Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare und affine Abbildungen im zweidimensionalen Anschauungsraum R 2

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Christel Hofmann
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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Lineare und affine Abbildungen im zweidimensionalen Anschauungsraum R Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 S 1 Lineare und affine Abbildungen im zweidimensionalen Anschauungsraum r Dr.Jürgen Bohla, Wuppertal Eine Verschiebung Mit MS-Excel-Programm affabb.xls! Klasse: 11/1 Dauer: 4 Stunden Inhalt: Stunde 1: Begriff der linearen Punktabbildung, Typen linearer Abbildungen, Teil I Stunde : Typen linearer Abbildungen Teil II, Bestimmung linearer Abbildungen Stunde 3: Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume linearer Abbildungen Stunde 4: Fixelemente linearer Abbildungen Ihr Plus: ü Systematische Übersicht über die Grundlagen des Themas Lineare Abbildungen ü Die Verschiebung als einfachste affine Abbildung. Die Skizze oben zeigt die Bilder zweier kleiner Dreiecke unter einer Verschiebung, der einfachsten affinen Abbildung. Bilder sind immer Abbilder von etwas anderem, einem Urbild. Den Mathematiker interessiert speziell die Frage, wie die Beziehung zwischen Urbild und Bild arithmetisch, also durch einen Rechenausdruck beschrieben werden kann. Die Formulierung einer Abbildungsvorschrift, ist wichtig, wenn ein Muster zu Produktionszwecken beliebig reproduzierbar sein soll. Solche Verfahren werden z. B. in der Fotografie, in der Architektur, in der Kartografie und bei der Erstellung von Computergrafiken benötigt. In diesem Beitrag geht es speziell um verschiedene Typen linearer Abbildungen und deren Abbildungsvorschriften sowie um die Verschiebung als einfachster affiner Abbildung.

3 S Didaktisch-methodische Hinweise Fachlicher Hintergrund Durch eine lineare Abbildung a wird einem Urbildpunkt P eines Vektorraumes V = ein Bildpunkt P eines Vektorraumes V' = nach einer Abbildungsvorschrift f zugeordnet. Die lineare Abbildung a wird in Matrizenform a: x' = Ax mit A als Koeffizientenmatrix, x als Urbildvektor und x' als Bildvektor dargestellt. Das Bild P ist linear von P abhängig und ist durch die Basisvektoren, die den Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix A entsprechen, festgelegt. Als Abbildungstyp gehört diese Abbildung zu den Homomorphismen (verknüpfungstreuen Abbildungen). Wird eine Abbildung auf den Ursprung O angewendet, dann erhält man demgemäß den Bildpunkt O ; durch die lineare Abbildung a wird zugleich eine lineare Vektorabbildung induziert, wenn man die Verbindungsgeraden OO' = t als Bildvektor definiert. Nimmt man dazu die Spalten der Abbildungsmatrix A als Basisvektoren eines neuen Koordinatensystems, dann erhält man die affine Abbildung a : x = A*x + t. Die affine Abbildung ist die Verknüpfung einer linearen Abbildung A mit einer Verschiebung t. A*x ist der lineare Anteil der affinen Abbildung (von lat. affinis = ähnlich). Anliegen der Unterrichtseinheit Das vorliegende Konzept dient der grundlegenden Einführung in die zentralen Fragestellungen der Thematik. Es soll als roter Faden bei der Analyse dienen und dem Schüler eine Systematik für eigenständige Untersuchungen von linearen und affinen Abbildungen an die Hand geben. Das kartesische Koordinatensystem ist das Bezugssystem für die Koordinaten der Abbildungen. In den Stunden 1 4 werden die linearen Abbildungen als Spezialfall der affinen Abbildungen ausführlich behandelt. Damit wird zugleich das Verständnis für die affinen Abbildungen in Stunde 7 und 8 vorbereitet und gefördert, was Inhalt eines Folgebeitrags ist. Die Trennung von linearer und affiner Abbildung erscheint aus Gründen der didaktischen Klarheit sinnvoll. Unterrichtsmethodisch sollte der selbstständigen Erarbeitung der Lerninhalte durch den Schüler möglichst breiter Raum gegeben werden. Um die Bilder verschiedener Abbildungstypen für den Schüler vergleichbar zu machen, wird als Standard für alle Abbildungen das Urbilddreieck (1 0), (0 1), (1 1) (= halbes Einheitsquadrat) verwendet. Da es um die grundlegende Vermittlung der Lerninhalte geht, haben wir Aufgaben und Beispiele von einfachem bis mittlerem Schwierigkeitsgrad gewählt. Um die umfangreichen Berechnungen zu erleichtern und möglichst gut durch Grafiken zu veranschaulichen, wurde zusätzlich das MS-EXCEL-Programm affabb.xls entwickelt, das Sie und Ihre Schüler bei der Erstellung von Grafiken, Berechnungen, Auswertungen unterstützt. Welche Begriffe müssen Ihre Schüler kennen? Voraussetzungen Ein sicherer Umgang mit folgenden Begriffen ist für Ihre Schüler unumgänglich: Vektorraum, Untervektorraum Matrix, Vektor, Matrizengleichung Determinante Polynom homogene und inhomogene LGS, Lösung

4 S 3 Tafelbilder Stunde 1 Abbildungsgleichung: x' = Ax Abbildungszentrum: Ursprung (0 0) Identische Abbildung: 1 0 x' = x 0 1, kurz: x' = I x ; I = -reihige Einheitsmatrix Punktspiegelung an der x 1 -Achse (Kongruenzabbildung): 1 0 x' = x 0 1 Punktspiegelung im Ursprung (Kongruenzabbildung): 1 0 x' = x 0 1 Zentrische Streckung mit Streckungsfaktor k: (Ähnlichkeitsabbildung) 1 0 x' k = x, 0 1 kurz x' = k *I*x = kx Stunde Weitere Abbildungstypen und ihre Abbildungsmatrizen: Senkrechte Parallelstreckung Richtung x -Achse: 1 0 A = 0 r r = Streckungsfaktor Scherung: 1 r A = 0 1, r = Scherungsfaktor Drehung: cos β sin β A = sin β cos β β = Drehwinkel im mathematisch positiven Drehsinn

5 S 4 Tafelbilder Fortsetzung Stunde 3 Charakteristisches Polynom zur Bestimmung von Eigenwerten: a λ a λ = = 11 1 det(a I) 0 a1 a λ ( ) ( ) a11 λ a λ a1 a1 = 0 λ λ (a11 + a ) + (a11a a1a 1) = 0 λ λ spa + det(a) = 0 Die reellen Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte der Vektorabbildung. Homogenes LGS zur Ermittlung von Eigenvektoren: Av =λv (A λ I)v = 0 a 11v1 + a 1v =λv 1 a1v1 + av =λv a11v1 λ v1 + a1v = 0 (1) () (1') a v + a v λ v = 0 (') 1 1 Stunde 4 Arten von Fixelementen linearer Abbildungen: 1. Fixpunkte: Punkte linearer Abbildungen, bei denen Urbildpunkt und Bildpunkt zusammenfallen. Fixpunktgerade: Geraden g, bei denen alle Punkte Fixpunkte sind 3. Fixgeraden: Geraden g, die mit ihren Bildgeraden zusammenfallen Fixpunktbedingung: A*f = f A*f f = 0 A*f I*f = 0 (A I)*f = 0 Auflösung des homogenen LGS: a) eindeutige, (triviale) Lösung: Fixpunkt F(0 0) oder b) unendliche viele Lösungen (= Fixpunktgerade) Fixgeraden: mit den Eigenvektoren v als Richtungsvektoren: Fixgeradenbedingung: (A I) * p = k * v (p = Ortsvektor eines Fixpunkts P )

6 S 5 Auf einen Blick (Stoffverteilungsplan) Einführung der Grundlagen zum Thema Lineare Abbildungen Material Thema Stunde M 1 Typen linearer Abbildungen und die Verschiebung Identität 1. Typen linearer Abbildungen: identische Abbildung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Ähnlichkeitsabbildung M Typen und Bestimmung linearer Abbildungen. Typen linearer Abbildungen Teil II Parallelstreckung, Scherung, Drehung Bestimmung linearer Abbildungs-Gleichungen M 3 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume lin. Abbildungen 3. Determinante der Abbildungsmatrix und charakteristisches Polynom, Lösungen und Eigenvektoren, -räume M 4 Fixelemente linearer Abbildungen 4. Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgeradenbedingung Ausblick: In einem Folgebeitrag erhalten Sie folgende Themen: Material Thema Stunde M 5 M 6 M 7 M 8 Normalformen linearer Abbildungen Begriffe Fixpunktgerade, Fixgeradenbedingung Verkettung und Umkehrabbildung Voraussetzungen Verkettung Komposition zweier Abbildungen Umkehrabbildung einer Abbildung Affine Abbildungen Begriff der Abbildungsgleichung Analyse einer affinen Abbildung (Scherung) Drehungen als affine Abbildung Drehung als Kongruenzabbildung Drehstreckung als Ähnlichkeitsabbildung Affine Drehung 5. 6./ /10. Methodischer Hinweis: Jede Stunde schließen Sie mit einer Hausaufgabe ab. In der Folgestunde fangen Sie mit der Besprechung der Hausaufgabe an.

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