Lösung Aufgabe P1: 1. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck ADE
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- Klara Berg
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1 Lösung Aufgabe P1: 1. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck ADE 2. Berechnung des Winkels : Tangensfunktion im hellblauen rechtwinkligen Teildreieck CDE 1 von 61
2 3. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im hellblauen rechtwinkligen Teildreieck CDE 2 von 61
3 4. Berechnung des Winkels : Gestreckter Winkel im Punkt E 5. Berechnung der Strecke : Kosinussatz im grünen rechtwinkligen Teildreieck BCE Seiten tauschen 3 von 61
4 6. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im grünen rechtwinkligen Teildreieck BCE Seiten tauschen 7. Berechnung des Umfangs : 4 von 61
5 Lösung Aufgabe P1: 1. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck ABC Seiten tauschen 2. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck ABC Seiten tauschen 5 von 61
6 3. Berechnung der Strecke : M ist Mittelpunkt von 4. Berechnung des Winkels : Winkelsumme im blauen rechtwinkligen Teildreieck ADM 5. Berechnung des Winkels : Scheitelwinkel im Punkt M 6 von 61
7 6. Berechnung der Strecke : Tangensfunktion im grünen rechtwinkligen Teildreieck MCE Seiten tauschen 7. Berechnung der Strecke : 7 von 61
8 8. Berechnung des Winkels : Winkelsumme im gelben rechtwinkligen Teildreieck ABC 9. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im orangefarbenen rechtwinkligen Teildreieck BDE Seiten tauschen 8 von 61
9 9 von 61
10 Lösung Aufgabe P1: 1. Berechnung der Grundseite a: Sinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck Seiten tauschen 2. Berechnung der Höhe der Seitenfläche : Kosinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck Seiten tauschen 10 von 61
11 3. Berechnung der Pyramidenhöhe h: Pythagoras im blauen rechtwinkligen Teildreieck 4. Berechnung des Pyramidenvolumens : Volumensformel der quadratischen Pyramide 11 von 61
12 5. Berechnung des Kugelvolumens : 6. Berechnung des Kugelradius : Volumensformel der Kugel Seiten tauschen 12 von 61
13 Lösung Aufgabe P4: 1.a Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel p durch Argumentation: Die Symmetrieachse der Parabel ist eine Parallele zur y-achse. hat zu dieser Symmetrieachse den Abstand 3. Also hat der Scheitel S den Abstand 9 von der x-achse. Scheitelgleichung Scheitelkoordinaten einsetzen 2. binomische Formel Zusammenfassen 1.b Bestimmung der Funktionsgleichung der Parabel p durch Berechnung: Allgemeine Parabelgleichung einsetzen einsetzen Lösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten p und q durch das Einsetzverfahren Seiten tauschen Zusammenfassen Seiten tauschen 13 von 61
14 Zusammenfassen 2. Bestimmung der Geradengleichung g: Allgemeine Geradengleichung Koordinaten von in die Geradengleichung einsetzen Seiten tauschen 3. Berechnung der Schnittpunkte von p und q: Lösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y durch das Gleichsetzverfahren in II einsetzen in II einsetzen 14 von 61
15 15 von 61
16 Lösung Aufgabe P5: Bestimmung der Definitionsmenge: 1. Nenner 2. Nenner 3. Nenner Bestimmung des Hauptnenners: Hauptnenner: Bestimmung der Lösungsmenge: gleiche Faktoren ausklammern 16 von 61 im Zähler und Nenner gleiche Faktoren kürzen
17 Zusammenfassen Normalform einer quadratischen Gleichung p und q bestimmen Lösungsformel in der Definitionsmenge enthalten in der Definitionsmenge nicht enthalten 17 von 61
18 Lösung Aufgabe P6: 1. Bestimmung der Kennwerte: min = 1 Pkt max = 20 Pkt = 7 Pkt z = 12 Pkt = 14 Pkt 2. Vervollständigung der Rangliste anhand der Kennwerte: Rangplatz Punkte z max 3. Vervollständigung der Rangliste anhand des arithmetischen Mittels: Die erreichte Gesamtpunktzahl beträgt 170. Die Summe der erreichten Punkte in der ergänzten Rangliste beträgt 153. Es fehlen also noch 17 Punkte. Antwort: Auf Rangplatz 14 könnte 14 Pkt oder 15 Pkt oder 16 Pkt stehen. Dies ergibt für Rangplatz 3 3 Pkt oder 2 Pkt oder 1 Pkt. Rangplatz Punkte Paulines Behauptung: Pauline hat Recht. 18 von 61
19 Schüler mit Rangplatz 9 bis 17, das sind 9 Schüler, haben mehr als 10 Punkte. 9 ist mehr als die Hälfte von von 61
20 Lösung Aufgabe P7: 1. Berechnung der Anzahl der kontrollierten Zweiräder: Grundformel Anzahl aller kontrollierten Fahrzeuge Prozentsatz Zweiräder Seiten tauschen Antwort: Es wurden 96 Zweiräder kontrolliert. 2. Berechnung der Anzahl der zeitweiligen Fahrverbote für Pkw-Fahrer: Grundformel Anzahl aller kontrollierten Fahrzeuge Prozentsatz Pkw-Fahrer Seiten tauschen 480 Pkw-Fahrer wurden kontrolliert 60 Pkw-Fahrer überschritten die zulässige Höchstgeschwindigkeit Anzahl der zu schnellen Pkw-Fahrer Prozentsatz Fahrverbot Seiten tauschen 20 von 61
21 Antwort: 3 Pkw-Fahrern droht ein zeitweiliges Fahrverbot. 21 von 61
22 Lösung Aufgabe P8: 1. Vervollständigung des Baumdiagramms: Die Wahrscheinlichkeit für Kugel mit der Beschriftung 1 besagt, dass 11 von den 50 Kugeln eine 1 tragen. Die Wahrscheinlichkeit für Kugel mit der Beschriftung 2 besagt, dass 17 von den 50 Kugeln eine 2 tragen. Das bedeutet, dass 22 Kugeln mit der 3 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit dass beim ersten Ziehen eine 3 gezogen wird beträgt also. Wird beim ersten Ziehen eine 1 ohne Zurücklegen gezogen, so befinden sich in dem Behälter 49 Kugeln. Davon tragen 10 die 1, 17 die 2 und 22 die 3. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: 22 von 61
23 Wird beim ersten Ziehen eine 2 ohne Zurücklegen gezogen, so befinden sich in dem Behälter 49 Kugeln. Davon tragen 11 die 1, 16 die 2 und 22 die 3. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Wird beim ersten Ziehen eine 3 ohne Zurücklegen 23 von 61
24 gezogen, so befinden sich in dem Behälter 49 Kugeln. Davon tragen 11 die 1, 17 die 2 und 21 die 3. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwei Kugeln mit der gleichen Zahl zu ziehen: Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kugeln mit der gleichen Zahl zu ziehen, beträgt 34,4%. 24 von 61
25 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwei Kugeln zu ziehen, bei denen die erste Zahl größer ist als die zweite: Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Antwort: Die Wahrscheinlichkeit zwei Kugeln zu ziehen, bei denen die erste Zahl größer ist als die zweite, beträgt 32,8%. 25 von 61
26 Lösung Aufgabe W1a: 1. Berechnung der Strecke : Tangensfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck ABF 2. Berechnung der Strecke : Parallele Seiten im Rechteck ABCD 3. Berechnung des Winkels : Winkelsumme 26 von 61
27 4. Berechnung des Winkels : Winkelsumme im hellgrauen Teildreieck ADE. Da ist gleichschenklig und somit die Basiswinkel gleich groß. 5. Berechnung des Winkels : Winkelsumme 6. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im grünen rechtwinkligen 27 von 61
28 Teildreieck DEG Seiten tauschen 7. Berechnung der Strecke : 8. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im rechtwinkligen grünen Teildreieck DEG Seiten tauschen 28 von 61
29 9. Berechnung der Strecke : Satz des Pythagoras im hellblauen rechtwinkligen Teildreieck CEG 29 von 61
30 Lösung Aufgabe W1b: 1. Berechnung der Strecke : Tangensfunktion im gelben rechtwinkligen Dreieck ABC Bruch erweitern, damit Nenner rational wird Bruch kürzen 2. Berechnung der Dreiecksfläche : Flächenformel für rechtwinkliges Dreieck Bruch kürzen Plätze tauschen Zusammenfassen 3. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im gelben rechtwinkligen Dreieck ABC 30 von 61
31 4. Berechnung der Strecke : M ist Mittelpunkt von 5. Berechnung der Strecke : Tangensfunktion im blauen rechtwinkligen Teildreieck ADM Seiten tauschen Plätze tauschen Zusammenfassen 6. Berechnung der Dreiecksfläche : Flächenformel für rechtwinkliges Dreieck Bruch kürzen Plätze tauschen Zusammenfassen 31 von 61
32 7. Berechnung des Winkels : Abschlusspruefung Realschule Mathematik 2014 Winkelsumme im gelben rechtwinkligen Dreieck ABC 8. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im rechtwinkligen hellgrauen Teildreieck BCE Seiten tauschen Plätze tauschen Zusammenfassen 9. Berechnung der Strecke : Kosinusfunktion im rechtwinkligen hellgrauen Teildreieck BCE Seiten tauschen Plätze tauschen Zusammenfassen 10. Berechnung der Dreiecksfläche : Flächenformel für rechtwinkliges Dreieck Plätze tauschen 32 von 61
33 Zusammenfassen 11. Berechnung der Fläche A: Gemeinsamen Faktor ausklammern Brüche durch Erweitern gleichnamig machen Brüche subtrahieren 33 von 61
34 Lösung Aufgabe W2a: 1. Berechnung des Winkels : 2. Berechnung des Umkreisradius r: Sinusfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck 3. Berechnung der Strecke : 34 von 61
35 4. Berechnung der Dreieckshöhe : Tangensfunktion im gelben rechtwinkligen Teildreieck 5. Berechnung der Dreiecksfläche : Flächenformel allgemeines Dreieck 6. Berechnung der Pyramidengrundfläche G: 35 von 61
36 7. Berechnung der Pyramidenhöhe h: Allgemeine Formel für das Pyramidenvolumen Seiten tauschen 8. Berechnung des Winkels : Tangensfunktion im hellgrauen rechtwinkligen Teildreieck HQS 36 von 61
37 9. Berechnung der Strecke : Sinusfunktion im pinkfarbenen rechtwinkligen Teildreieck PQR Seiten tauschen 37 von 61
38 Lösung Aufgabe W2b: 1. Berechnung des Kreisumfangs : Formel für den Kreisumfang 2. Berechnung des Umfangs der Kegelgrundfläche : Formel für den Kreisbogen b 3. Berechnung des Kegelradius : Formel für den Kreisumfang Seiten tauschen 38 von 61
39 4. Bestimmung der Mantellinie des Kegels : 5. Berechnung der Kegelhöhe : Satz des Pythagoras im gelben rechtwinkligen Teildreieck 39 von 61
40 6. Berechnung des Winkels : 7. Berechnung der Pyramiden-Grundkante a: Sinussatz im blauen rechtwinkligen Teildreieck Seiten tauschen 40 von 61
41 8. Berechnung der Höhe der Seitenfläche : Satz des Pythagoras im blauen rechtwinkligen Teildreieck 9. Berechnung der Pyramidenhöhe : Satz des Pythagoras im grünen rechtwinkligen Teildreieck 41 von 61
42 10. Berechnung der Höhendifferenz Diff: 42 von 61
43 Lösung Aufgabe W3a: 1. Ablesen der Koordinaten aus dem Schaubild: 2.a Bestimmung der Parabelgleichung durch Argumentation: Die Symmetrieachse der Parabel ist eine Parallele zur y-achse. A hat zu dieser Symmetrieachse den Abstand 1. Also hat B auch den Abstand 1 von der Symmetrieachse. Bei 1 Schritt in x- Richtung muss man 1 Schritt in y-richtung gehen. Somit ergibt sich für den Scheitelpunkt. Scheitelgleichung Scheitelkoordinaten einsetzen 1. binomische Formel Zusammenfassen 2.b Bestimmung der Parabelgleichung durch Berechnung: Allgemeine Parabelgleichung 43 von 61
44 Punktkoordinaten einsetzen Seiten tauschen q = 3 in I' einsetzen Zusammenfassen 3. Vollständige Wertetabelle: x y von 61
45 4. Zeichnung der Parabeln und im Koordinatensystem: Wertetabelle von : x y - 5, , , von 61
46 5. Rechnerischer Nachweis, dass weder mit noch mit einen gemeinsamen Punkt haben: 46 von 61
47 Gleichsetzungsverfahren Normalform p und q bestimmen Lösungsformel Gleichsetzungsverfahren 47 von 61
48 48 von 61
49 Lösung Aufgabe W3b: 1. Bestimmung der Funktionsgleichung von : Punktkoordinaten einsetzen Zusammenfassen Seiten tauschen 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von : Punktkoordinaten einsetzen Seiten tauschen 49 von 61
50 3. Berechnung des zweiten Schnittpunktes B von und : Gleichsetzungsverfahren Normalform p und q bestimmen Lösungsformel 50 von 61
51 x = 2 in p 1 einsetzen 4. Berechnung der Koordinaten der Scheitelpunkte und von und : quadratische Ergänzung 2. binomische Formel Scheitelform Scheitelgleichung x y von 61
52 5. Bestimmung der Funktionsgleichungen der Geraden und : Allgemeine Geradengleichung Koordinaten der Punkte und in die Geradengleichung einsetzen Seiten tauschen Gleichsetzverfahren m = 1 in I einsetzen Seiten tauschen 52 von 61
53 Allgemeine Geradengleichung Koordinaten der Punkte und in die Geradengleichung einsetzen Seiten tauschen b = 3 in II einsetzen 6. Begründung warum Luca Recht hat: Luca hat Recht mit seiner Behauptung, dass parallel zu ist, weil beide Geraden dieselbe Steigung m = 1 haben und b 2 = 3 und b 1 = -3 unterschiedlich sind. Gleiches m und unterschiedliches b sind die Kriterien für parallele Geraden im Koordinatensystem. 53 von 61
54 Lösung Aufgabe W4a: 1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben zu ziehen: Für unsere Aufgabe gibt es 8 mögliche Ereignisse. Das Experiment wird durch einen Ereignisbaum dargestellt. Für das erste Ziehen ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Für das zweite Ziehen ohne Zurücklegen ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: Für den Fall dass zuerst A gezogen wurde: Für den Fall dass zuerst B gezogen wurde: Für den Fall dass zuerst C gezogen wurde: Für das Ereignis zwei Karten mit verschiedenen Buchsaben zu ziehen ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: 54 von 61
55 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben zu ziehen beträgt 60,7 %. 2. Berechnung des Erwartungswertes Gewinnplan 1: Der Erwatungswert E berechnet sich nach folgender Formel: wobei Für dieses Glücksspiel gibt es n = 3 mögliche Ereignisse 1. man zieht oder 2. man zieht,, oder 3. man zieht oder Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: 55 von 61
56 alle anderen Es ergeben sich folgende Gewinnwerte: zieht man zwei gleiche Buchstaben, hat man einen Gewinn von 3, muß aber den Kaufpreis von 2,50 abziehen + 0,5 zieht man den Buchstaben C, hat man einen Gewinn von 5, muß aber den Kaufpreis von 2,50 abziehen + 2,5 alle anderen zieht man weder zwei Buchstaben noch den Buchstaben C, so verliert man den Einsatz von 2,50-2,5 56 von 61
57 Antwort: Der Erwartungswert beim Gewinnplan 1 beträgt - 0,07 3. Berechnung des Erwartungswertes Gewinnplan 2: Der Erwatungswert E berechnet sich nach folgender Formel: wobei Für dieses Glücksspiel gibt es n = 3 mögliche Ereignisse 1. man zieht oder 2. man zieht,, oder 3. man zieht oder Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: alle anderen 57 von 61
58 Es ergeben sich folgende Gewinnwerte: zieht man zwei gleiche Buchstaben, hat man einen Gewinn von 5, muß aber den Kaufpreis von 2,50 abziehen + 2,5 zieht man den Buchstaben C, hat man einen Gewinn von 3, muß aber den Kaufpreis von 2,50 abziehen + 0,5 alle anderen zieht man weder zwei Buchstaben noch den Buchstaben C, so verliert man den Einsatz von 2,50-2,5 58 von 61
59 Antwort: Der Erwartungswert beim Gewinnplan 2 beträgt 0,21. Das heißt, der Betreiber sollte sich für Gewinnplan 1 entscheiden. 59 von 61
60 Lösung Aufgabe W4b: 1. Berechnung der Funktionsgleichung der Parabel p : Koordinaten einsetzen Seiten tauschen 2. Berechnung des Abstandes zwischen den Seilen: Der mittlere Bereich der Brücke besteht 6 Bereichen auf 63 m verteilt 3. Berechnung der Seillänge im Abstand 10,5 m: x = 10,5 einsetzen 4. Berechnung der Seillänge im Abstand 21 m: x = 21 einsetzen 5. Berechnung der Gesamtlänge der acht Seile: Antwort: Die Gesamtlänge der acht Stahlseile im mittleren 60 von 61
61 Brückenabschnitt beträgt 44,12 m Abschlusspruefung Realschule Mathematik von 61
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, 1,52,251,75, 1,5 4, 1,52
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Aufgabe W1a/2005 Für die quadratische Pyramide gilt: =5,6 =65,0. = =3,0 Berechnen Sie die Länge sowie den Flächeninhalt des Vierecks. Lösung: =2,8 =13,6 Aufgabe W1b/2005 Gegeben ist das rechtwinklige Trapez.
Klausuraufschrieb. Das Dreieck ist gleichschenklig. Deswegen gilt. : * : 3 49, Satz des Pythagoras 10,73043,2757
Lösung W1a/2016 Wegen mit einem Abstand von 9 lässt sich die Strecke über den berechnen. Wegen ist das Dreieck gleichseitig. Damit ist. Darüber berechnen wir die Strecke über den. Wir berechnen die Strecke
Aufgabe W1b/2013. Aufgabe W2a/2013 =3 (3+ 3) =3,4
Aufgabe W1a/2013 Im rechtwinkligen Dreieck liegt das gleichschenklige Dreieck. Es gilt =6,5 =51,2 = =3,5 Berechnen Sie den Winkel. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. Tipp Sinussatz für Lösung =32,4
Tipp: Strecke % über den
Aufgabe W1a/2010 Im Quadrat gilt: =66,0 =97,0 =6,3 =4,1 Berechnen Sie den Umfang des Vierecks. Lösung: =17,6. Aufgabe W1b/2010 Im Dreieck liegt das gleichseitige Dreieck. Der Mittelpunkt der Strecke wird
: /1 4 ; /1. : 40 (gleichschenkliges Dreieck )
Lösung W1a/2011 (einfach) Bestimmung von,, und. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den trigonometrischen Flächeninhalt. : 40 (gleichschenkliges Dreieck)
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6,5 32,35 4,1165. = 3 : = 3 3,52,5964,116510,2125 Der Winkel ist 32,4 groß, der Umfang des Dreiecks beträgt 10,2 >.
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=329 (Volumen der Pyramide) =7,0
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Berechnung von über den. Wegen ist 2. Berechnung von über den cos. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung von. :,, 0,87879 # $,, %28,5 : 2
y x oder y 3x. Nenne eine Gleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt im Ursprung hat und nach oben geöffnet ist.
Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
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Aufgabe P3/2008 6,6 10,8 47,0 132,0 8,4 10,2. Im Viereck sind bekannt:
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