Mathematik für Physiker

Transkript

1 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1

2 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm 3 Bände

3 Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen tür das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch Band 1 verfaßt von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd Heinrich, Peter Engelhardt, Helmut Schmidt 8., verbesserte Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

4 Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik. Dr. Hartmut Wiesner ist Akademischer Rat am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Paul-Bernd Heinrich ist Professor für Mathematik an der Fachhochschule Mönchengladbach. Dipl.-Phys. Peter Engelhardt war wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Universität Bonn. 1. Auflage , durchgesehene Auflage , unveränderte Auflage , durchgesehene Auflage , verbesserte Auflage , durchgesehene Auflage , durchgesehene Auflage , verbesserte Auflage 1987 Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1987 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1987 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Peter Morys, Salzhemmendorf ISBN DOI / ISBN (ebook)

5 - 5 - Aus DEM VORWORT ZUR I. AUFLAGE Das Lehrbuch (2 Bände) und die Leitprogramme (3 Bände) 'Mathematik für Physiker' sind in erster Linie für Studienanfänger des ersten und zweiten Semesters geschrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermittelt, die für das Grundstudium der Experimentalphysik benötigt werden. Das Lehrbuch kann unabhängig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitprogramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Lehrbuch und Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstützung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage für einführende mathematische Ergänzungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik Vorlesung. In der Einleitung werden diese Gedanken weiter ausgeführt. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regulären Studiengang in drei Studienjahren verwendet und aufgrund der Erfahrungen und Rückmeldungen der Studenten gründlich revidiert. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich. Natürlich sind weitere Verbesserungen möglich; niemandem ist dies klarer als den Autoren. Konkrete Vorschläge der Leser sind erwünscht und werden bei künftigen Auflagen nach Möglichkeit berücksichtigt. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Revision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Die Reihenfolge der Autoren im Titel berücksichtigt die jeweils eingebrachten Arbeitsanteile. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Für wertvolle Hinweise und Formulierungen danke ich Herrn Dr. Mrowka. Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme integrierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstützte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig. Allen hier genannten und vielen nichtgenannten Mitarbeitern danke ich herzlich. Klaus Weltner Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik 1974

6 - 6 - VORWORT ZUR 8. AUFLAGE In den Neuauflagen seit 1975 ist das Lehrbuch in vielen Details verbessert worden. DIe im Vorwort zur ersten Auflage erbetenen Verbesserungsvorschläge und kritischen Hinweise sind von Lesern und Kollegen eingegangen. Sie sind weitgehend berücksichtigt. Ich danke allen sehr herzlich, die damit geholfen haben, das Lehrbuch lesbarer, genauer und verständlicher zu gestalten. Neu geschrieben ist das Kapitel 17 über Gleichungssysteme. Hier stehen jetzt die praktischen Eliminationsverfahren im Vordergrund. Auch das Kapitel 16 über Matrizen ist erheblich erweitert. Was die Autoren bei der Entwicklung der Leitprogramme erhofften, hat sich bestätigt. Die Verbindung von Lehrbuch und Leitprogramm wird von vielen Studienanfängern als wirksame Hilfe bei der Anpassung an die Arbeitsformen der Universität genutzt. Es hat sich in vielfältiger Praxis gezeigt, daß die Leitprogramme das selbständige Erarbeiten des Lehrbuches ermöglichen und daß sie dem Studenten helfen, ein selbstverantwortetes und selbstgeregeltes Studienverhalten aufzubauen. In einer überarbeiteten und erweiterten Form sind Lehrbuch und Leitprogramme inzwischen ins Englische übersetzt. Auch dies spricht dafür, daß mit der hier entwickelten Methodik der Studienunterstützung ein sinnvoller Weg beschritten ist. Klaus Weltner Frankfurt, 1986

7 - 7 - INHALT EINLEITUNG 13 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung Der Funktionsbegriff 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten Graphische Darstellung von Funktionen Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen Graphische Darstellung von Funktionen Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen Einheitskreis Sinusfunktion Kosinusfunktion Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion Tangens, Kotangens Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen 46 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen 50 Tabelle spezieller Funktionswerte POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion Potenzen Rechenregeln für Potenzen Exponentialfunktion Logarithmus, Logarithmusfunktion Logarithmus Rechenregeln für Logarithmen Logarithmusfunktion

8 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion Umkehrfunktion oder inverse Funktion Logarithrnusfunktion als Umkehrfunktion 74 der Exponentialfunktion Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion DIFFERENTIALRECHNUNG 3.1 Folge und Grenzwert Die Zahlenfolge Grenzwert einer Zahlenfolge Grenzwert einer Funktion 3.2 Stetigkeit 3.3 Reihe und Grenzwert Reihe Geometrische Reihe 3.4 Die Ableitung einer Funktion Die Steigung einer Geraden Die Steigung einer beliebigen Kurve Der Differentialquotient Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit Das Differential 3.5 Die praktische Berechnung des Differentialquotienten Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Die Differentiation komplizierter Funktionen 3.6 Höhere Ableitungen 3.7 Maxirna und Minima Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen INTEGRALRECHNUNG 4.1 Die Starnmfunktion Grundproblem der Integralrechnung Flächenproblem und bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Starnmfunktion von fex) Bestimmtes Integral Beispiele für das bestimmte Integral 131

9 Zur Technik des Integrierens Verifizierungsprinzip Stammintegrale Konstanter Faktor und Summe Integration durch Substitution Partielle Integration 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.9 Uneigentliche Integrale 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld Integrationsregeln und -techniken Tabelle der wichtigsten Grundintegrale 5 VEKTORRECHNUNG I 5.1 Skalare und Vektoren 5.2 Addition von Vektoren Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition 5.3 Subtraktion von Vektoren Der Gegenvektor Differenz zweier Vektoren ~ und 5: Geometrische Subtraktion Komponente und Projektion eines Vektors Komponentendarstellung im Koordinatensystem Ortsvektor Einheitsvektoren 5.5.'3 Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise Multiplikation eines Vektors mit einern Skalar Betrag eines Vektors

10 VEKTORRECHNUNG 11 SKALARPRODUKT, VEKTORPRODUKT 6.1 Skalarprodukt Sonderfälle Kommutativ- und Distributivgesetz Kosinussatz Skalares Produkt in Komponentendarstellung Vektorprodukt Drehmoment Das Drehmoment als Vektor Definition des Vektorprodukts Sonderfälle Vertauschung der Reihenfolge Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes Vektorprodukt in Komponentendarstellung TAYLORREIHE UND POTENZREIHENENTWICKLUNG Vorbemerkung Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenz bereich) Das Näherungspolynom Abschätzung des Fehlers Entwicklung der Funktion fex) an einer beliebigen Stelle, allgemeine Taylorentwicklung Nutzen der Reihenentwicklung Polynome als Näherungsfunktionen Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome Integration über Potenzreihenentwicklung KOMPLEXE ZAHLEN Definition und Eigenschaften der 219 komplexen Zahlen Die imaginäre Zahl Komplexe Zahlen Anwendungsgebiete Rechenregeln Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene Die Gaußsche Zahlenebene Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen 223

11 Die Exponentialform einer komplexen Zahl Eulersche Formel Umkehrformeln zur Eulerschen Formel Komplexe Zahlen als Exponenten Multiplikation und Division Potenzieren und Wurzelziehen Periodizität von r.eia Beispiel Definition und Formeln DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen 9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Der Exponentialansatz Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Variation der Konstanten Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl Randwertprobleme Randwertprobleme bei Dgl. 1. Ordnung Randwertprobleme bei Dg1. 2. Ordnung 9.5 Anwendungen in der Physik Der radioaktive Zerfall Der harmonische Oszillator 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER, SKALARE FELDER UND VEKTORFELDER Einleitung Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher Das skalare Feld 10.3 Das Vektorfeld 10.4 Spezielle Vektorfelder Das homogene Vektorfeld Das radialsymmetrische Feld Ringförmiges Vektorfeld

12 PARTIELLE ABLEITUNG, TOTALES DIFFERENTIAL UND GRADIENT 11.1 Die partielle Ableitung Mehrfache partielle Ableitung 11.2 Das totale Differential 11.3 Der Gradient Gradient bei Funktionen zweier Veränderlicher Gradient bei Funktionen dreier Veränderlicher ANHANG I: Grundbegriffe der Mengenlehre ANHANG II: ANHANG III: ANHANG REGISTER IV: Funktionsbegriff Quadratische Gleichungen Funktionstabelle INHALT BAND MEHRFACHINTEGRALE, KOORDINATENSYSTEME 13 PARAMETERDARSTELLUNG VON KURVEN, DIFFERENTIATION NACH EINEM PARAMETER, LINIENINTEGRALE 14 OBERFLÄCHENINTEGRALE 15 DIVERGENZ UND ROTATION 16 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN UND MATRIZEN 17 DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGS SYSTEME 18 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 19 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 20 FEHLERRECHNUNG 21 DIE WELLENGLEICHUNGEN 22 FOURIERREIHEN