Aufgabe W2a/2004 = 2. Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers mit dem Dreieck maßgerecht für =
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- Felix Flater
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1 Aufgabe W1a/2004 Ein Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit gemeinsamer Grundfläche. Die Skizze zeigt den Diagonalschnitt des Körpers. Gegeben sind: =12,4 =52,8 Das Volumen der unteren Pyramide ist doppelt so groß wie das der oberen. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. Lösung: =748,5 Aufgabe W1b/2004 Die Zeichnung stellt das Netz eines Würfels mit der Kantenlänge dar. Es gilt: = Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers mit dem Dreieck maßgerecht für = 6. Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von mit der Formel berechnen lässt: = 2. Berechnen Sie die Länge der Strecke im Körper in Abhängigkeit von ohne Verwendung gerundeter Werte. Lösung: = 33 Aufgabe W2a/2004 Die Parabel hat die Funktionsgleichung = Verschiebt man diese Parabel um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten, entsteht die Parabel mit dem Scheitelpunkt!. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts " der beiden Parabeln. Durch! und " verläuft die Gerade #. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden # und geht durch den Scheitelpunkt! der Parabel. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden h. Lösung: "% 1 3(; = 2+6.
2 Aufgabe W2b/2004 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung: * +,-*,.. = *, */0 * +,.*,-. *,- *,. Aufgabe W3a/2004 Das Fünfeck 78 besteht aus einem Quadrat und einem rechtwinkligen Dreieck. Gegeben sind: 7=4,1 9=33,4 Berechnen Sie die Länge 7 und den Flächeninhalt des Vierecks 78. Lösung: 7=7,9 ;<=> =21,3 Tipp: Kosinussatz für 7, zweimal trigonometrischen Flächeninhalt für <?= und >?=. 1=R\4 55; 6=445 Aufgabe W3b/2004 Im Rechteck 7 gilt: 7=2@ A =30 Zeigen Sie dass sich der Flächeninhalt des Vierecks!87 mit der Formel = 3 berechnen lässt. Aufgabe W4a/2004 Das Bild zeigt Parabeln und Geraden. Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu. Begründen Sie Ihre Entscheidungen. (1) = +3 (2) = +3 (3) =% 4( 3 (4) =%+4( 3 (5) = 2 1 (6) = +2 (7) = 4+5 (8) = 2 3 (9) = 3+2 (10) = 2+3 (11) = 0,5+3 (12) = - +3
3 Lösung W1a/2004 Lösungslogik Zur Beachtung: die Skizze zeigt den Diagonalschnitt, nicht den Parallelschnitt. Berechnung von über den und daraus. Berechnung von über den Satz des Berechnung der Kantenlänge der quadratischen Grundfläche über. Berechnung von über den Satz des Berechnung von über die Volumenformel. Berechnung von. Berechnung von über die Volumenformel. Berechnung von über den Satz des Berechnung von und sowie ö. : 12,4 52,8 9,88 : 2 2 9,8819,76 : & '( ) *12,4 '9,88 Satz des Pythagoras *56,14567,5 : 2 : 2,,-. 0 : 0 13,97 0,5 7,0 : & '( 0 ) *12,4 '7,0 Satz des Pythagoras : 104,7610, ,79 7,5487,9 : ,9975,8 : 2 3; ,-7,8 2,,- 15,0 : & 9( 0 ) *15,0 97,0 Satz des Pythagoras 27416,55 : ,97 10,24286,10 : ,97 16,55462,40 : : : 9 286,109462,40748,5 Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt 748,5 ;<.
4 Lösung Aufgabe W1b/2004 Lösungslogik Die Skizze zeigt das Schrägbild des gegebenen Würfels. Die Strecke => ist die Raumdiagonale im Würfel. Der Winkel? ist dadurch 45. Im Dreieck ist die Strecke =A als Flächendiagonale der Grundfläche gleichzeitig Höhe auf die Seite Berechnung der Dreiecksfläche über die Flächenformel des Dreiecks. Berechnung von über den Satz des =A: =A 2 Flächendiagonale = BCD : = BCD >@ =A = BCD 2 E q.e.d. =@: =@ & =A 9@A &F 2G 9( E ) Satz des Pythagoras =@ &2 9. & E 33 Lösung W2a/2004 Lösungslogik Umstellung der Parabelgleichung H in die Scheitelpunktgleichung. Bestimmung des Scheitelpunkts von H aus der Aufgabenstellung. Bestimmung des Schnittpunkts I von H mit H durch Gleichsetzen. Aufstellen der Geradengleichung J durch K und I. Aufstellen der zu J parallelen Geradengleichung durch K. H : L M 94M96 Scheitelpunkt von H : L NM92O 92 quadratische Ergänzung K N'2 2O Scheitelpunktverschiebung gem. Aufgabenstellung: K : K N'293 2'3O K N1 '1O Funktionsgleichung von H : H : L NM'1O '1 Scheitelpunktgleichung H L M '2M
5 Schnittpunkt von H mit H : H H : Schnittpunkt durch Gleichsetzung M 94M96M '2M 'M ; 92M 6M960 M R '1; L R M R '2M R N'1O '2 N'1O1923 Der Schnittpunkt hat die Koordinaten IN'1 3O. Geradengleichung durch K und I: J: L <M9S <: < T UT 2UNU O '2 V UV U U L '2M9S Punktprobe mit K N1 '1O '1'2 19S S 1 J: L '2M91 Parallele Gerade zu J: : L '2M9S parallel heißt gleiche Steigung < '2 2'2 N2O9S Punktprobe mit K N'2 2O S 6 : L '2M96 Lösung W2b/2004 M 925M9100 2M 920M950 2M93 M95 ' M'6 2M910 Nenner 1: 2M 920M950 2NM95O Nenner 2: NM95O Nenner 3: 2M910 2NM95O Hauptnenner: 2 NM95O 2 NM95O 0 für M '5. W X\Z'5[ NV \7V\ ]]O NV\7O NV\7O NV\2O NV\7O V\7 ' NVU.O NV\7O NV\7O M 925M91002N2M93ONM95O'NM'6ONM95O ausmultiplizieren M 925M91002N2M 910M93M915O'NM 95M'6M'30O Restklammern auflösen M 925M91004M 926M930'M 9M930 '3M ; '27M; '60 '2M '2M9400 M 9M'200 M, '0,5`*0,25920'0,5`*20,25'0,5`4,5 M 4; M '5 Wegen M '5 W ist b Z4[ die einzigste Lösung. :N'2O H/_-Formel
6 Lösung W3a/2004 Lösungslogik (einfach) Berechnung von über ;d?. Berechnung von e. Berechnung von >A mit dem Kosinussatz. Berechnung von = BCfg aus der Summe von c@ und = gdf abzüglich = CDf. >A: >A 9>@ >@ ;de Kosinussatz c@: ;d? Df c@; ;d? gd c@ Df E, 4,91 hij hi22,e >@: >@ c@ 4,91 e: e 90 9? ,4 123,4 >A *4,1 94,91 '2 4,1 4,91 ;d123,4 7,94 = BCfg : = BCfg = BCDf 9= gdf '= CDf = BCDf : = BCDf c@ 4,91 24,11 ;< = gdf : = gdf trigonometrischer Flächeninhalt = gdf 4,91 4,1 33,4 5,54 ;< = CDf : = CDf e trigonometrischer Flächeninhalt. = gdf 4,91 4,1 123,4 8,40 ;< = BCfg : = BCfg 24,1195,54'8,4021,25 ;< Die Strecke >A ist 7,9 ;< lang. Die Fläche des Vierecks =>Ac beträgt 21,3 ;<. Lösungslogik (umständlich) Berechnung von c@ => über den ;d?. Berechnung von ka über den?. Berechnung von ck über den l?. Berechnung von k@ aus Differenz von c@ und ck. Die rote Fläche lässt sich jetzt berechnen aus: Fläche Rechteck =mkc9 Fläche Dreieck cka9 Fläche Dreieck >Am. Berechnung der Strecke >A über den Satz des c@: ;d? Df gd c@ Df E, 4,91 hij hi22,e ka:? nf Df 4,1 33,4 2,257 c@;
7 ck: l? gn ka; l? nf ck nf,7-3,423 o0pj o0p22,e 4,91'3,4231,487 = BCfg : = BCfg = B:ng 9= gnf 9= Cf: = B:ng : = B:ng ck => 1,4882 4,917,307 = gnf : = gnf ck ka 1,4882 2,2571,6794 = Cf: : = Cf: k@ F=>9kAG 3,423 N4,9192,257O12,2663 = BCfg : = BCfg 7,30791, ,266321,2527 >A: >A &k@ 9F=>9kAG Satz des Pythagoras >A *3,423 9N4,911292,0257O 7,9435 Die Strecke >A ist 7,9 ;< lang. Die Fläche des Vierecks =>Ac beträgt 21,3 ;<. Lösung W3b/2004 Lösungslogik Die Fläche des Vierecks = Bgf errechnet sich aus der Fläche des Dreiecks = BDf abzüglich der Fläche des Dreiecks = gd. Berechnung von A@ über den l30. Bestimmung von K@ über den 30. Berechnung von Kc über den l30. Berechnung von = BDf über die Flächenformel des Dreiecks. Berechnung von = gd über die Flächenformel des Dreiecks. Berechnung von = Bgf und Vereinfachen. = Bgf = BDf '= gd A@: l30 Bf A@; l30 fd A@ Bf o0p2] q 2. K@: 30 D >@ CD K@ >@ 30 2r 0,5r Kc: l30 g K@ D Kc K@ l30 r = BDf : = BDf =A A@ 2r = gd : = gd K@ Kc r = Bgf : = Bgf. ' 2 2. U U = Bgf r q.e.d.
8 Lösung W4a/2004 (a) gehört zur Gleichung (4) Nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt KN'4 '3O (b) gehört zur Gleichung (12) Gerade mit negativer Steigung < ' 7 und L Achsenabschnitt K T N0 3O. (c) gehört zur Gleichung (9) Gerade mit negativer Steigung < '3 und L Achsenabschnitt K T N0 2O. (d) gehört zur Gleichung (7) Nach oben geöffnete Normalparabel mit Verschiebung nach rechts und nach oben, KN2 1O. (e) gehört zur Gleichung (1) Nach unten geöffnete und gestauchte Parabel mit Scheitelpunkt KN0 3O
Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt 748,5 ;<.
Lösung W1a/2004 Zur Beachtung: die Skizze zeigt den Diagonalschnitt, nicht den Parallelschnitt. Berechnung von über den und daraus. Berechnung von über den Satz des Berechnung der Kantenlänge der quadratischen
Aufgabe W2a/2005 Eine Parabel hat die Gleichung 4 1. Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den Punkt %6 5 geht die Gerade. Berechnen Sie die G
Dokument mit 10 Aufgaben Aufgabe W3a/2003 Die Normalparabel hat die Gleichung 4 6. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel 0 6. Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung: 1 = R\4 ; 5; 6 = { 3}
Aufgabe W1a/007 Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck und das rechtwinklige Dreieck. Es gilt: = = 10,0 = 3,6 = 58,0 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: = 5,3. Tipp: Trigonometrischer
Berechnen Sie die Länge von % im Körper. Tipp: Berechnung von % über den Kosinussatz. Lösung: (=69,1 ) %=8,3
Aufgabe W1a/2003 Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 10,0 bzw. 7,0 werden wie rechts skizziert aneinandergelegt. und sind die Mittelpunkte der Diagonalen. ist der Mittelpunkt der Strecke. Berechnen Sie
2 063,4,. % 7. : ,4 26,6 Die Innenwinkel des Dreiecks *) betragen 63,4, 26,6 und :90.
Lösung W3a/2003 Aufstellung der Funktionsgleichung. Bestimmung der Schnittpunkte von mit durch Gleichsetzung. Bestimmung der Funktionsgleichung von über die beiden Schnittpunkte. Erstellung einer Graphik,
!( :!( 4? 6 2 2<> 2 !1 :!1 2< D2 2 2? 3 !1 2<> 2 (1 : (1 3 3? 3? 3 3<> 2E2< > ? 3 q.e.d. = C
Lösung W1a/007 Berechnung von über die Ergänzungswinkel (Das Dreieck ist gleichschenklig). Berechnung von. Berechnung von über. Berechnung von über. Berechnung von als Differenz von und. Berechnung von
Eine Gerade hat die Gleichung 22. Eine zweite Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
7 Aufgaben im Dokument Aufgabe P6/2003 Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 2 3. Die Gerade hat die Steigung 1 und schneidet die Parabel in 4 1. Berechnen Sie die Koordinaten des
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung:
Aufgabe W1a/2005 Für die quadratische Pyramide gilt: =5,6 =65,0. = =3,0 Berechnen Sie die Länge sowie den Flächeninhalt des Vierecks. Lösung: =2,8 =13,6 Aufgabe W1b/2005 Gegeben ist das rechtwinklige Trapez.
Tipp: Strecke % über den
Aufgabe W1a/2010 Im Quadrat gilt: =66,0 =97,0 =6,3 =4,1 Berechnen Sie den Umfang des Vierecks. Lösung: =17,6. Aufgabe W1b/2010 Im Dreieck liegt das gleichseitige Dreieck. Der Mittelpunkt der Strecke wird
=329 (Volumen der Pyramide) =7,0
Aufgabe W1a/2011 Im Dreieck gilt: =10,8 =40,0 =58,0 = Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: =19,3. Tipp: Zweimal Sinussatz für und dann trigonometrischen Flächeninhalt. Aufgabe W1b/2011
Klausuraufschrieb : : : 3,5 ' ( ') # * Satz des Pythagoras +5 (3,5 6,1 5. Satz des Pythagoras : ' ( ' () #
Lösung Aufgabe W1a/2003 Berechnung der Teilstrecke über die halbe Diagonale des großen Quadrates. Berechnung der Teilstrecke über die halbe Diagonale des kleinen Quadrates. Berechnung der Teilstrecke über
und schneidet die -Achse im Punkt 0 3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von und. Lösung: 4 1;2 4
7 Aufgaben im Dokument Aufgabe P5/2010 Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
: /1 4 ; /1. : 40 (gleichschenkliges Dreieck )
Lösung W1a/2011 (einfach) Bestimmung von,, und. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den Sinussatz. Berechnung von über den trigonometrischen Flächeninhalt. : 40 (gleichschenkliges Dreieck)
7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010
Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
m und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).
Aufgabe (Pflichtbereich 999) Eine Parabel hat die Gleichung y x 6x, 75. Bestimme rechnerisch die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. Berechne die Entfernung des Scheitelpunktes vom Ursprung des Koordinatensystems.
Aufgabe P2/2003. Aufgabe P3/2003 3,3 4,4 18,1 7,0 6,6 5,4 37,0
Aufgabe P1/2003 Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kegel mit 45 (siehe Achsenschnitt). Das Volumen der Halbkugel beträgt 204. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers. Lösung:
Aufgabe W1b/ ,0 11,6 54,0. sowie den Abstand des Punktes zur Strecke. Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: Berechnen Sie den Winkel
Aufgabe W1a/2018 Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: 12,0 11,6 54,0 Berechnen Sie den Winkel sowie den Abstand des Punktes zur Strecke. Lösung: 62,5 Abstand von 5,9. Aufgabe W1b/2018 Im rechtwinkligen
Themenerläuterung. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Der Umgang mit der Mitternachtsformel
Themenerläuterung In diesem Kapitel wirst du mit linearen Funktionen (=Gerade) und quadratischen Funktionen (=Parabel) konfrontiert. Du musst wissen, wie man eine Geradengleichung durch zwei vorgegebene
Realschulabschluss Funktionen (Pflichtteil) ab 2010 Lösung P5/2010 Lösungslogik Erstellung der Graphik. Die Parabel ist nach unten geöffnet, breiter u
Lösung P5/2010 Erstellung der Graphik. Die Parabel ist nach unten geöffnet, breiter und in Richtung nicht verschoben, der Scheitel liegt somit bei 0 5. Aufstellung der Geradengleichung. Berechnung der
Berechnung der Schnittpunkte durch Gleichsetzung. Bestimmung der Scheitelpunkte von und. Verdeutlichung der Situation durch ein Schaubild.
Lösung W3a/2010 Aufstellung der Geradengleichungen und. Schnittpunktberechnung von durch Gleichsetzung. Aufstellung der Parabelgleichung durch die Punkte und. Umstellung der allgemeinen Parabelgleichung
Aufgabe W1b/2013. Aufgabe W2a/2013 =3 (3+ 3) =3,4
Aufgabe W1a/2013 Im rechtwinkligen Dreieck liegt das gleichschenklige Dreieck. Es gilt =6,5 =51,2 = =3,5 Berechnen Sie den Winkel. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. Tipp Sinussatz für Lösung =32,4
Aufgabe P4/2005. Aufgabe P5/2005 !"6;10% ' 57,0. Lösen Sie die Gleichung:
Aufgabe P1/2005 Von einer quadratischen Pyramide sind bekannt: 54,9 (Mantelfläche) 6,1. (Höhe einer Seitenfläche) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. Aufgabe P2/2005 Ein zusammengesetzter Körper besteht
Aufgabe W2a/2016. Aus einer Kreisfläche wird die Mantelfläche einer regelmäßigen, fünfseitigen Pyramide ausgeschnitten.
Aufgabe W1a/2016 Die Eckpunkte des Vierecks ABCD liegen auf den Parallelen g und h. Die Parallelen haben einen Abstand von 9,0. Es gilt: 10,4 70. Berechnen Sie den Umfang des Vierecks. Lösung: 39,5 Aufgabe
, 1,52,251,75, 1,5 4, 1,52
Lösung A1 Detaillierte Lösung: Lösungsschritte: 1. An der Parabelgleichung ist ersichtlich, dass es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, die in positiver -Richtung verschoben ist und
Die nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte 1 5 und Die Parabel hat die Gleichung 2. Besitzen die beiden Parabeln
Dokument mit 11 Aufgaben Aufgabe W3a/2010 Im Schaubild sind die Geraden und dargestellt. Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer Gleichungen geeignete Werte. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts
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Beide Geraden haben die Steigung 2, also sind sie parallel zueinander.
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'4% : '4% () trigonometrischer Flächeninhalt '4% 6,868 ()110,46 22,096
Aufgabe W1a/2014 Im Rechteck sind gegeben: =6,8 =4,2 =25,0 = Berechnen Sie die Länge. Lösung: =5,8 Tipp: Kosinussatz für. Aufgabe W1b/2014 Gegeben ist das Dreieck. ist der Mittelpunkt von. Weisen Sie ohne
Aufgabe W2a/2012 =2 21. Das Dreieck und haben die Seite gemeinsam. Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass gilt:
Aufgabe W1a/2012 Vom Trapez sind bekannt =9,2 =4,8 =4,0 =70 Ein Punkt liegt auf. ie Strecke halbiert die Trapezfläche. Berechnen Sie die Länge. Lösung =5,4 Aufgabe W1b/2012 as reieck und haben die Seite
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Abschluss Realschule BW 2005 Lösung W1a/2005 Für die Strecke : Berechnung des Spitzenwinkels über die Ergänzungswinkel. Berechnung von über den. Berechnung von aus der Differenz von und. Berechnung von
Klausuraufschrieb. Das Dreieck ist gleichschenklig. Deswegen gilt. : * : 3 49, Satz des Pythagoras 10,73043,2757
Lösung W1a/2016 Wegen mit einem Abstand von 9 lässt sich die Strecke über den berechnen. Wegen ist das Dreieck gleichseitig. Damit ist. Darüber berechnen wir die Strecke über den. Wir berechnen die Strecke
6,5 32,35 4,1165. = 3 : = 3 3,52,5964,116510,2125 Der Winkel ist 32,4 groß, der Umfang des Dreiecks beträgt 10,2 >.
Lösung W1a/2013 Berechnung im Dreieck über. Berechnung von im Dreieck über. Das Dreieck ist gleichschenklig, damit ist. Berechnung von über identisch mit ) Berechnung von im Dreieck über den. Berechnung
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4 x
Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational
PARABELN. 10. Klasse
PARABELN 0. Klasse Jens Möller Owingen Tel. 0755-9 HUjmoellerowingen@aol.comU INHALTSVERZEICHNIS NORMALPARABEL PARABELN MIT FORMFAKTOR VERSCHIEBUNG IN Y-RICHTUNG VERSCHIEBUNG IN X-RICHTUNG 5 ALLGEMEINE
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Aufgabe W1a/2004 Ein Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden mit gemeinsamer Grundfläche. Die Skizze zeigt den Diagonalschnitt des Körpers. Gegeben sind: 12,4 52,8 Das Volumen der unteren Pyramide
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Lösen Sie die Gleichung: $3%&1' ( &%$5)4%'* ( %)1+$6%&2')11
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