Grundlagen der Spieleprogrammierung
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- Jörn Adler
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1 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 Grundlagen der Spieleprogrammierung Teil I: 3D-Graphik Kapitel 2: Die Mathematik Peter Sturm Universität Trier Outline. Übersicht und Motivation 2. Mathematische Grundlagen 3. Das Ideal: Photorealistisch (Ratracing, Radiosit 4. Die Realität: DirectX und OpenGL (Übersicht 5. Schritt : Drahtgitter 6. Schritt 2: Teturen 7. Schritt 4: Licht, Filter, etc. 8. Schritt 5: Fortgeschrittene Techniken (erte-, Piel-Shader, 9. 3D-Hardware.3D-Engines im Überblick, Cg von nvidia. Spielekonsolen 2.Zusammenfassung und Ausblick (c Peter Sturm, Universität Trier
2 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 3D-Graphik Mathematik im 3D-Raum Motivation Abstraktionen Koordinatenssteme Punkt (ektor Gerade, Fläche, Körper Affine Transformationen erschieben, Skalieren, Drehen, Scheren Leistungsaspekte Gleitkommaahlen iele viele Gleitkommaoperationen Hoher Optimierungsdruck Beugsssteme Ursprung und orthogonale Richtungsvektoren Objektposition relativ um Ursprung Absolutes Koordinatensstem Relatives Koordinatensstem Objektspeifischer Ursprung Koordinationssteme Linkshändige und rechtshändige Modelle (c Peter Sturm, Universität Trier 2
3 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 Punkte sind relativ u einem Koordinatensstem Abstand vom Ursprung Punkte Punkt: 3-Tupel Operationen auf Punkte erschieben (Translation Skalierung Rotation a b c b a c Affine Transformationen Translation erschiebung bgl. den Grundachsen Mathematisch: Addition +D t + t + t + t t + t Skalierung Abstand um Ursprung kleiner oder größer Mathematisch: Multiplikation S Rotation Drehung (meist um eine Grundachse Mathematisch: Winkelfunktionen R Beispiel: Drehung im Z-Achse: s s s s s s + * (c Peter Sturm, Universität Trier 3
4 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 (c Peter Sturm, Universität Trier 4 Wünschenswert Einheitliche Datenstruktur für alle affinen Transformationen Matrienoperationen Homogenes Koordinatensstem 4-dimensionale Koordinaten Punkt (,,, w mit a a/w und w Gängig ist w Transformationsmatrien: 44 Translation Einfache erschiebungsmatri Operation t t t t t t
5 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 (c Peter Sturm, Universität Trier 5 Skalierung Skalierungsmatri Operation s s s s s s Uniform: sss Rotation Nur über jeweils eine Grundachse Alles andere geht auch, ist aber Brain Twister Grundmatrien: R R R
6 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 Rotation und dann erschiebung Beispiel Drehung um 45 Grad bgl. X-Achse erschiebung um -8 bgl. Y-Achse Matrien usammenfassen Achtung: Erste Operation Lette Matri M2 M: Erste Transformation ist M Konstruktion eines lokalen Sstems Matrienoperationen bgl. Koordinatensstem (Welt Aufbau des lokalen Sstems:. erschieben des Zentrums (Pivot um Ursprung 2. Gewünschte affine Transformation ausführen 3. erschiebung urück an den Ausgangspunkt Resultat: 2 Taff (c Peter Sturm, Universität Trier 6
7 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 Matrioperationen nicht kommutativ Beispiel: Teekanne Translation: erschiebung an Y-Achse um -8 Rotation: Drehung an X-Achse um -45 Grad Zuerst Translation, dann Rotation Zuerst Rotation, dann Translation Live T, dann R R, dann T (c Peter Sturm, Universität Trier 7
8 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 ektoraddition Kräftparallelogramm Weitere sinnvolle Funktionen W Länge eines ektors +W Normalisierter ektor: 2 U Normale u einer Oberfläche wird häufig benötigt Normalvektor N W Kreuprodukt: N W Bei Kurven muß erst die Tangentialebene bestimmt werden v w v w N v w v w v w v w (c Peter Sturm, Universität Trier 8
9 Grundlagen der Spieleprogrammierung Sommer 23 Skalarprodukt Hilfsmittel ur Winkelbestimmung wischen ektoren W v w + v w + v w Eigenschaft > wenn <9 Grad wenn 9 Grad < wenn >9 Grad Winkelbestimmung wischen und W W W Implementierungsaspekte Hierarchische Definition lokaler Koordinatenssteme Ein Weltkoordinatensstem Performan Wann werden kombinierte Transformationsmatrien berechnet? Speicherbedarf? (c Peter Sturm, Universität Trier 9
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