Ziel dieses Paragraphen ist die Untersuchung von parameterabhängigen Integralen der Form. f(x 1,..., x n, t) dt. Satz. f (x) = (x, t) dt.

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1 1 Kpitel 9 Mehrfche Integrle 1 Prmeterintegrle Inhlt: Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Prmeterintegrlen, Potentilfunktionen und Integrbilitätsbedingung, Fubini für Rechtecke, Leibnizsche Formel, uneigentliche Prmeterintegrle, die Gmm-Funktion. Ziel dieses Prgrphen ist die Untersuchung von prmeterbhängigen Integrlen der Form mit einer stetigen Funktion f. F (x 1,..., x n ) b f(x 1,..., x n, t) dt Sei B R n offen, I [, b] R ein bgeschlossenes Intervll und f : B I R stetig. Stz Unter den obigen Vorussetzungen ist F (x) : b f(x, t) dt uf B stetig. Ist f ußerdem stetig differenzierbr nch x 1,..., x n, so ist uch F stetig prtiell differenzierbr, und es gilt für i 1,..., n : F b f (x) (x, t) dt. x i x i Ohne Beweis. Beispiel. Sei f : R 2 R definiert durch f(x, t) : { (sin xt)/t für t, x für t.

2 2 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Weil (sin xt)/t x (sin xt)/(xt) für t gegen x konvergiert, ist f stetig und wir können z.b. F (x) π/2 f(x, t) dt bilden. Außerdem ist f nch x prtiell differenzierbr und { f cos xt für t, (x, t) : x 1 für t, und diese Funktion ist stetig. Also ist F (x) π/2 cos(xt) dt sin(xt) x π/2 sin((πx)/2) x. Allgemeiner gilt übrigens: Höhere Ableitungen von Prmeter-Integrlen Ist f r-ml stetig differenzierbr, so ist uch F r-ml stetig differenzierbr, und mn knn Differentitionen bis zur Ordnung r mit dem Integrl vertuschen. Eine erste Anwendung der Prmeter-Integrle ist die Lösung folgenden Problems: Sei B B r () eine offene Kugel um den Nullpunkt im R n und F (F 1,..., F n ) : B R n ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf B. Gesucht ist eine stetig differenzierbre Funktion f : B R mit f F. Dmit F(x) f(x) ( f x 1 (x),..., f x n (x)) sein knn, muß uf jeden Fll gelten: F i x j 2 f x i x j Ist diese notwendige Integrbilitätsbedingung 2 f x j x i F j x i, für i, j 1,..., n. F i x j (x) F j x i (x) für i, j 1,..., n und x B erfüllt, so knn mn ttsächlich die gesuchte Funktion f konstruieren. Dzu setzen wir n ( 1 ) f(x) : F i (tx) dt x i. i1 Wegen der Integrbilitätsbedingung ist

3 1 Prmeterintegrle 3 Dmit folgt: d dt (tf j(tx)) F j (tx) + t f x j (x) n [( i1 x j n ( 1 i1 1 1 ( t n i1 1 F j x i (tx)x i F j (tx) + t n i1 F i x j (tx)x i. ) 1 ] F i (tx) dt x i + δ ij F i (tx) dt ) t F i x j (tx) dt n i1 d dt (tf j(tx)) dt tf j (tx) 1 F j (x). x i + 1 F i x j (tx)x i + F j (tx) F j (tx) dt ) dt Wir erinnern uns n die Rottion eines Vektorfeldes F (F 1, F 2, F 3 ) im R 3 : rot(f) : ( F 3 x 2 F 2 x 3, F 1 x 3 F 3 x 1, F 2 x 1 F 1 x 2 ). Fssen wir die prtielle Differentition nch x i ls einen Opertor D i uf, so erhlten wir mit Hilfe des vektoriellen Opertors (D 1, D 2, D 3 ) die Beziehung rot(f) : F. Im R 3 bedeutet die obige Integrbilitätsbedingung gerde, dß rot(f) ist. Deshlb hben wir jetzt gezeigt: Integrbilitätsbedingung für Grdientenfelder Sei F ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf einer offenen Kugel um im R 3. F ist genu dnn Grdient einer differenzierbren Funktion, wenn rot(f) ist. Beispiele. 1. Sei F(x, y, z) : (x, y, z) uf einer Kugelumgebung von. Dnn ist offensichtlich rot(f). Also muß F Grdient einer Funktion f sein. Wir berechnen f nch der obigen Formel:

4 4 Kpitel 9 Mehrfche Integrle f(x, y, z) x x 1 1 F 1 (tx, ty, tz) dt + y tx dt + y (x 2 + y 2 + z 2 ) t (x2 + y 2 + z 2 ) ty dt + z F 2 (tx, ty, tz) dt + z 1 tz dt Die Probe zeigt sofort, dß f F ist, wie es j uch sein muß. 1 F 3 (tx, ty, tz) dt 2. Sei U : {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 } R 3 \ {(x, y, z) x y }. Dnn ist uf U ds Vektorfeld ( ) y F(x, y, z) : x 2 + y, x 2 x 2 + y, 2 stetig differenzierbr, und es gilt: und Also ist rot(f). F 1 y (x, y, z) (x2 + y 2 ) + y 2y y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ), 2 F 1 (x, y, z), z F 2 x (x, y, z) (x2 + y 2 ) x 2x y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ), 2 F 2 (x, y, z), z F 3 x (x, y, z) F 3 (x, y, z). y Wenn mn nun nicht so genu uf die Definitionsbereiche chtet, findet mn rsch eine Funktion g, deren Grdient ds Vektorfeld F ist. Mn brucht z.b. nur eine Stmmfunktion von F 2 bezüglich der Vriblen y zu suchen: g(x, y, z) y y y 1 y y y ϕ(y) x x 2 + t 2 dt x ( t dt )2 x ϕ (t) 1 + ϕ(t) dt (mit ϕ(t) t 2 x ) 1 ϕ(y ) 1 + s ds 2 ( y rctn + const. x)

5 1 Prmeterintegrle 5 Die Konstnte könnte noch von x und z bhängen, ber die Probe zeigt, dß wir sie nicht bruchen. Ttsächlich ist schon ( y g(x, y, z) : rctn x) eine Funktion mit g F. Leider ist g nicht uf gnz U definiert, sondern nur uf Teilmengen, z.b. uf U + : {(x, y, z) x > }. Eine ndere Stmmfunktion findet mn uf U : {(x, y, z) x < }, und später werden wir sehen, dß F uf gnz U kein Grdientenfeld sein knn. Ob ein Vektorfeld F mit rot(f) ein Grdientenfeld ist, hängt nämlich i.. uch von der Geometrie des Definitionsbereiches b. Auf Kugeln um den Nullpunkt (und verschiedenen nderen Gebieten) geht lles gut. Sobld ds Gebiet ber Löcher besitzt, die sich nicht innerhlb des Gebietes umgehen lssen, ist Vorsicht geboten. Wir betrchten nun eine stetige Funktion uf einem bgeschlossenen Rechteck, f : [, b] [c, d] R. Dnn sind die Funktionen F 1 (s) : d f(s, t) dt bzw. F 2 (t) : b c f(s, t) ds stetig und dher noch einml integrierbr. Überrschenderweise gilt: Stz von Fubini für stetige Funktionen uf Rechtecken b d f(s, t) dt ds d b c c f(s, t) ds dt. Beweis: Für c τ d sei g(s, τ) : τ c f(s, t) dt. Diese Funktion ist nch dem Stz über die Stetigkeit von Prmeterintegrlen für jedes feste τ eine stetige Funktion von s, und für festes s [, b] und τ [c, d] ist τ g(s, τ) in τ differenzierbr, mit g τ (s, τ ) f(s, τ ). Also ist g nch τ stetig prtiell differenzierbr, und wir können den Stz über die Differenzierbrkeit von Prmeterintegrlen nwenden: b b ( τ ) ϕ(τ) : g(s, τ) ds f(s, t) dt ds c

6 6 Kpitel 9 Mehrfche Integrle ist stetig differenzierbr, mit ϕ (τ) b f(s, τ) ds. Nun ist lso ϕ(c) und ϕ(d) b d c f(s, t) dt ds, d b c f(s, t) ds dt d c ϕ (t) dt ϕ(d) ϕ(c) b d c f(s, t) dt ds. Beispiele. 1. Wir betrchten f(x, y) : x y uf [, 1] [, b], mit < < b. Die Vorussetzungen des Stzes von Fubini sind erfüllt. Die rechte Seite ist leicht usgerechnet: b 1 x y dx dy b b ln ( 1 y + 1 xy y + 1 dy ( ) b Die linke Seite führt uf ein komplizierteres Integrl: 1 b x y dy dx ( b x ) dy ) e y ln x dy dx ( 1 ln x ey ln x b x b x ln x dx. y ) dx Ds ist ein uneigentliches Integrl, bei dem nicht sofort klr ist, wie mn es usrechnen sollte. Der Stz von Fubini liefert uns jedoch uf sehr bequeme Art einen Wert, er knn einem lso gelegentlich viel Arbeit erspren. 2. Die Funktion

7 1 Prmeterintegrle 7 f(x, y) : y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 ist uf [, 1] [, 1] \ {(, )} definiert, ber im Nullpunkt nicht mehr stetig. Der Stz von Fubini knn nicht ngewndt werden, ber dennoch existieren die iterierten Integrle: Für y > ist (wie wir weiter oben schon gezeigt hben) und dher Andererseits ist f(x, y) dx x x 2 + y 2 1 x y 2, 1 f(x, y) dx dy 1 + y dy 2 rctn(y) f(x, y) dy dx 1 y rctn(1) π ( y x 2 + y x dx 2 rctn(x) y 1 x rctn(1) π 4. ) dx Es ist lso gefährlich, bei mehrfchen Integrlen einfch so druf los zu integrieren!! Wir werden uns später dmit beschäftigen, unter welchen llgemeineren Vorussetzungen der Stz von Fubini noch gültig bleibt. Sttt eines Doppelintegrls knn mn uch mehrfche Integrle betrchten: Ist f : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ] R stetig, so existiert ds iterierte Integrl b1 b bn n f(x 1, x 2,..., x n ) dx n... dx 2 dx 1. Mit dem Stz von Fubini und einem Induktionsbeweis knn mn zeigen, dß der Wert des Integrls nicht von der Reihenfolge der Integrtionen bhängt. In der Prxis werden bei uns llerdings meist nur die Fälle n 2 und n 3 vorkommen. Jetzt wollen wir noch eine etws llgemeinere Sitution betrchten:

8 8 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Es seien ϕ, ψ : I : [, b] R zwei stetige Funktionen und f eine stetige Funktion uf N : {(x, t) I R ϕ(x) t ψ(x)}. x t b N ϕ ψ Leibnizsche Formel Sei f uf [, b] [c, d] stetig und nch der ersten Vriblen stetig differenzierbr. Die Funktionen ϕ, ψ : [, b] R seien differenzierbr, mit Werten in [c, d]. Dnn ist F (x) : ψ(x) ϕ(x) f(x, t) dt uf [, b] differenzierbr, und es gilt: F (x) ψ(x) ϕ(x) f x (x, t) dt + f(x, ψ(x))ψ (x) f(x, ϕ(x))ϕ (x). Beweis: Die Funktion g(x, τ) : τ c f(x, t) dt ist nch τ stetig differenzierbr, wie wir im Beweis zum Stz von Fubini schon gesehen hben. Nch dem Stz über die Differenzierbrkeit von Prmeterintegrlen ist g uch stetig differenzierbr nch x. Also ist F (x, u, v) : v u f(x, t) dt g(x, v) g(x, u) nch llen drei Vriblen stetig differenzierbr. Außerdem ist F (x) F (x, ϕ(x), ψ(x)). Die Anwendung der Kettenregel ergibt:

9 1 Prmeterintegrle 9 F (x) F F (x, ϕ(x), ψ(x)) + x u (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ (x) + F v (x, ϕ(x), ψ(x))ψ (x) F g (x, ϕ(x), ψ(x)) x u (x, ϕ(x))ϕ (x) + g v (x, ψ(x))ψ (x) ψ(x) f x (x, t) dt f(x, ϕ(x))ϕ (x) + f(x, ψ(x))ψ (x). ϕ(x) Beispiel. Sei F (x) : x 2 x ln 2 (x + t) dt, für x >. Die Funktion f(x, t) : ln 2 (x+t) ist für x > und t zwischen x und x 2 stetig und nch x stetig differenzierbr. Also ist F differenzierbr, und es gilt: F (x) x 2 x x 2 x f x (x, t) dt + f(x, x2 ) 2x f(x, x) 1 f t (x, t) dt + ln2 (x + x 2 ) 2x ln 2 (2x) (1 + 2x) ln 2 (x + x 2 ) 2 ln 2 (2x). Wir wollen nun noch uneigentliche Prmeter-Integrle betrchten. Zur Erinnerung: Ist g : [c, ) R stetig, so nennt mn ds uneigentliche Integrl R g(t) dt lim c R g(t) dt konvergent, flls der Limes uf der rechten Seite c existiert. Andernflls heißt ds uneigentliche Integrl divergent. Sei I ein offenes Intervll, J : [c, ) und f : I J R eine stetige Funktion. Für jedes s I möge ds Integrl Wir sgen, dß c c f(s, t) dt konvergieren. Definition: f(s, t) dt uf [, b] I gleichmäßig konvergiert, flls es eine stetige Funktion ϕ : [c, ) R gibt, so dß gilt: 1. f(s, t) ϕ(t) für lle (s, t) [, b] J. 2. Ds uneigentliche Integrl ϕ(t) dt konvergiert. c

10 1 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Stetigkeit und Differenzierbrkeit von uneigentlichen Prmeterintegrlen 1. Wenn c f(s, t) dt uf [, b] gleichmäßig konvergiert, so ist dort stetig, und es gilt: F (x) : c f(x, t) dt b F (x) dx c ( b f(x, t) dx) dt. 2. Ist f uf I J stetig nch x prtiell differenzierbr und konvergiert ds f Integrl (x, t) dt uf [, b] I gleichmäßig, so ist F (x) uf (, b) c x differenzierbr, und es gilt: F (x) c f (x, t) dt. x Auf den Beweis müssen wir hier verzichten. Der Stz gilt übrigens sinngemäß uch für lle nderen Typen von uneigentlichen Integrlen. Beispiel: Für x > wird durch Γ(x) : die sogennnte Gmm-Funktion definiert. e t t x 1 dt Hier ist f(x, t) e t t x 1 e (x 1) ln t t stetig uf (, ) (, ), und für jedes x > konvergiert f(x, t) dt. Ds sieht mn folgendermßen: 1. Für lle x R ist lim e t t x 1 t 2 lim e t t x+1, weil die Exponentilfunktion e t stärker ls jede Potenz von t wächst. Es gibt lso ein C > und ein t t t >, so dß gilt: e t t x 1 C t 2 für t t. Weil 1 ds Integrl t 2 dt konvergiert und e t t x 1 uf [1, t ] stetig ist, konvergiert uch 1 e t t x 1 dt.

11 1 Prmeterintegrle Ist x 1, so ist e t t x 1 uf [, 1] stetig und ds Integrl bei t überhupt nicht uneigentlich. 3. Ist < x < 1 und : 1 x, so ist uch < < 1 und ds uneigentliche Integrl 1 t dt konvergiert. D e t t x 1 t für < t 1 ist, konvergiert uch ds uneigentliche Integrl 1 e t t x 1 dt. Wir hben gleichzeitig gezeigt, dß ds Integrl über jedem Intervll [, b] mit < < b gleichmäßig konvergiert. Also ist Γ(x) stetig uf (, ). Der Integrnd f(x, t) e t t x 1 ist stetig nch x prtiell differenzierbr, mit f x (x, t) ln t e t t x 1 ln(t) f(x, t), und mn knn leicht zeigen, dß uch ds Integrl hierüber uf jedem Intervll [, b] mit < < b gleichmäßig konvergiert. Also ist Γ(x) differenzierbr, mit Γ (x) ln(t)e t t x 1 dt. Induktiv knn mn sogr zeigen, dß Γ beliebig oft differenzierbr ist. Es ist Γ(1) e t dt ( e t ) und es gilt die folgende Funktionlgleichung: Γ(x + 1) x Γ(x). Mn zeigt ds durch prtielle Integrtion: Nun folgt: Γ(x + 1) e t t x dt e t t x + x Γ(x). 1, e t xe x 1 dt Γ(2) 1, Γ(3) 2 und llgemein Γ(n + 1) n! für n 2. Die Gmm-Funktion interpoliert lso die Fkultäten. Und es gibt noch einen weiteren interessnten Wert der Gmmfunktion: Γ( 1 2 ) e x2 dx.

12 12 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Beweis: Wir benutzen folgende Aussge: Ist ϕ : [, ) [, ) surjektiv und differenzierbr, mit ϕ (x) > für x >, so ist f(t) dt f(ϕ(x))ϕ (x) dx. Ds soll heißen: Konvergiert eines dieser beiden Integrle, so uch ds ndere, und die Grenzwerte sind gleich. Zum Beweis benutzt mn die Substitutionsregel innerhlb endlicher Grenzen und geht dnn uf beiden Seiten der Gleichung zu den uneigentlichen Integrlen über. Mit t ϕ(x) : x 2 folgt nun: Γ( 1 2 ) e t t 1/2 dt 2 e x2 (x 2 ) 1/2 2x dx e x2 dx e x2 dx. Den genuen Wert (nämlich π) werden wir später berechnen.

13 2 Kurvenintegrle 13 2 Kurvenintegrle Inhlt: Wege und Kurven, Prmetertrnsformtionen, Bogenlänge, kontrvrinte und kovrinte Vektorfelder, totle Differentile, ds Linienelement, Kurvenintegrle erster und zweiter Art, der Huptstz über Kurvenintegrle, konservtive Vektorfelder und Potentile. In diesem Abschnitt wollen wir Funktionen und Vektorfelder über Kurven integrieren. Die betrchteten Kurvenintegrle sind nicht nur in der Mthemtik sehr wichtig, sie spielen uch eine bedeutende Rolle in der Physik. Definition: Einen stetigen und stückweise stetig differenzierbren Weg : [, b] R n nennen wir einen Integrtionsweg. Ist sogr überll stetig differenzierbr und (t) für lle t [, b], so sprechen wir von einem gltten Integrtionsweg. Die Abbildung heißt uch die Prmetrisierung des Weges, und die Bildmenge : {(t) : t [, b]} nennt mn die Spur von. Eine surjektive streng monoton wchsende (oder fllende) stetig differenzierbre Funktion ϕ : [c, d] [, b] nennt mn eine Prmetertrnsformtion. Die Wege und ϕ besitzen dnn die gleiche Spur. Ist gltt, so ist uch ϕ gltt. Der Punkt x A () : () heißt der Anfngspunkt und x E () : (b) der Endpunkt von. Durch die Prmetrisierung werden die Punkte uf der Spur von ngeordnet, es wird lso ein Durchlufungssinn oder eine Orientierung für festgelegt. Eine monoton wchsende Prmetertrnsformtion ϕ ändert diesen Durchlufungssinn nicht. Mn nennt ϕ dnn orientierungserhltend. Ist ϕ dgegen monoton fllend, so dreht sich der Durchlufungssinn um, und mn nennt ϕ orientierungs-umkehrend. Unter einer (orientierten) Kurve verstehen wir hier die Spur eines Weges, zusmmen mit einem Durchlufungssinn. Sei jetzt I [, b] und : I R n ein Integrtionsweg. Ist eine Zerlegung Z {t, t 1,..., t N } von [, b] gegeben, so liefern die Verbindungsstrecken der Punkte (t ), (t 1 ),..., (t N ) einen pproximierenden Polygonzug der Länge

14 14 Kpitel 9 Mehrfche Integrle L(Z, ) N (t i ) (t i 1 ). i1 Nch dem verllgemeinerten Mittelwertstz gibt es zu jedem i ein ξ i (t i 1, t i ) mit (t i ) (t i 1 ) (ξ i ) (t i t i 1 ). Deshlb ist folgendes Ergebnis nicht so überrschend: Strebt die Länge der Teilintervlle der Zerlegung gegen Null, so streben die Längen der entsprechenden Polygonzüge gegen die Zhl L() : b (t) dt. Diese Zhl nennt mn die Bogenlänge des Weges. Ist ϕ : [c, d] [, b] eine Prmetertrnsformtion, so ist L( ϕ) d ± ± ( ϕ) (t) dt c d c ϕ(d) ϕ(c) L(), (ϕ(t)) ϕ (t) dt (s) ds wobei ds während der Rechnung uftretende Vorzeichen dvon bhängt, ob ϕ orientierungserhltend ist. Es fällt m Schluß wieder weg, weil mn bei einer orientierungs-umkehrenden Trnsformtion die Integrlgrenzen vertuschen muß. Also ist die Bogenlänge unbhängig von der Prmetrisierung, und mn knn uch von der Länge einer Kurve sprechen. Beispiele. 1. Ist (t) + t(b ) die Prmetrisierung der Verbindungsstrecke von und b, mit t [, 1], so ist L() 1 b dt b. 2. Durch (t) (x +r cos t, y +r sin t) für t [, 2π] wird der Kreis um (x, y ) mit Rdius r definiert. Es ist L() 2π ( r sin t, r cos t) dt 2π r dt 2πr. 3. Sei > b > und (t) : ( cos t, b sin t) die Prmetrisierung einer Ellipse mit den Hlbchsen und b. Dnn ist (t) ( sin t, b cos t) und (t) 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t. Also erhält mn ls Länge des Ellipsenbogens ds Integrl

15 2 Kurvenintegrle 15 L() 2π 2π 2π 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt sin 2 t + b2 2 cos2 t dt 1 k2 cos 2 t dt, mit k : 1 b 2 / 2. Ein Integrl dieses Typs nennt mn ein Elliptisches Integrl. Es ist nicht elementr lösbr, mn knn es nur numerisch uswerten. Die Konstnte k wurde eingeführt, um ein sogennntes elliptisches Integrl zweiter Gttung in Legendrescher Normlform zu erhlten. Derrtige Integrle werden in den Formelsmmlungen tbelliert. 4. Sei f : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn wird durch (t) : (t, f(t)) ein gltter Weg in der Ebene gegeben (es ist (t) (1, f (t))), dessen Spur der Grph von f ist. Mn mche sich n diesem Beispiel die Unterschiede zwischen Funktion, Funktionsgrph, Weg und Spur eines Weges klr!! Es ist (t) 1 + f (t) 2, lso L() b 1 + f (t) 2 dt. Im 2. Semester hben wir gelernt, dß ds Differentil (lso die totle Ableitung) einer Funktion f : R n R in einem Punkt x eine Linerform (df) x uf dem R n ist, gegeben durch (df) x (v) f(x ) v. Die Differentile dx i der Koordintenfunktionen x i bilden in jedem Punkt des R n eine Bsis des Rumes L(R n, R) ller Linerformen uf dem R n, und mn knn schreiben: (df) x f (x ) dx f (x ) dx n. x 1 x n Dbei ist (dx i )(v 1,..., v n ) v i, für i 1,..., n. In der (multi)lineren Algebr hben wir jedem Vektor R n eine Linerform λ uf dem R n zugeordnet: Ist ( 1,..., n ), so ist λ 1 dx n dx n. Wir nennen einen solchen Ausdruck eine Differentilform der Dimension 1. Die Physiker sprechen von einem kovrinten Vektor. Obwohl der kontrvrinte Vektor und der kovrinte Vektor λ durch die gleichen Komponenten 1,..., n beschrieben werden, muß mn zwischen ihnen unterscheiden. Bei einem Wechsel des Koordintensystems trnsformieren sich die Komponenten unterschiedlich.

16 16 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Wir wechseln jetzt von Vektoren zu Feldern. Sei G R n ein beliebiges Gebiet. Für den Mthemtiker ist ein Vektorfeld uf G eine Abbildung F : G R n. Der Physiker sieht dgegen ein Vektorfeld eher ls eine Menge von Pren (x, v), wobei die Ortskomponente x G jeweils den Angriffspunkt des Vektors und die zweite Komponente v R n Richtung und Länge des Vektors beschreiben. Ist ber zu jedem Punkt x G genu so ein Pr (x, v) gegeben, so wird ds Feld vollständig durch die Zuordnung F : x v beschrieben. Deshlb nennen wir jede solche Abbildung F ein (kontrvrintes) Vektorfeld. Genuso knn mn kovrinte Vektorfelder oder 1-Formen uf G definieren: Jedem Punkt x G sei eine Differentilform ω x 1 (x) dx n (x) dx n zugeordnet. Die Abbildung ω : x ω x L(R n, R) nennen wir eine 1-Form (oder ein kovrintes Feld) uf G. Ds Feld heißt stetig, differenzierbr etc., wenn lle Komponentenfunktionen 1,..., n es sind. D mn in eine Differentilform im Punkt x noch einen Vektor einsetzen knn, ist es sinnvoll, eine Differentilform uf einem Gebiet G ls eine Funktion mit zwei Argumenten nzusehen: ω : G R n R ist gegeben durch ω(x, v) ω x (v). Die Abbildung ω ist liner im 2. Argument, und mn nennt sie stetig, differenzierbr etc., flls sie stetig, differenzierbr etc. vom ersten Argument bhängt. Offensichtlich entsprechen sich Vektorfelder und 1-Formen eineindeutig. Zu jedem Vektorfeld F (F 1,..., F n ) : G R n gehört die 1-Form mit ω F F 1 dx F n dx n : G R n R, ω F (x, v) : F (x) v. Umgekehrt erhält mn us jeder 1-Form ω ein Vektorfeld F (F 1,..., F n ) durch F i (x) : ω(x, e i ), für i 1,..., n. Beispiel. Ist f eine stetig differenzierbre Funktion uf G, so knn mn dort ds Grdientenfeld f bilden, ein stetiges Vektorfeld. Ihm entspricht die 1-Form df mit (df)(x, v) f(x) v. Für jedes x G ist dnn df x ds (totle) Differentil von f im Punkte x. Während jedoch jede Linerform ls Differentil in einem Punkt ufgefsst werden knn (ist λ : R n R selbst schon eine

17 2 Kurvenintegrle 17 Linerform, so ist (dλ) x λ, unbhängig vom Punkt x), so brucht eine beliebige 1-Form durchus kein totles Differentil zu sein. Ds elektrische Feld E (E 1, E 2, E 3 ) ist eigentlich ein kovrintes Feld der Form e E 1 dx 1 + E 2 dx 2 + E 3 dx 3. Allerdings merkt mn ds erst unter reltivistischen Bedingungen. I.. gibt es kein Potentil für E, d.h. e ω E ist kein totles Differentil. Ist : [, b] R n ein stetig differenzierbrer Weg, so können wir die Bogenlängenfunktion einführen: σ(t) : L( [,t] ) t (τ) dτ, für t b. σ(t) ist die Länge des Weges zwischen dem Prmeter und dem Prmeter t. Also ist σ() und σ(b) L(). Weiter gilt: σ (t) (t), lso dσ σ (t) dt (t) dt. Ist ein gltter Weg, so ist σ (t) >, lso σ streng monoton wchsend und dmit eine Prmeter-Trnsformtion σ : [, b] [, L()]. Benutzt mn : σ 1 ls Prmetrisierung, so sgt mn, der Weg ist nch der Bogenlänge prmetrisiert. Aus der Kettenregel ergibt sich sofort, dß (s) 1 ist. Die Geometrie von Wegen läßt sich besonders einfch beschreiben, wenn mn lle Wege nch der Bogenlänge prmetrisiert. Leider ist ds nur eine theoretische Option. Wie wir oben gesehen hben, läst sich schon der Ellipsenbogen nicht wirklich nch der Bogenlänge prmetrisieren, denn dzu müßte mn elliptische Integrle berechnen. Ds Differentil dσ bezeichnet mn ls ds Linienelement zu. Definition: Ist B R n offen, : [, b] B ein stetig differenzierbrer Integrtionsweg und f : B R eine stetige Funktion, so nennt mn f dσ : b ds Kurvenintegrl (1. Art) von f über. f((t)) (t) dt Mn bechte, dß f nur uf der Spur des Weges definiert sein muß. Der Ausdruck uf der linken Seite der Gleichung ist nur ein Symbol für die rechte Seite (es wird lso nicht f(x) über eine Vrible σ integriert, sondern f((t)) (t) über die Vrible t). Anschulich pproximiert mn ds Integrl durch Rechteck-Flächen, die sich ls Produkt us der Länge eines kleinen Wegstückes und einem zugehörigen Funktionswert von f ergeben.

18 18 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Eigenschften des Kurvenintegrls 1. Art Sei : [, b] B R n ein Integrtionsweg. 1. (c 1 f 1 + c 2 f 2 ) dσ c 1 f 1 dσ + c 2 für Funktionen f 1, f 2 und Konstnten c 1, c 2. f 2 dσ, 2. Ist ϕ : [c, d] [, b] eine Prmetertrnsformtion, so ist f dσ f dσ. ϕ 3. Es gilt die folgende Abschätzung: f dσ sup f L(). Beweis: 1) ist trivil. 2) beweist mn genuso wie den entsprechenden Stz über die Weglänge. 3) Die stetige Funktion f nimmt uf [, b] ein endliches Supremum n, lso uch f uf ([, b]), und dher ist b f dσ f((t)) (t) dt b f((t)) (t) dt sup f b (t) dt sup f L(). Beispiel. Sei (t) : (cos t, sin t) für t π die Prmetrisierung der oberen Hälfte des Einheitskreises und f(x, y) : x + y. Dnn ist π f dσ (cos t + sin t) ( sin(t), cos(t)) dt π (cos t + sin t) dt π (sin t cos t) (( 1) 1) 2.

19 2 Kurvenintegrle 19 In der Prxis ist ein nderes Kurvenintegrl wichtiger. Dzu betrchten wir ein physiklisches Problem: Ein Mssenpunkt soll in einem Krftfeld F längs eines gltten Weges bewegt werden. Die Arbeit, die bei der Bewegung verrichtet wird, hängt nur von derjenigen Komponente der Krft b, die in Richtung des Tngentilvektors n zeigt. Diese Komponente ist n der Stelle (t) durch ds Sklrprodukt us F((t)) und dem Tngenteneinheitsvektor T (t) (t)/ (t) gegeben. Die Gesmt-Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Mssenpunkt entlng des gnzen Weges bewegt wird, ergibt sich durch Integrtion über F((t)) T (t) dσ F((t)) (t) dt. Definition: Sei B R n offen, : [, b] B ein stetig differenzierbrer Integrtionsweg und F : B R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn nennt mn F dx : b ds Kurvenintegrl (2. Art) von F über. F((t)) (t) dt Ds Kurvenintegrl 1. Art ist orientierungsunbhängig. Gnz nders liegen die Dinge beim Kurvenintegrl 2. Art. Wir benutzen folgende Schreibweise: Ist ein Integrtionsweg, so soll den umgekehrt durchlufenen Weg bezeichnen. Eigenschften des Kurvenintegrls 2. Art 1. (c 1 F 1 + c 2 F 2 ) dx c 1 F 1, F 2 und Konstnten c 1, c 2. F 1 dx + c 2 F 2 dx, für Vektorfelder 2. Ist ϕ : [c, d] [, b] eine Prmetertrnsformtion mit ϕ (x) > für lle x [c, d], so ist F dx F dx. 3. Es ist ϕ F dx F dx. 4. Es gilt die folgende Abschätzung: F dx sup F L().

20 2 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Beweis: 1) ist trivil. 2) + 3): Ist ϕ : [c, d] [, b] eine beliebige Prmeter-Trnsformtion, so ist ( ϕ) (t) (ϕ(t)) ϕ (t), lso ϕ F dx d c ϕ(d) ϕ(c) sign(ϕ ) F((ϕ(t))) (ϕ(t))ϕ (t) dt F((s)) (s) ds b F((s)) (s) ds sign(ϕ ) F dx. Den umgekehrt durchlufenen Weg erhält mn über die Prmetertrnsformtion ϕ(t) + b t mit ϕ (t) 1. 4) Zur Abschätzung benötigt mn die Schwrzsche Ungleichung: F dx b b b F((t)) (t) dt F((t)) (t) dt F((t)) (t) dt b sup F (t) dt sup F L(). Beispiele. 1. Sei n 2, F(x, y) : (cy, ), c >, und (t) : (cos t, 1 + sin t) uf [, 2π]. Dnn ist F dx 2π 2π c F((t)) (t) dt (c(1 + sin t), ) ( sin t, cos t) dt 2π (sin t + sin 2 t) dt cπ. Fßt mn F ls Strömungsfeld uf, so mißt ds Kurvenintegrl über einen Kreis die Zirkultion der Strömung.

21 2 Kurvenintegrle Sei n 3, (t) : (cos t, sin t, ) (für t 2π ) und ( ) y F(x, y, z) : x 2 + y, x 2 x 2 + y, fürx 2 + y 2. 2 Ds Vektorfeld ist uns schon im ersten Prgrphen begegnet, ls eines, ds kein Grdientenfeld ist. Nun gilt: 2π F dx F((t)) (t) dt 2π 2π ( sin t, cos t, ) ( sin t, cos t, ) dt (sin 2 t + cos 2 t) dt 2π. Setzen wir dgegen β(t) : (2 + cos t, sin t, ), so ist 2π F dx F(β(t)) β (t) dt β 2π 2π 1 2 ( ) sin t cos t, 2 + cos t cos t, ( sin t, cos t, ) dt cos t cos t dt [ 1 2π π 3 2 2π cos t dt cos t. ] dt 1 Die Funktion ist uf [, 2π] positiv und symmetrisch zur Gerden cos t t π. Dher gilt mit der Substitution ϕ(x) 2 rctn(x) und der Formel cos t (1 tn 2 (t/2))/(1 + tn 2 (t/2)) : 2π dt cos t π dt cos t x2 1+x 2 dx 9 + x 2 dx 1 + (x/3) (rctn x 3 ) 12 9 π π x 2 dx

22 22 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Also ist β F dx. Im ersten Fll hben wir über eine geschlossene Kurve um die Polstellenmenge von F herum integriert, im zweiten Fll über eine geschlossene Kurve, die gnz in der Menge U + liegt, innerhlb der F ein Grdientenfeld ist. Huptstz über Kurvenintegrle Sei G R n ein Gebiet (lso eine offene zusmmenhängende Menge), und F ein stetiges Vektorfeld uf G. Dnn sind die folgenden Aussgen über F äquivlent: 1. F ist ein Grdientenfeld, d.h. es gibt eine stetig differenzierbre Funktion f uf G, so dß F f ist. 2. Sind p und q Punkte in G, so ht ds Kurvenintegrl F dx für lle Integrtionswege : [, b] G mit () p und (b) q den gleichen Wert. (Ds Integrl ist wegunbhängig ). 3. Ist : [, b] G ein geschlossener Integrtionsweg, so ist F dx. Insbesondere ist ( f) dx f((b)) f(()). Beweis: (1) (2) : Ist F f, so gilt: F dx b b F((t)) (t) dt f((t)) (t) dt b d (f )(t) dt dt f((b)) f(()) f(q) f(p), und ds hängt nicht mehr von b. Den Zustz hben wir dmit uch gleich bewiesen!

23 2 Kurvenintegrle 23 (2) (3) : Ist : [, b] G ein geschlossener Weg und p : () (b), so hben und den gleichen Anfngs- und Endpunkt. Also ist F dx F dx F dx, und dher F dx. (3) (1) : Wir setzen vorus, dß ds Integrl über jeden geschlossenen Weg verschwindet, und wir müssen eine Funktion f mit f F konstruieren. Dzu sei p G ein fest gewählter Punkt. Ist x G ein beliebiger nderer Punkt, so gibt es einen stetigen Weg, der p innerhlb von G mit x verbindet. Mn knn diesen Weg sogr ls Streckenzug, lso ls Integrtionsweg wählen. Wir setzen f(x) : F dx. Offensichtlich hängt diese Definition nicht von dem Weg b. Es bleibt zu zeigen, dß f F ist. Sei x G beliebig und e i der i-te Einheitsvektor. Sei ein Weg zwischen p und x, sowie γ t ein Weg von p nch x t : x + te i. Zusmmen mit der Verbindungsstrecke ϱ(s) : x + se i, s t, von x nch x t erhält mn für jedes t [, 1] einen geschlossenen Weg, über den ds Integrl Null ergibt. Dnn gilt: f(x + te i ) f(x ) F dx γ t F dx ϱ t F dx F(x + se i ) e i ds. ϱ x + e i x x t γ t p Setzen wir g(s) : F(x + se i ) e i F i (x + se i ), so ist f(x + te i ) f(x ) t g(s) ds, und nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung gibt es ein c c(t) [, t], so dß gilt: f(x + te i ) f(x ) g(c) (t ) F i (x + ce i ) t, lso f f(x + te i ) f(x ) (x ) lim x i t t Dmit ist lles gezeigt. lim t F i (x + c(t) e i ) F i (x ).

24 24 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Definition: Ist f F, so nennt mn f ein Potentil für F. Jetzt können wir ds Beispiel F(x, y, z) : ( ) y x 2 + y, x 2 x 2 + y, 2 interpretieren. Auf U + (und genuso uf U ) besitzt F ein Potentil, und deshlb muß dort ds Integrl über F und jeden geschlossenen Weg verschwinden. Besäße F sogr uf seinem gnzen Definitionsbereich ein Potentil, so müßte uch dort jedes Integrl über einen geschlossenen Weg verschwinden. Wir hben ber bereits einen Weg gefunden, uf den ds nicht zutrifft. Also knn F kein globles Grdientenfeld sein. Zum Schluß kehren wir zu unserer physiklischen Anwendung zurück. Auf dem R 3 sei ein Krftfeld F gegeben. Ein Mssenpunkt der Msse m bewege sich in diesem Krftfeld entlng eines Weges : [, b] R 3. Dnn ist v(t) : (t) der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens zur Zeit t. Ds Newtonsche Gesetz der Bewegung besgt: F((t)) m v (t) für jeden Zeitpunkt t. Wenn mn ds Teilchen entlng von p : () nch q : (b) bewegt ht, so beträgt die dbei geleistete Arbeit b F dx F((t)) (t) dt b m v (t) v(t) dt b m 2 d [v(t) v(t)] dt dt m b 2 v(t) 2 m 2 [ v(b) 2 v() 2]. T (t) : m 2 v(t) 2 ist die kinetische Energie des Teilchens zur Zeit t. Die geleistete Arbeit ist lso gerde die Änderung der kinetischen Energie. Mn nennt ds Krftfeld F konservtiv, wenn es ein Potentil besitzt: F U. In diesem Fll ist

25 2 Kurvenintegrle 25 F dx [U((b)) U(())], lso T () + U(()) T (b) + U((b)). Ds bedeutet, dß die Gesmtenergie E((t)) : U((t)) + T (t) bei der Bewegung des Teilchens konstnt bleibt. Ds ist der Stz von der Erhltung der Energie. Zum Schluß noch eine Bemerkung zu den kovrinten Feldern: Schreiben wir forml dx (dx 1,..., dx n ) und ist F (F 1,..., F n ) ein Vektorfeld, so ist ebenflls forml F dx F 1 dx F n dx n ω F. Deshlb können wir ds Integrl über eine 1-Form ω F durch ω F : F dx definieren. Ist speziell ω df ein totles Differentil, so ist ω f((b)) f(()). Beispiel. Ist F (f, g) ein Vektorfeld uf einem Gebiet G R 2 und ( 1, 2 ) : [, b] G ein Integrtionsweg, so ist (f dx + g dy) b ( 1 (t)f((t)) + 2(t)g((t)) ) dt. Diese Schreibweise wird gerde bei Integrlen in der Ebene häufig verwendet.

26 26 Kpitel 9 Mehrfche Integrle 3 Ds Riemnn-Integrl Inhlt: Quder und Prtitionen, Jordnsches Mß, Jordn-Nullmengen, Meßbrkeits-Kriterien, Obersummen und Untersummen, Riemnnsches Integrl, Integrtionsregeln, Stz von Fubini, Mittelwertstz der Integrlrechnung. In diesem Abschnitt lernen wir den Jordn-Inhlt von Mengen im R n kennen und erfhren, ws Nullmengen sind und wie mn ds Volumen von Teilmengen des R 3 berechnet. Außerdem wird ds Integrl strk verllgemeinert, und es wird gezeigt, wie n-dimensionle Integrle uf 1-dimensionle zurückgeführt werden können. Unter einem (bgeschlossenen) Quder im R n versteht mn eine Menge der Gestlt Q [ 1, b 1 ]... [ n, b n ]. Wir setzen : ( 1,..., n ) und b : (b 1,..., b n ) und schreiben: Q Q(, b). Dnn ist v n (Q) : (b 1 1 )... (b n n ) ds n-dimensionle Volumen von Q. Eine Prtition (oder Zerlegung) P i des Intervlls [ i, b i ] ist eine Unterteilung i t (i) < t (i) 1 <... < t (i) k i b i. Ist für jedes i eine solche Prtition gegeben, so nennt mn P (P 1,..., P n ) eine Prtition des Quders Q. Anschulich verstehen wir drunter einfch die Menge ller Teilquder von Q, die durch die Unterteilung der Knten [ i, b i ] entstehen. Wählt mn zu jedem i ein Teilintervll I (i) ν i mn den Teilquder Q ν1 ν 2...ν n I ν (1) 1 I ν (2) 2... I ν (3) n. [t (i) ν i 1, t (i) ν i ], i 1,..., n, so erhält b 2 t (2) 4 t (2) 3 t (2) 2 t (2) 1 2 t (2) Q 1,3 Q3,2 1 t (1) t (1) 1 t (1) 2 t (1) 3 b 1

27 3 Ds Riemnn-Integrl 27 Nun wollen wir drn gehen, möglichst vielen Mengen ein Mß zuzuordnen: Sei X R n eine beschränkte Menge. Dnn gibt es einen bgeschlossenen Quder Q, in dem X enthlten ist, und wir können Prtitionen P von Q betrchten. Die Menge ller Teilquder Q von P mit Q X ist eine endliche Menge von Qudern, in deren Vereinigung X enthlten ist. Wir nennen so etws eine Quderüberdeckung von X. Wir setzen jetzt v (X, P) : v n (Q) Q X und v (X, P) : v n (Q). Q X Definition: v (X) : sup v (X, P) heißt inneres Mß von X, P v (X) : inf P v (X, P) heißt äußeres Mß von X. Die Menge X heißt (Jordn-)meßbr, flls v (X) v (X) ist. Der gemeinsme Wert heißt ds n-dimensionle Jordn-Mß oder der Inhlt von X und wird mit v n (X) bezeichnet. Bemerkung. Nur beschränkte Mengen können Jordn-meßbr sein. Mn könnte uf die Idee kommen, dß Meßbrkeit und Mß von dem zu Anfng gewählten Quder Q bhängen. Es läßt sich ber leicht zeigen, dß ds nicht der Fll ist. Mn knn z.b. den kleinsten Quder benutzen, in dem X enthlten ist. Der gegebene Meßbrkeitsbegriff ist zwr recht nschulich, ber mn knn schlecht dmit rechnen. Wir wollen nun eine etws hndlichere Formulierung suchen: Unter einer Qudersumme verstehen wir eine endliche Vereinigung von bgeschlossenen Qudern. Jede Qudersumme knn so in Teilquder zerlegt werden, dß je zwei verschiedene Teilquder höchstens Rndpunkte gemeinsm hben.

28 28 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Ist eine Qudersumme S in dieser Art in Teilquder zerlegt, so gewinnt mn ds Mß v n (S) ls Summe der Mße ller Teilquder. Auch hier könnte mn rgwöhnen, dß ds Mß von der Zerlegung bhängt. Ds ist ber nicht der Fll, wie mn leicht durch Übergng von zwei verschiedenen Zerlegungen zu einer gemeinsmen Verfeinerung sehen knn. Nun gilt: 1. Meßbrkeits-Kriterium Die Menge M ist genu dnn Jordn-meßbr, wenn gilt: Zu jedem ε > gibt es Qudersummen S, T mit S M T und v n (T ) v n (S) < ε. Der Beweis ergibt sich us einer genuen Anlyse ller benutzten Begriffe. Definition: Eine Teilmenge Z R n heißt eine (Jordn-)Nullmenge, wenn sie meßbr und v n (Z) ist. Aus dem 1. Meßbrkeitskriterium folgt sofort: Stz Eine Teilmenge Z R n ist genu dnn eine (Jordn-)Nullmenge, wenn es zu jedem ε > endlich viele bgeschlossene Quder Q 1,..., Q m gibt, so dß gilt: 1. Z Q 1... Q m. 2. v n (Q 1 ) + + v n (Q m ) < ε.

29 3 Ds Riemnn-Integrl 29 Beispiele. 1. D eine Nullmenge meßbr ist, folgt sofort: Eine unbeschränkte Menge knn keine Jordn-Nullmenge sein. 2. Ist Q Q(, b) ein Quder im R n und k b k für ein k, so ist v n (Q) und dmit Q eine Nullmenge. Mn spricht in diesem Fll uch von einem entrteten Quder. Allgemeiner ist jede beschränkte Menge, die in einer (ffinen) Hyperebene des R n enthlten ist, eine n-dimensionle Nullmenge. Sie knn jedoch in einem geeigneten niederdimensionlen Rum durchus positives Volumen hben. 3. Ist Z {x 1,..., x m } eine endliche Menge im R n, so ist Z eine Nullmenge. Mn sieht ds so: Ist ε > vorgegeben, so wähle mn einfch Würfel mit einer Seitenlänge < n ε/m um die x i. Diese Würfel überdecken Z und hben ein Gesmtvolumen < ε. 4. Endliche Vereinigungen von Nullmengen sind wieder Nullmengen. 5. Ist Q R n 1 ein Quder und f : Q R stetig differenzierbr, so ist der Grph G f {(x, t) Q R : t f(x)} eine Jordn-Nullmenge im R n. Zum Beweis sei n den verllgemeinerten Mittelwertstz erinnert: Ist C : sup Q f(x), so ist f(b) f() C b, für lle, b Q. Wir bruchen nur diese Folgerung us der stetigen Differenzierbrkeit, die Funktion f heißt dnn Lipschitz-stetig. Ist ε > vorgegeben, so knn mn eine Prtition von Q finden, so dß für jeden Teilquder P dieser Prtition gilt: b < ε/(c v n 1 (Q)) für, b P. Dnn gibt es ein bgeschlossenes Intervll I der Länge δ : ε/v n 1 (Q), so dß G f (P R) P I ist. Weil v n (P I) v n 1 (P ) δ und P v n 1(P ) v n 1 (Q) ist, folgt: G f ist in einer endlichen Vereinigung von Qudern mit einem Gesmtvolumen v n 1 (Q) δ ε enthlten. 6. Die Menge {x R : x 1 und x rtionl } ist keine Nullmenge in R, obwohl sie nur bzählbr ist. Den direkten Beweis möge sich der interessierte Leser selbst überlegen. Wir kommen uf dieses Beispiel später zurück. 7. Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen. Mit etws technischem Aufwnd ergibt sich:

30 3 Kpitel 9 Mehrfche Integrle 2. Meßbrkeitskriterium 1. Eine Menge M R n ist genu dnn Jordn-meßbr, wenn M beschränkt und M eine Nullmenge ist. 2. Ist M Jordn-meßbr, so sind uch M und M meßbr, und es ist v n (M) v n ( M) v n (M). Meßbrkeit von Durchschnitt und Vereinigung Sind A, B Jordn-meßbre Mengen im R n, so sind uch A B, A B und A \ B Jordn-meßbr. Insbesondere gilt: v n (A B) v n (A) + v n (B) v n (A B). Auch der folgende Stz ist nschulich klr, uf einen genuen Beweis verzichten wir: Meßbrkeit von Produktmengen Ist A Jordn-meßbr im R n und B Jordn-meßbr im R m, so ist A B Jordnmeßbr im R n+m, und es gilt: v n+m (A B) v n (A) v m (B). Sei jetzt Q R n ein Quder und f : Q R eine beschränkte Funktion. Ist P eine Prtition von Q, so soll T P bedeuten, dß T einer der durch P bestimmten Teilquder von Q ist. Dnn setzen wir S u (f, P) : T P(inf T f(x)) v n(t ) und S o (f, P) : T P sup f(x) v n (T ). T

31 3 Ds Riemnn-Integrl 31 S u (f, P) heißt Untersumme von f zur Prtition P, und S o (f, P) heißt Obersumme von f zur Prtition P. Genu solche Summen hben wir uch beim 1-dimensionlen Integrl über stetige Funktionen betrchtet. Definition: Eine beschränkte Funktion f : Q R heißt (im Riemnnschen Sinne) integrierbr, wenn gilt: sup{s u (f, P) : P Prtition von Q} inf{s o (f, P) : P Prtition von Q}. Den gemeinsmen Wert nennen wir ds (Riemnnsche) Integrl von f über Q, und wir benutzen dfür ds Symbol f(x) dv n. Q Beispiel. Sei f(x) c uf Q eine konstnte Funktion. Dnn ist inf T f(x) sup T f(x) c für lle Teilquder T von Q. Für eine Prtition P von Q ist lso S u (f, P) T P c v n (T ) c v n (Q) und S o (f, P) T P c v n (T ) c v n (Q) Dmit ist f über Q integrierbr und f(x) dv n c v n (Q). Q Ds ist ds Ergebnis, ds wir erwrten. Ds Integrl ist der Inhlt des Quders im R n+1, der über Q liegt und die Höhe c ht. Häufig ht mn es mit Funktionen zu tun, deren Definitionsbereich kein Quder ist. Dnn geht mn folgendermßen vor: Sei f : R n R eine (beliebige) Funktion. Unter dem Träger von f versteht mn die Menge Tr(f) : {x R n : f(x) }. Ist Tr(f) eine beschränkte (und dmit kompkte) Menge, so sgt mn: f ist eine Funktion mit kompktem Träger.

32 32 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Beispiel. f(x, y) : mx(, 1 x 2 y 2 ) ist eine Funktion mit kompktem Träger, der Träger ist der Einheitskreis. Sei f : R n R eine Funktion mit kompktem Träger, Q ein Quder mit Tr(f) Q. Ist f Q integrierbr, so heißt uch f selbst integrierbr, und mn setzt f(x) dv n : (f Q )(x) dv n. Nun sei M R n eine (beschränkte) Jordn-meßbre Teilmenge. Eine Funktion f : M R heißt integrierbr, flls die trivil fortgesetzte Funktion { f(x) flls x M f(x) : sonst integrierbr ist. Mn setzt dnn f(x) dv n : f(x) dv n. M Q Integrierbrkeits-Kriterium Sei Q ein (bgeschlossener) Quder, f : Q R eine Funktion, die ußerhlb einer Jordn-Nullmenge stetig ist. Dnn ist f (über Q) integrierbr. Dieser Stz ist eine Verllgemeinerung der Aussge, dß eine stückweise stetige Funktion uf einem bgeschlossenen Intervll integrierbr ist. Allerdings ist die Aussge hier etws llgemeiner: Eine Teilmenge eines bgeschlossenen Intervlls in R ist genu dnn eine Nullmenge, wenn sie höchstens endlich viele Häufungspunkte ht. Sie drf demnch ber eine unendliche Menge sein. Unendlich viele Unstetigkeitsstellen htten wir bisher nicht zugelssen. Den Beweis der obigen Aussge können wir hier nicht erbringen. Folgerung Ist M R n Jordn-meßbr und f : M R stetig, so ist f über M integrierbr. Beweis: M ist beschränkt, liegt lso in einem bgeschlossenen Quder Q. Der Rnd M Q ist eine Nullmenge, und die trivile Fortsetzung f ist uf den Mengen M und Q \ M stetig, lso über Q integrierbr. Dmit ist uch f über M integrierbr.

33 3 Ds Riemnn-Integrl 33 Sei M R n Jordn-meßbr. Integrtionsregeln 1. Sind f und g über M integrierbr, so uch c 1 f + c 2 g, und es gilt: (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dv n c 1 f(x) dv n + c 2 g(x) dv n. M 2. Sind f und g über M integrierbr und ist f g uf M, so ist f(x) dv n g(x) dv n. M 3. Mit f ist uch f über M integrierbr, und es gilt: f(x) dv n f(x) dv n sup f v n (M). M M M 4. Sei f uf M integrierbr und N M Jordn-meßbr. Dnn ist f uch über N integrierbr. Ist N eine Jordn-Nullmenge, so ist f(x) dv n. 5. Sei M A B, mit A B. Sind beide Mengen Jordn-meßbr, so ist f : M R genu dnn integrierbr, wenn f A und f B integrierbr sind, und dnn ist f(x) dv n f(x) dv n + f(x) dv n. M A N M M B M Die meisten Beweise sind einfch. Hier sind nur ein pr Bemerkungen zu (3): Für eine beliebige Funktion f setzen wir f + : mx(f, ) und f : mx( f, ). Dnn sind f +, f, und es ist f f + f und f f + + f. Außerdem gilt: S u (f, P) S u (f +, P) S o (f +, P) S o (f, P). Drus folgt, dß mit f uch f + integrierbr ist. Die Anwendung uf f ergibt die Integrierbrkeit von f und dmit schließlich uch die von f. Nun kommen wir zu dem Stz, der die prktische Berechnung von Integrlen erst möglich mcht:

34 34 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Stz von Fubini (für Riemnn-Integrle) Seien P R p und Q R q bgeschlossene Quder, f : P Q R eine integrierbre Funktion. Für x P sei f x : Q R definiert durch f x (y) : f(x, y). Wenn f x für lle x P integrierbr ist, dnn ist uch die Funktion x f x (y) dv q integrierbr, und es ist f(x, y) dv p+q P Q Q P ( ) f(x, y) dv q dv p. Q Für p q 1 und stetiges f hben wir den Stz schon bewiesen. Der llgemeine Fll ist technisch erheblich ufwendiger zu zeigen. Wir verzichten uf den Beweis und beschränken uns uf einige Anmerkungen: 1. Der Stz bleibt ntürlich richtig, wenn mn die Rollen von x und y vertuscht. Unter den Vorussetzungen des Stzes gilt lso: P ( ) f(x, y) dv q dv p Q Q ( P ) f(x, y) dv p dv q. 2. Es knn vorkommen, dß f x nicht für lle x P integrierbr ist. Mn knn ber zeigen, dß die Ausnhmepunkte eine Jordn-Nullmenge bilden, und dß die Funktionen x U(f x ) : sup{s u (f x, P) : P Prtition von Q} und x O(f x ) : inf{s o (f x, P) : P Prtition von Q} uf P integrierbr sind. Es gilt dnn: P U(f x ) dv p P O(f x ) dv p P Q Für lle Punkte x ußerhlb einer Nullmenge N P ist U(f x ) O(f x ) Q f x (y) dv q. f(x, y) dv p+q. Durch sukzessive Anwendung des Stzes von Fubini ergibt sich:

35 3 Ds Riemnn-Integrl 35 Folgerung Ist Q [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ] und f : Q R stetig, so ist f(x) dv n bn Q 2 n... b2 b1 1 f(x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2... dx n. Dbei kommt es nicht uf die Reihenfolge der Integrtionen n. Ist f : [, b] R stetig, so ist f integrierbr und f(x) dv [,b] 1 b f(x) dx, ds ergibt sich us dem Existenzbeweis für Stmmfunktionen stetiger Funktionen (vgl. Mthemtik 1). Leider hben wir nicht immer nur mit stetigen Funktionen zu tun. Stz (über die Integrierbrkeit in einer Veränderlichen) Sei f : [, b] R stückweise stetig (d.h. stetig bis uf höchstens endlich viele Sprungstellen). Dnn ist f integrierbr und [,b] f(x) dv 1 b f(x) dx. Beweis: Nch Vorussetzung ist f uf dem Quder [, b] definiert und ußerhlb einer Nullmenge stetig, lso integrierbr. Sei nun t < t 1 <... < t n b und f (ti 1,t i ) stetig, für lle i. Dnn ist n n ti b f(x) dv 1 f(x) dv 1 f(x) dx f(x) dx. [,b] [t i 1,t i ] t i 1 i1 i1 Jetzt wollen wir die Verbindung zwischen Integrtion und Volumenmessung herstellen: Definition: Ist M R n eine Teilmenge, so heißt die durch { 1 flls x M c M (x) : sonst definierte Funktion c M : R n R die chrkteristische Funktion von M.

36 36 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Ist die Menge M beschränkt, so ist c M eine Funktion mit kompktem Träger. Auf den offenen Mengen M und R n \ M ist c M konstnt und dher stetig. In den Punkten von M ist c M dgegen zwngsläufig unstetig. Zusmmenhng zwischen Meßbrkeit und Integrierbrkeit Eine Teilmenge M R n ist genu dnn Jordn-meßbr, wenn die chrkteristische Funktion c M integrierbr ist, und dnn ist c M (x) dv n v n (M). Beweis: Ist M meßbr, so ist M beschränkt und M eine Nullmenge. Dnn ist c M eine Funktion mit kompktem Träger, die ußerhlb der Nullmenge M stetig und dmit integrierbr ist. Wird umgekehrt vorusgesetzt, dß c M integrierbr ist, so muß M in einem Quder Q enthlten sein, und U(c M ) O(c M ). Es ist ber S u (c M, P) v (M, P) und S o (c M, P) v (M, P) für jede Prtition P. Also ist v (M) v (M) c M (x) dv n. Q Beispiel. Sei Q R n ein bgeschlossener Quder und f : Q R stetig differenzierbr und positiv, sowie M f : {(x, t) Q R : t f(x)}. Es gibt ein k, so dß f(x) k für lle x Q ist. D G f eine Jordn- Nullmenge ist, ist M : M f Jordn-meßbr und dmit die chrkteristische Funktion c M integrierbr. Außerdem ist { 1 für t f(x) (c M ) x (t) sonst für lle x Q integrierbr über I [, k]. Dmit sind lle Vorussetzungen des Stzes von Fubini erfüllt, und es folgt: ( ) v n+1 (M f ) c M (x, t) dv n+1 c M (x, t) dt dv n Q I Q I ( ) f(x) dt dv n f(x) dv n. Q Q

37 3 Ds Riemnn-Integrl 37 Also stimmt ds Integrl von f über Q mit dem Volumen der Ordintenmenge M f unter dem Grphen von f überein. Mittelwertstz der Integrlrechnung Sei K R n eine meßbre kompkte und konvexe Menge (z.b. ein bgeschlossener Quder). Ist f stetig uf K, so gibt es ein ξ K mit f(x) dv n f(ξ) v n (K). K Beweis: D K kompkt und f stetig ist, gibt es Punkte x 1, x 2 K, so dß m : f(x 1 ) min K f und M : f(x 2 ) mx K ist. Dnn ist m f M und dher m v n (K) f(x) dv n M v n (K). K Jetzt sei g(t) : f(x 1 + t(x 2 x 1 )) v n (K). Dnn ist g stetig uf [, 1], g() m v n (K) und g(1) M v n (K). Nch dem Zwischenwertstz gibt es ein c [, 1] mit g(c) f(x) dv n. Wir setzen ξ : x 1 + c(x 2 x 1 ). K

38 38 Kpitel 9 Mehrfche Integrle 4 Integrtionsmethoden Inhlt: Integrtion über Normlbereiche, Prinzip von Cvlieri, Volumenberechnungen, die Trnsformtionsformel, Integrlberechnungen mit Polr- und Zylinderkoordinten. Wir wollen jetzt verschiedene Verfhren zur prktischen Berechnung von Integrlen und Inhlten kennenlernen. Definition: Sei Q R n ein (bgeschlossener) Quder. Ein Normlbereich über Q ist eine Menge der Gestlt B {(x, t) Q R : ϕ(x) t ψ(x)}, wobei ϕ, ψ : Q R zwei stetige Funktionen sind, mit ϕ(x) ψ(x) für x Q. Ein Normlbereich im obigen Sinne ist eine Jordn-meßbre Menge im R n+1. Für stetig differenzierbre Funktionen ϕ und ψ ist ds im vorigen Prgrphen mehr oder weniger bewiesen worden. Sind die begrenzenden Funktionen nur stetig, so brucht mn zusätzlich die Aussge, dß der Grph einer stetigen Funktion uf einem Quder eine Jordn-Nullmenge ist. Den Beweis dfür können wir hier mit unseren Mitteln nicht erbringen. Integrtion über Normlbereiche Sei B {(x, t) Q R : ϕ(x) t ψ(x)} ein Normlbereich und f : B R integrierbr. Außerdem sei für jedes x Q die Funktion f x über dem Intervll [ϕ(x), ψ(x)] integrierbr. Dnn ist ( ) ψ(x) f(x, t) dv n+1 f(x, t) dt dv n. B Q ϕ(x) Beweis: Es gibt ein bgeschlossenes Intervll I [, b], so dß ϕ(x) ψ(x) b für lle x Q gilt. Der Normlbereich B ist dnn in dem Quder

39 4 Integrtionsmethoden 39 P Q I R n+1 enthlten. Dß f über B integrierbr ist, bedeutet, dß f c B über P integrierbr ist. Weiter ist { fx (t) uf [ϕ(x), ψ(x)] (f c B ) x (t) f(x, t) c B (x, t) sonst nch Vorussetzung für jedes x Q über I integrierbr (ls trivile Fortsetzung einer integrierbren Funktion). Der Stz von Fubini liefert nun: ( ) f(x, t) dv n+1 f(x, t) dt dv n B Q I Q ( ) ψ(x) f(x, t) dt dv n. ϕ(x) Bemerkung. stetig ist. Die n f gestellten Forderungen sind ntürlich erfüllt, wenn f Wir wollen einige Spezilfälle betrchten. Eine Menge B R 2 ist ein Normlbereich über der x-achse, wenn es ein Intervll [, b] und stetige Funktionen ϕ, ψ : [, b] R (mit ϕ(x) ψ(x) für lle x [, b] ) gibt, so dß gilt: B {(x, y) R 2 x b und ϕ(x) y ψ(x)}. Eine Menge B R 2 ist ein Normlbereich über der y-achse, wenn es ein Intervll [c, d] und stetige Funktionen r, s : [c, d] R (mit r(y) s(y) für lle y [c, d] ) gibt, so dß gilt: B {(x, y) R 2 r(y) x s(y) und c y d}. Normlbereich bzgl. d. x-achse Normlbereich bzgl. d. y-achse Ist f : B R stetig, so gilt: ) Ist B Normlbereich bezüglich der x-achse, so ist b ψ(x) f(x) dv 2 f(x, y) dy dx. B ϕ(x)

40 4 Kpitel 9 Mehrfche Integrle b) Ist B Normlbereich bezüglich der y-achse, so ist d s(y) f(x) dv 2 f(x, y) dx dy. B c r(y) Ein stückweise gltter stetiger Weg : [, b] R n heißt einfch geschlossen, flls geschlossen und uf [, b) injektiv ist. Ist B R 2 eine beliebige beschränkte Teilmenge, deren Rnd ein einfch geschlossener stückweise gltter stetiger Weg ist, so knn mn B durch endlich viele chsenprllele Schnitte in Normlbereiche zerlegen und somit jede stetige Funktion über B integrieren. Beispiele. 1. Sei B derjenige Teil der Ellipsenfläche mit den Hlbchsen und b, der im rechten oberen Qudrnten liegt. Es soll ds Integrl xy dv 2 berechnet werden. Der Rnd von B ist durch die Gleichungen x 2 + y2 1, x und y 2 b2 gegeben. Offensichtlich ist B ein Normlbereich bezüglich der x-achse. B b y b 1 (x 2 / 2 ) y Dnn ist B xy dv 2 b 1 (x 2 / 2 ) b2 2 2 b 2 8. xy dy dx ( xy 2 ) b 1 (x 2 / 2 ) dx 2 y ) x (1 2 b2 x2 dx ( 2 ) x 2 2 x4 4 2 x

41 4 Integrtionsmethoden Sei ϕ(x) : x 2 und ψ(x) : x2. Dnn ist ϕ( 2) ψ( 2) 4 und ϕ(2) ψ(2) 4, und für x 2 ist x 2 4, lso ψ(x) ϕ(x) x2. Dher ist B : {(x, y) R 2 2 x 2 und ϕ(x) y ψ(x)} ein Normlbereich über der x-achse. 2 2 Ist Q [ 2, 2] [, 4], so ist die Fläche von B gegeben durch Q c B (x, y) dv (x 2 /2) x 2 (2 x2 2 ) dx dy dx (2x x3 6 ) 2 2 (4 8 6 ) ( ) Ein Normlbereich über der xy-ebene im R 3 ist eine Menge der Gestlt B {(x, y, z) R 3 : (x, y) Q und ϕ(x, y) z ψ(x, y)}, wobei Q R 2 ein Quder ist und ϕ, ψ : Q R zwei stetige Funktionen sind. Für eine stetige Funktion f uf B gilt: ( ) ψ(x,y) f(x, y, z) dv 3 f(x, y, z) dz dv 2. B Q ϕ(x,y)

42 42 Kpitel 9 Mehrfche Integrle Beispiel. Sei B die Menge im R 3, die durch die Flächen x y 2, z und x + z 1 begrenzt wird. Wir wollen ihr Volumen berechnen. Dzu müssen wir sie erst einml besser beschreiben. Wir hben folgende Bedingungen: Drus folgt, dß y 2 schreiben: z 1 x und y 2 x 1 z. x 1, lso 1 y 1 ist. Somit können wir B {(x, y, z) : 1 y 1, y 2 x 1 und z 1 x}. Ds ist kein Normlbereich, ber eine Teilmenge des Normlbereichs B : {(x, y, z) : x 1, 1 y 1 und z 1 x} (über Q [, 1] [ 1, 1]). Um ds Volumen von B zu berechnen, reicht es, die Funktion c B über den Normlbereich B zu integrieren. Für (x, y) M : {(x, y) : 1 y 1 und y 2 x 1} und z 1 x ist c B (x, y, z) 1, sonst. Dbei ist M ein Normlbereich über der y-achse (über dem Intervll [ 1, 1]). Dmit ergibt sich: v 3 (B) c B (x, y, z) dv 3 B ( 1 x ) c B (x, y, z) dz dv 2 Q ( 1 x ) dz dv 2 M (1 x) dv 2 M 1 ( 1 ) dy y 2 (1 x) dx ( (x 1 2 x2 ) ) 1 dy xy 2 ( 1 2 y y4 ) dy ( 1 2 y 1 3 y y5 ) Wir wollen jetzt die Substitutionsregel uf mehrfche Integrle verllgemeinern. Zur Erinnerung: Ist ϕ : [c, d] [, b] eine Prmetertrnsformtion (lso eine surjektive streng monotone und stetig differenzierbre Abbildung), so ist

43 4 Integrtionsmethoden 43 lso d c d c f(ϕ(t))ϕ (t) dt f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ϕ(d) ϕ(c) b f(x) dx, f(x) dx. Durch die Einführung der Betrgstriche wird vermieden, dß die Integrtionsrichtung umgekehrt werden muß. Sei nun P : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ] und Q : [c 1, d 1 ] [c 2, d 2 ]... [c n, d n ]. Außerdem seien ϕ i : [c i, d i ] [ i, b i ] Prmetertrnsformtionen, i 1,..., n. Ist ϕ i streng monoton wchsend, so ist ϕ i (c i ) i und ϕ i (d i ) b i, ndernflls ist ϕ i (c i ) b i und ϕ i (d i ) i. Setzen wir F (x 1,..., x n ) : (ϕ 1 (x 1 ),..., ϕ n (x n )), so ist dies eine umkehrbr stetig differenzierbre Abbildung mit ϕ 1(x 1 ) J F (x 1,..., x n ) ϕ n(x n ) Dher folgt für eine stetige Funktion f uf P : bn b1 f(y) dv n... f(y 1,..., y n ) dy 1... dy n n P Beispiele. dn d f(ϕ 1 (x 1 ),..., ϕ n (x n )) ϕ 1(x 1 )... ϕ n(x n ) dx 1... dx n c n c 1 f(f (x)) det J F (x) dv n. Q 1. Ist ( 1,..., n ) R n ein fester Vektor, so wird durch T (x) : x + (x 1 + 1,..., x n + n ) die Trnsltion T : R n R n definiert. Es ist 1 det J T (x) det Ist Q R n ein Quder, so bezeichnen wir mit + Q den um den Vektor verschobenen Quder.