Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Galileo Galilei
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- Daniel Falk
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1 TO Rechenmethoden Wise Jan von Delft Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Galileo Galilei Das Wunder der Anwendbarkeit der Sprache der Mathematik für die Formulierung physikalischer Gesetze ist ein Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen. Eugene Wigner Mathe ist wie Liebe: Eine einfache Idee, aber sie kann kompliziert werden. R. Drabek Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr. A. Einstein Euklid Decartes Newton Leibniz Taylor Gauss Fourier Cauchy Wozu "Rechenmethoden"? Mathematik-Vorlesungen: Systematische Entwicklung der Grundlagen, saubere Beweise,... (gründlich aber langsam) Rechenmethoden-Vorlesung: zügiges, anwendungsbezogenes Erlernen des "Handwerks": Sicherheit, Geläufigkeit und Schnelligkeit im Umgang mit Standard- rechenmethoden (intuitive Argumente statt saubere Beweise) Userid: Passwort: - Regelmäßige Nachbearbeitung der Vorlesung - Besuch und aktive Mitarbeit in den Tutorien (Anmeldung via Website: bis Mi, , 24:00) - Hausaufgaben: sehr wichtig! Abschreiben = Selbstbetrug! - Hinweise zur Bearbeitung der Hausaufgaben (nach Prof. Wagner, Lehn) beachten! - Diskutieren mit Kommilitonen, Lerngruppe, Hausaufgabenzirkel Vorlesung: Di+Do, Zentralübung: Mi 8-10 genutzt für Vorlesung: Mi, & (dafür: Di & Do , nur Wiederholung!) Vorlesungseite: Übungsbetrieb: Hinweise zur Bearbeitung der Übungsblätter: nach Prof. Wagner: nach Prof. Lehn:
2 Fahrplan für die ersten Wochen Beispiel einer wichtigen Gleichung: Newton's 1. Gesetz für Planetenbewegung (E1: ) Vektorgleichung: Lineare Algebra (L): Vektorräume (L1-L4) Ortsvektor: Vektoranalysis (V): Raumkurven, Linienintegrale (V1) Zeitableitung: Calculus (C): Ableitungen (C1) skalares Potential: Skalarfeld (V2, V3) Nabla-Operator: Polarkoordinaten Volumenintegration: Differentialgleichung: partielle Ableitungen (C3) Gradient, Vektorfeld (V3) Krummlinige Koordinaten (V4) Mehrdimensionale Integration (C4) Differentialgleichungen (C...) Mathematische Grundbegriffe L1.1 Mengen und Abbildungen Zwei Mengen: Cartesisches Produkt: "ist Element von" Kardinalität: Anzahl Elemente einer Menge ( für A, für B, für A x B) Abbildung: Definitionsmenge Zielmenge Name der Abbildung Argument Zielelement
3 Beispiel: Bild v. A: "ist eine Untermenge von" Surjektiv: jedes für ein Injektiv: jedes für ein Bijektiv: jedes für ein surjektiv und injektiv (also invertierbar) Verkettung / Komposition Beispiel: Inverse einer bijektiven Abbildung: Binäre Verknüpfung: Definitionsmenge ist ein Cartesisches Produkt:
4 Beispiel einer binären Verknüpfung: Höhe eines Gebirges L1.2 Gruppe: (einfachste Struktur die 'Operationen' mit Elementen erlaubt) Definition: Eine "Gruppe" ist eine Menge A ausgestattet mit einer binären Verknüpfung, und folgenden Eigenschaften ("Gruppenaxiome"): i) Abgeschlossenheit: ii) Assoziativität: iii) neutrales Element: "für alle" "es existiert" so dass iv) inverses Element: Falls Falls 'kommutative Gruppe', 'Abelsche Gruppe' 'nicht-kommutative Gruppe', 'nicht-abelsche Gruppe'
5 Beispiel 1: Sei und betrachte die Verknüpfung Dann ist eine kommutative Gruppe. Neutrales element: Inverse von Beispiel 2: Ganze Zahlen, mitaddition (kommutativ) 'Addition modulo 2' Verknüpfung: Neutrales Element: (inverses Element v. ) Beispiel 3: Rotationen um eine Achse (kommutativ) Rotation um Winkel Verknüpfung: Neutrales Element: (keine Rotation) (inverses Element v. ) (Rückrotation)
6 Beispiel 4: Rotationen in drei Dimensionen (nicht-kommutativ) Gruppentheorie: sehr wichtig in der Physik! - Diskrete Translationen, Reflektionen (Kristallstrukturen) - Translationen in Raum oder Zeit - Rotationen (Quantenmechanische Theorie des Drehimpulses, Spin) - Lorentz-Gruppe, Poincare-Gruppe (spezielle Relativitätstheorie) L1.3 Körper Algebraische Struktur, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt. Körper: (zwei Verknüpfungsregeln: Addition & Multiplikation) Addition (kommutativ): neutrales Element = additives Inverse v. Subtraktion: Multiplikation (kommutativ): neutrales Element = multiplik. Inverse v. Division: Das neutrale Element d. Addition,, hat kein multiplikatives Inverse ist kein Körper, denn Multiplikation hat kein Inverses in
7 Beispiele von Körpern: Rationale Zahlen: Reelle Zahlen: alle Zahlen, die als Limes von 'Folgen von rationalen Zahlen' dargestellt werden können kann approximiert werden durch die Folge alle Zahlen, die gebraucht werden, um eine Linie zu Parametrisieren Komplexe Zahlen: Ausgangsfrage: Lösungsansatz: erweitere unser Zahlensystem um eine neue Zahl: 'imaginäre Einheit': Wurzel von negativen Zahlen: Menge aller komplexen Zahlen: jede kompl. Zahl wird dargestellt durch zwei reelle Zahlen: Realteil v. z Imaginärteil v. z
8 Def. v. Addition: (analog den üblichen Regeln für einen Körper) Bsp: Def. v. Multiplikation: (analog den üblichen Regeln für einen Körper) Bsp: Neutrales Element der Addition: Neutrales Element der Multiplikation: Addititives Inverse: Multiplikatives Inverse: Was sind Re( ), Im( )? Definiere zunächst: 'komplex konjugierte von z': dann: Konstruiere Inverse von z wie folgt: Check: Bsp:
9 Komplexe Ebene: Identifikation einer komplexen Zahl mit 'geordnetem Paar' von zwei reellen Zahlen: Punkt in zwei-dimensionaler Ebene ('komplexe Ebene') Polardarstellung: Betrag v. z (Abstand zum Ursprung): Reelle Achse: 'rein reell' Imaginäre Achse: 'rein imaginär'
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