Lineare (affine) Abbildung

Transkript

1 Lineare affine Abbildung A e 2 b a e Wir überziehen die Ebene neben dem vertrauten Quadrat-Gitternetz, das durch die Basisvektoren e und e 2 festgelegt ist, mit einem Parallelogramm-Gitternetz, dessen Maschen durch die Vektoren a und b gegeben sind. Jeder Punkt der Ebene P kann nun auch durch p = a+ b mit den affinen Koordinaten, erfasst werden, z.b. P 2 mit 2,2. = a + b = a 2 + b 2 lautet in Matrizenschreibweise a b = a 2 b 2 und für unser Beispiel =,5,5,5 Hierdurch ist eine lineare Abbildung gegeben, die jedem Vektor einen Vektor zuordnet, bzw. jedem Punkt P einen Bildpunkt P.

2 Lineare affine Abbildung Fortsetzung Die Einheitsvektoren e = und e 2 = werden hierbei auf a bzw. b abgebildet und das Einheitsquadrat auf ein Parallelogramm, das von a und b aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt beträgt = a b 2 a 2 b 2. Folgere daraus, dass zwischen den Flächeninhalten einer Figur F und einer Bildfigur F die Beziehung F = F besteht.. a Auf welchen Punkt wird A 2 vorige Seite abgebildet? b Ermittle die Flächeninhalte der beiden Vierecke, sowie. Zur Kontrolle: F = 2FE F = 5FE =,25 A e 2 b a e 2. Der Kreis wird auf die Ellipse abgebildet. Der Nachweis ist nicht verlangt. Hierzu benötigt man die Umkehrabbildung,4,2 =,4,8 und eine Hauptachsentransformation kein schulischer Inhalt. Ermittle den Flächeninhalt der Ellipse. 2

3 Lineare Abbildung A =,8,3,2,7 Jedes Quadratgitternetz allgemeiner Parallelogrammgitternetz wird auf ein Parallelogrammgitternetz abgebildet. Hierzu ist zuerst zu zeigen, dass Geraden in Geraden übergehen. = A g: = a+λ u = A a+λ u =... Jede Fläche F lässt sich durch ein feines Quadratgitternetz approimieren. Alle Quadrate werden auf Parallelogramme mit dem -fachen Flächeninhalt abgebildet. Für den Flächeninhalt F gilt daher F = F. 3

4 Affine Abbildung, iteriert A =,8,3,2,7 = A Wir bilden...aaaa Was fällt dir auf? 4

5 Netz mit Eigenvektoren A =,8,3,2,7...AAAA = A Die Matri a b a b besitzt die Eigenwerte und a b, zugehörige Eigenvektoren sind: b und. a Erläutere die Situation. 5

6 Lineare Abbildungen. Wie lauten die Gleichungen der Projektion, die beliebige Raumpunkte parallel in Richtung des Vektors v = 2 auf die Bildebene E : +z = abbildet? 2 Lösung: λ = + z Schnitt einer Geraden mit der Ebene = z = z z = z Oder in Matri-Schreibweise: A = Die Abbildung wird nun durch = A erfasst Wie ist der Punkt in = A zu verstehen? 3. Eine lineare Abbildung sei durch 2 2 gegeben. Bilde das Viereck mit den Eckpunkten A, B,5, C2 2, D,5 ab. 4. Wie werden Einheitsvektoren wie e = durch = A abgebildet? Welcher Zusammenhang besteht mit der Abbildungsmatri? 5. Zeige, dass beliebige Abbildungen im Raum oder in der Ebene = A linear sind, d.h. es ist A λ = λ A und A + = A +A. Was bedeuten diese Eigenschaften geometrisch? 6. Begründe, dass bei einer linearen Abbildung die Bilder beliebiger Vektoren mit den Bildern von Einheitsvektoren ermittelt werden können. 7. Wie lauten die Abbildungsmatrizen in der Ebene a Spiegelung an der -Achse b Spiegelung an der -Achse c Punktspiegelung am Ursprung d Zentrische Streckung mit dem Faktor d e Drehung um 9 um den Ursprung? 8. Wie lautet die Abbildungsmatri der Drehung um den Ursprung in der Ebene im Raum um die z-achse? 9. Wie ergibt sich die Abbildungsmatri für die Hintereinanderausführung Verkettung zweier linearer Abbildungen? matri, lat. Mutterleib, Uterus 6

7 2. a b c d = a+b d+e C 3. D B D C B A = A 4. Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatri. 5. Durch Nachrechnen wird bestätigt: A λ = λ A und A + = A +A Das Bild einer Summe zweier Vektoren, kann auch als Summe der beiden Bildvektoren A, A erhalten werden siehe obige Grafik. Parallelogramme werden auf Parallelogramme abgebildet. 6. Vektoren können als Linearkombination von Einheitsvektoren dargestellt werden. Die Bildvektoren ergeben sich als Linearkombination mit denselben Koeffizienten der Bildvektoren der Einheitsvektoren. 7. a Spiegelung an der -Achse b Spiegelung an der -Achse c Punktspiegelung am Ursprung d Zentrische Streckung mit dem Faktor d d d e Drehung um 9 um den Ursprung sinϕ ϕ }{{} cosϕ 8. Die Drehung ist eine lineare Abbildung, da die Linearitätsbedingungen anschaulich erfüllt sind. Daher ergibt sich die Abbildungsmatri durch die Abbildung der Einheitsvektoren. cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ A = A = sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ 9. A = a b c d B = e f g h Sei C durch B A = C festgelegt. Dann gilt: C = ea+fc eb+fd ga+hc gb+hd C wird als Produkt der Matrizen B und A aufgefasst: C = B A Für die Bildung des Produkts gibt es eine einfache Merkregel: 7 e f g h a b c d

8 Parallelprojektion auf die z-ebene Diese Abbildungsart ist rechnerisch einfach, wenn die Projektionsrichtung durch den Vektor v = a b festgelegt wird. Eine Gerade durch P z mit dem Richtungsvektor v ist mit der z-ebene zu schneiden. λ =, P wird somit auf P a + b +z abgebildet, insbesondere Q auf Q a b. Die Abbildungsgleichungen lauten dann = : = a + z = b + z oder in Matri-Schreibweise: z = a b z Die zweidimensionalen Spaltenvektoren der Matri sind die Bilder der dreidimensionalen Basisvektoren e i. Betrachten wir nun die Abbildung des Einheitswürfels für a = 2 und b = 4. Hierbei gilt z. B.: E E 2 4 E 2 E Insgesamt ergibt sich das Bild: z 2 4 8

9 Drehung um den Ursprung Erläutere: cosα sinα sinα cosα α = 3 a b acosα asinα bsinα bcosα α α } {{ } cosα sinα a b? α = 5 a + b acosα + asinα bsinα bcosα a b a b acosα bsinα asinα+bcosα In Matri-Schreibweise: a cosα sinα = sinα cosα b a b Drehung um die -Achse,,, bleibt fi: a b = c cosα sinα a b sinα cosα c Drehung um die -Achse,,, bleibt fi: a b = c cosα sinα sinα cosα a b c Drehung um die z-achse,,, bleibt fi: a b = c cosα sinα sinα cosα a b c 9

10 Additionstheoreme a b α acosα bsinα asinα+bcosα Erläutere: α β cosα sinα cosαcosβ sinαsinβ sinαcosβ +sinβcosα α+β cosα+β sinα+β sin α+β = sinα cosβ + sinβ cosα cos α+β = cosα cosβ sinα sinβ

11 Spiegelung an einer Ursprungsgeraden P P Zur Erinnerung: Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatri sind die Bilder der Einheitsvektoren. cos2α sin2α sin2α cos2α P Qq,q 2 α P beachte: cos2α 9 = sin2α sin2α 9 = cos2α 2α 9 = cos2α sin2α sin2α cos2α, α = arctan q 2 q

12 Spiegelung an der Geraden = a+λ u P P α Um den Punkt P an der Geraden = a+λ u zu spiegeln, wird dieser zunächst als P a an der Ursprungsgeraden = λ u gespiegelt und anschließend wieder um a verschoben. P = cos2α sin2α P a + a sin2α cos2α 2