f (x) UNTERRICHTSENTWICKLUNG

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1 UNTERRICHTSENTWICKLUNG y f (x) S Integrlrechnung Rekonstruktion von Beständen Didktisch-methodische Hinweise zur Unterrichtsgestltung im Fch Mthemtik der Sekundrstufe II b x Bildungsregion Berlin-Brndenburg

2 Impressum Herusgeber: Lndesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brndenburg (LISUM) 4974 Ludwigsfelde-Struveshof Tel.: Fx: Internet: Autorinnen und Autoren: Viol Adm, Ines Fröhlich, Sbine Jgst, Mike Reblin, Gudrun Riemnn Redktion: Viol Adm Grfiken: Viol Adm, Mike Reblin Lyout: Viol Adm, Mike Reblin Druck und Herstellung: Drucktem Berlin ISBN Lndesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brndenburg (LISUM); Oktober 009 Dieses Werk einschließlich ller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte einschließlich Übersetzung, Nchdruck und Vervielfältigung des Werkes vorbehlten. Kein Teil des Werkes drf ohne schriftliche Genehmigung des LISUM in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein nderes Verfhren) reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verrbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Eine Vervielfältigung für schulische Zwecke ist erwünscht. Ds LISUM ist eine gemeinsme Einrichtung der Länder Berlin und Brndenburg im Geschäftsbereich des Ministeriums für Bildung, Jugend und Sport des Lndes Brndenburg (MBJS).

3 INHALT Zielsetzung 6 Inhltsbezogene Stndrds 7 3 Prozessbezogene Stndrds 8 4 Grundlge für die schulinterne Plnung 9 4. Plnung für den Leistungskurs 0 4. Plnung für den Grundkurs 5 Didktische Erläuterungen zur Integrlrechnung 3 5. Von der Änderungsrte zum Bestnd 4 Beispiel (): Heißluftbllon 5 Beispiel (): CO Gehlt in Teichen 8 Beispiel (3): Der Hubschruberflug Beispiel (4): Wsserverbruch 3 Beispiel (5): Fhrtenschreiber 5 5. Plusibilität des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung 7 Beispiel (6): Wchstumsgeschwindigkeit 8 Beispiel (7): Kontostnd 30 6 Methodische Anregungen 3 6. Lerntempoduett 3 6. Lernkrten zum Them Integrlrechnung (Leistungskurs) 35 3

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5 VORWORT Liebe Kolleginnen und Kollegen, mit der vorliegenden Hndreichung zum Them "Integrlrechnung Rekonstruktion von Beständen" möchten wir Ihnen Anregungen für die kompetenzorientierte Gestltung des Mthemtikunterrichts in den ersten beiden Kurshlbjhren der Qulifiktionsphse der gymnsilen Oberstufe geben. In den Einheitlichen Prüfungsnforderungen in der Abiturprüfung (EPA) der KMK sind Anforderungen n die fchlichen und methodischen formuliert und verbindliche fchliche Inhlte für ds Unterrichtsfch Mthemtik festgelegt. Diese Anforderungen werden durch die im Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg beschriebenen prozess- und inhltsbezogenen, die von den Schülerinnen und Schülern m Ende der gymnsilen Oberstufe im Grund- und Leistungskursfch erwrtet werden, konkretisiert. Für die Umsetzung dieser Vorgben stehen den Lehrkräften, neben dem Schullehrbuch, viele ndere Medien zur Verfügung. Aus der Vielflt der Angebote ht eine Arbeitsgruppe des Lndesinstitutes für Schule und Medien Berlin-Brndenburg (LISUM) eine Auswhl getroffen, die den Intentionen des Rhmenlehrplns besonders gut entspricht. Die didktischen Kommentre und methodischen Anregungen sollen Ihnen bei der konkreten Plnung des Unterrichtes eine Hilfe sein. Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg bei der Arbeit dmit. Um die Mterilien llen interessierten Lehrkräften zugänglich zu mchen, wird diese Hndreichung uch uf dem Bildungsserver Berlin-Brndenburg veröffentlicht. Dr. Gisel Beste Leiterin der Abteilung Unterrichtsentwicklung SekI/II und E-Lerning 5

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7 Zielsetzung Die Inkrftsetzung des Rhmenlehrplnes für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg im Zusmmenhng mit der Schulzeitverkürzung mchen es notwendig, Veränderungen in der Unterrichtsplnung vorzunehmen und schulinterne Pläne zu überrbeiten bzw. neu zu durchdenken. Prinzipiell ist der Unterricht kompetenzorientiert und stndrdbezogen uszurichten. Dbei muss eine strikte Trennung von Grund- und Leistungskurs erfolgen. Bereits die Kultusministerkonferenz (KMK) forderte im Jhre 00 eine Trennung der Anforderungen im Grundund Leistungskurs: Die Anforderungen des Grundkursfches sollen sich... qulittiv von denen des Leistungskursfches unterscheiden... insbesondere durch: den Grd der Vorstrukturierung, den Schwierigkeitsgrd, den Komplexitätsgrd, die Offenheit der Aufgbenstellung, die Anforderungen n Selbsttätigkeit bei der Berbeitung der Aufgben, den Umfng und die Art der bereitgestellten Hilfsmittel und Informtionen. (KMK 00) Der Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg unterscheidet sich im Grund- und Leistungskurs bei und Inhlten sowie bschlussorientierten Stndrds. Im Grundkurs steht ds nwendungsorientierte Unterrichten mit einfcheren (weniger wissenschftlichen) Erklärungen im Mittelpunkt. Dies bedeutet nicht, dss der Leistungskurs weniger nwendungsorientiert unterrichtet wird. Vielmehr ist die Art der Herngehensweise und die Tiefe der Vermittlung zu berücksichtigen und zu unterscheiden. Die Schwerpunkte des Themenbereichs "Anlysis" verteilen sich im Grund- und Leistungskurs uf drei der vier Kurshlbjhre der Qulifiktionsphse. Die Behndlung der Grundlgen der Integrlrechnung erfolgt schwerpunktmäßig im zweiten Kurshlbjhr. Von besonderer Bedeutung sind dbei die vorstellungsorientierte Behndlung von Fchinhlten m Beispiel der Rekonstruktion eines Bestndes us Änderungsrten in Anwendungssitutionen sowie die Verknüpfung von Differentil- und Integrlrechnung im Huptstz. Auf diese beiden Schwerpunkte bezieht sich die vorliegende Hndreichung. Neben Hinweisen zur Gestltung einer schulinternen Plnung der Unterrichtseinheit "Integrlrechnung" für Grundkurse und Leistungskurse beinhltet die Hndreichung usgewählte Aufgbenbeispiele sowie didktischmethodische Anregungen und Mterilien für die Unterrichtsgestltung im zweiten Kurshlbjhr der Qulifiktionsphse. Sie sollen Anregungen für die Arbeit im Themenfeld Integrlrechnung geben. Bei der zeitlichen Plnung des zweiten Kurshlbjhres ist neben der Integrlrechnung die Behndlung des Themenfeldes "Stochstik" zu berücksichtigen. Bei den Vorschlägen für die schulinterne Plnung hben wir bewusst uf eine konkrete Festlegung von Stundenzhlen verzichtet. Für eine erfolgreiche Arbeit im Grund- und Leistungskurs empfehlen wir, dem Themenfeld "Stochstik" usreichend Zeit einzuräumen. D noch nicht lle Schulen mit CAS im Unterricht rbeiten, hben wir uns in dieser Hndreichung druf beschränkt, die Beispielufgben ohne den Einstz eines Computerlgebrsystems zu formulieren. 6

8 Inhltsbezogene Stndrds Dem oben gennnten Themenfeld Integrlrechnung lssen sich speziell folgende inhltsbezogene Stndrds us den Leitideen Funktionler Zusmmenhng, Approximtion, Räumliches Strukturieren und Koordintisieren, Messen und Algorithmus us dem Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg zuordnen: Die Schülerinnen und Schüler Leitidee Funktionler Zusmmenhng - beschreiben die Integrtion ls Umkehropertion zur Differentition, - nutzen den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung zur Bestimmung von bestimmten Integrlen, - berechnen ds bestimmte Integrl von Potenzfunktionen und lineren Funktionen sowie von bschnittweise definierten Funktionen zur Lösung von Anwendungsproblemen, Leitidee Approximtion - beschreiben die Integrtion ls Aufsummierung von loklen Änderungsrten und führen dies n geeigneten Beispielen uch numerisch durch, - erläutern den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, indem sie in inner- und ußermthemtischen Situtionen die Aufsummierung von loklen Änderungsrten ls einen Gesmteffekt (Gesmtänderung) interpretieren, Leitidee Räumliches Strukturieren/Koordintisieren - modellieren ebene Flächen und Körper durch Rndfunktionen, Leitidee Messen - bestimmen Flächeninhlte und Rottionsvolumin (näherungsweise) durch infinitesimle Ausschöpfung und rekonstruieren Bestände durch infinitesimle Summtion, Leitidee Algorithmus - bestimmen Lösungen von Gleichungen oder Integrtionen mit numerischen Verfhren und begründen deren Funktionsweise. 7

9 3 Prozessbezogene Stndrds Im Lufe der Behndlung eines Themenfeldes sind lle im Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg formulierten prozessbezogenen in einem usgewogenen Verhältnis zu bechten. Die gezielte Plnung prozessbezogener sollte schwerpunktmäßig und pssend zu den inhltsbezogenen erfolgen. Die Auswhl der zu erreichenden prozessbezogenen Stndrds ergibt sich us verschiedenen Aspekten, wie z. B. - den bereits erreichten Niveustufen der Lerngruppe, - der Pssfähigkeit zur bebsichtigten didktischen Vorgehensweise und - der Eignung der prozessbezogenen Kompetenz ls Mittel zum Erreichen eines oder mehrerer inhltsbezogener Stndrds. Folgende Stndrds sind u.. ls Schwerpunkte in dieser Unterrichtseinheit besonders geeignet: Argumentieren: - mthemtische Situtionen erkunden und Vermutungen ufstellen - Begründungen für mthemtische Schverhlte entwickeln Problemlösen: - heuristische Strtegien verwenden - in inner- und ußermthemtischen Situtionen Probleme finden und formulieren Modellieren: - rele Situtionen strukturieren und vereinfchen - rele Situtionen mit mthemtischen Modellen beschreiben - zu einem mthemtischen Modell verschiedene Relsitutionen ngeben Symbole, Verfhren und Werkzeuge verwenden: - komplexe lgorithmische Verfhren usführen, deren Anwendung und Grenzen reflektieren und Ergebnisse überprüfen - mthemtische Verfhren sicher usführen Kommunizieren: - eigene Problemberbeitungen und Einsichten sowie mthemtische Zusmmenhänge erläutern - Überlegungen und Lösungswege dokumentieren, verständlich drstellen und präsentieren unter Nutzung geeigneter Medien 8

10 4 Grundlge für die schulinterne Plnung In den einheitlichen Prüfungsnforderungen in der Abiturprüfung Mthemtik (EPA) sind die Anforderungen n die fchlichen und methodischen formuliert und verbindliche fchliche Inhlte festgelegt. Diese Anforderungen werden durch die im Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg beschriebenen prozess- und inhltsbezogenen, die von den Schülerinnen und Schülern m Ende der gymnsilen Oberstufe im Grund- und Leistungskursfch erwrtet werden, konkretisiert. Die Plnung der Themenfelder in den Kurshlbjhren ist grundsätzlich uf den Kompetenzerwerb der Schülerinnen und Schüler und uf die Bewältigung der Anforderungen in den bschlussorientierten Stndrds uszurichten. Die Relisierung dieser Anforderungen mcht ein Plnungsinstrument notwendig, welches den Zusmmenhng zwischen den zentrlen Leitideen, und Stndrds deutlich usweist. Die folgenden Plnungsbeispiele orientieren sich n dieser Forderung und sind entsprechend der im Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg beschriebenen inhlts- und prozessbezogenen gestltet. In den nchfolgenden Tbellen sind wesentliche Inhlte (Tbellensplte ) im Hinblick uf die bschlussorientierten Stndrds drgestellt, n denen die Schülerinnen und Schüler die prozessbezogenen (Tbellensplte ) erwerben können. Rum für schulinterne Festlegungen, Absprchen, Einstz von Medien, bietet die 3. Tbellensplte. Diese knn im Verluf der Behndlung der Themenfelder konkretisiert und ergänzt werden. 9

11 4. Plnung für den Leistungskurs Zentrle Leitidee(n) ) ; prozessbezogene zentrle Leitidee: funktionler Zusmmenhng; Kommunizieren, rgumentieren und modellieren zentrle Leitidee: Approximtion; Mthemtische Symbole, Werkzeuge und Verfhren verwenden, Problemlösen Stndrdbezug Einführung in die Integrlrechnung m Beispiel der Rekonstruktion eines Bestndes us Änderungsrten in Anwendungssitutionen (z. B. Wsserstnd, zurückgelegter Weg ls Fläche unter der v-t-kurve, Fhrtenschreiber), ls diskrete Modellierung und ls nschulicher Grenzprozess Flächenbestimmung ls Grenzprozess einer Ausschöpfung mit infinitesimlen Flächenstücken (z. B. durch Unter- und Obersummen) Medien, Sonstiges z. B. Duden/Petec, Anlysis, S.90, Fhrtenschreiber Nutzung von Computerlgebrsystemen (CAS) oder Tbellenklkultion zur Berechnung von Ober- und Untersummen möglich z. B. s.o., S.93 zentrle Leitideen: Messen, funktionler Zusmmenhng; Mthemtische Symbole, Werkzeuge und Verfhren verwenden Stmmfunktionen und unbestimmte Integrle von gnzrtionlen Funktionen, Logrithmus- und Exponentilfunktionen und trigonometrischen Funktionen zentrle Leitideen: funktionler Zusmmenhng, Messen Kommunizieren, Argumentieren, Mthemtische Symbole, Werkzeuge und Verfhren verwenden bestimmtes Integrl, Additivität der Grenzen und Linerität des bestimmten Integrls (nschuliche Begründung und Anwendung) ) Ein konkreter Bezug zu den einzelnen Aspekten der Leitideen und ist in den Aufgbenbeispielen beschrieben. 0

12 Zentrle Leitidee(n) ) ; prozessbezogene zentrle Leitideen: funktionler Zusmmenhng, Messen Problemlösen, Argumentieren und Approximieren zentrle Leitidee: funktionler Zusmmenhng Problemlösen und Argumentieren Stndrdbezug - Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, - geometrisch-nschuliche Begründung des Huptstzes, - Plusibilität des Huptstzes n kontinuierlichen und diskreten Beispielen (z. B. Kontostnd) - Berechnung von Flächen unter Funktionsgrphen (oberhlb, unterhlb der x-achse) und zwischen Funktionsgrphen, - Bestndsrekonstruktionen in Anwendungskontexten weiterführende Integrtionsmethoden: - Integrtion mittels Substitution, - Integrtion ls Umkehrung der Kettenregel und - prtielle Integrtion ls Umkehrung der Produktregel Medien, Sonstiges Ausblick für ds 4. Kurshlbjhr im Leistungskurs Zentrle Leitidee(n) ) ; prozessbezogene Stndrdbezug Medien, Sonstiges zentrle Leitidee: Approximtion Problemlösen und Argumentieren - Berechnung von Rottionsvolumin bei Rottion um die Abszissenchse, - Beschränktheit und Unbeschränktheit beim uneigentlichen Integrl, - näherungsweise numerische Bestimmung von Integrlen (z. B. mit der Trpezmethode) ) Ein konkreter Bezug zu den einzelnen Aspekten der Leitideen und ist in den Aufgbenbeispielen beschrieben.

13 4. Plnung für den Grundkurs Zentrle Leitidee(n) ) ; prozessbezogene Stndrdbezug Medien, Sonstiges zentrle Leitideen: funktionler Zusmmenhng, Approximtion Symbole, Verfhren und Werkzeuge verwenden, Argumentieren und Modellieren zentrle Leitideen: funktionler Zusmmenhng, Approximtion Mthemtische Symbole, Werkzeuge und Verfhren verwenden, Problemlösen Grundlgen der Integrlrechnung - Rekonstruktion eines Bestndes us Änderungsrten - Untersuchung vorgegebener oder messtechnisch erfsster Änderungsrten - modellierende Beschäftigung mit den Grundlgen der Integrlrechnung - Integrtion ls Aufsummierung von loklen Änderungsrten beschreiben: Streifenmethode des Archimedes Flächeninhltsfunktion Stmmfunktion; unbestimmtes Integrl Grundintegrle; einfche Integrtionsregeln für gnzrtionle Funktionen, Exponentilfunktionen - Plusibilität des Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung n Beispielen - bestimmtes Integrl, Rechenregeln Anwendung der Integrlrechnung - Stmmfunktionen und Integrle von gnzrtionlen Funktionen und Exponentilfunktionen mit linerer innerer Funktion, - Verwenden von Integrtionsregeln beim Lösen von inner- und ußermthemtischen Problemen, - Beschreiben der Integrtion ls Umkehrung zur Differentition n konkreten Schverhlten, - Nutzen des Huptstzes der Differentilund Integrlrechnung zur eigenständigen Lösung von Anwendungsproblemen, - Bestndsrekonstruktion in verschiedenen Anwendungskontexten, - Berechnung von Flächen unter und zwischen Funktionsgrphen Nutzung von CAS, Tbellenklkultion und Softwre zur Simultion der Änderungsrte möglich Einstz von CAS möglich ) Ein konkreter Bezug zu den einzelnen Aspekten der Leitideen und ist in den Aufgbenbeispielen beschrieben.

14 5 Didktische Erläuterungen zur Integrlrechnung Bei der Errbeitung des Zugnges zur Integrlrechnung sollten vor llem prxisorientierte Aufgben im Mittelpunkt stehen. Hierbei können den Schülerinnen und Schülern zum Beispiel die in der folgenden Tbelle ufgeführten Grundvorstellungen und Zusmmenhänge zwischen Differentil- und Integrlrechnung vermittelt werden: Ableitung Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit Wchstum Krft in Abhängigkeit des Weges lokle Änderung Steigung Integrtion zurück gelegter Weg in Abhängigkeit der Zeit Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit Bestnd Arbeit in Abhängigkeit des Weges Summe (von verllgemeinerten Produkten) Flächenmß Dies erfordert eine Ausprägung folgender prozessbezogener : Die Schülerinnen und Schüler - erkennen, dss durch Aufsummierung von loklen Änderungsrten ein Gesmteffekt bestimmt werden knn und interpretieren diesen Gesmteffekt ußermthemtisch, z. B. ls zurückgelegter Weg, Gesmtkosten usw., bzw. geometrisch ls Fläche, - wissen dher, dss sich mit Hilfe der Differentilrechnung lokle und mit Hilfe der Integrlrechnung globle Aussgen mchen lssen, - schließen us der obigen Erkenntnis, dss die Integrtion die Umkehrung der Differentition ist, kennen den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung und wissen um seine Bedeutung, - können in einfchen Modellierungsufgben ds Integrl schgerecht einsetzen und deuten, bestimmen in einfchen Fällen Integrle numerisch, berechnen Integrle usgewählter Funktionen und sind in der Lge, den ermittelten Zhlenwert im Aufgbenkontext zu interpretieren. 3

15 5. Von der Änderungsrte zum Bestnd Die Beispiele () Heißluftbllon (Rekonstruktion von Funktionen us ihren Änderungsrten), () CO Gehlt in Teichen (Flächeninhlts- und Approximtionseffekt), (3) Hubschruberflug (Flächeninhlts- und Approximtionseffekt), (4) Wsserverbruch (Flächeninhlts- und Approximtionseffekt) und (5) Fhrtenschreiber (Flächeninhlts- und Approximtionseffekt) sollen Anregungen für einen nwendungsorientierten Einstieg in die Integrlrechnung geben und können unbhängig voneinnder eingesetzt werden. Sie eignen sich besonders dzu, die Grundidee der Integrlrechnung von den Schülerinnen und Schülern selbstständig entdecken zu lssen. Durch entsprechende Vrition ist der Einstz sowohl im Grund- ls uch im Leistungskurs möglich. Der Schwierigkeitsgrd knn durch Weglssen oder Hinzufügen von Zustzinformtionen erhöht oder verringert werden. Ds Beispiel () Heißluftbllon ist, so wie bgebildet, für den Leistungskurs geeignet. Eine Einteilung der Koordintenchsen wurde bewusst nicht vorgenommen, um ds Modellieren stärker in den Vordergrund zu stellen. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich so zuerst mit der Aufgbenstellung vertrut mchen und eine für sie sinnvolle Achseneinteilung festlegen. Im Grundkurs hingegen sollte diese Achseneinteilung vorgegeben werden. Im Beispiel () CO Gehlt in Teichen sind diskrete Messwerte in der Tbelle gegeben. Es wird ngenommen, dss die Änderungsrte durch eine stetige Funktion (gnzrtionl) näherungsweise modelliert werden knn. Ds Beispiel (3) Hubschruberflug ist durch die ngegebene kleinschrittige Aufgbenstellung sehr gesteuert. Durch Veränderungen in den Arbeitsufträgen und durch ergänzende Forderungen knn die Aufgbe vriiert werden und je nch Bedrf offen gestltet werden. Wir hben bewusst uf die Angbe einer Gleichung für die Beschreibung des bgebildeten Grphen verzichtet, um so weitere Modellierungen zu ermöglichen. Die Beispiele (4) Wsserverbruch und (5) Fhrtenschreiber sind durch den Auftrg Formulieren Sie nch Anlyse des Textes und der zugehörigen Abbildungen sinnvolle Frgen und bentworten Sie diese. offen ngelegt. Einige mögliche Frgestellungen sind in der Lösungsdrstellung enthlten. Wenn bzusehen ist, dss die Schülerinnen und Schüler Probleme beim Finden sinnvoller Frgen hben, sollte die Lehrkrft steuern und Anstöße geben. Der Differenzierungsgrd der Aufgbenstellung knn bei beiden Beispielen durch die Vorgbe einer oder mehrerer Frgen durch die Lehrkrft verändert werden. Im Vergleich zur Problemstellung Wsserverbruch ist ds Beispiel (5) Fhrtenschreiber in der Berbeitung nspruchsvoller und umfngreicher. Vorussetzung für eine erfolgreiche Bewältigung ist ein Verständnis der Zusmmenhänge zwischen Weg und Geschwindigkeit. Unter Umständen ist es rtsm, geeignete hilfreiche Zustzinformtionen nzugeben. Ds knn z. B. ein Hinweis uf die zulässige Höchstgeschwindigkeit von Lstkrftwgen sein. Die Berbeitung ller Beispiele ist in Gruppen- und Einzelrbeit möglich. Der Einstz von Computerlgebrsystemen ist sinnvoll. 4

16 Beispiel : Heißluftbllon Quelle: (nch Winfried Eub, Jens Weitendorf) (siehe uch: ne.lo-net.de/selbstlernmteril/m//bi/bi Hei%DFluftbllon.pdf) Bllonfhrt Ein Heißluftbllon ist eine längere Zeit in der Luft. Zur Vereinfchung gelte die Annhme, dss er sich dort nur in einer Richtung fortbewegt bzw. in entgegengesetzter Richtung, wenn der Wind dreht. An Bord befindet sich ein Messgerät für die Geschwindigkeit, die der Bllon fährt. Die Geschwindigkeit wird jetzt in Abhängigkeit von der vergngenen Zeit in ein Koordintensystem eingetrgen, die Rückwärtsfhrt mit negtiver Geschwindigkeit gekennzeichnet. Es ergibt sich vom Strt bis zur Lndung des Bllons dbei folgendes Schubild: Treffen Sie zur Berbeitung der folgenden Aufgben geeignete Annhmen. ) Beschreiben Sie die Fhrt uf der Grundlge des obigen Grphen. b) Wie groß wr der zurückgelegte Weg? c) Wie weit ist der Bllon bei der Lndung vom Ort des Strts entfernt? d) Geben Sie eine Möglichkeit n, us der Kenntnis des Verlufs der Geschwindigkeit eines Objekts uf dessen zurückgelegten Weg zu schließen. Kopiervorlge 5

17 Kompetenzbezug und Lösungshinweise: Lösungshinweise Prozessbezogene Inhltsbezogene ). Intervll: Fhrt mit nfngs steigender, dnn bnehmender Geschwindigkeit in Windrichtung. Intervll: Fhrt mit nfngs steigender, dnn bnehmender Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung (Grph unterhlb der Zeitchse, Geschwindigkeit insgesmt kleiner ls im Intervll ) 3. Intervll: Fhrt mit nfngs steigender, dnn bnehmender Geschwindigkeit in gleicher Richtung wie im Intervll (Geschwindigkeit geringfügig größer ls im Intervll, ber immer noch kleiner ls im Intervll ) b) Zur Ermittlung des zurückgelegten Weges müssen die drei Flächenstücke zwischen der Kurve und der Zeit-Achse näherungsweise berechnet und ddiert werden. Gesucht ist ein Produkt: Zeit Geschwindigkeit ( = Weg ). Geometrisch ergibt sich dher eine (Rechteck-) Fläche. Die Fläche steht zumeist stellvertretend für gesuchte Größen. Ds Flächenmß knn ermittelt werden, indem mn die Fläche mit beknnten Flächen (Dreieck, Rechteck, Trpez,...) möglichst gut uslegt und deren Flächenmße ddiert. Hinweis: Bsis für numerisches Verfhren c) Zur Ermittlung der Entfernung zwischen Abfhrts- und Aufprll-Ort zählt ds Mß der Fläche unterhlb der x-achse ls negtiv, d der Bllon während dieses Zeitrumes rückwärts fährt. Flächenteile unterhlb der x-achse ergeben negtive Werte. Dher wird meist über eine Nullstelle der Funktion nicht hinweg gerechnet. Modellieren, z. B. Übersetzen eines gegebenen grfischen Modells in die rele Sitution des Heißluftbllons z. B. Vereinfchen von Relsitutionen, um sie einer mthemtischen Beschreibung zugänglich zu mchen Kommunizieren/ Kooperieren, z. B. Erfssen, Interpretieren und Reflektieren mthemtikhltiger Texte Problemlösen, z. B. Finden von Problemen in inner- und ußermthemtischen Situtionen, Formulieren dieser in eigener und in mthemtischer Fchsprche Modellieren z. B. Beschreiben von Relsitutionen durch mthemtische Modelle Argumentieren, z. B. Entwickeln von Begründungen für mthemtische Schverhlte Funktionler Zusmmenhng, z. B. Rekonstruktion von Funktionen us ihren Änderungsrten Approximtion z. B. Beschreibung der Integrtion ls Aufsummierung von Änderungsrten und numerische Durchführung m konkreten Beispiel 6

18 Lösungshinweise d) Sofern der Term des Grphen der Bllongeschwindigkeit beknnt ist, können die Werte direkt berechnet werden. Der Term sei f(x). Gesucht ist dnn der Funktionsterm F(x) der zugehörigen Weg/Zeit-Funktion mit der Ableitung F (x) = f(x), denn die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Weg/Zeit-Funktion. Der zurückgelegte Weg in den Etppen ergibt sich dnn durch die Differenz: F(x ZIEL ) F(x START ) Rückwärtsdifferenzieren ist dnn Integrieren. Prozessbezogene Argumentieren z. B. Reflexion und Bewertung von Argumenttionen und Begründung der Schlüssigkeit und Angemessenheit Inhltsbezogene 7

19 Beispiel : CO Gehlt in Teichen Quelle: CO im Teich Die biologische Aktivität in einem Teich knn mn durch die Änderungsrte beschreiben, mit der CO dem Wsser zugefügt oder entnommen wird. Pflnzen entnehmen tgsüber dem Wsser im Rhmen der Photosynthese CO und geben nchts CO b. Tiere geben durch die Atmung CO n ds Wsser b. Bei Tgesnbruch werden,6 ME CO im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine MengenEinheit, in der die Stoffmenge von CO gemessen werden knn.) Biologen hben die Zu- und Abnhmerte z(t) über einen gnzen Tg, beginnend mit dem Sonnenufgng, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde ngegeben. Zeit in h Änderungsrte z (t) in ME/h 0,0 0,04 0,037 0,06 0,009 0,046 0,03 0,09 0,006 ) Zeichnen Sie die Messpunkte in ein Koordintensystem. b) Begründen Sie, dss der Teich Pflnzen enthält. c) Berechnen Sie für jede der ngegebenen Zeiten die Gesmtmenge von CO im Wsser und stellen Sie die Ergebnisse tbellrisch dr. d) Zeichnen Sie einen Grphen, der die Entwicklung des CO -Gehlts während des Tges drstellt. e) Wnn wr der CO -Gehlt m geringsten? Wie groß wr er? f) Welche Bedeutung hben die folgenden Integrle für die vorgegebene Sitution? 0 4 I) z(t)dt II) 4 z(t) dt III) z(t) dt 0 Kopiervorlge 8

20 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise ) grphisches Drstellen von Messwerten CO -Aufnhme Änderungsrte in ME 0,06 0,04 0, ,0-0,04 Prozessbezogene Mthemtische Drstellungen verwenden, z. B. Verwenden verschiedener Drstellungen (Tbelle, Grph, Term) und Wechsel zwischen diesen Inhltsbezogene Funktionler Zusmmenhng z. B. Rekonstruktion von Funktionen us ihren Änderungsrten -0,06 Zeit t in h b) Der Teich enthält Pflnzen, d nur so die negtiven Änderungsrten von Sonnenufgng bis Sonnenuntergng erklärt werden können. Die Schülerinnen und Schüler werten die gegebenen Messwerte us und interpretieren positive und negtive Änderungsrten. c) Flächeninhlte werden näherungsweise berechnet, z. B. über Rechteck- oder Trpezsummen mit diskreten Werten. Schülerinnen und Schüler interpretieren ds Integrl ls Wirkung, hier ls enthltene Gesmtmenge, berechnen die zugehörigen Flächeninhlte und stellen eine Tbelle uf. Argumentieren, z. B. Kombinieren mthemtischen Wissens für Begründungen Modellieren, z. B. Vereinfchung von Relsitutionen, um sie einer mthemtischen Beschreibung zugänglich zu mchen t in h CO ges.,6,5,4,,88,9,05,, 9

21 Lösungshinweise d) Zeichnen des zugehörigen Grphen Gesmtmenge CO 3,5,5 0,5 CO -Bestnd Prozessbezogene Mthemtische Drstellungen verwenden, z. B. Verwenden verschiedener Drstellungen (Tbelle, Grph, Term) und Wechsel zwischen diesen Inhltsbezogene Zeit t in h e) Bestimmen des Tiefpunktes des Grphen: Der CO -Gehlt wr nch c.,5 h m geringsten (etw,88 ME). f) ) Die Fläche liegt unterhlb der x-achse, lso wurde im betreffenden Zeitrum mehr CO entnommen ls bgegeben, der Gesmtbestnd ist gesunken. ) Die Fläche liegt oberhlb der x-achse, lso wurde im betreffenden Zeitrum mehr CO bgegeben ls entnommen, der Gesmtbestnd ist lso gestiegen. 3) Durch ds Integrl wird ngegeben, wie viel CO nch 4 Stunden im Vergleich zum Anfngsbestnd hinzu gekommen ist bzw. entnommen wurde. Die Schülerinnen und Schüler interpretieren ds Integrl ls Bilnzierung von Flächeninhlten. Modellieren, z. B. Übersetzen des gegebenen grphischen Modells in die rele Sitution Modellieren, z. B. einem mthemtischen Modell verschiedene pssende Relsitutionen zuordnen und so die Universlität von Modellen reflektieren 0

22 Beispiel 3: Der Hubschruberflug Quelle: Auf und Ab eines Hubschrubers Ein Hubschruber strtet zur Zeit t = 0 s vom Boden. Die Geschwindigkeit des Hubschrubers in vertikler Richtung wird durch ds folgende Digrmm beschrieben. Dbei wird die Zeit t in Sekunden (s) und die Geschwindigkeit v in Meter pro Sekunde (m/s) ngegeben. ) Beschreiben Sie den Bewegungsbluf ohne Rechnung. In welchen Zeitbschnitten bewegt sich der Hubschruber ufwärts bzw. bwärts? Zu welchen Zeitpunkten ändert der Hubschruber die Bewegungsrichtung? Wnn wr die Steiggeschwindigkeit m größten? Wnn wr die Sinkgeschwindigkeit m größten? b) In welchen Zeitbschnitten des Steigflugs findet eine positive bzw. negtive Beschleunigung sttt? c) Bestimmen Sie eine sinnvolle Schätzung für die nch 0 Sekunden erreichte Höhe. d) Nch Sekunden Flugzeit lndet der Hubschruber. Begründen Sie, dss der Lndepltz uf einem Hügel liegt. Kopiervorlge

23 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise ) Grph von f oberhlb der t-achse: Hubschruber bewegt sich nch oben für 0 t Grph von f unterhlb der t-achse: Hubschruber bewegt sich nch unten für t Schnittpunkte des Grphen von f mit der t-achse: dort Änderung der Bewegungsrichtung: t = Hochpunkt des Grphen von f: größte Steiggeschwindigkeit (t = 0) Tiefpunkt des Grphen von f: größte Sinkgeschwindigkeit (t = 0) b) positive Steigung des Grphen von f: positive Beschleunigung für 0 t 0 negtive Steigung des Grphen von f: negtive Beschleunigung für 0 t Lösungsnsätze sind z. B. qulittives differenzieren des Grphen bzw. erkennen der Beschleunigung ls Änderungsrte der Geschwindigkeit. c) Die näherungsweise Berechnung, z. B. über Rechteck- oder Trpezsummen, ergibt eine Höhe von c. 08 m. Ebenflls möglich wäre eine Argumenttion mit der mittleren Geschwindigkeit (etw 0 m/s). Dmit ergibt sich eine Höhe von c. 00 m. Interprettion des Integrls ls Wirkung (hier: zurückgelegte Höhe) d) Der Flächeninhlt oberhlb der t-achse ist größer ls unterhlb der t-achse, d. h. die zurückgelegte Strecke nch oben ist größer ls die zurückgelegte Strecke nch unten. Interprettion des Integrls ls Bilnzierung von Flächeninhlten Prozessbezogene Modellieren, z. B. Übersetzen eines gegebenen grphischen Modells in die rele Sitution des Hubschrubers Modellieren, z. B. Vereinfchung von Relsitutionen, um sie einer mthemtischen Beschreibung zugänglich zu mchen Problemlösen, z. B. Beschreiben, Vergleichen und Bewerten von Lösungswegen Argumentieren, z. B. Entwickeln von Begründungen für mthemtische Schverhlte Inhltsbezogene Funktionler Zusmmenhng, z. B. Rekonstruktion von Funktionen us ihren Änderungsrten Approximtion, z. B. Beschreibung der Integrtion ls Aufsummierung von Änderungsrten und numerische Durchführung m konkreten Beispiel

24 Beispiel 4: Wsserverbruch Quelle: Stephn Hußmnn: Mthemtik entdecken und erforschen, Cornelsen 003 Trinkwsserverbruchskurvennlyse Der größte Teil des Trinkwsserverbruchs einer größeren Stdt erfolgt durch ein Wsserwerk. Es umfsst Stunlge, Wssergewinnung und Pumpwerk. Um die Bevölkerung jederzeit optiml mit Wsser zu versorgen, ist es wichtig, dss die Anlge optiml usgenutzt wird. Ausgngspunkt für die optimle Ausnutzung ist der ktuelle Wsserverbruch der Bevölkerung. Dieser wird mit Hilfe von Fühlern, die in den Verbruchswsserstrom rgen, gemessen. Dmit immer Wsser vorhnden ist, wird Wsser gewonnen und ufbereitet und dem Wsserbecken zugeführt. Dieser Zustrom wird ebenflls mit entsprechenden Fühlern gemessen. Für den Verluf eines Tges wird in der Tbelle und der zugehörigen Abbildung die Bilnz der gemessenen Werte ngegeben. Bei den Werten hndelt es sich um den momentnen Wsserverbruch. Die Stdtwerke nutzen die Tgeskurven, um Prognosen hinsichtlich der optimlen Wssergewinnung für zukünftige Tge treffen zu können Verbruch in m³/h :00 07:00 08:00 09:00 0:00 :00 :00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 0:00 :00 :00 3:00 00:00 0:00 0:00 03:00 04:00 Uhrzeit 05:00 06:00 07: Zeit 06:00 07:00 08:00 09:00 0:00 :00 :00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 Wsserverbruch in m³/h Zeit 8:00 9:00 0:00 :00 :00 3:00 4:00 0:00 0:00 03:00 04:00 05:00 Wsserverbruch in m³/h Formulieren Sie nch Anlyse des Textes und der zugehörigen Abbildungen sinnvolle Frgen und bentworten Sie diese. Kopiervorlge 3

25 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise Prozessbezogene Inhltsbezogene Mögliche Frgen und Antworten könnten sein: Ws ist negtiver Wsserverbruch? A.: Der Zustrom ist höher ls der Verbruch. Ws beschreibt der Dtenpunkt um 7.00 Uhr, den Wsserverbruch um 7.00 Uhr oder den Durchschnittswert zwischen 6.00 Uhr und 7.00 Uhr? A.: Eine Interprettion ls stündlicher Mittelwert oder ls momentner Messwert ist möglich. Wie groß ist der Verbruch für einen gesmten Tg? A.: Addition der positiven Wsserverbruchswerte ergibt 4634 m³, Summtion der negtiven Verbruchswerte ergibt 877 m³. Ds ergibt insgesmt 9757 m³. [Interprettion ls stündlicher Mittelwert] Wo findet sich der Gesmtwsserverbruch in der grphischen Drstellung wieder? A.: Die einzelnen Messpunkte können ls linere oder ls Treppenfunktionen verbunden werden. Bei der Treppenfunktion lässt sich ds gesmte Wsservolumen mit der Mßzhl der Summe von 4 Rechtecken gleichsetzen. Bei linerer Modellierung werden die Rechtecke durch Trpeze ersetzt. Kommunizieren/ Kooperieren, z. B. Erfssen, Interpretieren und Reflektieren von mthemtikhltigen Texten Mthemtische Drstellungen verwenden, z. B. Verwenden verschiedener Drstellungen von Funktionen (Tbelle, Grph) Problemlösen, z. B. Finden und Formulieren von Problemen in innerund ußermthemtischen Situtionen Modellieren, z. B. Beschreiben von Relsitutionen durch mthemtische Modelle (Funktionen) Argumentieren, z.b. Vergleichen und Bewerten von verschiedenen Begründungen Funktionler Zusmmenhng z. B. Rekonstruktion von Funktionen us ihren Änderungsrten Approximtion z. B. Beschreiben der Integrtion ls Aufsummierung von Änderungsrten und numerische Durchführung m konkreten Beispiel 4

26 Beispiel 5: Fhrtenschreiber Quelle: Stephn Hußmnn: Mthemtik entdecken und erforschen, Cornelsen 003 Fhrtenschreiber In einer Spedition sind mehrere Fhrerinnen und Fhrer ngestellt, die täglich verschiedene Großmärkte in gnz Deutschlnd beliefern. Auf der Rückfhrt von München wird Fru Grt, eine Fhrerin der Spedition, von der Autobhnpolizei ngehlten. Die routinemäßige Kontrolle gilt der Verkehrssicherheit des LKW. Bei der Überprüfung der Tchoscheibe entdecken die Polizeibemten einen reltiv großen Zeitrum, in dem uf der Scheibe keine Geschwindigkeit eingetrgen ist. Auf der Tchoscheibe werden Geschwindigkeiten während der gesmten Fhrt in einem Zeit Geschwindigkeit Digrmm festgehlten. Auf Nchfrgen gibt Fru Grt n, dss sie in dieser Zeit eine Puse n einer Rststätte gemcht hbe. In der Abbildung ist eine Tchoscheibe zu sehen, die in Bussen und Lstkrftwgen benutzt werden muss. Ein Grund für diese Mßnhme ist in der Erhöhung der Sicherheit uf den Strßen zu sehen. Diese wurde zunehmend durch Überschreitung von Fhrzeiten und Geschwindigkeitsmisschtungen der LKW und Busfhrer gefährdet und führt uch heute noch zu erheblichen Personen- und Schschäden. Ds Gerät soll bei erhöhtem Mnipultionswiderstnd die Einhltung der Sozilvorschriften und der entsprechenden Gesetze gewährleisten sowie die Überprüfbrkeit und Gerichtsverwertbrkeit der im Gerät gesmmelten Dten grntieren. Formulieren Sie nch Anlyse des Textes und der zugehörigen Abbildung sinnvolle Frgen und bentworten Sie diese. Kopiervorlge 5

27 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise Mögliche Frgen und Antworten könnten sein: Wie lässt sich die zurückgelegte Strecke möglichst genu bestimmen? - Unterteilung der Zeitchse, Ablesen der Durchschnittsgeschwindigkeiten in den individuell festgelegten Intervllen - s = v t - je kleiner die Intervlle, desto genuer ds Ergebnis - Zerlegung in nichtäquidistnte Intervlle ist sinnvoll - mögliche Intervlle: Intervll Zeit (min) Geschwindigkeit (km/h) Weg (km) , , , , , Lücke , , , ,0 - nchweisbre Gesmtstrecke (ohne Lücke): 95 km. Wie groß ist die Differenz der uf dem Tcho ngezeigten und der ttsächlich zurückgelegten Strecke? - lut hndschriftlichem Eintrg der Kilometerstände: = 443 (km) - Zur nchgewiesenen Fhrtstrecke von 95 km besteht lso eine Differenz von 48 km. Knn Fru Grt zu der ngegebenen Zeit eine Puse gemcht hben? - Nein, d sie in dieser Zeit 48 km gefhren ist. Ht Fru Grt die Geschwindigkeit übertreten? - J sicher, d die frgliche Zeitspnne genu eine Stunde beträgt, liegt die Durchschnittsgeschwindigkeit bei v = 48 km/h. LKW dürfen ber nur 00 km/h fhren. Prozessbezogene Kommunizieren/ Kooperieren, z. B. Erfssen, Interpretieren und Reflektieren von mthemtikhltigen Texten Mthemtische Drstellungen verwenden, z. B. Verwenden verschiedener Drstellungen von Funktionen (Tbelle, Grph) Problemlösen, z. B. Finden und Formulieren von Problemen in inner- und ußermthemtischen Situtionen Argumentieren, z. B. Vergleichen und Bewerten von verschiedenen Begründungen Modellieren z. B. Beschreiben von Relsitutionen durch mthemtische Modelle Inhltsbezogene Approximtion, z. B. Beschreiben der Integrtion ls Aufsummierung von Änderungsrten und numerische Durchführung m konkreten Beispiel 6

28 5. Plusibilität des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung Die Beispiele (6) Wchstum einer Hopfenpflnze und (7) Kontostnd dienen der Festigung des Verständnisses des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung. Im Mittelpunkt steht der Grundgednke der Verknüpfung von Differentil- und Integrlrechnung. Bei der Behndlung der Integrlrechnung lssen sich im Schwerpunkt Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung speziell folgende inhltsbezogene Stndrds us den zentrlen Leitideen Funktionler Zusmmenhng und Approximtion (Rhmenlehrpln für den Unterricht in der gymnsilen Oberstufe in den Ländern Berlin und Brndenburg, Mthemtik, 006) zuordnen: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Integrtion ls Umkehropertion zur Differentition, nutzen den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung zur Bestimmung von bestimmten Integrlen, erläutern den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, indem sie in innerund ußermthemtischen Situtionen die Aufsummierung von loklen Änderungsrten ls einen Gesmteffekt interpretieren. Die gezielte Plnung prozessbezogener sollte pssend zu den inhltsbezogenen erfolgen. Folgende Stndrds sind dbei besonders geeignet: Argumentieren: - in inner- und ußermthemtischen Situtionen Zusmmenhänge beschreiben, Problemlösen: - Probleme vereinfchen, Beispiele untersuchen, Modellieren: - Relsitutionen durch mthemtische Modelle beschreiben, Symbole, Verfhren und Werkzeuge verwenden: - lgorithmische Verfhren usführen und Ergebnisse überprüfen, Kommunizieren: - mthemtische Zusmmenhänge mit geeigneten Fchbegriffen erläutern. Im Unterricht muss die Verknüpfung von Differentil- und Integrlrechnung im Huptstz n nschulichen Beispielen plusibel gemcht werden. Ds erfordert uch die Einbeziehung diskreter und kontinuierlicher Modelle, die eine selbstständige Argumenttion durch die Schülerinnen und Schüler zulssen. Eine besondere Bedeutung kommt dbei der nchfolgend ufgeführten Interprettion des Huptstzes zu: Ist von einer stetig und differenzierbren Funktion f mit f ( x) uf einem Intervll [ ; b ] beknnt, knn mn mit ( b) f ( ) bestimmen. Dbei gilt: b f ( x) dx = f ( b) f ( ). y = nur die Ableitungsfunktion f f die Gesmtänderung Genutzt wird diese Drstellung innermthemtisch bei der Flächenberechnung, wenn die Ausgngsfunktion nicht so einfch zu integrieren ist, ber uch mithilfe des nchfolgend formulierten Stzes bei der Berbeitung im Anwendungskontext. 7

29 Stz: Ist m () t mit t [ t ;t ] die momentne Änderungsrte einer Größe G, dnn erhält mn t ls Integrl die Gesmtänderung der Größe G im Intervll [ ] ;t ( ) ( ) ( )dt G t G t = m t. Für die Ermittlung der Wchstumszunhme der Hopfenpflnze in Beispiel (6) ist ein Verständnis der Zusmmenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Zeit uf Grundlge eines kontinuierlichen Modells (Die Wchstumsgeschwindigkeit nimmt im zu betrchtenden Intervll unendlich viele Werte n.) notwendig. Die Lösung wird durch die Berechnung bestimmter Integrle relisiert. Der Anspruch im Beispiel (7) Kontostnd besteht im Gewinnen der Erkenntnis, dss die Summtion lokler Änderungsrten (Summtion ller Zwischensummen) ls Gesmteffekt gedeutet werden knn. Der loklen Änderungsrte der Differentilrechnung wird der globle Gesmteffekt der Integrlrechnung gegenübergestellt. Ds Beispiel bsiert uf der Grundlge eines diskreten Modells. Die zu betrchtende Größe nimmt im vorgegebenen Intervll (Zeitrum vom 0.0. bis 4.0.) endlich viele Werte n. t t Beispiel 6: Wchstumsgeschwindigkeit Quelle: Lmbcher Schweizer, Mthemtik für Gymnsien, Gesmtbnd Oberstufe mit CAS, Ausgbe C, Ernst Klett Verlg GmbH, Stuttgrt 007, S. 70, Aufgbe Wchstum einer Hopfenpflnze Für ds Wchstum einer Hopfenpflnze wird folgende Modellnnhme getroffen: Die Wchstumsgeschwindigkeit w(t) in cm/tg steigt innerhlb von 40 Tgen liner von 0 uf 5 cm/tg. Anschließend nimmt die Wchstumsgeschwindigkeit liner innerhlb von 30 Tgen wieder uf 0 cm/tg b. Um wie viel Zentimeter wächst die Pflnze insgesmt? Foto: privt Kopiervorlge 8

30 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise Gleichung für die Wchstumsgeschwindigkeit unter der Vorussetzung, dss ds Wchstum liner verläuft: s w () t = ; s... Länge der Pflnze; t... Zeit t in Tgen Funktionsterme unter Bechtung des unterschiedlichen Wchstums in den zwei Teilintervllen: Intervll [ ;40 ]: w () t t = Intervll [ 40 ;70 ]: w () t Nutzung des Huptstzes: s s = 5 = t 30 + = w() t dt = t dt = w () t dt = t + dt Ergebnis: Die Pflnze wächst insgesmt um 875 cm. Prozessbezogene Symbole, Verfhren und Werkzeuge verwenden, z. B. Verwendung von Symbolen zum Strukturieren von Informtionen und zum Modellieren, Arbeit mit Funktionstermen Kommunizieren und Kooperieren, z. B. Erfssen, Interpretieren und Reflektieren von Texten Modellieren, z. B. Beschreibung von Relsitutionen durch mthemtische Modelle Mthemtische Drstellungen verwenden, z. B. Verwendung von Drstellungen von Funktionen, Nutzung von Termen Inhltsbezogene Funktionler Zusmmenhng, z. B. Nutzung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung zur Bestimmung von bestimmten Integrlen Approximtion, z. B. Erläuterung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung durch die Interprettion der Aufsummierung von loklen Änderungsrten in inner- und ußermthemtischen Situtionen ls Gesmteffekt 9

31 Beispiel 7: Kontostnd Quelle: Duden, Lehrbuch Mthemtik, Gymnsile Oberstufe, Qulifiktionsphse,. Kursjhr, DUDEN PAETEC GmbH, Berlin 007, S. 0 Aufgbe Kontostnd Herr Meier kontrolliert nhnd eines Hushltsbuches seine Einnhmen und Ausgben (siehe Abbildung). ) Wie groß ist der Gesmtsldo im betrchteten Zeitrum? b) Ermitteln Sie Zeitintervlle, in denen Herr Meier mehr eingenommen ls usgegeben ht, und solche, in denen der umgekehrte Fll eintritt. c) Gibt es einen Zeitrum, in dem sich Einnhmen und Ausgben usgleichen? d) Begründen Sie Ihr Vorgehen und ziehen Sie Prllelen zum Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Einnhmen und Ausgben 0.0. Miete - 567, Versicherung PKW - 45, 0.0. Brbhebung - 400, Krnkenksse - 4, Gehlt 634, Einkuf Drogerie - 5, Zeitschriften-Abo -, Telefonrechnung - 35, Internet-Gebühren - 9, Autoreprtur - 45, Honorr für Vortrg 00,00.0. Abrechnung Kreditkrte - 60, Supermrkt - 34, Brbhebung - 00,00 Kopiervorlge 30

32 Kompetenzbezug und Lösungshinweise Lösungshinweise ) Zur Ermittlung des Sldos in einem bestimmten Intervll sind lle Zwischensummen im betrchteten Intervll zu summieren. Somit erhält mn für den Gesmtsldo vom den Wert 586,33. b) Mögliche Zeitintervlle mit Einnhmeüberschuss sind z. B ; ; Mögliche Zeitintervlle, in denen die Ausgben höher ls die Einnhmen sind, sind z. B ; ; c) Es treten nur zwei positive Beträge uf, die sich nicht durch Ausgben in der näheren Umgebung exkt usgleichen lssen. Somit gibt es keinen Zeitrum, in dem sich Einnhmen und Ausgben usgleichen. d) Für die Ermittlung des Gesmtsldos in einem konkreten Zeitrum ist die Summtion ller Zwischensummen notwendig (sehr ufwändig je nch Vorgbe). Wenn der Kontostnd zu Beginn des zu betrchteten Zeitrums beknnt ist, ist es möglich, den Endkontostnd mit Hilfe der Einzelumsätze zu bestimmen. Eine Aussge zum Gesmtsldo erhält mn, in dem mn die Differenz des Endkontostndes mit dem Ausgngskontostnd bildet. Dbei entspricht der Ausgngsstnd der Ausgngssumme bzw. der Endstnd der Endsumme. Ds Bilden der Differenz us Endsumme und Ausgngssumme entspricht dem durch den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung festgelegten Vorgehen. Prozessbezogene Kommunizieren/ Kooperieren, z. B. Erfssen, Interpretieren und Reflektieren von Texten Modellieren, z. B. Beschreibung von Relsitutionen durch mthemtische Modelle Argumentieren, z. B. Entwicklung von Begründungen für mthemtische Schverhlte, Beschreibung von Zusmmenhängen in innerund ußermthemtischen Situtionen Inhltsbezogene Approximtion, z. B. Erläuterung des Huptstzes der Differentilund Integrlrechnung durch die Interprettion der Aufsummierung von loklen Änderungsrten in inner- und ußermthemtischen Situtionen ls Gesmteffekt 3

33 6 Methodische Anregungen 6. Lerntempoduett (vgl: Kleines Methodenlexikon, Wilhelm H. Peterßen, Verlg Oldenbourg,. Auflge 00) Ziele/Vorussetzungen Vorussetzung für den Einstz der Methode Lerntempoduett ist ds Vertrutsein der Schülerinnen und Schüler mit der Prtnerrbeit. Ds Tempoduett ist eine wirksme Methode der Binnendifferenzierung, welche überll (z. B. in Wiederholungs- oder Einführungsphsen) einsetzbr ist. Die Duer ist hierbei bhängig von der Aufgbenstellung. Ds Lerntempoduett ist bei der Errbeitung/Berbeitung von Texten/Aufgben einsetzbr. Die Lösung der gestellten Aufgbe knn selbst ds Lernziel oder ein Zwischenschritt zu einem umfssend gesetzten Lernziel drstellen. Als Methode ist ds Tempoduett vor llem dort einzusetzen, wo Schülerinnen und Schüler lernen sollen, sich über ein Problem eigene Gednken zu mchen, diese n ndere hernzutrgen und verständlich zu erklären. Der Grundstz des Tempoduetts besteht drin, dss die Aufgben in Einzelrbeit gelöst und dnn prweise verglichen werden. Allen Schülerinnen und Schülern soll Gelegenheit gegeben werden, sich eigenständig mit den entsprechenden Aufgben in einem Tempo zu beschäftigen, welches ihren individuellen Vorussetzungen entspricht. Abluf In der Regel werden von den Schülerinnen und Schülern beim Lerntempoduett folgende Phsen durchlufen:. Die Schülerinnen und Schüler setzen sich in zwei Reihen einnder gegenüber.. Jede Schülerreihe erhält einen eigenen Text bzw. eine eigene Aufgbenstellung. 3. Die Aufgbenstellung wird durch die Lehrkrft erläutert (z. B. Text lesen, Frgen bentworten, Aufgben lösen...). 4. Schüler und Schülerinnen befssen sich, entsprechend ihres individuellen Lerntempos, mit der Aufgbenstellung/dem Text. 5. Wer die erste Aufgbe gelöst ht, deutet dies n und wrtet uf eine Schülerin oder einen Schüler der. Gruppe. 6. Ds Schülerpr sucht sich eine Arbeitsecke und erläutert sich gegenseitig die jeweilige Lösung. 7. Nch dem Informtionsustusch kehren die Schülerinnen und Schüler uf ihre Plätze zurück und berbeiten die nächste Aufgbe. Es gibt verschiedene Abwndlungsmöglichkeiten des Lerntempoduetts. So knn mn z. B. n Schritt 7 nschließen und lle Schülerinnen und Schüler gleiche Aufgben mit steigendem Schwierigkeitsgrd (beginnend mit den leichteren) lösen lssen. Der Schüler bzw. die Schülerin, welcher mit der ersten Aufgbe fertig ist, signlisiert dies und wrtet uf den nächsten, um die Aufgbe zu vergleichen. Der Dritte vergleicht dnn mit dem Vierten, der Fünfte mit dem Sechsten u.s.w. Um nicht unnötig viel Unruhe entstehen zu lssen, ist es möglich, vorher Krten zu lminieren (siehe Anlge), welche jeder vor sich ufstellt und kennzeichnet, welche Aufgbe gelöst wurde. Um einen reibungslosen Abluf der Prtnerrbeit zu relisieren, ist es wichtig, 3

34 die Schülerinnen und Schüler druf hin zu weisen, dss die Aufgben in der vorgegebenen Reihenfolge (mit beginnend) zu berbeiten sind. 3 Lerntempoduett zu weiterführenden Integrtionsmethoden Bei einer komplexen Übung- bzw. Wiederholungsphse zu weiterführenden Integrtionsmethoden m Beispiel der Integrtion durch Substitution und der prtiellen Integrtion knn ds Tempoduett Anwendung finden. Ausgewählt wurden zehn Aufgben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrd. Die Aufgben und beinhlten die linere Substitution, welche den Schülerinnen und Schülern im Allgemeinen uch schon vor der Behndlung der weiterführenden Integrtionsmethoden beknnt ist. Die Aufgben 3 bis 5 hben die Integrtion durch nichtlinere Substitution in unterschiedlichen Niveustufen zum Gegenstnd. Bei den Beispielufgben zur prtiellen Integrtion wurden im Wesentlichen zwei Aufgbentypen genutzt. Zum Einen solche, bei denen die Ergebnisse Grundintegrle (Aufgben 6 bis 8) sind. Außerdem solche Aufgbentypen, bei denen durch geschicktes Integrieren ds Ausgngsintegrl entsteht, welches mit diesem zusmmengefsst werden knn. Beispiel für ds in den Aufgben 9 und 0 nzuwendende Verfhren:. Zu bestimmen ist sin( x) cos( x)dx Mit der Whl von u( x) = sin( x) und v ( x) = cos( x) u ( x) = cos(x) und ( x) sin( x) ergeben sich v =.. Dmit gilt sin( x) cos( x) dx = sin( x) sin( x) cos( x) sin( x)dx Ds Zusmmenfssen derselben Integrle führt zur folgenden Lösung: ( x) ( x) dx sin sin cos ( x) sin ( x) cos( x) dx = sin ( x) = Arbeitsbltt zum Lerntempoduett: Integrtion durch Substitution und prtielle Integrtion Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrle: ( 3x 8) dx. ( 4x + ) dx 3. x x 3dx x 4. dx + x 0 x 5. dx + x 3 6. x sin( x) dx 0 x e 7. x e dx 8. x ln( x)dx 9. (sin x) dx π 0 0. e x cos( x) dx Kopiervorlge 33

35 Anlge (Kopiervorlge zum Lerntempoduett) 34

36 6. Lernkrten zum Them Integrlrechnung (Leistungskurs) Ausgewählte Lernkrten sind uch im Grundkurs einsetzbr. Sie dienen zur Anregung für die Unterrichtsrbeit und können beliebig erweitert und ergänzt werden. Fchliche Einordnung Die Lernkrtei enthält in konzentrierter Form die wichtigsten Inhlte des Bsiswissens us dem Bereich Anlysis/Integrlrechnung. Wichtige Begriffe, ber uch grundlegende Verfhren, werden gezielt und strukturiert mit einem Beispiel gekoppelt drgestellt. Im Bereich der Integrlrechnung lssen sich viele Aufgben und Probleme mit festen Algorithmen und Lösungsschemt berbeiten, die folgende fchliche Schwerpunkte beinhlten: - Stmmfunktion F einer Funktion f - Ermitteln von Stmmfunktionen - bestimmtes Integrl und Rechenregeln für bestimmte Integrle - unbestimmte Integrle - Anwendungen der Integrlrechnung bei der Flächen- und Volumenberechnung - Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung - Integrtionsverfhren Methodische Hinweise Die Lernkrtei ist im Unterricht n vielen Stellen einsetzbr. Denkbr ist die Nutzung m Ende eines Themengebietes, in Wiederholungs- und Festigungsphsen im Rhmen von Gruppenrbeit oder Prtnerbfrge, im Anschluss n eine Errbeitungsphse und zur Selbstkontrolle. Für die Schülerinnen und Schüler der gymnsilen Oberstufe können die Lernkrten eine gute Hilfe für ds zielgerichtete selbstständige Üben zu Huse sein. Für eine effektive Lernrbeitsgestltung in Vorbereitung uf Klusuren und die schriftliche bzw. mündliche Abiturprüfung gestltet sich die Lernkrtei ls gut hndhbbre Lernhilfe. Bereits vorhndene Krteien können von der Lehrkrft dem Niveu des Kurses ngepsst und ergänzt werden. Sinnvoll ist ber uch ein selbstständiges Errbeiten von zusätzlichen Krten zu Begriffen und Arbeitsschritten für Verfhren durch die Schülerinnen und Schüler. Ds bewusste Drstellen mthemtischer Inhlte in komprimierter Form führt dbei zu einem besseren Verständnis und die Inhlte bleiben länger im Gedächtnis hften. Erfhrungen bei der Verwendung der Lernkrtei hben gezeigt, dss dmit nicht nur leistungsschwche Schülerinnen und Schüler erfolgreich rbeiten. Für die Hndhbung empfiehlt es sich, die Krten nch dem Ausschneiden und Flten zu lminieren. 35