befasst sich mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln in einem Dreieck.

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1 Trigonometrie Lernziele befasst sich mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln in einem Dreieck. Selbständiges Erarbeiten der Kurztheorie Kenntnis der wichtigsten Begriffe, Definitionen und Formeln Erarbeiten der wichtigsten Fertigkeiten Erkennen der Aufgabentypen zur Trigonometrie Vorgehen Hilfsmittel Sie erarbeiten (z.b. in kleinen Gruppen) die Theorie und die Beispiele unter Beachtung unserer Hinweise in diesem Leitfaden Danach lösen Sie die vorgeschlagenen Aufgaben Schliesslich vergleichen Sie Ihre Lösungen mit den Lösungsblättern. Bei Problemen wenden Sie sich an Ihren Lehrer Mathematik für Mittelschulen Geometrie, Peter Frommenwiler, Kurt Studer, Verlag Sauerländer Dieser Leitfaden Formelsammlung, bitte ständig ergänzen! Geeigneter Taschenrechner Zeitplan I 2.1 Das rechtwinklige Dreieck 8 Lektionen II 2.2 Das allgemeine Dreieck 2.3 Aufgaben aus Physik und Technik 2.4 Ähnliche Figuren 10 Lektionen III 2.5 Trigonometrische Funktionen 2.6 Goniometrie 12 Lektionen Zur Einhaltung des Zeitplanes müssen Sie genügend Zeit für Hausaufgaben einplanen. Voraussetzungen Grundkenntnisse der Planimetrie Hinweise Die vorgeschlagenen Aufgaben sind ein Minimalprogramm I 2.1 Das rechtwinklige Dreieck (Seite 84) Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Merken Sie sich die Definitionen (Seite 84) für den Sinus (sin), Cosinus (cos) und den Tangens (tan). Die Gegenkathete ist jeweils die gegenüberliegende Kathete, die Ankathete die anliegende., Daniel Wyrsch Seite

2 Wir verwenden nur drei der sechs möglichen Seitenverhältnisse: Gegenkathete Sinus: sin( ϕ ) = Cosinus: Hypotenuse Ankathete cos( ϕ) = Hypotenuse Tangens: Gegenkathete tan( ϕ) = Ankathete Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck und messen Sie die Seiten und die Winkel. Vergleichen Sie Ihre Seitenverhältnisse mit den sin-, cos- und tan-werten Ihres Dreieckes aufgrund der vorangegangenen Definitionen. Bei grösseren Abweichungen fragen Sie den Lehrer. Konstruieren Sie ein zweites, rechtwinkliges Dreieck und beschreiben die Seiten mit den Buchstaben p, q, r und die Winkel mit x, y und z. Fragen Sie den Banknachbar nach dem sin(x), cos(y) etc. Üben, üben Sie die Definitionen von S. 84! Sie kennen das spezielle rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 Einheiten. Bestimmen Sie sin, cos und tan der spitzen Innenwinkel, wenn ϕ der kleinere und η der grössere der beiden ist: ϕ η sin cos tan Versuchen Sie die sin-, cos- und tan-werte für 0, 30, 45, 60 und 90 exakt herzuleiten. Verwenden Sie dazu die Definitionen von S. 84 und die beiden Hilfsfiguren (halbes Quadrat, halbes gleichseitiges Dreieck). Stellen Sie Ihre Resultate in einer Tabelle dar und vergleichen Sie Ihre Tabelle mit den Mitschülern oder fragen Sie Ihren Lehrer. sin cos tan Aufgaben: 350, 351, 353, 355 (Merken Sie sich diese wichtigen Formeln, die in jedem rechtwinkligen Dreieck gelten!!), 356, 358, 360, 361, 363, 368, 373, 377 (zeichnen Sie als Hilfsfigur das Dreieck ABM mit der Mittelsenkrechten ein), 379, 386., Daniel Wyrsch Seite

3 2.1.2 Die Arcusfunktionen (Seite 90) Man kann aus den Sinus-,Cosinus- und Tangenswerten auf den Winkel schliessen. D.h. es besteht eine Beziehung von den Seitenverhältnissen zu den Winkeln und umgekehrt. Benützen Sie dazu die INV- oder die 2nd-Taste auf Ihrem Taschenrechner. Aufgabe: 389 (wie immer: eine Auswahl davon) Aufgaben aus der Optik (Seite 91) Die Theorie müssen Sie in der Mathematik nicht lernen. Ob Licht oder Billard, denken Sie an: Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Aufgaben: 391, Flächeninhalt eines Dreiecks (Seite 95) Zeigen Sie anhand des Theoriedreiecks (S. 95 oben), dass h q = psin ϕ ist. So können Sie problemlos die wichtige Formel herleiten. Aufgaben: 404, Berechnungen am Kreis (Seite 96) Die Formeln werden mit den Winkeln im Bogenmass einfacher. Falls Sie das Bogenmass noch nicht kennen, lassen Sie es sich vom Lehrer erklären. Entsprechende trigonometrische Werte sind im rad-mass zu berechnen. Aufgaben: 413, 415, 418. Nach so vielen Aufgaben sollten Sie das Thema Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck beherrschen! Im Alltag würde man von einem Spezialisten sprechen!, Daniel Wyrsch Seite

4 2.2 Das allgemeine Dreieck (Seite 100) Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel Im Theorieabschnitt wird Ihnen der Einheitskreis und die einzelnen Winkelfunktionen dargestellt. Beachten Sie, das im Einheitskreis der Radius immer 1 beträgt. Lassen Sie den Punkt P auf der Kreislinie rotieren, indem Sie mit dem Finger auf der Kreislinie fahren. Beginnen Sie ganz rechts, denn da ist der Zentriwinkel α = 0. Fahren Sie mit dem Finger im Gegenuhrzeigersinn rund herum. 1. Beachten Sie den Winkel α. An welcher Stelle der Kreislinie ist α wie gross? 2. Beachten Sie den y-wert des Punktes P beim Rotieren. Bei welchem Winkel ist der y-wert wie gross? Wissen Sie, dass dieser y-wert dem sin(α) entspricht? Merken Sie sich genau, wie man im Einheitskreis den Sinus eines Winkels abliest. Beachten Sie die speziellen Werte für sin(0 ) und sin(90 ). Studieren Sie sorgfältig auch die Werte für das Intervall 90 < α 360. Zeichnen Sie einen Einheitskreis und darin einen Winkel von 40 und einen Winkel von ( ) und prüfen Sie die Formel sin(180 - α) = sin(α). Prüfen Sie analog die Formel sin(180 + α) = -sin(α). Merken Sie sich die speziellen Werte für sin(180 ), sin(270 ) und sin(360 ). 3. Beachten Sie den x-wert des Punktes P beim Rotieren. Dieser x-wert entspricht dem cos(α). Merken Sie sich genau, wie man im Einheitskreis den Cosinus eines Winkels abliest. Beachten Sie die speziellen Werte für cos(0 ) und cos(90 ). Studieren Sie sorgfältig auch die Werte für das Intervall 90 < α 360. Zeichnen Sie einen Einheitskreis und darin einen Winkel von 50 und einen Winkel von ( ) und prüfen Sie die Formel cos(180 - α) = -cos(α). Prüfen Sie analog die Formel cos(180 + α) = -cos(α). Merken Sie sich die speziellen Werte für cos(180 ), cos(270 ) und cos(360 ). 4. Merken Sie sich genau, wie man am Einheitskreis den Tangens eines Winkels abliest. Die rechte Kreistangente trägt immer den Tangens und wird daher oft Tangensträger genannt. Beachten Sie das Ablesen der Tangenswerte für Winkel im Intervall 90 < α 360 : Zeichnen Sie mit einem Mathematikprogramm im gleichen Koordinatensystem die drei Funktionen sin(x), cos(x) und tan(x) für 0 x < 360. Fügen Sie diese Grafik Ihrer Formelsammlung bei. Aufgaben: 427, 428 (falls oben noch nicht erledigt!), (Achtung: mehrere Lösungen möglich, vgl. Sie dazu immer den Einheitskreis), 433, 434, 436 (Merken Sie sich diese wichtige Flächenformel, Beweis via Höhe im Dreieck)., Daniel Wyrsch Seite

5 2.2.2 Sinussatz (Seite 102) Dieser Satz ist wichtig für Berechnungen an beliebigen (schiefwinkligen) Dreiecken. Man kann den Satz herleiten, indem man eine Dreieckshöhe durch die beiden anliegenden Seiten und die Sinuswerte der anliegenden Winkel ausdrückt. sin(α) = b h und sin(β) = a h somit h = b sin(α) und h = a sin(β) zusammen b sin(α) = a sin(β) oder umgeformt a b = analog für den Winkel γ sin( α) sin( β) Mit dem Zentriwinkel und dem Umkreisradius a sin( α ) = 2 oder umgeformt 2r sin(α) = a und daraus r a 2r = Alles zusammen ergibt den sin( α) SINUSSATZ a b c = = = 2r sin( α) sin( β) sin( γ) Merken Sie sich, dass Sie mit dem Sinussatz den Umkreisradius bestimmen können. Anwendung: Wenn zwei Winkel an einer Seite, zwei Winkel und eine Gegenseite oder zwei Seiten und ein Gegenwinkel gegeben sind: Bei den Berechnungen mit dem Sinussatz können manchmal 2 Lösungen auftreten: Beispiel: Lösungen: b = 5 cm, c = 8 cm α 1 = 33.1, α 2 = β = 20 β 1 = 126.9, β 2 = 13.2 Aufgaben: 439a, 441, 442b und c, 443, 445, 448a und 449, Daniel Wyrsch Seite

6 2.2.3 Cosinussatz (Seite 104) Ebenso wie der Sinussatz wird dieser Satz für Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck gebraucht. Es gibt verschiedene Beweise für den Cosinussatz. Die folgende Variante stellt eine Verbindung zum Satz von Pythagoras her: Wir gehen aus von einem beliebigen Dreieck ABC Das Teildreieck ABD (mit der Höhe h = DB) ist rechtwinklig, somit gilt: c 2 = h 2 + w 2 Wir ersetzen h mit a sin(γ) und w mit b u und u mit a cos(γ) und erhalten c 2 = [a sin(γ)] 2 + [b a cos(γ)] 2 und ausgerechnet c 2 = a 2 sin 2 (γ) + b 2 2 a b cos(γ) + a 2 cos 2 (γ) = a 2 [sin 2 (γ) + cos 2 (γ)] + b 2-2 a b cos(γ) Wegen sin 2 (γ) + cos 2 (γ) = 1 folgt schliesslich c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ) der Cosinussatz Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für den Winkel γ sondern auch für die übrigen Innenwinkel im Dreieck ABC: COSINUSSATZ c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(β) a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(α) Anwendung: - für beliebige Dreiecke - wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel - oder drei Seiten gegeben sind Betrachten Sie nochmals die obige Figur. Wir haben bereits verwendet: u = a cos(γ) ebenso gilt v = b cos(γ) multiplizieren wir je beidseitig mit b bzw. mit a b u = a b cos(γ) und a v = a b cos(γ) so sehen wir, dass b u = Fläche und a v = Fläche diese beiden Flächen sind aber gleich gross Der Cosinussatz gilt auch als Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. Man kann drei Fälle unterscheiden: 1) γ = 0 hier ist cos(0 ) = 1 somit c 2 = a 2 + b 2 2 a b = (a b) 2 und c = a b 2) γ = 90 hier ist cos(90 ) = 0 somit c 2 = a 2 + b 2 der Pythagoras 3) γ = 180 hier ist cos(180 ) = -1 somit c 2 = a 2 + b a b = (a + b) 2 und c = a + b, Daniel Wyrsch Seite

7 2.2.4 Vermischte Aufgaben mit Parameter (Seite 107) Dieses Kapitel ist freiwillig. Wichtig ist uns, dass Sie die vorhergehenden Aufgaben beherrschen. 2.3 Aufgaben aus Physik und Technik (Seite 109) Aufgaben: 488, 490, 494 und Ähnliche Figuren (Seite 112) Aufgaben: 499a und c (Man muss für a eine bestimmte Länge annehmen und die gegebene Strecke berechnen. Das Verhältnis vom Resultat und der gegebenen Länge ist der Streckungsfaktor k. Entsprechend muss a korrigiert werden.), 501 und 504., Daniel Wyrsch Seite

8 Trigonometrische Funktionen und Goniometrie 2.5 Trigonometrische Funktionen (Seite 113) Dieses Kapitel wird nicht von allen Lehrkräften gleich gehandhabt. Klären Sie mit Ihrem Lehrer ab, was genau von diesem Leitfaden verlangt wird Argumente im Gradmass Aus dem grossen Algebrakapitel Funktionen kennen Sie die verschiedenen Verschiebungen und Streckungen. Alle Gesetzmässigkeiten gelten auch bei den trigonometrischen Funktionen. Aufgaben: 510, 511. Besprechen Sie untereinander und mit Ihrem Lehrer Ihre Resultate und versuchen Sie die Parameter a, b und c der Aufgabe 511 zu deuten. [Elektroberufe werden natürlich sofort Analogien zur Berufskunde entwickeln! Welche? Aufgaben mit einem graphikfähigen Taschenrechner oder PC: 512 und 513. Tip: alles auf eine Seite nehmen und die Nullstellen untersuchen Argumente im Bogenmass (Seite 116) Bisher haben Sie Winkel in der Regel im Altgradmass berechnet. In der höheren Mathematik, der Technik, der Vermessung, in der Physik und in der Astronomie werden Winkel aber meistens im Bogenmass berechnet. Die beiden Winkelmasse sind über die folgende Verhältnisgleichung miteinander verbunden: α : 360 = x : 2rπ gekürzt α steht für den Winkel im Altgradmass und x für den Winkel im Bogenmass. Wenn wir noch berücksichtigen, dass das Bogenmass unabhängig ist vom Radius, können wir für den Radius r = 1 setzen (Einheitskreis): α : 180 = x : π α : 180 = x : rπ Mit dieser Formel lassen sich Winkel vom Altgradmass in das Bogenmass umrechnen und umgekehrt. Beachten Sie bitte, dass das Bogenmass keine Einheit hat., Daniel Wyrsch Seite

9 Übung: Füllen Sie die folgende Tabelle aus: α x π 4 1 3π Natürlich können die trigonometrischen Funktionen auch im Bogenmass dargestellt werden: Für spezielle Zwecke (Vermessung) gibt es sogar ein drittes Winkelmasssystem: das Neugradmass. Dort gilt für den rechten Winkel 100 gon und 1 ist in 100 Winkelminuten unterteilt und 1' in 100 Winkelsekunden. Damit wird die Winkelberechnung sozusagen dezimal. Dieses Winkelmass wird an der BMS nicht verwendet. Auf Ihrem Rechner finden Sie (je nach Modell) zwei (oder alle drei) Winkelmasssysteme. Auf dem TI-89 schalten Sie mit MODE unter Angle um zwischen RADIAN (=Bogenmass) und DEGREE (=Altgradmass). Auf dem HP-48 schalten Sie um mit DEG (=Altgrad), RAD (=Bogenmass) und GRD (=Neugrad) Achtung Fehlerquelle: Beachten Sie in welchem Modus Ihr Rechner eingestellt ist. Wenn Sie z.b. sin(45 ) berechnen müssen und Ihr Rechner im Bogenmass eingestellt ist, dann erhalten Sie die 'falsche' Anzeige Ist Ihr Rechner im Gradmass eingestellt und Sie möchten cos(π) berechnen, so erhalten Sie die 'falsche' Anzeige , Daniel Wyrsch Seite

10 Achten Sie auf die korrekte Schreibweise: sin(60) bedeutet, dass Sie im Bogenmass rechnen (Resultat: ) sin(60 ) bedeutet, dass Sie im Gradmass rechnen (Resultat: ) cos(π ) ist zwar eher seltsam, bedeutet aber cos( ) (Resultat: ) cos(π) bedeutet cos(3.1414) (Resultat: -1) Im Aufgabenbuch Frommenwiler ist das Gradmass durch griechische Winkel angegeben α, β, γ, δ... Das Bogenmass dagegen ist mit Variabeln x, y,... angegeben. Aufgaben: 517, 518, 519 und Angewandte Aufgaben (Seite 119) Aufgaben: 522 und 523., Daniel Wyrsch Seite

11 2.6 Goniometrie (Seite 121) Es geht um zahlreiche Formeln welche für Umformungen und vor allem zur Auflösung von trigonometrischen Gleichungen verwendet werden. Die Herleitungen sind nicht wichtig, aber die Formeln gehören in Ihre Formelsammlung. Goniometrische Gleichungen sind mit verschiedenen Schwierigkeiten behaftet. 1) In der Regel wird eine Grundmenge vorausgesetzt, und zwar entweder im Altgradmass oder im Bogenmass. 2) In der Regel sind mehrere Lösungen zu befürchten. 3) Sehr oft müssen Additionstheoreme eingesetzt werden. 4) Die Gleichung kann durchaus zu einer quadratischen werden. Wurzelgleichungen kommen auch oft vor. 5) Substitutionen sind leider manchmal auch nötig. Oft hilft auch der Tip: Umformen, so dass nur noch eine Funktion übrig bleibt Beziehungen zwischen sinα, cosα und tanα Die ersten beiden Formeln der Theorie kennen Sie bereits aus dem Teil Trigo I. Studieren Sie die Aufgabe 532b und erklären Sie, warum sin(α) nicht weggekürzt werden darf. Wie Sie sehen, wird hier die alte Weisheit Produkt = Null verwendet. [sinx(5sinx-3) = 0] Aufgaben: 526a, b, e, f und i; je a, c und e (wo vorhanden) Hier noch eine Musterlösung : Nr. 535a) 3 sin(α) = 2 cos 2 (α) cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1 verwenden 3 sin(α) = 2[1 - sin 2 (α)] umformen 2 sin 2 (α) + 3 sin(α) - 2 = 0 quadratische Gleichung sin(α) = 0.5 oder sin(α) = -2 Die erste Lösung der quadratischen Gleichung liefert zwei Lösungen: α 1 = 30 und α 2 = 150 Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung liefert keine weiteren Lösungen. (Warum?) Additionstheoreme (Seite 122) Das Additionstheorem sin(α+β) ist in der Aufgabe 539 (Gesamtfläche ist Summe der Teilflächen) versteckt. Versuchen Sie den Beweis, bevor Sie weiterlesen! Mit dem Flächensatz gilt: A PQS = 0.5absin(α+β). A PQR = 0.5ahsinα = 0.5absinαcosβ, analog A PRS = 0.5abcosαsinβ. Richtig zusammenfassen, ausklammern und wegstreichen, ergibt das gesuchte Additionstheorem. Die anderen Additionstheoreme kann man ähnlich herleiten (540, 541). Wir verzichten darauf., Daniel Wyrsch Seite

12 Die 6 Additionstheoreme für sin, cos und tan brauchen Sie unbedingt. Vervollständigen Sie Ihre Formelsammlung! Eine Musteraufgabe: 2 cos(α + 60 ) + sin(α - 90 ) = 0 α =? Ein Fall für die Additionstheoreme: cos(α + 60 ) = cos(α) cos(60 ) - sin(α) sin(60 ) mit den speziellen Werten für cos(60 ) und sin(60 ) folgt: 3 cos(α + 60 ) = 0.5 cos(α) - 2 sin(α) sin(α - 90 ) mit Additionstheorem oder besser direkt sin(α - 90 ) = - cos(α) Alles eingesetzt: 3 2 [0.5 cos(α) - sin(α)] - cos(α) = sin(α) = 0, oder einfach sin(α) = 0 α 1 = 0, α 2 = 180 Aufgaben: 542a, d und e; 543c, 545a; Funktionen des doppelten Winkels (Seite 125) Merken Sie sich die Doppelwinkelformeln (-> Formelsammlung). Die Beweise sind einfach. Setzen Sie für 2α = α + α und wenden Sie die Additionstheoreme an. Aufgaben: je a, c, e und g (Winkel wie 0.5α kann man substituieren!) Transzendente Gleichungen (Seite 127) Transzendente Gleichungen beinhalten die Unbekannte x als normale Unbekannte und gleichzeitig als Unbekannte im trigonometrischen Term. Diese Aufgaben sind nicht mehr mit einer Lösungsformel lösbar, sondern nur via Funktionen. Dieses Teilkapitel wird nicht von allen Lehrkräften gleich gehandhabt. Klären Sie mit Ihrem Lehrer ab, was genau von diesem Leitfaden verlangt wird. Aufgaben: 562 (bei a sollte es auf der rechten Seite 1.2x heissen.), Daniel Wyrsch Seite