV [, b] und f C[, b], so existiert ds RS-Integrl fdα. Beweis: Nch Stz 5.60 gilt α = α α mit zwei monoton wchsenden Funktionen α, α. Wegen Stz 5.56 reicht es lso, die Existenz von fdα zu zeigen. O.B.d.A. können wir dbei α () < α (b) vorussetzen. Wir orientieren uns n Abschnitt 5. und 5.. Zunächst gilt Stz 5. mit S α (f, Z, η) n Stelle von S(f, Z, η). Ferner bleibt die Aussge von Stz 5.3 erhlten: f B[, b] ist genu dnn RS-integrierbr, wenn zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z existiert mit: O α (f, Z) U α (f, Z) < ε. (Dbei ist O α (f, Z) := M k (α(x k )

45 93 α(x k )) und U α (f, Z) := m k (α(x k ) α(x k )).) Ist nun ε > 0 vorgegeben, so wählen wir η > 0 so, dss (α (b) α ())η < ε ist. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f existiert zu η ein δ > 0 mit f(x) f(t) < η für lle x, t [, b] mit x t < δ. Sei nun Z eine Zerlegung von [, b] mit Z < δ; dnn gilt M k m k η, lso O α (f, Z) U α (f, Z) = Folgerung 5.6. (M k m k )(α (x k ) α (x k )) η (α (x k ) α (x k )) = η(α (b) α ()) < ε. Es sei α eine Treppenfunktion uf [, b], die genu n den Stellen x,..., x m ], b[ Sprünge der Größe α,..., α m mit α k = lim α(x) lim α(x) hbe. Dnn gilt für x x k + x x k jedes f C[, b]: m fdα = f(x k )α k. Beweis: Wegen α BV [, b] ist f R α [, b] gemäß Szt 5.6; d sich α ls Summe von Treppenfunktionen mit genu einer Sprungstelle drstellen läßt, genügt es, die Behuptung für m = zu beweisen. Bzgl. der speziellen Zerlegungen mit lim j Z j = 0 erhlten wir dnn Z j = { y 0, y,..., y j, x j, x + j, y j+,..., y j } lim S α(f, Z j, (y,..., y j )) = lim f j j ( x + ) ( ( α x + ) ( α x )) j j j = f(x ) α. Den Zusmmenhng zwischen RS-Integrlen und R-Integrlen stellt der folgende Stz klr dr: Stz Es seien f und die Ableitung α einer Funktion α (nicht notwendig us BV [, b]) Riemnnintegrierbr uf [, b]. Dnn ist f R α [, b], und es gilt fdα = (f α )(x)dx.

46 94 Beweis: Sei Z := {x 0,..., x n } eine Zerlegung von [, b] und η ein zugehöriger Zwischenvektor; ferner sei ξ k ]x k, x k [ definiert durch und ξ = (ξ,..., ξ n ). Dnn gilt α(x k ) α(x k ) = α (ξ k )(x k x k ) f(η k )[α(x k ) α(x k )] = = + lso S α (f, Z, η) S(fα, Z, ξ) und dmit f(η k )α (ξ k )(x k x k ) (f(η k ) f(ξ k ))α (ξ k )(x k x k ) f(ξ k )α (ξ k )(x k x k ), f(η k ) f(ξ k ) α (ξ k ) (x k x k ) α [0(f, Z) U(f, Z)] S α (f, Z, η) (fα )(x)dx S α (f, Z, η) S(fα, Z, ξ) + S(fα, Z, ξ) fα dx α [O(f, Z) U(f, Z)] + S(fα, Z, ξ) fα dx. Nch dem Beweis zu Stz 5.3 gilt für jede Zerlegungsnullfolge (Z j ) j : (Wähle zu ε > 0 eine Zerlegung Z mit lim O(f, Z j) U(f, Z j ) = 0. j O(f, Z ) U(f, Z ) < ε; ist p die Anzhl der Teilintervlle von Z, so gilt für lle Z j mit Z j < Ferner gilt lim j S(fα, Z j, ξ j ) = O(f, Z j ) U(f, Z j ) < ε.) ε uch 3p Ω fα dx; zusmmen ergibt ds die Behuptung lim S α(f, Z j, η j ) = j (fα )(x)dx.