Berechnungen am allgemeinen Dreieck

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1 erechnungen am allgemeinen Dreieck 1 Gegeben ist ein Viereck D (siehe nachfolgende Skizze) mit a = 9m, b = 14m, c = 11m, e = 17m und δ 1 = 49 (a) erechnen Sie den Winkel β 2 (b) erechnen Sie den Winkel Welche Schwierigkeit tritt dabei auf? Wie ist sie erklärbar? D (c) erechnen Sie die beiden Möglichkeiten für, wenn δ 1 = 17 (d) Welche Voraussetzung müsste erfüllt sein, damit es stets genau eine Lösung gibt? δ 1 a c e b β 2 Lösung: (a) β 2 = 40 (b) keine Lösung (c) 1 = 34 ; 2 = 146 (d) es muss a > e sein 2 Von einer geraden Landstraße zweigt in P nach rechts vorne eine gerade Seitenstraße nach ab Geht man auf der Landstraße 4 km weiter, so führt ein Fußweg unter einem Winkel von 60 nach rechts vorne ebenfalls nach Seitenstraße und Fußweg treffen sich in unter 45 Nach, das 5 km von entfernt ist, führt von P aus eine 6 km lange Seitenstraße unter einem Winkel ϕ nach vorne links Erstellen Sie eine saubere Planskizze und berechnen Sie dann den Winkel ϕ auf Grad genau! Lösung: 38 3 (a) erechnen Sie die Länge der asis und den Flächeninhalt des Dreiecks T aus den in der Zeichnung angegebenen Maßen (b) Wie groß muss β sein, damit T die Fläche des Dreiecks halbiert? Lösung: T = 1,433, (T) = 1,338, β = 40, β T

2 4 Die Lage eines Punktes P auf einer Karte soll durch Vorwärtseinschneiden bestimmt werden Dazu misst man von zwei trigonometrischen Punkten und aus die Winkel ε =<) P und δ =<) P Im folgenden werden Koordinaten relativ zu benutzt: (0 0) und (2188,12 815,88) (Einheit 1m) Es sei ε = 95,1 0 und δ = 18,4 0 (a) erechnen Sie die Entfernung und den Winkel von [ gegen die x-chse (b) erechnen Sie P und die Koordinaten von P Lösung: (a) = 2335m, Winkel 339,6 0 (b) P = 804m mit Hilfe des Sinussatzes, Winkel von [P gegen die x-chse: 74,7 0, Koordinaten P( ) 5 In einem gleichschenkligen Dreieck ist a = b = 6,00cm und h a = 3,24cm erechnen Sie, γ und c Lösung: γ = 32,68, = 73,66, c = 3,38cm 6 eim Diskuswurf wirft der Sportler die Scheibe meist an der Stelle des Wurfkreises ab, verfehlt aber oft die Ziel- Z richtung (vgl Skizze) Internationale Sportregeln bestimmen, dass nicht die tatsächliche Wurfweite w 1 = Z, sondern w 2 = Z gewertet wird Z ist der Punkt, an dem der Diskus den oden w 2 beruhrt Wieviele Zentimeter werden w 1 dadurch bei einer tatsächlichen Wurfweite w 1 = 40m und einem Winkel = 22 0 verschenkt? (Kreisradius r = 1,25m) M r Lösung: Kosinussatz, verschenkt: ca 9cm 7 erechnen Sie im Dreieck mit c = 5,0cm, s c = 4,0cm und = 50 o die fehlenden Winkel und Seiten auf eine Dezimale genau Lösung: b = 5,1cm; a = 4,3cm; β = 66,4 o ; γ = 63,6 o 2

3 8 Gegeben ist das Dreieck durch die Seitenlänge c = 10 cm und die Winkel = 60 und β = 80 erechnen Sie den Inkreisradius dieses Dreiecks! Lösung: 3,42cm 9 In der nebenstehenden, nicht maßstabgetreuen Figur sind gegeben: = 5,22cm; = 7,15cm; = 3,20cm Man berechne ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras die Länge x der Strecke [D]! x D Lösung: x 2,61cm 10 In nebenstehender Figur sind bekannt: e = 5,0cm; f = 7,0cm; g = 6,0cm; E = 10,5cm 2 ; δ = 50 ; ϕ = 45 sowie [E] [D] δ D (a) erechnen Sie den Winkel ε! (Ergebnis: ε = 30 ) (b) erechnen Sie die Diagonalenlänge D! e E ϕ ε g f Lösung: (b): D 11,5cm 3

4 11 In nebenstehendem Dreieck ist w die Winkelhalbierende des Winkels und s a die Seitenhalbierende der Seite [] γ (a) eweisen Sie: T : T = sinβ : sinγ! (b) Es sei nun γ = 60, β = 45, w = 8,0cm gegeben erechnen Sie die Länge von s a! w s a T M β Lösung: s a 8,1cm 12 Das gleichseitige Dreieck ist Grundfläche der Pyramide S Der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist, die Höhe 6m, das Volumen 8 3m 3 groß (a) Erstellen Sie eine saubere und übersichtliche Schrägbildskizze! (b) erechnen Sie die Längen sämtlicher Pyramidenkanten! (c) Welchen Neigungswinkel haben die Ebenen E(; ; ) und E(; ; S)? Lösung: (b): = = = 4m; S = S = 2 13m; S = 6m (c): 60 o 13 Unter dem Sekans bzw Kosekans eines Winkels versteht man die Kehrwerte von Sinus bzw Kosinus des Winkels (sofern diese Kehrwerte überhaupt existieren!) Schreibweise: sec bzw csc (a) Für welche Winkel sind Sekans und Kosekans jeweils nicht definiert? (b) Zeigen Sie unter Zuhilfenahme einer übersichtlichen Skizze, dass sich der Umkreisradius r eines beliebigen Dreiecks aus den Seitenlängen a, b und c und den Innenwinkeln, β und γ wie folgt berechnen läßt: r = a 2 sec = b 2 secβ = c 2 secγ Lösung: (a) Sekans: k 180 (k Z), Kosekans: (2k +1) 90 (k Z) 4

5 14 Ein Gegenstand M befindet sich unter Wasser und soll von einem eobachter fixiert werden (s Skizze!) Die Lichtstrahlen, die von M ausgehen, werden beim Übergang Wasser/Luft gebrochen Einfallswinkel und rechungswinkel β hängen nach dem Snelliusschen rechungsgesetz wie folgt zusammen: sinβ sin = n (n: rechzahl für den Übergang Luft/Wasser; hier n = 1,3) β M M d Lösung: 86 cm (a) Wenn man die gebrochenen Strahlen in der Skizze rückwärts verlängert, so schneiden sie sich in einem Punkt M Wie deutet dies ein eobachter, in dessen uge diese Strahlen treffen? (b) Um wieviel erscheint eine Münze, die in der Wassertiefe d = 3,00m am oden eines Schwimmbeckens liegt, angehoben, wenn in der Zeichnung = 0,82 m und = 0,80m gilt? 15 Die Kräfte F 1 und F 2 bilden einen Winkel von 60 0 Es ist F 1 = 100N und F 2 = 200 N erechnen Sie die Größe der Resultierenden beider Kräfte sowie die Größe der Winkel, die diese mit den beiden Kräften bildet Lösung: F 1 + F 1 = 265N, Winkel 19,1 0 und 40,9 0 5