Mathematik für. Bauingenieure

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1 Mathematik für Bauingenieure Von Prof. Dr. rer. nato W olfhart Haacke Universität-Gesamthochschule Paderborn Prof. Dr.-Ing. Manfred Hirle Fachhochschule Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Otto Maas Universität Essen-Gesamthochschule 2., neubearbeitete Auflage Mit 365 Bildern, 266 Beispielen, 302 Aufgaben und einer Formelsammlung im Anhang B. G. Teubner Stuttgart 1980

2 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Uaacke, Wolfhart: Mathematik für Bauingenieure/von Wolfhart Haacke; Manfred Hirle; Otto Maas. 2., neubearb. Auf!. - Stuttgart: Teubner, ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Hirle, Manfred:; Maas, Otto: Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. B. G. Teubner, Stuttgart 1980 Satz: Druckerei Dr. A. Krebs, Hemsbach Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

3 Vorwort Die Bedeutung der Mathematik zur Lösung technischer Probleme ist unbestritten. Die Mathematik ist dabei nicht nur Voraussetzung zum Verständnis der technischen Zusammenhänge, sondern auch Ausgangspunkt für den heute unentbehrlichen Einsatz von Rechenanlagen zur Lösung bautechnischer und vermessungstechnischer Probleme. Von diesen Überlegungen haben sich die Autoren - ein Bauingenieur, eine Mathematiker und ein Vermessungsingenieur - leiten lassen, als sie bei der Umarbeitung der ersten Auflage die technische, insbesondere die informationstechnische Weiterentwicklung der letzten Jahre berücksichtigten. Hauptzielsetzung der "Mathematik für Bauingenieure" ist nach wie vor, den Anwendungsbezug der Mathematik für die Technik in den Mittelpunkt der didaktischen Bemühungen zu stellen.. Daher wird der Leser durch Beispiele aus seinem Verständniskreis in die einzelnen Abschnitte eingeführt. Außerdem vertiefen viele Beispiele, ergänzt durch etwa 300 Aufgaben und Lösungen im Anhang die Darstellung. Es wurden z. T. mathematische Beispiele und Aufgaben zum Erlangen rechnerischer Fertigkeit behandelt, vielfach aber bau- oder vermessungstechnische Fragen, um unmittelbar den Zusammenhang mit den technischen Fächern zu zeigen. Dafür wurde auf viele Beweise verzichtet. Für den interessierten Leser sei besonders auf [1] im Literaturverzeichnis verwiesen. In einem einführenden Abschnitt wird in fünf Beispielen der Schulstoff angewandt. Zahlreiche daran anschließende Aufgaben ermöglichen es dem Leser, gegebenenfalls sein Wissen aufzufrischen. Als wesentliche Neuerung ist am Ende des Buches eine ausführliche Formelsammlung angefügt, welche die mathematischen Grundlagen, den Stoff des Buches und darüber hinausgehende Bereiche abdeckt. Die Hinweise auf die Formelsammlung werden im Text z. B. durch F5, d. h. Seite 5 der Formelsammlung, gegeben. Die Zahlenrechnungen in diesem Lehrbuch sind mit einem Taschenrechner durchgeführt. Angegeberie Zwischenergebnisse beruhen auf Rundungen, es wird aber - wie heute allgemein üblich - mit der vollen im Rechner stehenden Stellenzahl weitergerechnet. Die Autoren freuen sich, daß sie den Anregungen vieler Leser folgend, diese zweite Auflage in einem handlichen Band vorlegen können. Sie danken vielen Kollegen, die durch konstruktive Kritik zur Verbesserung dieses Lehrbuchs beigetragen haben. Besonderer Dank gilt Herrn Dr. Th. Schläpfer, Burgdorf (Schweiz), der durch zahlreiche Verbesserungsvorschläge und durch kritisches Lesen wesentlicher Teile des Manuskripts diese Arbeit merklich unterstützt hat. Schließlich danken die Autoren dem B. G. Teubner-Verlag, der durch seine Erfahrungen und sein Verständnis für unsere Wünsche dieses Lehrbuch gefördert hat. Paderborn, Stuttgart, Essen, Frühjahr 1980 Die Verfasser

4 Inhalt 1 Einführung 1.1 Einführende Beispiele 1.2 Aufgaben zu Abschnitt Lineare Algebra 2.1 Determinanten Zwei- und dreireihige Determinanten n-reihige Determinanten Aufgaben zu Abschnitt Vektoren Grundbegriffe. Definitionen. Geometrische Darstellung Komponenten. Koordinaten. Richtungswinkel Rechenregeln Aufgaben zu Abschnitt Matrizen Grundbegriffe. Definitionen Rechenregeln Aufgaben zu Abschnitt Lineare Gleichungssysteme Lösung mit Determinanten Gauß-Algorithmus Austauschverfahren Aufgaben zu Abschnitt Funktionen 3.1 Darstellung von Funktionen Funktionstafel. Funktionsgleichung. Funktionskurve Umkehrfunktionen Koordinatentransformation Charakteristische Merkmale von Funktionen Aufgaben zu Abschnitt Ganze rationale Funktionen Lineare Funktion Quadratische Funktion Aufgaben zu Abschnitt Gebrochene rationale Funktionen Aufgaben zu Abschnitt

5 6 Inhalt 3.4 Algebraische Funktionen Algebraische Potenzfunktiony = Cxm/ n Kegelschnitte Aufgaben zu Abschnitt Trigonometrische Funktionen Schaubild. Periodizität Arcusfunktionen Aufgaben zu Abschnitt Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmische Funktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Aufgaben zu Abschnitt Grenzwerte 4.1 Unendliche Zahlenfolge 4.2 Grenzwerte von Folgen 4.3 Rechnen mit Grenzwerten 4.4 Grenzwerte von Funktionen 4.5 Unendliche Reihen Unendliche geometrische Reihe Zinseszins- und Rentenrechnung 4.6 Aufgaben zu Abschnitt Differentialrechnung 5.1 Einführung in die Differentialrechnung Ableitung Grundregeln des Differenzierens Ableitung einiger Grundfunktionen Tangente und Normale Mittelwertsatz. Höhere Ableitungen Aufgaben zu Abschnitt Rechenregeln der Differentialrechnung Produkt- und Quotientenregel Kettenregel Implizit gegebene Funktionen Differenzieren mit Hilfe der aufgelösten Funktion Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen der Differentialrechnung Newton-Verfahren Extremwerte. Wendepunkte Kurvendiskussion ,4 Krümmung. Krümmungsradius. Krümmungskreis Aufgaben zu Abschnitt

6 Inhalt 7 6 Integralrechnung 6.1 Bestimmtes Integral Flächenberechnung durch Grenzwertbildung. Annäherung der Fläche durch eine Rechtecksumme Integration der Potenzfunktiony = x m Mittelwertsatz Numerische Integration Aufgaben zu Abschnitt Unbestimmtes Integral Integral mit veränderlicher Grenze Differentiation des unbestimmten Integrals Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Grundintegrale Aufgaben zu Abschnitt Rechenmethoden der Integralrechnung Produktintegration Integrieren durch Substitution Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen der Integralrechnung Geometrische Größen Barometrische Höhenmessung Seilreibung Schnittkräfte: Belastung-Querkraft-Biegemoment Biegelinie Aufgaben zu Abschnitt Taylor-Reihen 7.1 Approximation durch Ersatzfunktionen 7.2 Taylor-Formel Spezielle Reihen Trigonometrische und hyperbolische Reihen Reihe für die Exponentialfunktion Binomische Reihen Logarithmische Reihen Reihe für die Arcustangensfunktion 7.4 Rechnen mit Reihen 7.5 Klotoide Unbestimmte Ausdrücke 7.7 Aufgaben zu Abschnitt Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1 Einführung Analytische Lösungen Trennung der Veränderlichen Lineare Differentialgleichungen

7 8 Inhalt 8.3 Numerische Lösungen Annäherung von Ableitungen durch Differenzen Randwertaufgabe Eigenwertaufgabe 8.4 Aufgaben zu Abschnitt Funktionen von mebreren Veränderlichen 9.1 Partielle Ableitungen Totales Differential 9.3 Aufgaben zu Abschnitt Fehler- und Ausgleicbungsrecbnung 10.1 Grundlagen aus der mathematischen Statistik 10.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichung direkter Beobachtungen 10.4 Aufgaben zu Abschnitt Anwendungen der ebenen und spbäriscben Trigonometrie 11.1 Ebene Trigonometrie Dreiecksberechnungen Koordinatenberechnungen Aufgaben zu Abschnitt Sphärische Trigonometrie Räumliche Koordinatensysteme. Sphärischer Exzeß Rechtwinkliges sphärisches Dreieck Schiefwinkliges sphärisches Dreieck Aufgaben zu Abschnitt Anbang Ergebnisse zu den Aufgaben Weiterführende Literatur Sachverzeichnis. Formelsammlung Fl