HÖHERE MATHEMATIK 2, Übungen, Sommersemester Übungsblatt für den

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1 . Übungsblatt für den () Die Gerade g sei durch die Gleichung 2x y = 3 gegeben. Bestimmen sie Gleichungen der beiden Geraden, die parallel zu g sind und den Abstand 2 von g haben. Bestimmen sie alle Punkte, die von den beiden Geraden g und g gegeben durch die Gleichungen g : 2x y = 0 und g 2 : x + y = 2 jeweils den Abstand haben. (2) Gegeben sind die komplexen Zahlen z = 2 + 3ı und z 2 = 2 ı. Berechnen sie z z 2, z 2, z2 2 z und z 2 z in der komplexen Standardform a + ib und in komplexen Polarkoordinaten r e iϕ mit r 0 und ϕ [0, 2π). (3) E sei die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag, das heißt E = {a + ıb : a, b R mit a 2 + b 2 = }. Zeigen sie: Falls z E dann gilt auch z E, z E und E. Falls z y E und z E, dann gilt auch yz E. (4) Skizzieren sie die folgenden Mengen in der komplexen Ebene M = {z C : z = }, M 2 = {w C : ww > }, M 3 = {u C : R(iu) > 0}. (5) Zeigen sie, dass für jede beliebige Komplexe Zahl z 0 sich eine reelle Zahl a finden läßt so dass = az. (Das heißt, 0, z und liegen auf einer Geraden.) z z 2. Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle T. Berechnen sie z + w, z und w für z = ı + 3, w = 2 + 4ı. T2. Berechnen sie den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren v = (, 2, ) t und v 2 = (2, 0, 2) t. Für welche Winkel wird dieser Wert der Cosinusfunktion angenommen? T3. Bestimmen sie eine Gleichung welche die Kreislinie mit Mittelpunkt (, 2) und Radius 2 in der (x, y)-ebene definiert.

2 2. Übungsblatt für den (6) Die drei komplexen Zahlen z = + ı, z 2 = 2 + 3ı und z 3 = + 2ı sind Eckpunkte eines Dreieckes in der komplexen Ebene. Berechnen sie die Innenwinkel und die Seitenlängen des Dreieckes. Für die beiden komplexen Zahlen u = ı und v = + ı seien u und v die Dreiecke mit den Ecken (uz, uz 2, uz 3 ) bzw. (vz, vz 2, vz 3 ). Berechnen sie die Seitenlängen und Innenwinkel der Dreiecke u und v. Berechnen sie die Winkel zwischen z k und uz k und zwischen z k und vz k für k =, 2, 3. Fertigen sie eine Skizze mit der drei Dreiecke in der komplexen Ebene an. (7) Berechnen sie die beiden komplexen Wurzeln von v = 2 + 3ı (d.h. die beiden Lösungen von z 2 = 2 + 3ı in C). Skizzieren sie v und die beiden Wurzeln in der komplexen Ebene. (8) Lösen sie die quadratische Gleichung z 2 + (2 + ı)z + = 0 in C. (9) Beweisen sie: Falls die Zahl z C \ R Lösung der quadratischen Gleichung aw 2 + bw + c = 0 mit a, b, c R ist, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl z eine Lösung der quadratischen Gleichung. (0) Stellen sie den Ausdruck cos 4 (θ) als Linearkombination von Winkelfunktionen mit Vielfachen des Winkels θ im Argument der Winkelfunktionen dar. Das heißt, finden sie eine Darstellung? cos 4 (θ) = α k sin(kθ) + β k cos(kθ). k=0 Verwenden sie zur Herleitung die Eulersche Darstellung der Cosinusfunktion durch komplexe Exponentialfunktionen. () Es sei l eine Gerade in der komplexen Ebene, die mit der (positiv orientierten) reellen Achse den Winkel ϕ einschließt. Ein beliebiger Punkt z l auf der Geraden wird ausgewählt. Mit d bezeichnen wir den Normalabstand des Koordinatenursprungs von der Geraden. Zeigen sie dass die Formel d = Im(e ıϕ z) gilt. (2) Skizzieren sie die Menge M = { z C : Re ( ( 2ı)z ) = 0 } in der komplexen Ebene. Geben sie eine geometrische Charakterisierung der Punktmenge M an. 2. Trainingsbeispiele zur Selbstkontrolle T4. Berechnen sie die Polarkoordinatendarstellungen der folgenden komplexen Zahlen: ı, 3 ı, 3 2ı. T5. Berechnen sie die (kartesische) Standardform a + ıb der Zahlen e iπ, 2e i π 4, e ı π 3.

3 3. Übungsblatt für den (3) Bestimmen sie alle Lösungen z C (z = re ıϕ ) der folgenden Gleichungen: (a) z 3 = + ı, (b) ı z 5 =, (c) z 3 =. Skizzieren sie die Lage der Lösungen in der komplexen Ebene. (4) Geben sie alle Lösungen z C der Gleichung z 5 z 2 = 0 an. Skizzieren sie die Lage der Lösungen in der komplexen Ebene. (5) Bestimmen sie drei verschiedene Lösungen z C der Gleichung e z = 3 + 2ı in der komplexen Standardform z = a + ıb. Können sie eine Lösung mit ganzzahligem Real- und Immaginärteil finden? (6) Es sei A = ı ı. Schreiben sie A in der Form A = a + ıb. (Hinweis: x y = e y ln x.) (7) Lösen sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über C: (a) (c) 3x + 6y = 2x + 3y = 0, (b) ıx + y = 0 x + ( + ı)y = 2ı, (3 + 4ı)x + ıy = (3ı 4)x y =, (d) ıx + 2y = 4 2ıx + 4y = 8.

4 4. Übungsblatt für den (8) Schreiben sie f(z) := 3z 2 + in der Form f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) und zeigen sie, dass u und v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Berechnen sie die komplexe Ableitung f (2 + i3) gemäß Definition als f f(z+h) f(z) (z) = lim h 0. h (9) Schreiben sie f(z) := e z in der Form f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) und zeigen sie, dass u und v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Berechnen sie lim ezn e z zn z, z n z indem sie für z n eine gegen z konvergierende Folge von komplexen Zahlen wählen, die auf einer durch z gehenden Geraden geeigneter Neigung liegen. Warum ist es nach obigem erlaubt zu sagen, dass der auf diese spezielle Weise erhaltene Grenzwert die Ableitung von e z ist? 3 i2 2 (20) Es seien a = 4, b = i, c = 2 C (a) Bestimmen sie x C 4, so dass 3 x + 2 a b = 6 x + 4 c. (b) Bestimmen sie (falls möglich) s, t R, so dass s a + t c = 2. (2) (a) Entnehmen sie durch möglichst genaue Konstruktion und Messung aus der Zeichnung 3 die Zahlen u, u 2, v, v 2, z, z 2, z, z 2 in den Darstellungen u = u a + u 2 b, v = v a + v 2 b, z = z a + z 2 b, z = z u + z 2 v. (b) Berechnen sie die Zahlen z, z 2 aus den gemessenen Zahlen u, u 2, v, v 2, z, z 2 und vergleichen sie ihr Messergebnis mit dem Rechenergebnis. Zeichnung auf Overheadfolie!. (22) Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und a, b, c V \ { o}. Ferner seien r, s, t K mit r + s + t 0 und r a + s b + t c = o. Zeigen sie, dass sich dann mindestens einer der Vektoren a, b, c als Linearkombination der restlichen beiden darstellen läßt. Gibt es r, s, t K mit r + s + t 0 und r a + s b + t c = o, so dass sich nur genau einer der drei Vektoren als Linearkombination der beiden restlichen darstellen läßt?

5 5. Übungsblatt für den Im folgenden seien e, e 2, e 3 ) eine Basis aus drei paarweise zueinander orthogonalen Einheitsvektoren, die ein Rechtssystem bilden. (23) Es sei ( e, e 2 ) eine Basis von R 2 aus zwei zueinander orthogonalen Einheitsvektoren und n = n e + n 2 e 2 = (cos ϕ) e + (sin ϕ) e 2 ein weiterer Einheitsvektor. Ferner sei S : R 2 R 2 die Spiegelung an der durch den Ursprung gehenden Geraden g, die senkrecht auf n steht. (a) Welche geometrische Abbildung wird durch x x 2 x, n n beschrieben? b) Bestimmen sie die Matrix S der Spiegelung bzgl. der Basis ( e, e 2 ), indem sie die Matrixelemente durch n = cos ϕ, n 2 = sin ϕ ausdrücken. (c) Zeigen sie, dass die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen S, S an Geraden g, g durch den Ursprung eine Drehung ergibt, indem sie das Produkt zweier Spiegelmatrizen bilden und dieses als Drehmatrix erkennen. Sind g, g zwei durch o gehende Geraden, dann ist der Winkel zwischen g und g der kleinste auftretende Winkel α [0, π ] zwischen allen 2 möglichen Richtungsvektoren von g und g. Wie hängt der Winkel zwischen den Spiegelgeraden mit dem Drehwinkel der beiden möglichen Hintereinanderausführungen S S und S S zusammen? (d) Zeigen sie, dass jede Spiegelung selbstinvers ist. Gibt es auch selbstinverse Drehungen von R 2? (24) (a) Zeigen sie, dass für alle linearen Drehungen D, D 2 : R 2 R 2 die Gleichung D D 2 = D 2 D gilt. D.h. die Drehungen der Ebene mit Drehpunkt o kommutieren. TIPP: Verwenden sie die Matrizen der beiden Drehungen bzgl. einer Orthonormalbasis ( e, e 2 ) von R 2. Verwenden sie die Abkürzungen s := sin α, c := cos α, s := sin β, c := cos β. (b) Zeigen sie, dass die Drehungen D, D 2 : R 3 R 3 mit D ( e ) = e, D ( e 2 ) = e 3, D ( e 3 ) = e 2 und D 2 ( e ) = e 2, D 2 ( e 2 ) = e, D 2 ( e 3 ) = e 3 nicht kommutieren. Geben sie die Matrizen von D und D 2 bzgl. ( e, e 2, e 3 ) an. (25) Bestimmen sie, falls möglich, die Winkelmaßzahlen α und β so, dass die Drehmatrizen cos α sin α 0 D = sin α cos α 0 und D 2 = cos β sin β sin β cos β kommutieren. Verwenden sie die Abkürzungen s := sin α, c := cos α, s := sin β, c := cos β. (26) Es sei D : R 3 R 3 eine Drehung mit e := D( e ), e 2 := D( e 2 ), e 3 := D( e 3 ). (a) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D um die e 3 -Achse, so dass D ( e 2 ) in der Ebene von e 3 und e 3 liegt. Setze e := D ( e ), e 2 := D ( e 2 ), e 3 := D ( e 3 ). Geben sie die Matrix D von D bzgl. ( e, e 2, e 3 ) an. Bezeichnen sie dabei den Drehwinkel mit Φ. (b) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D 2 um die e -Achse, so dass D 2 ( e 3 ) = e 3. Setze e := D 2 ( e ), e 2 := D 2 ( e 2 ), e 3 := D 2 ( e 3 ) = e 3. Geben sie die Matrix D 2 von D 2 bzgl. ( e, e 2, e 3 ) an. Bezeichnen sie dabei den Drehwinkel mit Θ. (c) Bestimmen sie eine Rechtsdrehung D 3 um die e 3 -Achse, so dass D 3 ( e ) = e und mithin automatisch D 3 ( e 2 ) = e 2 ist. Jetzt ist e = D 3 ( e ), e 2 = D 2 ( e 2 ), e 3 = D 2 ( e 3 ). Geben sie die Matrix D 3 von D 3 bzgl. ( e, e 2, e 3 ) an. Bezeichnen sie dabei den Drehwinkel mit Ψ. (d) Wie läßt sich die Matrix D der Drehung D bzgl. ( e, e 2, e 3 ) durch die drei Drehmatrizen

6 e 3 = e 3 e 3 = e 3 Θ e 2 e 2 e Φ e = e e 2 Abbildung. Die beiden Drehungen D, D 2 und die Eulerwinkel Φ und Θ D, D 2, D 3 darstellen? Die Drehwinkelmaßzahlen Φ, Θ, Ψ in den drei Matrizen heißen Eulersche Winkel der Drehung D bzgl. ( e, e 2, e 3 ). (e) Drücken sie die Matrixelemente von D durch die Eulerschen Winkel aus. Es sollte sich cos Ψ cos Φ cos Θ sin Φ sin Ψ sin Ψ cos Φ cos Θ sin Φ cos Ψ sin Θ sin Φ D = cos Ψ sin Φ + cos Θ cos Φ sin Ψ sin Ψ sin Φ + cos Θ cos Φ cos Ψ sin Θ cos Φ sin Ψ sin Θ cos Ψ sin Θ cos Θ ergeben. Durch geeignete Wahl von Φ, Ψ, Θ R läßt sich jede 3 3-Drehmatrix darstellen. D.h. die Gruppe der Drehungen um Achsen, die durch den Ursprung gehen, ist eine dreiparametrige Gruppe. In der Physik benötigt man meist die Matrix T der Koordinatentransformation von den ungestrichenen zu den dreifach gestrichenen Koordinaten. Sie ist die zu D inverse Matrix, die sich durch Transponieren von D ergibt, d.h. T = D. Warum ist die Inverse von D gleich der Transponierten von D? (Herbert Goldstein: Klassische Mechanik, Seite 8-2)

7 6. Übungsblatt für den (27) (a) Gegeben ist der Vektor v = ( 2 ) 5. Berechnen sie die Matrix M = v v T = 5( 2 ) ( 2 ) indem sie das Produkt der 2 Matrix mit der 2 nach den Matrixrechenregeln berechnen. Bestimmen sie das Bild der linearen Abbildung, die durch M definiert wird, das heißt, charakterisieren sie M(R 2 ) = {y = Mx : x R 2 }. Berechnen sie (x Mx) v für einen beliebigen Vektor x R 2. (b) Berechnen sie A = I M und das Bild von A. Berechnen sie Ax v für einen beliebigen Vektor x R 2. Fertigen sie eine Skizze an, die die geometrischen Eigenschaften der Abbilungen M und A veranschaulicht. (c) Versuchen sie, die obigen Berechnungen auf eine allgemeinere Situation zu übertragen. Welche Eigenschaften muss ein Vektor v R 2 haben, damit die Abbildungen M = v v T und A = I M die gleichen geometrischen Eigenschaften haben, wie in der obigen speziellen Situation? Was passiert, wenn sie vom zweidimensionalen Raum in den dreidimensionalen übergehen? (28) Begründen sie, dass die Menge von Vektoren Bedingung muss erfüllt sein, damit die Vektoren a, a,2 0 a 2,2,, {( 0 a,3 a 2,3 a 3, ), ( 3 ) 2, 0,, eine Menge von linear unabhängigen Vektoren im R n bilden? ( a,n a 2,n a 3,n. a n,n )} linear unabhängig ist. Welche Erklärung: Betrachten sie die zwei linearen Gleichungen für die zwei Unbekannten x, y: a x + b y = r () a 2 x + b 2 y = r 2. (2) Wenn wir nicht wissen, welche der Koeffizienten a, a 2, b, b 2, r, r 2 ungleich Null sind, müssen wir so lange wie möglich Divisionen beim Eliminieren von Unbekannten vermeiden. Um x zu eliminieren multiplizieren wir () mit a 2, (2) mit a und addieren die so erhaltenen Gleichungen. Dies liefert (a b 2 a 2 b )y = a r 2 a 2 r. Wenn wir jetzt wissen (oder voraussetzen), dass a b 2 a 2 b 0 ist, dann können wir die Lösung y durch die Koeffizienten ausdrücken y = a r 2 a 2 r a b 2 a 2 b. (29) Drücken sie auch x durch die Koeffizienten von () und (2) aus. Was fällt dabei auf? Mit der Bezeichnung a b a 2 b 2 := a b 2 a 2 b schreibt sich die CRAMERsche REGEL wie folgt r b r 2 b 2 a x = a b, y = 2 r 2 a 2 b 2 a b, falls a b a 2 b 2 0. a 2 b 2 (30) Gehen sie bei dem System a x + b y + c z = r (3) a 2 x + b 2 y + c 2 z = r 2. (4) a 3 x + b 3 y + c 3 z = r 3. (5) wie im Bsp. 29 vor und drücken sie die Unbekannten, falls möglich wieder durch die Koeffizienten aus. Wie läßt sich x mit Hilfe von a b c a 2 b 2 c 2 := a b 2 2 a 3 c b 3 a c 3 2 b 3 c + b a3 c 2 b 2 c a 3 b 3 c 3 schreiben? (3) Determinante und lineare Unabhängigkeit. Zeigen Sie:

8 ( ) (a) ( a 2 ), b b2 sind linear unabhängig genau dann, wenn a b a 2 b 2 0. ( a ) ( ) b ( c ) a (b) 2, b2, 2 sind linear unabhängig genau dann, wenn b c a a 3 b c b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 0. (32) Lösbarkeit und Unlösbarkeit von Systemen linearer Gleichungen. (a) Geben Sie eine einzige Gleichung mit 00 Unbekannten an, die unlösbar ist. (b) Zeigen Sie: Wenn eine einzige lineare Gleichung mit 00 Unbekannten eine spezielle Lösung besitzt, so besitzt sie unendlich viel weitere Lösungen. (c) Geben Sie ein System von 00 linearen Gleichungen für eine Unbekannte an, das lösbar ist. (d) Zeigen Sie, dass die wichtige FAUSTREGEL Jedes System von n Gleichungen mit n Unbekannten ist eindeutig lösbar falsch ist.

9 7. Übungsblatt für den (33) Sei {a, b, c} eine Menge linear unabhängiger Vektoren in R n (mit n 3). Zeigen sie: (a) Die Menge der Vektoren {a + 5b, a + b + 3c, 6c} ist ebenfalls linear unabhängig. (b) Die Menge der Vektoren {a + b + c, 2a + 4b + c, 2a + 6b} ist ebenfalls linear unabhängig. (34) Es sei A eine n n Matrix über R. Beweisen sie: (a) L = {x R n : Ax = 0} ist ein Unterraum des R n, das heißt, u, v L u + v L und λ R, v L λv L. (b) Die lineare Abbildung x Ax ist genau dann bijektiv wenn L = {0}. (35) Es sei A = (a) Bestimmen sie die größte Anzahl linear unabhängiger Spalten von A. (b) Geben sie für ϕ : R 5 R 4 mit ϕ(x) = Ax die Menge Im(ϕ) = {ϕ(x) : x R 5 } in der Form Im(ϕ) = L(v, v 2,..., v k ) an, wobei die Anzahl k der benötigten Vektoren so klein wie möglich (minimal) sein soll, (36) Lösen sie das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = und b = (37) Bestimmen sie L = {x R 3 : 2x +x 2 = 0, x +x 2 +x 3 = 0}, L 2 = {x R 3 : x +6x 2 = 0}, L 3 = {x R 4 : x + x 2 + x 3 + x 4 = 0} und L 4 = {x R 5 : 3x 6x 2 + 2x 5 = 0} indem sie L k (für k =, 2, 3, 4) als Linearkombination der Form L k = L(v k, v k 2,...) darstellen. Die Anzahl der benötigten Vektoren soll jeweils minimal sein.

10 8. Übungsblatt für den (38) Läßt sich der Vektor v = (4, 6, 3, ) T als Linearkombination der Vektoren a = (2, 3, 0, 2) T, a 2 = (, 2, 2, ) T und a 3 = (9, 3, 3, 4) T darstellen? Wenn ja, geben sie die Koeffizienten einer solchen Linearkombination an. (39) Finden sie alle Linearkombinationen der Vektoren a a 2, a 3 und v aus Beispiel 38 die den Vektor (3,, 2, 3) T ergeben. (40) Bestimmen sie einen Vektor x R 4, der orthogonal zu den Vektoren v = (,, 0, ) T, v 2 = (2,,, ) T und v 3 = (,,, 0) T ist. Wie viele solcher Vektoren gibt es? (4) Betrachten sie die lineare Abbildung x A x auf R 3 mit A = Gibt es einen Vektor x 0, der sein eigener Bildvektor unter der linearen Abbildung ist, d.h. für den x = Ax gilt. Wenn ja, bestimmen sie einen solchen Vektor. Gibt es auch einen Vektor y 0, der die Hälfte seines Bildvektors ist, das heißt für den 2y = Ay gilt? (42) Gegeben ist die Matrix M = und der Vektor y = Finden sie x R 4 so dass y der Bildvektor von x unter der linearen Abbildung f : R 4 R 4 mit f(z) = Mz ist. Seien m, m 2, m 3 und m 4 die Spalten der Matrix M. Finden sie einen Vektor w R 4 so dass w m i = y i für i =, 2, 3, 4 gilt, wobei y i die Komponenten des Vektors y bezeichnen. (43) Bestimmen sie die inverse Matrix B von B =

11 9. Übungsblatt für den (45) Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit n Zeilen und Spalten. Zeigen sie det A = a, a 2,2... a n,n. TIPP: Entwickeln sie die Determinante nach den Elementen der ersten Spalte von A. (46) Es sei A eine k k-matrix, B eine m m-matrix und ( ) A 0 C := 0 B die Blockdiagonalmatrix, die links oben als Teilmatrix A, rechts daneben eine k m- Nullmatrix, unterhalb von A eine m k-nullmatrix und rechts daneben als Teilmatrix B enthält. Zeigen sie det C = det A det B. TIPP: Entwickeln sie die Determinante von C nach der ersten Spalte von C. (47) (a) Zeigen sie: Wenn in einer n n-matrix A die ersten beiden Zeilen übereinstimmen, dann ist det A = 0. TIPP: Entwickeln sie die Determinante auf zwei Arten: einmal nach der ersten Zeile und einmal nach der zweiten Zeile. a,,..., a,n a (b) Seien c R, A = 2,,..., a 2,n.. und à := a n,,..., a n,n Zeigen sie det A = det Ã. (48) Berechnen sie die Determinante von a, + ca 2,,..., a,n + ca 2,n a 2,,..., a 2,n,.. a n,,..., a n,n indem sie die Erkenntnis aus dem vorigen Beispiel nützen. (49) Zeigen sie: Die Spalten a und b sind genau dann linear unabhängig, wenn a 2 a 3 b 2 b 3 a 2b 3 a 3 b 2 a 3 b a b a b 2 a 2 b 0 Ohne geometrische Argumentation, rein algebraisch!.

12 0. Übungsblatt für den (50) Sei P = {a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a i R} der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich 3 über R. (a) Zeigen sie: B = {3, + x, x + x 2, 2x 3 } ist eine Basis von P. (b) Berechnen sie die Koordinaten des Vektors v = + x + x 2 + x 3 P bezüglich der Basis B. Warum bezeichnen wir das Polynom v als Vektor? (5) Es sei A = (a) Berechnen sie det(a) und geben sie ein Argument an, das belegt, dass die inverse Matrix zu A existiert. Berechnen sie A. (b) Berechnen sie mit Hilfe von A die Lösung des linearen Gleichungssystems A x = (c) Bestimmen sie eine 3 3-Matrix C die die Gleichung C A = 4A 2 + A erfüllt. (52) Es seien a = 0, b = 2, c = 0 0. Von einem Vektor x sind die Orthogonalprojektionen auf die Vektoren a, b und c bekannt: 2 a a x, a a = a 5 a, b b x, b b = b 6 b, c c x, c c = o. Bestimmen sie alle Vektoren x, falls es mehrere geben sollte, die obige Eigenschaft haben. (53) Zeigen sie: { 2 0 } B =, 0 0, 2 0, 0 0 ist eine Basis des Vektorraums R 4 und bestimmen sie die Koordinaten (α, α 2, α 3, α 4 ) des Vektors (4, 2,, ) T bezüglich B. Sei nun b ein beliebiger Vektor in R 4. Geben sie den Koordinatenvektor β = (β, β 2, β 3, β 4 ) T des Vektors b bezüglich der Basis B in der Form β = A b mit einer geeigneten Matrix A an.

13 . Übungsblatt für den (54) Berechnen sie die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der Matrizen ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 2, 4, 0 A =, A 4 2 =, A =, A 0, 5 0, 4 =, ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ, 4 0, 5 A 5 =, A sin ϕ cos ϕ 6 =, A, 0 0, 7 = , 2 0 A 8 = , A 9 = 2 0 2, A 0 = (55) Geben sie die Lösung des Anfangswertproblems m x + kx = 0; x(0) = 0, 05 [m], x (0) = 0, [m/sec] an, wobei die Masse m = 0, 4[kg] und die Federkonstante k = 2[N/m] gegeben sind. (56) Angenommen, in der Kraftbilanz, die zur Gleichung des harmonischen Oszillators führt, wird ausser der Federkraft und der Beschleunigungskraft noch eine Reibungskraft berücksichtigt. Wir nehmen an, die Reibungkraft wirkt der Bewegungsrichtung entgeben (das heißt entgegengesetzt zum Geschwindigkeitsvektor). Wir nehmen weiters an, die Stärke der Reibungskraft ist direkt proportional zum Betrag der Geschwindigkeit, mit einem Proportionalitätsfaktor c > 0. Finden sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche die Bewegung eines solchen (durch Reibung) gedämpften Oszillators beschreibt. (57) Lösen sie das Anfangswertproblem mx + cx + kx = 0; x(0) = x 0 ; x (0) = 0; für einen beliebigen Anfangswert x 0 R. Die Konstanten m und k seien wie in Beispiel 55. Berechnen sie die Lösung für c = [N sec/m] und für c = 20 [N sec/m]. Schreiben sie dazu die Differentialgleichung in ein 2 2 Differentialgleichungssystem um. (Setzen sie dazu x = ( x x 2 ) = ( x x )). Entkoppeln sie das System indem sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix berechnen und den Anfangswert als Linearkombination der Eigenvektoren darstellen. Gehen sie weiter, wie in der Vorlesung besprochen, vor. Verwenden sie MatLab um die Lösungskurven in der (x, x 2 )-Ebene für die beiden Möglichkeiten von c zu skizzieren. Wählen sie als Anfangswert x 0 = ( ) 0, 0. (58) Betrachten sie die folgende Anordnung von Federn und Massen. l m m l/3 l/3

14 Die beiden Massen m sind gleich groß und alle drei Federkonstanten seien gleich k. Stellen sie ein Differentialgleichungssystem vierter Ordnung auf, das die Bewegung der beiden schwingenden Massen beschreibt. Verwenden sie als Koordinaten die Auslenkungen der Massen aus den jeweiligen Ruhelagen und die Geschwindigkeiten der beiden Massen. Verwenden sie Matlab um die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix zu bestimmen. Für die konkrete Berechung können sie die Masse und Federkonstante aus Beispiel 55 verwenden. Geben sie die Lösungskurven des Differentialgleichungssystems an, wenn der Anfangsvektor Real- bzw. Immaginärteil eines Eigenvektors ist. Verwenden sie MatLab um die Projektionen der Lösungskurven auf die (x, x 2 )-Ebene bzw. auf die (x 3, x 4 )-Ebene zu zeichnen. (59) Skizzieren sie die Lösungskurven eines 2 2-Differentialgleichungssystems x = Ax in der (x, x 2 ) Ebene, wenn sie wissen, dass v = (2, ) T und v 2 = (, ) T Eigenvektoren der Matrix A zu den Eigenwerten λ = 2 und λ 2 = 2 sind. Wie sieht die Skizze aus, wenn λ 2 = gesetzt wird, und sonst alles gleich bleibt? (60) Skizzieren sie die Lösungskurven eines 2 2-Differentialgleichungssystems x = Ax in der (x, x 2 ) Ebene, wenn sie wissen, dass a = (2, ) T und b = (, ) T Real- und Immaginärteil eines Eigenvektors der Matrix A zum Eigenwert λ = i sind. Wie sieht die Skizze aus, wenn λ = + i gesetzt wird, und sonst alles gleich bleibt?

15 2. Übungsblatt für den (6) Zeigen Sie, dass die durch a n := 2n+ 3n+2 definierte Folge (a n) n N monoton, beschränkt und konvergent gegen 2 ist. 3 (62) Für welche a, b, c > 0 ist die durch f n := a n+b c n definierte Folge (f n) n N streng monoton fallend? (63) (i) Es sei a. Zeigen Sie, dass lim n n a = ist. TIPP: a = ( n a) n n und x n + y n = (x y)(x n y n ). (ii) Zeigen Sie mit Hilfe von (i), dass auch für 0 < a < die Gleichung lim n n a = gilt. (64) Welche der folgenden Behauptungen sind wahr, welche falsch? (i) Die Summe divergenter Folgen ist divergent. (ii) Die Summe divergenter Folgen kann konvergent sein. (iii) Das Produkt divergenter Folgen ist divergent. (iv) Es gibt divergente Folgen, deren Produktfolge konvergiert. Belegen Sie die Ihre Antworten durch Beispiele oder Gegenbeispiele. (65) Berechnen Sie: 3 5 n n 8n 3 + 6n 2 + lim, lim, n 7 0 n n 2n 3 + 2n ( 3 j, ( 5 4) 2 j=3 j=2 ) 4j, ( lim + q 2 + q q 2n) für q <. n