Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2015:

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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung 015: Pflichtteil Wahlteil ufgabe W1a 1 Wahlteil ufgabe W1b 16 Wahlteil ufgabe Wa 17 Wahlteil ufgabe Wb 19 Wahlteil ufgabe Wa 1 Wahlteil ufgabe Wb Wahlteil ufgabe W4a 5 Wahlteil ufgabe W4b 7

2 ufgabe P1: Lösungsübersicht: ür den Umfang des reiecks E gilt: u = E + + E, mit E = 9, cm ie Länge kann im reieck mit der Sinusfunktion berechnet werden, wenn man die Länge kennt, die im reieck ebenfalls mit der Sinusfunktion berechnet werden kann (siehe igur 1) ür die Länge E gilt E = E ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe igur ) ür E gilt E =, weil das reieck E gleichschenklig ist kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe igur ) Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Lösungsansatz erkennen, sollten Sie zuerst alle Seiten des reiecks berechnen eachten Sie außerdem, dass im gleichschenkligen reieck E die Grundseite E von der Höhe halbiert wird ür den Umfang des reiecks E gilt (siehe igur 1): u = E + + 9, cm ie beiden Längen E und können folgendermaßen berechnet werden: erechnung der Länge : Im reieck gilt (siehe igur 1): sin 40 = erechnung der Länge : ür gilt im reieck (siehe igur 1): sin 64 = 9, 9, 9, cm 9, cm 8,7 = bzw = 8,7 cm Einsetzen in sin 40 = ergibt: E igur ,7 sin 40 = sin 40 = 8,7 : sin 40 = 1,87 cm erechnung der Länge E: ür die Länge E gilt: E = E erechnung der Länge : 9, cm 1,87 cm ür gilt im reieck (siehe igur ): cos 40 = 1,87 1,87 E ,86 = bzw = 9,86 cm igur Mathematik-Verlag 015, wwwmatheverlagcom

3 erechnung der Länge E: Weil das reieck E laut ufgabenstellung gleichschenklig ist, wird die Grundseite E von der Höhe h halbiert, sodass gilt: E = (siehe igur ) ie Länge kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden Es gilt: cos 64 = 9, 9, 9, cm h E igur 4,0 = bzw = 4,0 cm amit ist auch E = 4,0 cm Einsetzen von = 9,86 cm und E = 4,0 cm in E = E ergibt: E = 5,8 cm Mit = 1,87 cm und E = 5,8 cm erhält man schließlich für u = E + + 9, cm: u = 7,90 cm Ergebnis: er Umfang des reiecks E beträgt u = 7,90 cm ufgabe P: Lösungsübersicht: Zunächst sollte man die Strecke E und die Hilfslinie E einzeichnen (siehe igur 1) ie Länge E kann dann im reieck E mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die Längen E und kennt ie Länge E kann im reieck E mit der Sinusfunktion berechnet werden, wenn man den Winkel β 1 = 90 β und die Länge E kennt (siehe igur 1) en Winkel β erhält man mithilfe der Summe der Innenwinkel im reieck E ie Länge E kann im reieck E mit der Tangensfunktion bestimmt werden (siehe igur ) ür die Länge gilt: = Weil das Viereck ein Quadrat ist, gilt: = ie Länge kann im reieck E mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe igur ) ie Länge kann im reieck E mit der Kosinusfunktion berechnet werden, da man die Länge E und den Winkel β 1 bereits bestimmt hat Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Lösungsansatz erkennen, sollten Sie zuerst alle fehlenden Seiten und Winkel des reiecks E berechnen und die Hilfslinie E einzeichnen Im reieck E kann die Länge E mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden (siehe igur 1) Es gilt: E = E + erechnung der Länge E: ür die Länge E gilt im reieck E (siehe igur 1): sin β 1 = E erechnung des Winkels β 1 : ür den Winkel β 1 gilt: β 1 = 90 β en Winkel β erhält man mit der Summe der Innenwinkel im reieck E Es gilt: 4 + β + 90 = 180 β = 56 amit folgt: β 1 = 4 Mathematik-Verlag 015, wwwmatheverlagcom E 7,8 cm E 4 β igur 1 β 1

4 erechnung der Länge E: ür E gilt im reieck E (siehe igur ): E tan 4 = 7,8 7,8 5,6 = E bzw E = 5,6 cm Einsetzen von β 1 = 4 und E = 5,6 cm in sin β 1 = E E sin 4 = 5,6 5,6 E ergibt: 7,8 cm E β 1 4 β igur,94 = E bzw E =,94 cm erechnung der Länge : ür die Länge gilt (siehe igur ): = erechnung der Länge : Weil das Viereck ein Quadrat ist, gilt = ie Länge kann im reieck E mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe igur ) Es gilt: 7,8 cos 4 = 7,8 cm E β 1 4 β igur cos 4 = 7,8 : cos 4 = 9,41 cm Und wegen = ist auch = 9,41 cm erechnung der Länge : ie Länge kann mit der Kosinusfunktion im reieck E berechnet werden (siehe igur 4), da man nun die Länge E = 5,6 cm und den Winkel β 1 = 4 kennt (siehe oben) Es gilt: cos 4 = 5,6 5,6 4,6 = bzw = 4,6 cm E 5,6 4 4 β igur 4 Mit = 9,41 cm und = 4,6 cm erhält man: = 9,41 cm 4,6 cm = 5,05 cm Einsetzen von E =,94 cm und = 5,05 cm in E = E + ergibt schließlich: E = (,94) + (5,05) E = 4,15 E = 5,84 cm Ergebnis: ie Länge E ist E = 5,84 cm Mathematik-Verlag 015, wwwmatheverlagcom 4

5 ufgabe P: Lösungsübersicht: Man muss überprüfen, ob das Wasservolumen V W größer oder kleiner ist als das Pyramidenvolumen V P as Wasservolumen V W kann mit dem Kegelvolumen berechnet werden, da V W laut ufgabenstellung halb so groß sein soll wie das Kegelvolumen as Pyramidenvolumen kann mit den Längen a = 16,0 cm und s P = 4,0 cm berechnet werden (siehe igur 1) erechnung des Wasservolumens V W : ür das Wasservolumen V W soll laut ufgabenstellung gelten: V W = 1 VK ; mit dem Kegelvolumen V K ür das Kegelvolumen V K gilt (siehe ormelsammlung): V K = 1 π rk h K Wegen d K = 0 cm ist der Radius r K des Kegelgrundkreises r K = cm Mit der Kegelhöhe h K = 0,0 cm folgt: V K = 141,6 cm amit erhält man für das Wasservolumen: V W = 1570,8 cm erechnung des Pyramidenvolumens V P : ür das Pyramidenvolumen gilt (siehe ormelsammlung): V P = 1 a h P Mit a = 16,0 cm erhält man: V P = 56 h P erechnung der Pyramidenhöhe h P : ie Pyramidenhöhe h P kann im markierten reieck der igur 1 mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die iagonale d (bzw 0,5 d) der quadratischen Grundfläche kennt 0,5d a = 16 cm Es gilt: 4 = (0,5d) + h P bzw 576 = (0,5d) + h P Mit d = a (siehe ormelsammlung) und a = 16,0 cm erhält man: d =,6 cm bzw 0,5 d = 11,1 cm s p = 4 cm h P amit folgt durch Einsetzen in 576 = (0,5d) + h P : 576 = 11,1 + h P igur = 17,9 + h P 448,08 = h P 17,9 1,17 = h P bzw h P = 1,17 cm ür das Pyramidenvolumen V P = 56 h P folgt somit: V P = 1806,5 cm Ergebnis: as Wasser läuft somit beim Umfüllen in die Pyramide nicht über, weil das Wasservolumen V W kleiner ist als das Pyramidenvolumen V P (Es ist V W = 1570,8 cm und V P = 1806,5 cm ) Mathematik-Verlag 015, wwwmatheverlagcom 5

6 ufgabe P4: erechnung der fehlenden Wahrscheinlichkeit: Variante : ie fehlende Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit P grün, bei nur einem Zug von den 0 Kugeln eine grüne Kugel zu ziehen Um die Wahrscheinlichkeit P grün berechnen zu können, muss man wissen, wie viele grüne Kugeln in dem ehälter sind azu muss man zuerst die nzahl der roten und blauen Kugeln berechnen: Mit P rot = 0 % erhält man: 0 % von 0 Kugeln sind 0,0 0 Kugeln = 4 rote Kugeln Mit P blau = erhält man: von 0 Kugeln sind 0 Kugeln = 6 blaue Kugeln lso müssen grüne Kugeln (= 0 4 6) im ehälter sein 1 Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P grün = = = 0,50 = 50 % 0 Ergebnis: ie fehlende Wahrscheinlichkeit ist P grün = 0,50 = 50 % Variante : In einem aumdiagramm ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, deren Äste von einem gemeinsamen Knotenpunkt ausgehen, immer 1 Somit muss für die fehlende Wahrscheinlichkeit P grün gelten: 0 % + + Pgrün = 1 0,0 + 0,0 + P grün = 1 0,0 0,0 P grün = 0,50 = 50 % ie Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugeln zu ziehen: Man beachte: 1) as gleichzeitige Ziehen zweier Kugeln entspricht einem zweimaligen Ziehen von jeweils einer Kugel ohne Zurücklegen as heißt, dass sich beim zweiten Zug nur noch 19 Kugeln im ehälter befinden und eine Kugel von der zuerst gezogenen arbe weniger vorhanden ist ) ie Wahrscheinlichkeit, insgesamt höchstens eine grüne Kugeln zu erwischen, sollte über das Gegenereignis man zieht zwei grüne Kugeln berechnet werden nsonsten wird die erechnung recht aufwändig Es gilt also: P(höchstens eine grüne K) = 1 P(zwei grüne Kugeln) ie Wahrscheinlichkeit P(zwei grüne Kugeln) kann mit den Wahrscheinlichkeiten P 1 und P, beim ersten und beim zweiten Zug jeweils eine grüne Kugel zu ziehen, berechnet werden: 9 eim ersten Zug gilt: P 1 (eine grüne Kugel) = eim zweiten Zug gilt: P (eine grüne Kugel) = 0 19 (Man beachte, dass sich nach dem ersten Zug in dem ehälter nur noch 19 Kugeln befinden, wovon nur noch 9 Kugeln grün sind siehe oben) 9 90 Mit der Produktregel erhält man dann: P(zwei grüne Kugeln) = = amit folgt: P(höchstens eine grüne K) = 1 = 76, % Ergebnis: ie Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen, beträgt ca 76, % Mathematik-Verlag 015, wwwmatheverlagcom 6