REPETITORIUM HÖHERE MATHEMATIK. Repetitio est mater studiorum. Gerhard Merziger Thomas Wirth

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1 REPETITORIUM HÖHERE MATHEMATIK Repetitio est mater studiorum Gerhard Merziger Thomas Wirth

2 INHALTS VER ZEICHSIS Inhaltsverzeichnis F1 Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichen index 12 1 Grundbegriffe Logische Grundlagen, Aussagen Mathematische Grundlagen, Mengen Vollständige Induktion Kartesische Produkte... 2:l 1.5 Abbildungen, Funktionen Umkehrfunktionen Einsetzen (Verketten, Substituieren) VOll Funktionen Gerade. ungerade Funktionen Grenzwerte von Funktionen Stct.ige Funktionen AufgalJPn... " Löslmgell 2 Reelle Zahlen Brüche. Potenzen. \Vurzeln Fakultät. Binomialkodfizil'ukn...,IIi 2.~1 Ungleichungen, Beträge... H 2.4 Aufgaben... " 5-'1 2.5 Lösungen... " 5G 3 Elementare Funktionen Polynome, ganze rationale Funktionen Grundsätzlicher Verlauf, Verhalten im Un 'ndlichen Nullstellen, Linearfaktoren :1.1.3 Zerlegung reeller Polynome :1.1.4 Polynome 2-ten Grades. quadratische Gleichungen... " 64 :3.1.5 Interpolation... " HORNERSchcrna... GG ~1.2 :Ll 3A 3.5 :) Rationale Funktionen.... G7 Trigonometrische Funktionen Inverse trigonometrische Funktionen Schwingungen Schwingungen, komplexe Rechnung Expollcntial und Logarithmllsfunktionen H.vperbelfunktionen..., 88

3 INHALTS VERZEICHNIS Inversp Hyperhelfunktionpn, Areahmktionen Potel1zfunktionen Aufgahen :3.12 Lösungen Komplexe Zahlen Zahh,]]('1!cn(' :3 4.2 Betrag, Abstand. Einheitskreis :3 Koujugi('l"t kolllp!cxe Zahl Multiplikat.ioll llud Division, Potenzcu Wurzeln alls kolllplexen Zahlen, Furlllel von Moivre Quadratische Gleidl1lngen Die komplexe' Exponentialfunktion Die komplexe Logarithmusfunktioll Aufgaben Lösungen Vektorrechnung Rechnen mit Vektoren Vektoren in Koordinatendarstellul1g Linear abhängig, linear unabhängig, lineare Hülle Skalarprodukt Vektorprodukt ;~ 5.6 Spatprodukt Geraden im Raum Ebenen im Raum Vektorielle Beweise Aufgaben Lösungen..., Matrizen Bezeichnungen..., Rechnen mit Matrizen Rang einer Matrix Quadratische l\iatrizen Inverse Matrix... 17G 6.6 Matrizen und Basen Orthogonale l\iatrizen Koordinatenvektoren Determinanten Entwicklung nach Zeilen und Spalten Elementare Umformungen Flächenberechnung, Orientierung Cramersche Regel

4 8 INHALTSVERZEICHNIS Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen und :t\latrizen Abbildungsmatrix AJi(ep) Abbilchmgsmatrix 2\J J (id) Nacheinanderausfiihren linearer AbbildungeIl, AJ(~ (~) 0 ep) Abbildungsmatrix bei spezieller Basis, M;~(ep) Drehungen und Drehmatrizen.... Eigenwerte, Eigenvektoren 9.1 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume Diagonalisierung, symmetrische l\iatrizell.... Hauptachsentransformation 10.1 Kegelschnitte, Kurven zweiter Ordnung Qnadriken, Flächen zweiter Ordnung Kurven/Flächen zweiter Ordnung in allgemeiner Lage Klassifizierung Kurven/Flächen zweiter Ordnung Aufgaben.... lo.g Lösullgen.... Lineare Gleichungssysteme 11.1 CaußsclH's Eliminatioltsvcrfahrcll 11.2 Lillearc Gh'idlllugssystellJc mit Paramder :1 Aufgabcll Liisllllgcn.... Differentialrechnung 12.1 Differell7.ierharkeit 12.2 Rechnen mit differenzierbarell Funktiollcn Höhere Ableitungen Implizites Differem~ieren Extremwerte von Funktionen einer Veränderlichen Grenzwertbestimmllng, unbestimmte Ausdrücke Näherungsweise Nullstellenbestillllllung Aufgaben Lösungen.... Integralrechnung 1:1.1 Das unbestimmte Integral.... 1:J.1.1 Rechnen mit unbestilllmten Integralen l.2 Integration durch Substitution l.3 Partielle Integration l.4 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) 13.l.5 Integration einiger nicht rationaler Funktionen D! 19,') lud ;) 209 2W) 21G 219 2U) 22-! fjO

5 INHALTSVERZEI CHNIS 1:3.2 Das lwstirlliute Integral Hauptsatz der Differelltial- und Illtegralredlll1l11g... :m Integration durch Substitution. partielle Illtegration Flücllenbercclul1lng Das bestilllmte Integral ab Funktion seiner oberell Grenze Uneigelltlidw Integrale :3.4 Aufgaben... : LÖSUllgPll Folgen und Reihen Zahlenfolgen NUlllerische Reihen... 3: Potenzreihen Taylorreihcn Fourierreihen... 3GO 14.6 Aufgaben Lösllngen... 3G6 15 Funktionen mehrer Veränderlicher FHic:hell illl Raum. NiV(~alllini(,ll. mockbild... :Hi!) 15.2 Stetigkeit... :~7() 15.3 Diff('!"cllzicrbarkcit... :n: Partiplle Ableitungen. Gra<lit'llt... :37:~ DiffcrellZierharkcit, Ablcitullg (Gradient, Jakuhi l\iatrix). :)7!) Kettellregel... :3KO TangentialebenE', totales Differelltial... :38: Richtungsableitung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Implizite Funktionen Explizite, implizite FUllktiollcn. lokale Auflösung Ableitungell impliziter Funktionell Taylorentwickluug von w = f(.1:. u) Extreillwerte einer Funktion mchrer Veränderlicher... : Extremwerte ullter Ndwnbedingungen......\ Differentiation und Integration....l Aufgaben......\1: Lösungen Differentialgleichungen Explizite DGL 1. Ordnung......\ DGL mit getrf'lllltell Variablen Lineare DGL 1. Ordnung...,1: Elementar integrierbare implizite DGLn 1. Ordnung......\:3S 16.5 Einige spezielle DGLn 2. Ordnung

6 n\thaltsvehzel('hsis 16.6 Lineare DGL Tl ter Ordnung...,..., ,.,... n Homogene lineare DGL Tl ter Ordnllng... -I-lO Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten... llx 16.8 Schwingungs-DGL... Vi-! 16.9 Eulersche DGL... -Fi, Potenzreihenansatz...,... FJI'I DG LSysteme... Ifi I Lineare Systeme... lfi: Lineare Systeme mit konstanten Koeffiziell1 ('11... j{i!) Homogene lineare Syst('nw lllit kol!sli1ll1('1l l\odfizil'llll'll j{i!) Inhomogene lineare Systelll<' mi1 k()ii,,1,litll'll!\o('lfizil'lltl'll 1/(; Eliminationsmethode für lineare [Je], SYS!I'llH'... I/H Aufgahen... Ix I Lösungen...1,-;:2 17 Mehrfache Integrale Doppelintegrale... lk~) 17.2 Dreifache Integrale... mo 17.3 Aufgahen Lösungen... -If)8 18 Vektoranalysis Kurven in der Ebene Kurven im Raum..., :3 Flächen im Raum..., Skalar- und Vektorfelder Differentialoperatoren: Gradient Divergenz. Rotation. :\ahla Felddarstellungen in Polar-, Zylinder- und KugelkoordinatPIl S; Kurvenintegrale, Linienintegrale... :): Oberflächenintegrale...,...,...,... 'ihj 18.7 Integralsätze der Vektoranalysis...,...,... 5'i Allfgaben... 'is(j 18.9 Lösungen Anhang Kreis...,... 'i Hyperbel Parabel... ~) Ellipse... G64 20 Finanzmathematik Index Verzeichnis lieferbarer Bücher F3 Formelsammlung F4 Formelsammlung