Geometrische Konstruktionen Die Macht der Werkzeuge. Zirkel allein. Christian Dick
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- Dorothea Kerstin Hase
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1 Geometrische Konstruktionen ie Macht der Werkzeuge Zirkel allein hristian ick
2 Letzte Woche Was ist mit Lineal und Zirkel konstruierbar? 2 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
3 Heute Was ist mit dem Zirkel allein konstruierbar? 3 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
4 Heute lles was mit Lineal und Zirkel konstruierbar ist, ist auch mit dem Zirkel allein konstruierbar. (Satz von Mohr-Mascheroni, 1672 / 1797) 4 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
5 Inhalt meines Vortrags 1. Was heißt konstruieren? 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? 2.1 Vorüberlegungen 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden 2.3 Schnittpunkte einer Zirkel-Geraden und eines Zirkel-Kreises 2.4. er Satz von Mohr-Mascheroni 3. Übungen 5 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
6 1. Was heißt konstruieren? Wiederholung: Konstruieren mit Lineal und Zirkel Startpunkte: (0,0) und (1,0) Konstruktionsschritte: eim Konstruieren mit Lineal und Zirkel gibt es drei Möglichkeiten, um aus den Startpunkten und den bereits konstruierten unkten (rot) neue unkte (grün) zu konstruieren: (Euklidisches Lineal und euklidischer Zirkel) efinition 2.1: unkte, die mit Lineal und Zirkel konstruiert werden können, heißen Lineal-und-Zirkel-unkte. 6 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
7 1. Was heißt konstruieren? Konstruieren mit dem Zirkel allein Startpunkte: (0,0) und (1,0) Konstruktionsschritte: eim Konstruieren mit dem Zirkel allein gibt es nur eine Möglichkeit, um aus den Startpunkten und den bereits konstruierten unkten (rot) neue unkte (grün) zu konstruieren: (Euklidischer Zirkel) efinition 3.1a: unkte, die mit dem Zirkel allein konstruiert werden können, heißen Zirkel-unkte. 7 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
8 1. Was heißt konstruieren? efinition 3.1b: Eine Zirkel-Gerade ist eine Gerade, die durch zwei Zirkel-unkte verläuft. efinition 3.1c: Ein Zirkel-Kreis ist ein Kreis, der einen Zirkel-unkt als Mittelpunkt besitzt und der durch einen Zirkel-unkt verläuft. efinition 3.1d: Eine Zahl x heißt Zirkel-Zahl, wenn (x,0) ein Zirkel-unkt ist. 8 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
9 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? Sätzchen: Jeder Zirkel-unkt ist auch ein Lineal-und-Zirkel-unkt. eweis: Klar: lles was man mit dem Zirkel allein konstruieren kann, kann man auch mit Lineal und Zirkel konstruieren. 9 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
10 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? Gilt auch die andere Richtung? Ist also jeder Lineal-und-Zirkel-unkt auch ein Zirkel-unkt? as würde bedeuten, dass der Zirkel allein genauso mächtig ist wie Lineal und Zirkel zusammen! Um zu beweisen, dass jeder unkt, der mit Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, auch nur mit dem Zirkel allein konstruiert werden kann, genügt es für die folgenden beiden Lineal-und-Zirkel-Konstruktionsmöglichkeiten Zirkel-Ersatzkonstruktionen zu finden: 10 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
11 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.3: Wenn und zwei Zirkel-unkte sind, dann ist die Mittelsenkrechte von [] eine Zirkel-Gerade. eweis:,, 11 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
12 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.4: as ild eines Zirkel-unkts bei Spiegelung an einer Zirkel-Geraden ist ein Zirkel-unkt. ' ' eweis: Fallunterscheidung: liegt auf. ann gilt = ', also ist ' Zirkel-unkt. liegt nicht auf :, ', ' 12 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
13 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.5: Seien,, drei Zirkel-unkte. ann ist ein Zirkel-Kreis. eweis: F E,, E F, E, F Folgerungen: er euklidische Zirkel allein ist genauso mächtig wie der moderne Zirkel allein. Im Folgenden darf auch ein moderner Zirkel verwendet werden. 13 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
14 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.7: (Mittelpunkt zweier unkte mit dem Zirkel allein bestimmen) Seien und Zirkel-unkte. Seien M und N unkte, so dass M der Mittelpunkt von und, und der Mittelpunkt von und N ist. ann sind M und N Zirkel- unkte. M N N eweis:,,, N,, N 14 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
15 2.1 Vorüberlegungen M N, N E, F E, F, M M E ME ~ NE (gleichschenklige reiecke mit gleichem asiswinkel bei ) M / = M / E = E / N = / (2 ) = 1 / 2 F M N 15 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
16 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.8: (Verallgemeinerung von Satz 3.7) Seien und zwei Zirkel-unkte und sei n N. ann sind die unkte und auf [ mit = / n und = n Zirkel-unkte. H eweis: G,,,,, G Hier: n = 3 16 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
17 2.1 Vorüberlegungen, E, F E, F, E ~ E (gleichschenklige reiecke mit gleichem asiswinkel bei ) / = / E = E / = / (n ) = 1 / n E F G H Hier: n = 3 17 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
18 2.1 Vorüberlegungen Satz 3.11: (Napoleons ufgabe) Seien und O zwei Zirkel-unkte und seien, R, S unkte auf O, so dass RS ein uadrat ist. ann sind, R, S Zirkel-unkte. R O eweis: S R O O, O, O, O R, O, O, R, S,, R, S O sei auf 1 normiert. R = 2 = = (R 2 R 2 ) = ( ) = (3) O = ( 2 O 2 ) = ( (3) ) = (2) S = S = O = (2) = s 4 18 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
19 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? Gilt auch die andere Richtung? Ist also jeder Lineal-und-Zirkel-unkt auch ein Zirkel-unkt? as würde bedeuten, dass der Zirkel allein genauso mächtig ist wie Lineal und Zirkel zusammen! Um zu beweisen, dass jeder unkt, der mit Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, auch nur mit dem Zirkel allein konstruiert werden kann, genügt es für die folgenden beiden Lineal-und-Zirkel-Konstruktionsmöglichkeiten Zirkel-Ersatzkonstruktionen zu finden: 19 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
20 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Satz 3.9: er Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden ist ein Zirkelpunkt. eweis: Fallunterscheidung: X X Fall 1: rei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2: Keine drei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2a: ie Zirkel-Geraden stehen aufeinander senkrecht. Fall 2b: ie Zirkel-Geraden stehen nicht aufeinander senkrecht. 20 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
21 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Fall 1: Klar. 21 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
22 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Satz 3.9: er Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden ist ein Zirkelpunkt. eweis: Fallunterscheidung: X X Fall 1: rei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2: Keine drei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2a: ie Zirkel-Geraden stehen aufeinander senkrecht. Fall 2b: ie Zirkel-Geraden stehen nicht aufeinander senkrecht. 22 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
23 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Fall 2a: X Sei ' das ild von bei Spiegelung an. er Mittelpunkt von und ' ist der gesuchte Schnittpunkt X. 23 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
24 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Satz 3.9: er Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden ist ein Zirkelpunkt. eweis: Fallunterscheidung: X X Fall 1: rei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2: Keine drei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2a: ie Zirkel-Geraden stehen aufeinander senkrecht. Fall 2b: ie Zirkel-Geraden stehen nicht aufeinander senkrecht. 24 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
25 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Fall 2b: X Sei E das ild von bei Spiegelung an. Sei F das ild von E bei Spiegelung an. Sei G das ild von bei Spiegelung an EF. XE ~ GE (gleichschenklige reiecke mit gleichem asiswinkel bei ) X / E = E / G X = E 2 / G X K I H F G J E 25 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
26 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Sei n N mit 2n G > E. Sei H auf [G mit H = n G. Seien I, J die Schnittpunkte von H und E. Seien, K die Schnittpunkte von I und J. IK ~ IH (gleichschenklige reiecke mit gleichem asiswinkel bei ) K / I = I / H K = I 2 / H Y sei auf [K mit Y = n K. Wegen K = I 2 / H gilt Y = n I 2 / H. Wegen I = E gilt Y = n E 2 / H. Wegen H = n G gilt Y = n E 2 / (n G). Wegen X = E 2 / G gilt Y = X. lso gilt X = Y. X 26 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004 K I H F G J E Hier: n = 2
27 2.2 Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden Satz 3.9: er Schnittpunkt zweier Zirkel-Geraden ist ein Zirkelpunkt. eweis: Fallunterscheidung: X X Fall 1: rei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2: Keine drei Zirkel-unkte liegen auf einer Geraden. Fall 2a: ie Zirkel-Geraden stehen aufeinander senkrecht. Fall 2b: ie Zirkel-Geraden stehen nicht aufeinander senkrecht. 27 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
28 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? Gilt auch die andere Richtung? Ist also jeder Lineal-und-Zirkel-unkt auch ein Zirkel-unkt? as würde bedeuten, dass der Zirkel allein genauso mächtig ist wie Lineal und Zirkel zusammen! Um zu beweisen, dass jeder unkt, der mit Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, auch nur mit dem Zirkel allein konstruiert werden kann, genügt es für die folgenden beiden Lineal-und-Zirkel-Konstruktionsmöglichkeiten Zirkel-Ersatzkonstruktionen zu finden: 28 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
29 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Satz 3.13: ie Schnittpunkte einer Zirkel-Geraden und eines Zirkel-Kreises sind Zirkel-unkte. eweis: Fallunterscheidung: Fall 1: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt nicht auf der Zirkel-Geraden. Fall 2: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt auf der Zirkel-Geraden. Fall 2a: steht senkrecht auf. Fall 2b: steht nicht senkrecht auf. 29 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
30 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Fall 1: Sei ' bzw. ' das ild von bzw. bei Spiegelung an. ' ' ie Schnittpunkte von und ' ' sind die gesuchten Schnittpunkte und der Zirkel-Geraden und des Zirkel-Kreises. 30 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
31 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Satz 3.13: ie Schnittpunkte einer Zirkel-Geraden und eines Zirkel-Kreises sind Zirkel-unkte. eweis: Fallunterscheidung: Fall 1: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt nicht auf der Zirkel-Geraden. Fall 2: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt auf der Zirkel-Geraden. Fall 2a: steht senkrecht auf. Fall 2b: steht nicht senkrecht auf. 31 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
32 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Fall 2a: Seien, R, unkte auf, so dass R ein uadrat ist. ann sind und die Schnittpunkte der Zirkel-Geraden und des Zirkel-Kreises. Nach Satz 3.11 (Napoleons ufgabe) sind, R, Zirkel-unkte. 32 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
33 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Satz 3.13: ie Schnittpunkte einer Zirkel-Geraden und eines Zirkel-Kreises sind Zirkel-unkte. eweis: Fallunterscheidung: Fall 1: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt nicht auf der Zirkel-Geraden. Fall 2: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt auf der Zirkel-Geraden. Fall 2a: steht senkrecht auf. Fall 2b: steht nicht senkrecht auf. 33 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
34 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Fall 2b: E ' ' sei das ild von bei Spiegelung an. ' sei ein Schnittpunkt von ' und ' so dass ' ein arallelogramm ist. ' sei das ild von bei Spiegelung an. E sei ein Schnittpunkt von und ' '. 34 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
35 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis ehauptung: ie Schnittpunkte von E und ' E sind die gesuchten Schnittpunkte und der Zirkel- Geraden und des Zirkel-Kreises. Zu zeigen: = E Sei F der Fußpunkt des Lots von auf. = ' = 2 F F = 3 F 2 = = = F 2 + F = 2 F 2 + F = 2 (3 F) 2 + F 2 + (2 F) 2 = 2 (2 F) 2 = E 2 2 = E 2 lso gilt = E. 35 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004 ' E '
36 2.3 Schnittpkte. Zirkel-Gerade Zirkel-Kreis Satz 3.13: ie Schnittpunkte einer Zirkel-Geraden und eines Zirkel-Kreises sind Zirkel-unkte. eweis: Fallunterscheidung: Fall 1: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt nicht auf der Zirkel-Geraden. Fall 2: er Mittelpunkt des Zirkel-Kreises liegt auf der Zirkel-Geraden. Fall 2a: steht senkrecht auf. Fall 2b: steht nicht senkrecht auf. 36 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
37 2. Wie mächtig ist der Zirkel allein? Gilt auch die andere Richtung? Ist also jeder Lineal-und-Zirkel-unkt auch ein Zirkel-unkt? as würde bedeuten, dass der Zirkel allein genauso mächtig ist wie Lineal und Zirkel zusammen! Um zu beweisen, dass jeder unkt, der mit Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, auch nur mit dem Zirkel allein konstruiert werden kann, genügt es für die folgenden beiden Lineal-und-Zirkel-Konstruktionsmöglichkeiten Zirkel-Ersatzkonstruktionen zu finden: 37 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
38 2.4 er Satz von Mohr-Mascheroni Zusammenfassend Satz 3.15: (Satz von Mohr-Mascheroni, 1672 / 1797) Ein unkt ist ein Zirkel-unkt genau dann wenn der unkt ein Lineal-und-Zirkel-unkt ist. er Zirkel allein ist also genauso mächtig wie Lineal und Zirkel zusammen. lles was mit Lineal und Zirkel konstruierbar ist, ist auch mit dem Zirkel allein konstruierbar. 38 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
39 3. Übungen ufgabe 1: Gegeben sind die unkte, und, wobei nicht auf liegt. Konstruiere mit dem Zirkel allein den Fußpunkt F des Lots von auf. I H F <)F= 90 Lösungsvorschlag: Konstruiere zunächst den ildpunkt ' von bei Spiegelung an. er gesuchte Lotfußpunkt F ergibt sich dann als Mittelpunkt von und '. ' G E 39 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
40 3. Übungen ufgabe 2: Gegeben sind die unkte und. Konstruiere mit dem Zirkel allein einen unkt mit m = 15. Lösungsvorschlag: Konstruiere zunächst einen unkt mit m = 90 und = (Napoleons ufgabe). Konstruiere dann einen unkt E, so dass E ein gleichseitiges reieck ist und und E auf derselben Seite von liegen. ann ist E ein gleichschenkliges reieck mit m E = 30. ie Schnittpunkte von E und E liefern den gesuchten unkt, d.h. m = 15 (Winkelhalbierung). H G I F <)= 15 E 40 Zirkel allein hristian ick TU München SS 2004
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